专题练测12 最短路径问题(课件PPT)-【星城中考】2025年中考数学练测（长沙专用）

专题练测12　最短路径问题 2025中考 长沙 数学  B 1.(2019·长沙)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是( ) A.2 B.4 C.5 D.10 2 2.如图，一次函数y＝x＋4的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，C(－2，0)是x轴上一点，E，F分别为直线y＝x＋4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为 ( ) A.E(－)，F(0，2) B.E(－2，2)，F(0，2) C.E(－)，F(0，) D.E(－2，2)，F(0，) C 3.(2022·娄底)菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P，Q分别是BC，BD上的动点，CQ＋PQ的最小值为 　 .  4.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，求MP＋PB的最小值. 解:过点P作PE⊥BC于点E. ∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10， ∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD. ∴△ABC是等边三角形. ∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∴∠CBD＝30°. ∵PE⊥BC， ∴PE＝PB.∴MP＋PB＝MP＋PE. ∴当点M，P，E共线且ME⊥BC时，MP＋PE有最小值为ME. ∵AM＝3，∴MC＝7. ∵sin ∠ACB＝，∴ME＝. ∴MP＋PB的最小值为. 5.(2024·凉山州)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN，CN. (1)求证:EN＝CN； (1)证明:连接AN. ∵四边形ABCD是菱形， ∴点A，C关于直线BD轴对称，∴AN＝CN. ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴AN＝EN.∴EN＝CN. (2)求2EN＋BN的最小值. (2)解:过点N作NG⊥BC于点G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H. ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝30°，∴BN＝2NG. ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴EN＝AN， ∴2EN＋BN＝2AN＋2NG＝2(AN＋NG)≥2AG≥2AH. ∴2EN＋BN的最小值为2AH. ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴AH＝AB·sin 60°＝. ∴2EN＋BN的最小值为2. 本讲内容结束 $$