专题练测10 相似三角形的综合应用(课件PPT)-【星城中考】2025年中考数学练测（长沙专用）

专题练测10　相似三角形的综合应用 2025中考 长沙 数学  1.(2022·长沙)如图，四边形ABCD内接于☉O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF. (1)求证:△ABE∽△DCE. (1)证明:∵，∴∠ABD＝∠ACD， 即∠ABE＝∠DCE. 又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE. 2 (2)当，∠DFE＝2∠CDB时，则＝　 　；＝ 　　； ＝　　.(直接将结果填写在相应的横线上)  0 1 0 (2)解:0　1　0　[∵△ABE∽△DCE，∴.∴AE·CE＝BE·DE. ∴＝0.∵，∴∠DAC＝∠CAB＝∠CDB. ∴∠DAB＝2∠CDB.∵∠DFE＝2∠CDB，∴∠DFE＝∠DAB.∴EF∥AB. ∴∠FEA＝∠EAB.∵∠FAE＝∠EAB，∴∠FAE＝∠FEA.∴FA＝FE. ∵EF∥AB，∴△DFE∽△DAB. ∴.∴＝1. ∵＝1，∴＝1.∴＝0.] (3)①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S，S1，S2，若满足，试判断△ABE，△CDE的形状，并说明理由； (3)解:①△ABE，△CDE都为等腰三角形.理由如下: 记△ADE，△BCE的面积为S3，S4， 则S＝S1＋S2＋S3＋S4.∵，∴S1S2＝S3S4.① ∵，即S＝S1＋S2＋2，∴S3＋S4＝2.② 由①②可得S3＋S4＝2，即()2＝0， ∴S3＝S4.∴S△ABE＋S△ADE＝S△ABE＋S△BCE， 即S△ABD＝S△ABC.∴CD∥AB.∴∠ACD＝∠BAC，∠CDB＝∠ABD. ∵∠ACD＝∠ABD，∠CDB＝∠BAC， ∴∠EDC＝∠ECD＝∠EBA＝∠EAB. ∴△ABE，△CDE都为等腰三角形. ②当，AB＝m，AD＝n，CD＝p时，试用含m，n，p的式子表示AE·CE. ②∵，∴∠DAC＝∠EAB. ∵∠DCA＝∠EBA，∴△DAC∽△EAB.∴. ∵AB＝m，AD＝n，CD＝p，∴AE·AC＝AD·AB＝mn. ∵∠BDC＝∠BAC＝∠DAC，∴∠CDE＝∠CAD. 又∠ECD＝∠DCA，∴△DCE∽△ACD.∴.∴CE·AC＝CD2＝p2. ∴AC2＝AE·AC＋CE·AC＝mn＋p2. 则AC＝，CE＝. ∴AE＝AC－CE＝. ∴AE·CE＝. 2.(2022·郴州模拟)已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与y轴交于点C，且经过点A(－1，0)，B(4，0). (1)求抛物线表达式； 解:(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点A(－1，0)，B(4，0)， ∴解得 ∴抛物线表达式为y＝－x2＋3x＋4. (2)如图1，点P是第一象限抛物线上的一个点，过点P作PD⊥y轴，交y轴于点D，交线段BC于点Q.连接CP.若△CDQ与△CPQ的面积比为1∶2，求点P的横坐标； (2)∵y＝－x2＋3x＋4，∴C(0，4).∵B(4，0)， ∴直线BC的表达式为y＝－x＋4. 设P(m，－m2＋3m＋4)(0<m<4). ∵S△CDQ∶S△CPQ＝1∶2，∴DQ∶QP＝1∶2. ∴DQ＝DP＝m.∴点Q的坐标为(m，－m＋4). 又∵P，Q的纵坐标相同， ∴－m2＋3m＋4＝－m＋4.解得m＝或m＝0(舍去). ∴点P的横坐标为. (3)如图2，点M与点C关于抛物线的对称轴对称.在线段BC上，是否存在点N，使得以点C，N，M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. (3)存在. ∵C(0，4)，y＝－x2＋3x＋4，∴M(3，4).∴CM＝3. ∵A(－1，0)，B(4，0)，∴AB＝5，CB＝4. 设点N(n，－n＋4).如图①，过点N作NH⊥y轴于点H. 在Rt△CHN中，∠HCN＝45°，HN＝n，则CN＝n. ∵CM⊥y轴，∴∠MCN＝45°.∴∠MCN＝∠ABC＝45°. ∴当以点C，N，M为顶点的三角形与△ABC相似时，有△NCM∽△ABC和△MCN∽△ABC两种情况. 当△NCM∽△ABC时，则，即.解得n＝.∴N()； 如图②，当△MCN∽△ABC时，则，即.解得n＝. ∴N(). 综上所述，存在点N，使得以点C，N，M为顶点的三角形与△ABC相似，点N的坐标为()或(). 本讲内容结束 $$