6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、 6.3.3平面向量加、减的坐标表示导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.2 - 6.3.3《平面向量的正交分解及坐标表示》导学案

一、学习目标

1. 数学抽象素养：从实际问题（如斜面上木块受力分析）中抽象出平面向量正交分解的概念，深入理解向量坐标表示的本质。
2. 逻辑推理素养：推导平面向量加、减运算的坐标表示，明晰其与向量线性运算的内在联系，培养逻辑推理能力。
3. 数学运算素养：熟练掌握向量的坐标表示，精准且快速地进行向量加、减的坐标运算。
4. 直观想象素养：借助平面直角坐标系，直观领会向量的正交分解和坐标表示，能通过图形分析向量的运算过程。
5. 数学建模素养：将实际问题和几何问题转化为向量的坐标运算模型，运用向量知识解决相关问题，体会数学在实际生活和几何中的应用价值。

二、学习重难点

1. 重点：平面向量的正交分解，向量的坐标表示，平面向量加、减运算的坐标表示。
2. 难点：理解平面向量正交分解的意义，厘清向量坐标与点坐标的联系与区别，运用向量坐标运算解决实际问题。

三、知识链接

1. 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使                             。
2. 在平面内，规定，为基底时，任意一个向量在此基底下的分解形式        （填“唯一”或“不唯一”）。

四、学习过程

1. 预习检查：PPT展示题目

 

2. 平面向量的正交分解：

(1)   观察在光滑斜面上木块的受力情况，思考木块受到重力时，这些力之间的关系。发现可以把重力分解为两个互相垂直的向量，引出正交分解的概念：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。

(2)   正交分解的特点是 。列举生活中正交分解的实例（如物体在斜面上的重力分解应用场景），加深对正交分解在实际问题中应用的理解。

3. 平面向量的坐标表示：

(1)   在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量为，，作为基底。对于平面内的任意一个向量， 。例如，若向量在轴投影为3，在轴投影为4，则 。

(2)   有序数对叫做向量的坐标，记作。强调是向量在 轴上的坐标，是向量在 轴上的坐标。

(3)   归纳总结向量坐标的特点：向量的坐标只与起点、终点的 有关，而与它们的具体位置无关；向量确定后，坐标 ，向量平移前后坐标 。

(4)   点的坐标与向量坐标的联系与区别：完成以下表格，清晰理解两者差异。

比较项目	点的坐标	向量坐标
定义	平面直角坐标系中，用一对有序实数表示点的位置	根据向量在坐标轴上的投影确定的有序数对
表示形式	，、分别为点在轴、轴上的坐标	，为向量在轴投影，为向量在轴投影
与位置关系	与点在坐标系中的位置紧密相关，位置改变坐标改变	只与起点、终点相对位置有关，向量平移坐标不变

4. 平面向量加、减的坐标表示：

(1)   设，，的坐标为 ，的坐标为 。

推导过程：，，则，所以；同理可得 。

总结：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 。

(2)   已知，，求，的坐标。

计算过程：；。

(3)   已知，，的坐标为多少 ？