6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、 6.3.3平面向量加、减的坐标表示导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.2 - 6.3.3《平面向量的正交分解及坐标表示》导学案 一、学习目标 1. 数学抽象素养：从实际问题（如斜面上木块受力分析）中抽象出平面向量正交分解的概念，深入理解向量坐标表示的本质。 1. 逻辑推理素养：推导平面向量加、减运算的坐标表示，明晰其与向量线性运算的内在联系，培养逻辑推理能力。 1. 数学运算素养：熟练掌握向量的坐标表示，精准且快速地进行向量加、减的坐标运算。 1. 直观想象素养：借助平面直角坐标系，直观领会向量的正交分解和坐标表示，能通过图形分析向量的运算过程。 1. 数学建模素养：将实际问题和几何问题转化为向量的坐标运算模型，运用向量知识解决相关问题，体会数学在实际生活和几何中的应用价值。 二、学习重难点 1. 重点：平面向量的正交分解，向量的坐标表示，平面向量加、减运算的坐标表示。 1. 难点：理解平面向量正交分解的意义，厘清向量坐标与点坐标的联系与区别，运用向量坐标运算解决实际问题。 三、知识链接 1. 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使 。 1. 在平面内，规定，为基底时，任意一个向量在此基底下的分解形式 （填“唯一”或“不唯一”）。 四、学习过程 1. 预习检查：PPT展示题目 1. 平面向量的正交分解： (1) 观察在光滑斜面上木块的受力情况，思考木块受到重力时，这些力之间的关系。发现可以把重力分解为两个互相垂直的向量，引出正交分解的概念：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。 (2) 正交分解的特点是 。列举生活中正交分解的实例（如物体在斜面上的重力分解应用场景），加深对正交分解在实际问题中应用的理解。 1. 平面向量的坐标表示： (1) 在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量为，，作为基底。对于平面内的任意一个向量， 。例如，若向量在轴投影为3，在轴投影为4，则 。 (2) 有序数对叫做向量的坐标，记作。强调是向量在 轴上的坐标，是向量在 轴上的坐标。 (3) 归纳总结向量坐标的特点：向量的坐标只与起点、终点的 有关，而与它们的具体位置无关；向量确定后，坐标 ，向量平移前后坐标 。 (4) 点的坐标与向量坐标的联系与区别：完成以下表格，清晰理解两者差异。 比较项目 点的坐标 向量坐标 定义 平面直角坐标系中，用一对有序实数表示点的位置 根据向量在坐标轴上的投影确定的有序数对 表示形式 ，、分别为点在轴、轴上的坐标 ，为向量在轴投影，为向量在轴投影 与位置关系 与点在坐标系中的位置紧密相关，位置改变坐标改变 只与起点、终点相对位置有关，向量平移坐标不变 1. 平面向量加、减的坐标表示： (1) 设，，的坐标为 ，的坐标为 。 推导过程：，，则，所以；同理可得 。 总结：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 。 (2) 已知，，求，的坐标。 计算过程：；。 (3) 已知，，的坐标为多少 ？ (4) 推导过程：作向量，，，，则。总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标 起点的坐标。 1. 学以致用： (1) 例题讲解： 例1：如图，分别用基底，表示向量，，，，并求它们的坐标。 例2：已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，，求顶点的坐标。 解法1：设顶点的坐标为，由得，即，解方程组，求出 ， ，所以点坐标为 。 解法2：由向量加法的平行四边形法则可知，先求，，设，则，所以，求出 ， ，进而得到点坐标为 。 比较两种解法，总结它们的异同点：相同点是都利用了平行四边形的向量关系；不同点是解法1通过相等向量坐标相等列方程，解法2利用向量加法法则先求相关向量坐标再列方程 。 (2) 练习巩固： 1　 已知，，求，的坐标； 2　 已知，，求的坐标。 计算过程：；； 。 1. 课堂总结：回顾本节课所学内容，包括平面向量的正交分解的定义、向量的坐标表示、平面向量加、减运算的坐标表示，以及点的坐标与向量坐标的联系与区别等。梳理各知识点之间的联系，明确向量坐标运算的关键要点：准确确定向量在坐标轴上的投影来得到坐标，依据向量加、减坐标运算规则进行计算，注意向量坐标与点坐标的区别 。 1. 布置作业和预习： (1) 布置作业：书面作业：课本30页1、2题，巩固平面向量正交分解及坐标表示的知识。拓展作业：寻找生活中可以用向量坐标运算解决的实际问题，如物体在平面内的位移计算等，并记录下来。 (2) 预习引导：预习向量数乘运算的坐标表示相关内容，思考向量数乘运算的坐标表示与向量加、减运算的坐标表示之间的联系，为后续学习做准备。 五、学习反思 1. 在学习平面向量的正交分解及坐标表示过程中，你遇到的最大困难是什么？你是如何克服的？ 1. 通过练习，你认为在进行向量坐标运算时，容易出现错误的地方有哪些？如何避免这些错误？ 学科网（北京）股份有限公司 $$