6.3.1平面向量基本定理导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1《平面向量基本定理》导学案

一、学习目标

1. 数学抽象素养：从力的分解等实际情境中抽象出平面向量基本定理，深入理解定理本质，提升从具体实例提炼数学概念和原理的能力。
2. 逻辑推理素养：推理论证平面向量基本定理中分解的唯一性，培养逻辑思维和严谨推理能力，能清晰阐述推理过程。
3. 数学运算素养：熟练运用平面向量基本定理进行向量的线性表示和运算，提高向量运算的准确性和熟练度。
4. 直观想象素养：借助力的分解、平行四边形等图形，直观理解向量分解和平面向量基本定理，增强利用图形思考和解决向量问题的能力。
5. 数学建模素养：将实际问题（如力的分解）和几何问题转化为向量问题，运用平面向量基本定理建立模型并求解，体会数学在实际生活和几何中的应用价值，提升数学建模意识和实践能力。

二、学习重难点

1. 重点：平面向量基本定理的内容及应用，深刻理解基底的概念。
2. 难点：对平面向量基本定理的理解，尤其是对定理中唯一性的证明和在复杂向量问题中的应用。

三、知识链接

1. 向量的加法运算：

(1)   平行四边形法则：共起点，对角连。

(2)   三角形法则：首尾相接，首尾连。

2. 共线向量基本定理：存在唯一一个实数，使得______（向量为非零向量）。强调定理中向量为非零向量以及实数的唯一性。

四、学习过程

1. 情境引入：

PPT展示情境：分析重力的分解形式和效果，思考力可以分解为不同方向和大小的分力。

2. 定理探究：

(1)   设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量。通过画图，尝试将按，的方向分解，观察并思考有什么发现（学生在草稿纸上展示）。

(2)   思考问题：当与或共线时，能这样表示吗？若与共线，则______；若与共线，则______ 。

(3)   对于任意向量，都存在，，使得。

(4)   证明分解的唯一性：假设还可以表示成的形式，那么，可得。因为，不共线，所以且，即，。

3. 定理讲授：

(1)   平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使 。

(2)   基底的概念：若，不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。

(3)   强调说明：基底不唯一，关键是不共线；由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解；基底给定时，分解形式唯一。

4. 巩固练习：

(1)   基础练习：判断下列说法是否正确。

①　在平面内只有一对基底。（ ）

②　在平面内有无数对基底。（ ）

③　零向量不可作为基底。（ ）

④　平面内不共线的任意一对向量，都可作为基底。（ ）

(2)   若是平面内一组基底，则下列能作为平面向量的基底的是（ ） A. 与                                           B. 与

C. 与    D. 与