6.3.1平面向量基本定理导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1《平面向量基本定理》导学案 一、学习目标 1. 数学抽象素养：从力的分解等实际情境中抽象出平面向量基本定理，深入理解定理本质，提升从具体实例提炼数学概念和原理的能力。 1. 逻辑推理素养：推理论证平面向量基本定理中分解的唯一性，培养逻辑思维和严谨推理能力，能清晰阐述推理过程。 1. 数学运算素养：熟练运用平面向量基本定理进行向量的线性表示和运算，提高向量运算的准确性和熟练度。 1. 直观想象素养：借助力的分解、平行四边形等图形，直观理解向量分解和平面向量基本定理，增强利用图形思考和解决向量问题的能力。 1. 数学建模素养：将实际问题（如力的分解）和几何问题转化为向量问题，运用平面向量基本定理建立模型并求解，体会数学在实际生活和几何中的应用价值，提升数学建模意识和实践能力。 二、学习重难点 1. 重点：平面向量基本定理的内容及应用，深刻理解基底的概念。 1. 难点：对平面向量基本定理的理解，尤其是对定理中唯一性的证明和在复杂向量问题中的应用。 三、知识链接 1. 向量的加法运算： (1) 平行四边形法则：共起点，对角连。 (2) 三角形法则：首尾相接，首尾连。 1. 共线向量基本定理：存在唯一一个实数，使得______（向量为非零向量）。强调定理中向量为非零向量以及实数的唯一性。 四、学习过程 1. 情境引入： PPT展示情境：分析重力的分解形式和效果，思考力可以分解为不同方向和大小的分力。 1. 定理探究： (1) 设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量。通过画图，尝试将按，的方向分解，观察并思考有什么发现（学生在草稿纸上展示）。 (2) 思考问题：当与或共线时，能这样表示吗？若与共线，则______；若与共线，则______ 。 (3) 对于任意向量，都存在，，使得。 (4) 证明分解的唯一性：假设还可以表示成的形式，那么，可得。因为，不共线，所以且，即，。 1. 定理讲授： (1) 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使 。 (2) 基底的概念：若，不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。 (3) 强调说明：基底不唯一，关键是不共线；由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解；基底给定时，分解形式唯一。 1. 巩固练习： (1) 基础练习：判断下列说法是否正确。 1　 在平面内只有一对基底。（ ） 2　 在平面内有无数对基底。（ ） 3　 零向量不可作为基底。（ ） 4　 平面内不共线的任意一对向量，都可作为基底。（ ） (2) 若是平面内一组基底，则下列能作为平面向量的基底的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 (3) 例题分析： 例1：若，不共线，且，，，用，表示。 分析：因为，所以；展开得到。 变式：若，，为中点，用，表示。 引导学生仿照例1进行推导，得到。 例2：利用PPT展示图片，引导学生观察若，，三点共线，为任一点，，，，思考有什么发现， 引出结论：存在实数，，使且。 (4) 综合练习： (1) 在中，，，，，是的三条中线，用，表示 。（根据向量加法和减法的运算法则，结合中线的性质进行推导） (2) 在平行四边形中，，，点，分别是，的中点，是的三等分点（靠近点），用，表示。引导学生分析平行四边形的性质和向量关系，进行向量的线性表示。 1. 课堂小结： (1) 回顾本节课所学内容，包括平面向量基本定理的内容、基底的概念以及定理的应用等。 (2) 思考平面向量基本定理中不共线向量作为基底的条件、分解的唯一性，以及在向量表示和几何问题中的应用要点。 1. 布置作业和预习： (1) 布置作业：书面作业：课本27页第2题，36页第1题，巩固平面向量基本定理的应用。拓展作业：寻找生活中可以用平面向量基本定理来解释的现象，如力的合成与分解在建筑结构中的应用等，并记录下来。 (2) 预习引导：预习向量的坐标表示相关内容，思考平面向量基本定理与向量坐标表示之间的联系，为后续学习做准备。 五、学习反思 1. 在学习平面向量基本定理的过程中，你遇到了哪些困难？是如何解决的？ 1. 通过本节课的学习，你对向量的认识有了哪些新的提升？ 学科网（北京）股份有限公司 $$