微专题01 全等三角形九大模型通关专练-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

微专题01 全等三角形的九大模型通关专练 一、平移模型 1．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，．给出下列三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得．你选取的条件序号为 ，你判定的依据是 (填“”或“”或“”或“”)； (2)请用（1）中所选条件证明． 2．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，，．求证：． 3．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，，求证：． 4．如图，点，，，在直线上（点，点之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 5．已知：如图，A、D是上的两点，且，，．求证： (1)； (2)． 二、对称模型 6．如图，，，请你说明的理由． 7．如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数． 8．已知：如图，，，是的平分线，求证：． 9．如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞骨，，试问：当伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄是否始终平分？请说明你的理由． 10．已知：如图，，，，求证：． 三、不共点旋转模型 11．如图，点，，，在一条直线上，，，，垂足分别为，，．求证：． 12．如图，点在一条直线上， (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 13．如图，点B，C，F，E在同一条直线上，，，．求证：． 14．如图，，求证：． 15．如图，，，，在同一直线上，，，下列三个条件中：①②；③；请选择其中一个合适的条件证明与全等． 四、多垂直模型（含一线三等角） 16．如图，，，于点，于点，其中． （1）若，，求的长； （2）连接，取的中点为，连接，，判断的形状，并说明理由． 17．如图，，，，，垂足分别是D，E．    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，的平分线与的延长线交于点F，连接，的延长线与的延长线交于点G，若，求的度数． 18．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得的长为；当小球摆到位置时，与恰好互相垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得的长为． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)求两次摆动中，点B和点C的高度差． 19．是经过的顶点的一条直线，，，分别是直线上的两点，连接，，． (1)如图①，若直线经过的内部，且点，在射线上，．求证：； (2)如图②，若直线不经过的内部，，猜想线段，，之间的数量关系，并加以证明． 20．如图，已知，，垂足分别是、，，． (1)． (2)探索、、长度之间的关系并证明． 五、手拉手模型 21．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． 22．如图，分别以△ABC的边AB，AC向两侧作等边三角形△ABD和△ACE，连接BE，CD． （1）求证：BE＝CD； （2）△ADC可以看成　 　绕点A　 　（填“顺时针”或“逆时针”）旋转了　 　°． 23．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 24．如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线．    (1)求证：CH平分，并求的度数； (2)试探究之间的数量关系，并证明． 25．（1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示） 六、倍长中线模型 26．（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为 ．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 27．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题： (1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形． (2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD； ②求证：AC＝2OP． 28．如图，为中边上的中线． （1）求证：； （2）若，，求的取值范围． 29．阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 30．[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在中，若，，求BC边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考： （1）根据已知和作图，图2中与全等吗？为什么？ （2）根据已知条件，写出线段的取值范围； [解题感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中． [问题解决] （3）如图3，是的中线，交于点F，且，试说明：． 七、截长补短模型 31．如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 32．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号） ①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理 (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分， 求证：． 33．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 34．阅读：探究线段的和、差、倍、分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． (1)请完成下题的证明过程： 如图1，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD=AC． 证明：在AC上截取AE=AB，连接DE． (2)如图2，，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC． 35．（1）问题背景：如图①：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点且．探究图中线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________； （2）探索延伸：如图②，若在四边形中，，．分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，甲、乙两舰艇分别到达处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 八、平行线+中线模型 36．在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动．变换条件如下：如图1，直线，，两两相交于A，B，C三点，得知是等边三角形，点E是直线上一动点（点E不与点A，C重合），点F在直线上，连接，，使． (1)张老师首先提出了这样一个问题：如图1，当E是线段的中点时，确定线段与的数量关系，请你直接写出结论：________（填“>”“<”或“=”）． (2)“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段上的任意一点，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图2，过点E作，交于点D．（请你补充完整证明过程） (3)“缜密”小组提出的问题是：若动点E的运动位置如图3所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段与的数量关系是否发生变化？请你予以证明． 37．已知，在等边三角形中，点在直线上，点在的延长线上，且． (1)如图①，当点为边的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”、“”或“”）． (2)如图②，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系是：______（填“”、“”或“”）； 证明：过点作，交于点． ， （请把证明过程补充完整） (3)在等边三角形中，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，线段与的大小关系是：______（填“”、“”或“”），并说明理由． 38．已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 39．已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【感知】如图1，当点E为的中点时，求证：； (2)【类比】如图2，当点E为边上任意一点时，则线段与的数量关系是______，嘉琪想到过点E作其中一边的平行线构造出一个等边三角形，再利用全等三角形知识解决问题，填空并帮嘉琪完成证明． (3)【拓展】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段CB的延长线上，且，若的边长为1，，直接写出的长． 40．如图，已知为等边三角形，点为线段上一点，点为射线上一点，且． (1)如图甲，当点为线段的中点时，直接写出的度数为______； (2)如图乙，当点为线段上的任意一点时，求证：（提示：在上截取，连接）； (3)如图丙，当点在的延长线上时，猜想，，三者之间的数量关系，并说明理由． 九、角平分线+垂直模型 41．如图1，中，，，E为AB的中点，连接CE，过点A作于点D，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：； (3)如图2，等腰直角中，，，CD平分，交AB于点D，于点E，若，求的面积． 42．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在BE的延长线上，AD⊥BE． （1）求证：∠DAE+∠ABE=45° （2）若BE＝6，求AD的长． 43．如图，在中，，，平分，于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 44．如图，在中，平分，过点作于点，交于点．已知，，．求的长． 45．（1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】 如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，点在线段上，且，于，交于，请直接写出和之间的数量关系为　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 全等三角形的九大模型通关专练 一、平移模型 1．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，．给出下列三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得．你选取的条件序号为 ，你判定的依据是 (填“”或“”或“”或“”)； (2)请用（1）中所选条件证明． 【答案】(1)②，或③， (2)见解析 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）已知一边一角相等，可以利用，或证明三角形全等，添加条件即可； （2）根据全等三角形的判定方法进行证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，利用可以证明； 当时，利用可以证明； 故答案为：②，或③，； （2）当选择②时：在和中， ， ∴； 当选择③时：在和中， ， ∴ 2．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 首先得到，然后证明出即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴ 在和中 ∴． 3．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答时得出是关键．先由条件得出，，从而可以得出，由全等三角形的性质就可以得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴． 4．如图，点，，，在直线上（点，点之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，平行线的判定， （1）利用即可判定； （2），，由全等三角形的性质可得，，根据平行线的判定即可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， （2），，理由如下， ， ，， ，． 5．已知：如图，A、D是上的两点，且，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形的性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据得，由，可得，通过即可证明； （2）由全等三角形的性质得，从而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ； （2）， ， ． 二、对称模型 6．如图，，，请你说明的理由． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． 根据，证明，得出，继而根据，证明，得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 7．如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 8．已知：如图，，，是的平分线，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质．先通过“”证得，得到，，进而通过“”证得，从而得证结论． 【详解】证明：∵是的平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 9．如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞骨，，试问：当伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄是否始终平分？请说明你的理由． 【答案】伞柄始终平分，见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，从实际应用中抽象出数学问题是解题的关键．利用三边对应相等的两个三角形全等，证得，再利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：伞柄始终平分，理由如下： 证明：在和中，， ， ， 平分． 10．已知：如图，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．先证明，然后利用边角边证明，从而得证． 【详解】证明： 即 在和中， 三、不共点旋转模型 11．如图，点，，，在一条直线上，，，，垂足分别为，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查直角三角形全等的判定和性质，根据已知条件证明 ，即可得出． 【详解】证明： ，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ． 12．如图，点在一条直线上， (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)24 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，结合题意，运用角角边即可求证； （2）根据全等三角形的性质得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 13．如图，点B，C，F，E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由得到，再证明，即可得到． 【详解】证明：∵ ， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 14．如图，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，对角对等边，根据平行线的性质得出，再根据等角对等边得出，再根据证明即可得出结论． 【详解】证明： ， ， ， ， 在与中， ， ． 15．如图，，，，在同一直线上，，，下列三个条件中：①②；③；请选择其中一个合适的条件证明与全等． 【答案】选②或③；证明见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据或证明三角形全等即可． 【详解】解：选②， ∵， ， ， ， 即， 在和中，， ； 选③， ∵， ， ， ， 即， ， ， 在和中，， ． 四、多垂直模型（含一线三等角） 16．如图，，，于点，于点，其中． （1）若，，求的长； （2）连接，取的中点为，连接，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE=13；（2）△QEF为等腰直角三角形，理由见解析 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）利用AAS证出△BCE≌△CAF，可得CE=AF=5，BE=CF，求出CF即可求出BE的长； （2）根据平行线的判定证出BE∥AM，然后利用AAS证出△BEQ≌△AMQ，从而得出BE=AM，EQ=MQ，证出△FME为等腰直角三角形，然后根据三线合一和等腰三角形的判定即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴∠BEC=∠F=90° ∴∠BCE＋∠ACF=90°，∠A＋∠ACF=90° ∴∠BCE=∠A 在△BCE和△CAF中 ∴△BCE≌△CAF ∴CE=AF=5，BE=CF ∴CF=CE＋EF=13 ∴BE=13 （2）△QEF为等腰直角三角形，理由如下 延长AF、EQ交于点M，如下图所示 ∵∠BEF=∠AFC=90° ∴BE∥AM，∠MFE=180°－∠AFC=90° ∴∠EBQ=∠MAQ，∠BEQ=∠M 在△BEQ和△AMQ中 ∴△BEQ≌△AMQ ∴BE=AM，EQ=MQ ∵CE=AF，BE=CF ∴AM=CF ∴AM－AF=CF－CE ∴FM=FE ∴△FME为等腰直角三角形 ∴FQ⊥ME，∠QEF=45° ∴△QEF为等腰直角三角形 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和等腰直角三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和等腰直角三角形的判定及性质是解决此题的关键． 17．如图，，，，，垂足分别是D，E．    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，的平分线与的延长线交于点F，连接，的延长线与的延长线交于点G，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理． （1）由“”可证，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“”可证，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵，， ∴； （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 18．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得的长为；当小球摆到位置时，与恰好互相垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得的长为． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)求两次摆动中，点B和点C的高度差． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）通过证明即可得到结论； （2）利用全等三角形的性质得到的长即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴点B和点C的高度差为． 19．是经过的顶点的一条直线，，，分别是直线上的两点，连接，，． (1)如图①，若直线经过的内部，且点，在射线上，．求证：； (2)如图②，若直线不经过的内部，，猜想线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由题可得，再由全等三角形的判定和性质得出，则，，即可得出． （2）同（1）可得，则，，再由即可得出． 【详解】（1）在中，． ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． （2）． 证明：， ． 在中，， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 20．如图，已知，，垂足分别是、，，． (1)． (2)探索、、长度之间的关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）先由垂直的定义得到，再证明，即可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由线段的和差关系即可得到． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 五、手拉手模型 21．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． 【答案】（1）见解析；（2）50° 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等边对等角 【分析】（1）根据旋转的性质，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，从而得到∠BAE=∠CAD，可证得△BAE≌△CAD，即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性质，可得 ，即可求解． 【详解】证明（1）∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合， ∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°， ∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD， ∵AB=AC， ∴△BAE≌△CAD， ∴EB=DC； （2）∵△BAE≌△CAD， ∴∠BEA=∠ADC=115°， ∵∠DAE=50°，AD=AE， ∴ ， ∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°． 【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 22．如图，分别以△ABC的边AB，AC向两侧作等边三角形△ABD和△ACE，连接BE，CD． （1）求证：BE＝CD； （2）△ADC可以看成　 　绕点A　 　（填“顺时针”或“逆时针”）旋转了　 　°． 【答案】（1）见解析；（2）△ABE、顺时针、60． 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据旋转的性质证明三角形全等即可得证； （2）根据旋转的性质和（1）中的结论即可得结论． 【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60° ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， 即∠DAC＝∠BAE， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴DC＝BE． （2）△ADC可以看成是△BAE绕点A顺时针旋转了60°． 故答案为△ABE、顺时针、60． 【点睛】此题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定. 23．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 24．如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线．    (1)求证：CH平分，并求的度数； (2)试探究之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）作、，由，可知，，由全等三角形性质知，据此得出平分，在和中利用三角形内角和可得到，即可求出的度数； （2）在上截取，连接，构造全等三角形，再根据全等三角形的性质，推理得出为等边三角形，进而得到，最后根据，得到． 【详解】（1）如图①，作，垂足为点，作，垂足为点，    和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，且， ，， ， ， 又，， 点在的平分线上，即平分； ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）． 证明：如图，在上截取，连接，    ， ， 又， ， ，且， 又， ，即， 为等边三角形， ， 又， ． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，结合等边三角形的性质，通过作辅助线构造全等三角形是正确解答本题的关键．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 25．（1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示） 【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3） 【知识点】三角形内角和定理的证明、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等边对等角 【分析】（1）由已知条件可得，，进而根据∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB，可得∠ACD＝∠BCE，证明△ACD≌△BCE（SAS），即可求得AD=BE；∠BEC=∠CDA=135°； （2）延长交于点F，同理可得△ACD≌△BCE，设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α，根据∠ABE=45°+45°-α=90°-α，进而根据∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°，即可求解； （3）延长BE交AD于点G，方法同（2）证明△ACD≌△BCE，进而根据三角形的内角和定理即可求得直线和的夹角． 【详解】（1）∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，∠CDE=45° ∴∠CDA=135° ∵∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE ∴∠AEB=90° 故答案为：90°，AD＝BE （2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下， 同理可得△ACD≌△BCE， 则AD=BE， 延长交于点F， 设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α ∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α ∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90° ∴AD⊥BE （3）如图，延长BE交AD于点G， ∵和均为等腰三角形， ∴，， ∵∠ACB=∠DCE=α， ∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠CAD ∵ ∴∠CBA=∠CAB = ∴∠GAB+∠GBA=， ， ∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA) ， 即直线和的夹角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键． 六、倍长中线模型 26．（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为 ．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 【答案】（1）；3（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）2 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴ 可得 ， 即：， ∴，的可能取值为3 故答案为：；3（答案不唯一） （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解： 由（2）可得：， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 27．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题： (1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形． (2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD； ②求证：AC＝2OP． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD； ②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°， 又∵AO=OB，OC=OD， ∴△OAC和△OBD是兄弟三角形； （2）①证明：延长OP至E，使PE=OP， ∵P为BD的中点， ∴BP=PD， 又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP， ∴△BPE≌△DPO（SAS）， ∴BE=OD； ②证明：∵△BPE≌△DPO， ∴∠E=∠DOP， ∴BEOD， ∴∠EBO+∠BOD=180°， 又∵∠BOD+∠AOC=180°， ∴∠EBO=∠AOC， ∵BE=OD，OD=OC， ∴BE=OC， 又∵OB=OA， ∴△EBO≌△COA（SAS）， ∴OE=AC， 又∵OE=2OP， ∴AC=2OP． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 28．如图，为中边上的中线． （1）求证：； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1），（2） 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】 （1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，利用等量代换可得； （2）把，代入（1）的结论里，再解不等式即可． 【详解】（1）证明：如图延长至，使，连接， ∵为中边上的中线， ∴， 在和中： ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 在中，由三角形的三边关系可得， 即； （2）解：∵，， 由（1）可得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键． 29．阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【知识点】确定第三边的取值范围、用SAS证明三角形全等（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据等边对等角证明 【分析】（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可， （2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中 由三边关系， （3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案， 【详解】（1）如图1延长到点，使得，再连接， ∵AD为中线， ∴BD=CD， 在△ADC和△    EDB中， ∵CD=BD， ∠ADC=∠EDB， AD=ED， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴AC=EB=6， ， ∵， ∴， ∴， （2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG， 由D为BC中点，BD=CD， 在△FDC和△GDB中， ∵CD=BD， ∠FDC=∠GDB， FD=GD， ∴△FCD≌△GBD（SAS）， ∴FC=GB， ∵，DF=DG， ∴EF=EG， 在△BEG中EG<EB+BG，即， （3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG， 由是边上的中点， ∴BD=CD， 在△ADC和△GDB中， ∵CD=BD， ∠ADC=∠GDB， AD=GD， ∴△ACD≌△GBD（SAS）， ∴AC=GB，∠DAC=∠G， ∵BE=AC， ∴BE=BG， ∴∠BED=∠G=∠CAD． 【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键， 30．[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在中，若，，求BC边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考： （1）根据已知和作图，图2中与全等吗？为什么？ （2）根据已知条件，写出线段的取值范围； [解题感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中． [问题解决] （3）如图3，是的中线，交于点F，且，试说明：． 【答案】（1）全等，见解析；（2）；（3）见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：（1）∵在和中， ， ∴． （2）∵由（1）知：， ∴，， ∵在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴； （3）证明：如图，延长到M，使，连接， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握中线倍长模型，添加辅助线是关键． 七、截长补短模型 31．如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴ , ， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 32．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号） ①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理 (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分， 求证：． 【答案】(1)③ (2)，见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 33．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 34．阅读：探究线段的和、差、倍、分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． (1)请完成下题的证明过程： 如图1，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD=AC． 证明：在AC上截取AE=AB，连接DE． (2)如图2，，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【知识点】全等三角形综合问题、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】（1）在AC上截取AE=AB，连接DE，证明，得到 ，再证明ED=EC即可； （2）先过E作，交于，则 ，，因为EA、EB分别平分和，所以AF=EF=FB，再根据梯形中位线定理得出AB=AD+BC． 【详解】（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠BAD 在△AED和△ABD中， ∴△AED△ABD（SAS）， ∴ED=BD，∠AED=∠B， ∵∠B=2∠C ∴∠AED=2∠C， 又∵∠AED为△CED的外角， ∴∠AED=∠C+∠EDC， ∴∠C=∠EDC， ∴EC=ED ∴EC=BD， ∴AC=AE+EC=AB+BD． （2）在AB上截取AF=AD，连接EF ∵AE平分∠DAB ∴∠DAE=∠FAE 又∵AE=AE，AF=AD ∴△DAE△FAE（SAS） ∴∠D=∠AFE ∵ ∴∠C+∠D=180º ∵∠AFE+∠BFE=180º ∴∠BFE=∠C 又∵∠FBE=∠CBE，BE=BE ∴（AAS） ∴BF=BC ∴AB=AF+BF=AD+BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，此题利用了全等三角形常见的辅助线中的截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题的最常见解法，注意熟悉掌握． 35．（1）问题背景：如图①：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点且．探究图中线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________； （2）探索延伸：如图②，若在四边形中，，．分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，甲、乙两舰艇分别到达处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）问题背景：，理由见详解；（2）探索延伸：成立，理由见详解；（3）实际应用：两舰艇之间的距离为海里 【知识点】全等三角形综合问题、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】（1）问题背景：，，，可证，由，，为公共边，可证，由此即可求解； （2）探索延伸：根据“问题背景”的提示，延长到点，使，由此即可求解； （3）实际应用：如图所示（见详解），延长，使得，连接，证明，，可知，由此即可求解． 【详解】解：（1）问题背景：根据题意，在，中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴在，中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）探索延伸：如图所示，延长到点，使， ∵，， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在，中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴成立； （3）实际应用：如图所示，延长，使得，连接， ∵舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，舰艇乙沿北偏东的方向行驶， ∴，，， ∴在，中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在，中， ， ∴， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时， ∴，， ∴（海里）， ∴两舰艇之间的距离为海里． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质及实际应用，掌握作辅助线求证三角形全等，再根据三角形全等的性质是解题的关键． 八、平行线+中线模型 36．在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动．变换条件如下：如图1，直线，，两两相交于A，B，C三点，得知是等边三角形，点E是直线上一动点（点E不与点A，C重合），点F在直线上，连接，，使． (1)张老师首先提出了这样一个问题：如图1，当E是线段的中点时，确定线段与的数量关系，请你直接写出结论：________（填“>”“<”或“=”）． (2)“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段上的任意一点，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图2，过点E作，交于点D．（请你补充完整证明过程） (3)“缜密”小组提出的问题是：若动点E的运动位置如图3所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段与的数量关系是否发生变化？请你予以证明． 【答案】(1)= (2)见解析 (3)线段与的数量关系不变，证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作平行线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质可知，从而得出答案； （2）过点E作，交于点D，得是等边三角形，再利用证明，即可证明结论； （3）由（2）同理可证明结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：=； （2）解：仍然成立，过点E作，交于点D， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：线段与的数量关系不变， 证明：如图，过点点E作，交于点D， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 37．已知，在等边三角形中，点在直线上，点在的延长线上，且． (1)如图①，当点为边的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”、“”或“”）． (2)如图②，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系是：______（填“”、“”或“”）； 证明：过点作，交于点． ， （请把证明过程补充完整） (3)在等边三角形中，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，线段与的大小关系是：______（填“”、“”或“”），并说明理由． 【答案】(1) (2)；证明过程见详解 (3)；理由见详解 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得 ，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作，交于点．由平行线的性质得出，再利用平行线的性质和等边三角形的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质得出，等量代换可得出． （3）过点作 ，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，再证明，由全等三角形的性质得出，等量代换可得出． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为： （2）证明：过点作，交于点． ， ， ， ∵是等边三角形且， ∴，，，， ∴是等边三角形，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 即， （3）解：过点作 ，交的延长线于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 38．已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)在点的移动过程中，线段的长度保持不变，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定： （1）根据点为边的中点，运动速度相同可求得的长度，过点作交于点，利用等边三角形得到，根据全等三角形即可求出的长； （2）分类讨论即可 【详解】（1）①当点为边的中点，且的边长为时， 点与点的运动速度相同，； ②如图，过点作交于点， 为等边三角形，， ，是等边三角形． 由①知：，．． 又， ； （2）在点的移动过程中，线段的长度保持不变．理由如下：设的边长为． ①当点在线段上时， 如图，过点作交于点， 则为等边三角形． ， 同上（1）法可证：， （定值）； ②当点与点重合时，点恰好与点重合，点恰好为的中点， 同样有； ③当点在的延长线上时，如图2②，过点作交的延长线于点， 同法可得．， 当点在移动的过程中，线段的长度保持不变． 39．已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【感知】如图1，当点E为的中点时，求证：； (2)【类比】如图2，当点E为边上任意一点时，则线段与的数量关系是______，嘉琪想到过点E作其中一边的平行线构造出一个等边三角形，再利用全等三角形知识解决问题，填空并帮嘉琪完成证明． (3)【拓展】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段CB的延长线上，且，若的边长为1，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)3 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由E为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）过点E作，交于点F，由为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证； （3）如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 是等边三角形， ， ∵点E为的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 过点E作，交于点F，如图2， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 则； （3）如图3所示，作，交的延长线于点F，则， 同理可得：是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，而， ． 40．如图，已知为等边三角形，点为线段上一点，点为射线上一点，且． (1)如图甲，当点为线段的中点时，直接写出的度数为______； (2)如图乙，当点为线段上的任意一点时，求证：（提示：在上截取，连接）； (3)如图丙，当点在的延长线上时，猜想，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【知识点】线段的和与差、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质和判定是解题的关键； （1）根据为等边三角形，求得，根据等边三角形的性质可得，进而根据角的运算即可求解； （2）在上截取，连接，判定为等边三角形，再判定，即可求证； （3）过作交于点，根据题意判定为等边三角形，结合，即可求解； 【详解】（1）解： 为等边三角形， ， ， 点为线段的中点， 为的角平分线， ， ， ； 故答案为： （2）证明：在上截取，连接， ，， 为等边三角形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 过作交于点， ， ，， ， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 九、角平分线+垂直模型 41．如图1，中，，，E为AB的中点，连接CE，过点A作于点D，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：； (3)如图2，等腰直角中，，，CD平分，交AB于点D，于点E，若，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【知识点】三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质可得，，再由，即可求解； （2）根据题意可得为等腰直角三角形，从而得到，可证明，从而得到，即可求证； （3）分别延长，，相交于点F，由（2）得，，从而得到，再根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：，为的中点， ，，             ， ， ，， ，         而， ； （2）证明：，， 为等腰直角三角形， ，             又，， ， ．             为的中点， ， ． （3）解：如图，分别延长，，相交于点F， 由（2）得，，     ， ， ， 的面积为． 42．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在BE的延长线上，AD⊥BE． （1）求证：∠DAE+∠ABE=45° （2）若BE＝6，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）AD＝3． 【知识点】全等三角形综合问题、三线合一 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质进行证明； （2）延长AD、BC交于点F，由BD⊥AD且BD平分∠ABC 可得AD＝FD，再根据∠FAC＋∠AED＝90°，∠CBE＋∠CEB＝90°，进一步证明△AFC≌△BEC，则可得AF＝BE，从而得到AD＝BE． 【详解】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， 又∵BE平分∠ABC交AC于E， ∴∠CBE＝∠ABE， ∵AD⊥BE， ∴∠DAE＋∠CAB＋∠ABE＝90°，即∠DAE＋∠ABE＋45°＝90°， ∴∠DAE＋∠ABE＝45°； （2）解：如图，延长AD、BC交于点F， ∵BD⊥AD且BD平分∠ABC， ∴AD＝FD， ∵∠FAC＋∠AED＝90°，∠CBE＋∠CEB＝90°， ∴∠FAC＝∠CBE， 在△AFC和△BEC中，， ∴△AFC≌△BEC（ASA）， ∴AF＝BE， ∴AD＝AF＝BE＝3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形三线合一的性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题关键． 43．如图，在中，，，平分，于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长，交于点，证明出，得到，然后证明出，得到． 【详解】（1）解：∵， ，， ∵， ， ∵平分， ∴ ∴； （2）延长，交于点，      在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ． 44．如图，在中，平分，过点作于点，交于点．已知，，．求的长． 【答案】2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，找出全等三角形是解题关键．证明，得到，，进而得出，由等角对等边，得到，即可求出的长． 【详解】解： 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 45．（1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】 如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，点在线段上，且，于，交于，请直接写出和之间的数量关系为　　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质； （1）利用已知条件，证明，即可得出结论； （2）延长交延长线于F，求出，证明，推出，再证明，进而可得结论； （3）过点D作，交的延长线于点G，与交于H，证明是等腰直角三角形，可得，然后同（2）证明， ，即可得出答案． 【详解】解：（1）在和中，， ∴， ∴； （2）如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）． 证明：如图，过点D作，交的延长线于点G，与交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即 ∴， 故答案为：． 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