1.1 周期变化课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

1.1 周期变化 第一章 三角函数 1 学习目标 1.了解周期变化在现实中广泛存在.（直观想象） 2.感受周期变化对实际工作的意义.（数学抽象） 3.理解周期变化的概念.（数学抽象） 4.能熟练地判断简单的实际问题的周期.（逻辑推理） 学习目标 2 钟表上的时针每经过12小时转动一周，分针每经过1小时转动一周，秒针每经过1 分钟转动一周.假设现在是上午8：00. 1.24小时后的时间是多少？48小时呢？ [答案] 明天上午8：00；后天上午8：00. 2.时针转动几周，时间是明天上午8：00？ [答案] 2周. 3.每天的上午 ，相隔多长时间？这样的现象，具有怎样的特征？ [答案] 小时的整数倍.周而复始，重复出现. 自主预习 3 1.（改编）下列现象是周期现象的是( ). B A.台风 B.潮汐 C.海啸 D.地震 [解析] 潮汐是海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动； 而台风、海啸和地震是随机现象.故选B. 自主预习 4 2.（多选题）下列函数图象具有周期性的是( ). ABD A. B. C. D. [解析] 抓住周期变化的重复性特点，可知A,B,D对应的函数为周期函数. 对于C，图象不重复出现，故不符合题意.故选 . 自主预习 5 3.已知函数的周期为1，且当时，，则 _ ___. [解析] 由题意知，函数的周期为1，所以 . 自主预习 6 4.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动.设顶点 满足 ，且，则使成立的 的最小正值为 ________. [解析] 设正方形沿轴正方向滚动.沿 轴的正方 向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转，当顶点 落在轴上时，再以顶点 为中心顺时针旋转，如此继 续.点 的部分运动轨迹如图所示. 根据图象知，满足的的最小正值是 . 自主预习 7 探究1 生活中的周期变化 当潮汐发生时，水的深度会产生周期性变化.为了研究水深的变化规律，我们可以 构造一个函数.例如，确定一个位置，考察该处水深和时间的关系，那么就是 的 函数.某港口在某一天某个位置的水深与时间的对应关系如下表所示，通过表中数据， 我们来研究 这个函数. 合作探究 8 时刻 水深/ 时刻 水深/ 时刻 水深/ 1:00 5.0 9:00 2.5 17:00 6.2 2:00 6.2 10:00 2.7 18:00 5.3 3:00 7.5 11:00 3.5 19:00 4.1 4:00 7.3 12:00 4.4 20:00 3.1 5:00 6.2 13:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.3 14:00 6.2 22:00 2.7 7:00 4.1 15:00 7.5 23:00 3.5 8:00 3.1 16:00 7.3 24:00 4.4 合作探究 9 根据上表提供的数据在坐标纸上可以作出水深与时间 关系的散点图如下： 合作探究 10 问题1: 上述变化是周期变化吗？ [答案] 从列表和散点图可以看出，每经过相同的时间间隔 ，水深就重复出现相 同的数值，因此，水深是周期性变化的. 问题2: 你能否举出生活中的几个周期变化？ [答案] 钟摆的摆动、地球公转、交通路口的红绿灯变化、城市里霓虹灯的闪烁变幻等. 问题3: 判断周期变化能不能只判定该变化是否重复出现？ [答案] 不可以，因为周期变化必须是间隔相同的时间重复出现. 合作探究 11 周期变化 （1）以相同间隔__________的变化叫作周期变化. （2）要判断一种变化是否为周期变化，关键是看每隔一段时间，这种变化是否 会______出现.若出现，则为周期变化；否则，不是周期变化. 重复出现 重复 合作探究 12 例1 （1） 下列变化中不是周期变化的是( ). D A.“春去春又回” B.钟表的分针每小时转一圈 C.天干地支表示年、月、日的时间顺序 D.某交通路口每次绿灯通过的车辆数 [解析] 由周期变化的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期变化.故选D. 利用周期变化的定义判断. 合作探究 13 （2） 地球围绕着太阳转（如图），地球到太阳的距离 随时间的变化是周期性的吗？ [解析] 根据物理学知识，我们知道在任何一个确定的时刻，地球与太阳的距离 是唯 一确定的，每经过一年地球围绕着太阳旋转一周.无论从哪个时刻 算起，经过一年时 间，地球又会回到原来的位置，所以，地球与太阳的距离是周期变化的. 方法总结 准确理解周期变化的定义是判断是否为周期变化的关键. 合作探究 14 巩固训练 如图，这是某人的部分心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是 否正常. [解析] 观察图象可知，此人的心电图是周期性变化的，因此心脏跳动正常. 合作探究 探究2 周期变化在函数中的应用 将函数, 的图象分 别向左、向右平移2，4，6， 个单位长 度，观察图象. 问题1: ，,,,,,的值是否相等？, , ,,,,的值是否相等？由此可以得到与 有什么关系？ [答案] . . 由以上结论可得 . 合作探究 16 问题2: 利用你所得出的结论，求,, 的值. [答案] ,, . 合作探究 17 对于函数，，如果存在一个非零常数，使得对任意的 ，都有 且满足，那么函数称作周期函数，非零常数 称作 这个函数的周期. 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数 就称作函数 的最小正周期. 合作探究 18 例2 已知函数对任意，都有（为常数），当 时，，则 ( ). B A.1 B.2 C.3 D.5 [解析] 因为,，所以 ， 所以，所以，故 ， 所以函数的周期为4，故 ，故选B. 合作探究 19 方法总结 常见周期函数的形式：周期函数除常见的定义式<m></m>外，还有如下四 种形式：<m></m>；<m></m>；<m></m>； <m></m>.以上四种形式的函数都是以<m></m>为周期的周期函数. 巩固训练 定义在上的偶函数满足.若， ，则实 数 的取值范围为( ). D A. B. C. D. 合作探究 20 [解析] 因为，所以是定义在 上的以3为周期的函数，所以 . 又因为函数 是偶函数， 所以，所以 ， 所以，即 .故选D. 合作探究 21 探究3 应用周期变化解决实际问题 例3 已知一个匀速运动的水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，水车5 分钟转一圈. （1）1小时水车转几圈？ （2）1小时内最多盛水多少升？ [解析] （1）因为1小时分钟 分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时水车 转12圈. （2）因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多 盛水（升），所以水车1小时内最多盛水 （升）. 合作探究 22 方法总结 根据函数的周期变化，在解决具体问题时，要注意结论：若<m></m>是函数的周期，则 <m></m>且<m></m>也是函数的周期.利用周期函数的定义，由函数局部的性质得到函数 的整体性质，可以求值、解不等式等，体现了数学抽象的素养. 巩固训练 分针转一圈是1小时，假如现在正好是13点整，那么10圈后是几点？20圈后 呢？（一天24小时制） [解析] 圈后是点，20圈后是 点，为第二天上午9点整. 合作探究 23 1.下列变化不是周期变化的是( ). C A.钟摆摆心偏离铅垂线角度的变化 B.游乐场中摩天轮的运行 C.抛一枚骰子，向上的数字是奇数 D.太阳的东升西落 [解析] ，B，D所述都是周期变化，而C中“向上的数字是奇数”不是周期变化. 随堂检测 24 2.函数是定义在上的周期为4的奇函数，当时， ，则 ( ). C A.2 B.1 C. D.0 [解析] 函数是定义在 上的周期为4的奇函数， .故选C. 随堂检测 25 3.钟表分针的运动是一个周期变化，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则 100分钟后分针指在( ). B A.8点处 B.10点处 C.11点处 D.12点处 [解析] 由题意知，60分钟后分针仍指在2点处，100分钟后指在 点处. 随堂检测 26 4.有这样一个故事：一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数戴安娜神庙的七根柱子 （分别标记为A,B,C,D,,, ），一直到指出第2 025个数的柱子的标号是哪一个，才 能够停止.你能帮助这名学生尽快结束处罚吗？ [解析] 能. 易知从A开始数，周期为12，而 ， 所以标号为 的柱子就是数到第2 025个数的那根柱子. 随堂检测 27 $$