函数及其性质篇专项训练二：狄利克雷函数——2026届高三数学一轮复习回归教材版微专题

2026届高三一轮复习回归教材版微专题——函数及其性质篇 专题二 狄利克雷函数 回归教材典题 1、人教A版（2019年）必修一课本P73页习题3.1第7题:画出下列函数的图象： （1）；（2）. 【解析】（1）函数是一个分段函数，函数图象如图（1）所示. （2）函数的图象是三个离散的点，如图（2）所示. 2、人教B版2020年必修一课本P94页尝试与发现：函数被称为狄利克雷函数，你能说出这个函数的定义域、值域吗？你能做出这个函数的图象吗？ 答案：狄利克雷函数的定义域为R，值域为，它的图象不能形象的展示出来。 知识梳理： 狄利克雷函数是一个非常特殊的函数，由德国数学家狄利克雷提出。以下是关于它的详细介绍： 1、定义：狄利克雷函数的定义为，其中Q表示有理数集，表示无理数集。也就是说，当x是有理数时，函数值为1；当x是无理数时，函数值为0。 2、性质： （1）不连续：狄利克雷函数在整个实数域上处处不连续。因为对于任意一个实数，在的任意小的邻域内，都既存在有理数又存在无理数。当x从有理数趋近于时，趋近于1；当x从无理数趋近于时，趋近于0。所以极限不存在，函数在该点不连续。 （2）周期函数：狄利克雷函数是周期函数，任何非零有理数都是它的周期。因为对于任意有理数T和任意实数x，若x是有理数，则也是有理数，；若x是无理数，则也是无理数，。但是，它没有最小正周期，因为不存在最小的正有理数。 （3）不可导：由于函数处处不连续，所以它在整个实数域上处处不可导。 3、图像：狄利克雷函数的图像无法用常规的方法绘制出来。因为有理数和无理数在实数轴上是密密麻麻分布的，所以函数的图像看起来会是在和这两条直线上都有无数个点，形成一种非常奇特的 “稠密” 状态。 有关高斯函数的跟踪训练卷 一、单选题：共8道，每道题5分。 1．德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（    ） A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 【答案】D 【详解】根据狄利克雷函数的性质即可由或均为有理数求解A，根据即可判断单调性求解B，根据和同为有理数或同为无理数，即可求解C，根据和同为有理数或同为无理数即可求解D. 【分析】对于A，因为或均为有理数，所以，故没有零点，A错误，对于B，因为，所以，故不是单调函数，B错误， 对于C，因为和同为有理数或同为无理数，所以，故是偶函数，C错误， 对于D，设为任意非零有理数，则和同为有理数或同为无理数，所以，故是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确，故选：D. 2．十九世纪德国数学家狄利克雷提出“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中起着重要作用.已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分与必要条件的概念即可求解. 【详解】由题意可知：若，则，但当时，有可能等于，如，，满足，但，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 3．已知狄利克雷函数则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的值域 D．的图像关于y轴对称 【答案】D 【详解】，故A错，；故B错.由函数的解析式可知：的值域为，故C错；若，则，；若，则，；所以为偶函数，故D正确。 4．狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数为黎曼函数定义在上，其解析式为则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据狄利克雷函数与黎曼函数的定义求解即可. 【详解】因为，又为上的无理数，所以，因为，所以，故选：A. 5．狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的结论错错误的是（    ） A．方程有无数个实数解 B．， C． D．对任意，都存在， 【答案】C 【分析】根据给定的函数求函数值域，判断奇偶性，求函数值逐项判断即可． 【详解】对于B，若，所以任意有理数皆为方程的解，故A正确；由函数的值域是,知道，0,，所以，，故B正确；由，所以，所以，，所以，所以，所以，故C错误；因为，所以当时，，当时，，，故对任意，都存在，，故D正确.故选：ABD. 6．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，，则下列关于函数的说法中，错误的是（   ） A．是偶函数 B．任意非零有理数都是的周期 C．， D．若，则 【答案】ABC 【分析】选项A根据偶函数的定义可判断；选项B根据周期函数的定义可得；选项C根据函数解析式分类代入可得；选项D举反例若，，可判断. 【详解】选项A：当为有理数时，则也是有理数，则，当为无理数时，则也是无理数，则，故当时，，故A正确；选项B：，当为有理数时，则也是有理数，，当为无理数时，则也是无理数，，故B正确选项C：当为有理数时，，，当为无理数时，，，故C正确；选项D：若，，则，但，故D错误， 故选D。 7．已知狄利克雷函数 ，符号函数 ，这两个函数在数学和计算机等领域中有着广泛的应用. 有以下两个结论: ①函数 是奇函数且该函数在区间 上的有理数零点恰有 3 个； ②函数 既是偶函数，又是增函数. 那么 (     ). A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性的定义可判断及应用特殊三角函数值可判断①，对于分为无理数和有理数即可判断②. 【详解】的定义域为，当为有理数时，是有理数，则，当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数，故，是奇函数；，当为有理数时，，得出在区间上有，3个有理数零点，①正确；当为无理数时，，也为无理数，，；当为有理数时，也为有理数，， 当时，，， 所以，当时，，，，所以，所以不是偶函数，故②错误； 故选：A 8．存在狄利克雷函数，若，，则的所有值之和为（    ） A．3 B．6 C．12 D．13 【答案】D 【分析】令，则为有理数，从而得到必须是整数，令，则，再结合的取值范围，求出的值，即可得解. 【详解】令，则为有理数，又因为，，即，， 要使为有理数，则必须是整数，令，则，因为，所以，则，解得，所以的可能取值有共个，所以的次数为，则的所有值之和为.故选：D 二、多选题：共3道，每道题6分。 9．狄利克雷函数是德国数学家狄利克雷给出的一个函数，下列关于该函数的论述正确的是（    ） A． B．恒成立 C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，若，所以，若，所以，所以，故A错误；当时，可得，则为无理数，可得，又，所以，故B对；对于C，若，则，若，则，所以，所以，故C正确；对于D，若，则，所以，若，则，所以，所以，故D正确．故选：BCD． 10．函数称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（   ） A． B．的值域与函数的值域相同 C．是奇函数 D．对任意实数x，都有 【答案】ABD 【分析】由狄利克雷函数定义逐项判断即可； 【详解】对于A，根据狄利克雷函数定义可知，即A正确； 对于B，易知函数的定义域为，当时，；当时，；即函数的值域为，所以B正确；对于C，是偶函数，不是奇函数，故C是假命题.对于D，当时，，此时； 当时，，此时，所以D正确． 11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet.1805-1859）是解析数论的创始人之一.以他的名字命名的函数“狄利克雷函数”改变了数学家们对“函数是连续的”的认识.已知狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.则下列关于“狄利克雷函数”的命题中，属于真命题的有（    ） A．方程的解为 B．对任意，都存在， C．对任意，恒成立 D．存在三个点，，，使得为等边三角形 【答案】ABD 【详解】A选项，若，则，若，则（舍去），所以，A选项正确.B选项，对任意，都存在，，B选项正确.C选项，若，则，此时，，C选项错误.D选项，为等边三角形，则高为，则边长为，如时，为等边三角形，D选项正确. 三、填空题：共3道，每道题5分。 12．19世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集.狄利克雷函数是无法画出函数图像的，但是它的函数图像却客观存在，如果，，在其图象上，那么 ，A，B两点间的距离为 . 【答案】 0 2 【分析】直接代入计算得，再利用勾股定理得到答案. 【详解】根据函数的解析式得，，所以A，B两点间的距离为. 13．已知狄利克雷函数则 . 【答案】2 【分析】根据解析式代入求解即可. 【详解】因为，所以，因为，所以， 故. 14．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．若存在三个点、、，使得为等边三角形，则 ． 【答案】1 【分析】由狄利克雷函数分析得出的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案． 【详解】，或1，存在三个点、、，使得为等边三角形，不同时为0或1，不妨设， 分析得的位置有两种情况， 第一种情况： 当为有理数时，即，如图，过点作，垂足为，得，，， 可知，为无理数，为无理数，即，，与图形不一致，舍去； 第二种情况： 当为无理数时，即，如图，过点作，垂足为，得，，，可知，，，存在，使得，且为无理数，即，与图形一致，符合题意， 此时，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高三一轮复习回归教材版微专题——函数及其性质篇 专题二 狄利克雷函数 回归教材典题 1、人教A版（2019年）必修一课本P73页习题3.1第7题:画出下列函数的图象： （1）；（2）. 2、人教B版2020年必修一课本P94页尝试与发现：函数被称为狄利克雷函数，你能说出这个函数的定义域、值域吗？你能做出这个函数的图象吗？ 知识梳理： 狄利克雷函数是一个非常特殊的函数，由德国数学家狄利克雷提出。以下是关于它的详细介绍： 1、定义：狄利克雷函数的定义为，其中Q表示有理数集，表示无理数集。也就是说，当x是有理数时，函数值为1；当x是无理数时，函数值为0。 2、性质： （1）不连续：狄利克雷函数在整个实数域上处处不连续。因为对于任意一个实数，在的任意小的邻域内，都既存在有理数又存在无理数。当x从有理数趋近于时，趋近于1；当x从无理数趋近于时，趋近于0。所以极限不存在，函数在该点不连续。 （2）周期函数：狄利克雷函数是周期函数，任何非零有理数都是它的周期。因为对于任意有理数T和任意实数x，若x是有理数，则也是有理数，；若x是无理数，则也是无理数，。但是，它没有最小正周期，因为不存在最小的正有理数。 （3）不可导：由于函数处处不连续，所以它在整个实数域上处处不可导。 3、图像：狄利克雷函数的图像无法用常规的方法绘制出来。因为有理数和无理数在实数轴上是密密麻麻分布的，所以函数的图像看起来会是在和这两条直线上都有无数个点，形成一种非常奇特的 “稠密” 状态。 有关高斯函数的跟踪训练卷 一、单选题：共8道，每道题5分。 1．德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（    ） A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 2．十九世纪德国数学家狄利克雷提出“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中起着重要作用.已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知狄利克雷函数则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的值域 D．的图像关于y轴对称 4．狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数为黎曼函数定义在上，其解析式为则（    ） A．1 B．0 C． D． 5．狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的结论错错误的是（    ） A．方程有无数个实数解 B．， C． D．对任意，都存在， 6．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，，则下列关于函数的说法中，错误的是（   ） A．是偶函数 B．任意非零有理数都是的周期 C．， D．若，则 7．已知狄利克雷函数 ，符号函数 ，这两个函数在数学和计算机等领域中有着广泛的应用. 有以下两个结论: ①函数 是奇函数且该函数在区间 上的有理数零点恰有 3 个； ②函数 既是偶函数，又是增函数. 那么 (     ). A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 8．存在狄利克雷函数，若，，则的所有值之和为（    ） A．3 B．6 C．12 D．13 二、多选题：共3道，每道题6分。 9．狄利克雷函数是德国数学家狄利克雷给出的一个函数，下列关于该函数的论述正确的是（    ） A． B．恒成立 C． D． 10．函数称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（   ） A． B．的值域与函数的值域相同 C．是奇函数 D．对任意实数x，都有 11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet.1805-1859）是解析数论的创始人之一.以他的名字命名的函数“狄利克雷函数”改变了数学家们对“函数是连续的”的认识.已知狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.则下列关于“狄利克雷函数”的命题中，属于真命题的有（    ） A．方程的解为 B．对任意，都存在， C．对任意，恒成立 D．存在三个点，，，使得为等边三角形 三、填空题：共3道，每道题5分。 12．19世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集.狄利克雷函数是无法画出函数图像的，但是它的函数图像却客观存在，如果，，在其图象上，那么 ，A，B两点间的距离为 . 13．已知狄利克雷函数则 . 14．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．若存在三个点、、，使得为等边三角形，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$