条件概率、全概率公式(2大考点)专练-2025届高三数学三轮冲刺（新高考地区适用）

查漏补缺07 条件概率、全概率公式（2大考点） 目录 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 条件概率 考点2 全概率公式 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 条件概率 1．（2025·山东·模拟预测）现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南岳阳·二模）某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江·二模）有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为，则将向上数字为的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·河北·模拟预测）甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是.比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利（比赛无平局），则（    ） A．甲获胜的概率为 B．两人比赛4局结束的概率为 C．在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是 D．在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为 6．（多选）（2025·安徽滁州·二模）某同学春节期间计划观看《蛟龙行动》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》三部电影，观看顺序随机．记“最先观看《哪吒之魔童闹海》”为事件，“最后观看《蛟龙行动》”为事件，则（    ） A． B． C．与相互独立 D． 7．（多选）（2025·山东济宁·二模）已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A．若，互斥，则 B．若，相互独立，则 C．若，相互独立，则 D．若，则 8．（2025·辽宁沈阳·二模）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ． 考点2 全概率公式 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知，，，则（   ） A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8 2．（2025·陕西宝鸡·三模）设为一个随机试验中的三个事件且概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西景德镇·三模）一质点落在三棱锥的顶点处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件表示“该质点移动次后落在顶点”，为的对立事件，则 ． 4．（2025·山东济宁·二模）箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中， . 5．（2025·湖北·二模）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. (1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ (2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 6．（2025·四川成都·三模）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出2个球.已知摸到白球的概率是. (1)求m； (2)记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和均值. 7．（2025·广东茂名·二模）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望； (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围. 8．（2025·陕西安康·三模）现有一堆除颜色外其他都相同的小球在甲、乙两个袋子中，其中甲袋中有3个红色小球和3个白色小球，乙袋中有2个红色小球和3个白色小球．小明先从甲袋中任取2个球不放回，若这2个球的颜色相同，则再从乙袋中取1个球；若这2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个球． (1)求小明第二次取到的球是红球的概率； (2)记为小明取到的红球个数，求的分布列及期望值． 9．（2025·辽宁·二模）某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是，至冬季结束仍然有的居民未接种疫苗，这些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为． (1)现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率； (2)已知泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现从该地区接种疫菌的人群中随机抽取1000人，按上述泊松分布近似计算： ①求1000人中流感的患病率小于0.3%的概率约为多少； ②设1000人中患流感的人数为X，求使得最大时的X值．（参考数据：） 10．（2025·江西上饶·二模）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； (2)证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 11．（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 12．（2025·安徽·模拟预测）某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． (1)求该运动员第二次投篮命中的概率； (2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； (3)设第次投篮命中的概率为，求证：． 14．（2025·山西·二模）某企业采用智能检测器对生产的产品进行检测.若产品为次品，该智能检测器能正确识别的概率为0.95；若产品为正品，该检测器将它识别为次品的概率为.该企业生产出的产品次品率为0.1.现用两台型号相同的检测器组成一个检测系统，每台检测器独立识别，若任意一台识别某件产品为次品，则认定该产品为次品. (1)若，求一件产品被该检测系统识别为次品的概率； (2)设该系统第次检测结果为随机变量表示检测结果为次品，0表示检测结果为正品，每一次检测结果相互独立.设随机变量.一次调查中抽取20件产品，检测出3件次品，若以此次检测结果的均值作为的数学期望，由此求的估计值； (3)若在检测过程中，需同时满足以下两个条件：①检测结果识别为次品，该产品确实是次品的概率至少为0.9；②检测结果识别为正品，该产品确实是正品的概率至少为0.9.求的最大值. 附：若随机变量相互独立，且存在，则；参考数据：. 15．（2025·湖北·模拟预测）一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉. (1)在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率； (2)设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为，其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求； (3)若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 查漏补缺07 条件概率、全概率公式（2大考点） 目录 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 条件概率 考点2 全概率公式 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 条件概率 1．（2025·山东·模拟预测）现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【详解】设事件M为“两根筷子都是红色的”，则． 设事件N为“取到的筷子中有红色的”，则． 所求即为． 故选：D 2．（2025·湖南岳阳·二模）某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为，现由评委团对1号菜品和2号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给1号菜品，教工代表中有的人投票给2号菜品，那么，从1号菜品的投票人中任选1人，他是学生代表的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【详解】根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是（为比例系数）， 由题意知：家长代表中有的人投给1号，人数为；学生代表中有的人投给1号，人数为；教工代表中有的人投给2号，那么教工代表中有的人投给1号，人数为. 所以投给1号的总人数为，学生代表中投给1号的人数为， 因此所求概率为. 故选：A. 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 4．（2025·浙江·二模）有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为，则将向上数字为的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题、计算条件概率 【分析】就正面数字为偶数的卡片翻一次、三次分类讨论后可求概率. 【详解】翻动正面数字为偶数的卡片时，奇偶性发生改变，翻动正面数字为奇数的卡片时，奇偶性不变，进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，则分为两类： （1）正面数字为偶数的卡片翻一次： ①掷3次骰子1次偶数2次奇数：种，其中恰有一次点数为2有27种， ②掷3次骰子2次同一个偶数1次奇数：种， ③掷3次骰子3次同一个偶数：3种， （2）正面数字为偶数的卡片一次翻三次：种，其中恰有一次点数为2有6种， 所以骰子恰有一次点数为2的概率为. 故选：C 5．（多选）（2025·河北·模拟预测）甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是.比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利（比赛无平局），则（    ） A．甲获胜的概率为 B．两人比赛4局结束的概率为 C．在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是 D．在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为 【答案】ABD 【知识点】计算条件概率、独立重复试验的概率问题 【详解】甲获胜的概率为A正确； 两人比赛4局结束的概率为B正确； 对于C，比赛进入第三局，前两局是平，则在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率为C不正确； 由A知，乙获胜的概率为，在此条件下，乙赢得第二局胜利的概率为D正确， 故选：ABD. 6．（多选）（2025·安徽滁州·二模）某同学春节期间计划观看《蛟龙行动》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》三部电影，观看顺序随机．记“最先观看《哪吒之魔童闹海》”为事件，“最后观看《蛟龙行动》”为事件，则（    ） A． B． C．与相互独立 D． 【答案】ABD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、条件概率性质的应用、独立事件的判断 【分析】先求出事件结合和事件的关系可得D，根据独立事件的定义即可判断C，利用条件概率公式计算即可判断A，B. 【详解】随机事件A，B满足，，， 又，所以，故D正确； 又，所以不相互独立，故C不正确； ，故A正确；因为，所以， 所以，故B正确. 故选：ABD. 7．（多选）（2025·山东济宁·二模）已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A．若，互斥，则 B．若，相互独立，则 C．若，相互独立，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式以及条件概率公式逐个计算，分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于选项，若，互斥，根据互斥事件的概率加法公式. 已知，，则，所以选项正确. 对于选项，若，相互独立，则与也相互独立. 因为，所以，所以选项错误. 对于选项，若，相互独立，则. 根据概率的加法公式，将，，代入可得： ，所以选项正确. 对于选项，已知，，则. ，. 根据条件概率公式，所以选项正确. 故选：ACD. 8．（2025·辽宁沈阳·二模）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立时间的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论． 记向左，向右，向上，向下， ①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D）， LR（U或D或R），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以；所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以，所以． 故答案为:． 考点2 全概率公式 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知，，，则（   ） A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式和对立事件的概率公式求值即可. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：A. 2．（2025·陕西宝鸡·三模）设为一个随机试验中的三个事件且概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件、互斥事件的概率加法公式、利用全概率公式求概率 【分析】通过恰当的举例找到三个选项的反例，然后利用和事件的概率公式证明选项. 【详解】抛掷一枚质地均匀的殶子朝上的点数， 设表示事件“点数是1点”，表示事件“点数是3点或5点”， 表示事件“点数是偶数点”，表示事件“点数是奇数点”， ， 此时满足，但，故选项错误； ，但，故选项错误； 成立，但，故选项错误； 对于选项，对于随机事件，且， 则由得，又， 得， 又因为，所以， 则，故必要性成立， 反之，由可得， 所以，故充分性成立，所以选项正确. 故选： 3．（2025·江西景德镇·三模）一质点落在三棱锥的顶点处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件表示“该质点移动次后落在顶点”，为的对立事件，则 ． 【答案】 【知识点】乘法公式、利用贝叶斯公式求概率 【分析】先分析某次在点则下次在或不在点，某次不在点，则下次在或不在的概率，再按照分步乘法计算、、，进而利用概率的乘法公式得、，最后利用贝叶斯公式计算即可. 【详解】我们将三个点看作为一个整体， 如果某次在点，则下次一定不在点的概率为； 如果某次不在点，则下次在与不在的概率分别为、， 因，， 则， 因，， 则， 则根据贝叶斯公式可得． 故答案为： 4．（2025·山东济宁·二模）箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中， . 【答案】 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】利用条件概率和乘法公式分类讨论，最后利用全概率公式即可求解. 【详解】设掷骰子得到的点数的概率为，则， 当时，的概率为，若，则需取出的1个球是红球的概率为， 所以， 当时，的概率为，若，则需取出的2个球都是红球的概率为， 所以， 当时，的概率为，若，则需取出的3个球都是红球的概率为 ，所以， 当时，的概率为，若，则有两种可能的情况：第一种情况为取出的4个球都是红球有种， 第二种情况为取出的4个球种有3个红球，1个黄球，有种，所以概率为， 所以 当时，的概率为，若，则需取出全部4个红球，1个黄球， 所以，所以， 当时，不满足题意， 所以综上. 故答案为：. 5．（2025·湖北·二模）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. (1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ (2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 【答案】(1)方案一；(2) 【知识点】计算条件概率、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可； （2）根据全概率公式及条件概率公式即可得解. 【详解】（1）若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，，， 所以， 若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，， ， 所以 因为，故选择方案一比较合适 （2）设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，， 则，，， 所以， 故， 所以所求概率为. 6．（2025·四川成都·三模）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出2个球.已知摸到白球的概率是. (1)求m； (2)记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和均值. 【答案】(1)；(2)分布列见详解，均值为 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式计算即可； （2）依题意可知的所有可能取值为：，分别计算其概率即可得到分布列，进而求数学期望. 【详解】（1）记＂摸到白球＂，＂掷一枚质地均匀的骰子点数为1或2＂， 则＂摸出的2个球都是红球＂，＂朕一枚质地均匀的䐨子点数为， 则， 根据全概率公式：，即， 整理得：，解得 （2）的所有可能取值为：，由题可知， ， 故的分布列为： 0 1 2 从而，故的均值为． 7．（2025·广东茂名·二模）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望； (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围. 【答案】(1)平均值为，上四分位数为；(2)分布列见解析，数学期望为；(3). 【知识点】计算几个数的平均数、求离散型随机变量的均值、总体百分位数的估计、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据平均值计算公式和上四分位数计算方法即可得到答案； （2）写出的可能取值，再分别计算出其分布列，最后再利用数学期望公式即可； （3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率计算公式得到关于的表达式，从而得到不等式，解出即可；法二：根据比例法得到相关概率表达式，解出不等式即可. 【详解】（1）依题意，平均值 ， ， 上四分位数落在区间，且等于. （2）由样本数据可知，训练成绩在之内的频数之比为2:1， 由分层抽样的方法得，从训练成绩在中随机抽取了6次成绩， 在之内的4次，在之内的抽取了2次， 所以可取的值有：0，1，2， ，，， 分布列为： 0 1 2 . （3）法一：设事件分别表示动作优化前成绩落在区间，，， 则相互互斥，所以动作优化前， 在一次资格赛中，入围的概率， 设事件B为＂动作优化成功＂，则， 动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：，且事件相互互斥， 所以在一次资格赛中入围的概率 ， 故， 由解得，又的取值范围是. 法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：， 进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间或的成绩， 当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准， 所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率， 由，得，又的取值范围是. 8．（2025·陕西安康·三模）现有一堆除颜色外其他都相同的小球在甲、乙两个袋子中，其中甲袋中有3个红色小球和3个白色小球，乙袋中有2个红色小球和3个白色小球．小明先从甲袋中任取2个球不放回，若这2个球的颜色相同，则再从乙袋中取1个球；若这2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个球． (1)求小明第二次取到的球是红球的概率； (2)记为小明取到的红球个数，求的分布列及期望值． 【答案】(1)；(2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用全概率公式求解即可； （2）随机变量的值为，分别求得对应的概率，可得分布列，进而可求得期望值. 【详解】（1）记小明从甲袋中取2个球的颜色相同为事件，记小明从甲袋中取2个球的颜色不相同为事件，记小明第二次取到的球是红球为事件， 则，，，， 所以由全概率公式，得； （2）随机变量的值为， 小明先从甲袋中取2个白球，再从乙袋中取1个白球时，则， 小明先从甲袋中取2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个白球 或小明先从甲袋中取2个白球，再从乙袋中取1个红球时， 则， 小明先从甲袋中任取2个红球，再从乙袋中取1个白球 或小明先从甲袋中取2个球的颜色不相同，再从甲袋中取1个红球时， 则， 小明先从甲袋中任取2个红球，则再从乙袋中取1个红球时， 则， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 . 9．（2025·辽宁·二模）某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是，至冬季结束仍然有的居民未接种疫苗，这些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为． (1)现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率； (2)已知泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现从该地区接种疫菌的人群中随机抽取1000人，按上述泊松分布近似计算： ①求1000人中流感的患病率小于0.3%的概率约为多少； ②设1000人中患流感的人数为X，求使得最大时的X值．（参考数据：） 【答案】(1)0.006；(2)①；②或 【知识点】计算条件概率、二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）条件概率的乘法公式以及互斥事件的概率加法，可得答案； （2）①由题目中的概率公式，结合互斥事件的概率加法，可得答案；②利用比值判别法，可得概率计算的单调性，可得答案. 【详解】（1）记：事件“患流感”，事件“未患流感”，， 事件“接种疫苗”，事件“未接种疫苗”，则， 由已知可得：， ， , 所以， 即现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，这人患病的概率为． （2）①由已知：当且时，二项分布近似于泊松分布， 设1000人中患流感的人数为Y人，则， ，，， . ②由题意得：， 所以，， 当时，随i的增大而增大， 当时，随i的增大而减小， 当时，， 所以，或时，最大． 10．（2025·江西上饶·二模）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； (2)证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3) 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （2）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （3）求出换门和不换门所得奖金的均值，列不等式，解出即可. 【详解】（1）如果不换门，则中奖的概率为. 如果换门，则中奖的概率为：. 所以换门中奖的概率大，故：应该换门. （2）假设山羊门数为（），如果不换门，则中奖的概率为：. 如果换门，中奖的概率为：. 因为， 所以换门比不换门中奖概率更高. （3）不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为：. 要想投入5000元时值得的，须有：. 整理得：. 结合，，可得. 即当时，参与者投入5000元是值得的. 11．（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】(1)；(2)的分布列见解析；；(3) 【知识点】计算条件概率、建立二项分布模型解决实际问题、3δ原则、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据正态分布的性质，进而可得； （2）以频率估计概率得随机抽取1个直径在区间内的概率为，由题意满足二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式可得； （3）根据条件概率和全概率公式可得. 【详解】（1）由题意， 得. （2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 故由题意满足二项分布， 故，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为 （3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品” 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，，，， 则， ， 故， 故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为. 12．（2025·安徽·模拟预测）某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． (1)求该运动员第二次投篮命中的概率； (2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； (3)设第次投篮命中的概率为，求证：． 【答案】(1)；(2)分布列见解析，数学期望为；(3)证明见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、构造法求数列通项、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设事件“第次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可； （2）由题意的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可； （3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可. 【详解】（1）设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，， 易知与是互斥事件， 所以由全概率公式得 该运动员第二次投篮命中的概率为． （2）由题意得，， 的所有取值为0,1,2， , 所以的分布列为 0 1 2 …… 所以． （3）由题意得，； 当时， 即， 变形为，所以数列是以为公比的等比数列， 又，于是， 即，所以． 14．（2025·山西·二模）某企业采用智能检测器对生产的产品进行检测.若产品为次品，该智能检测器能正确识别的概率为0.95；若产品为正品，该检测器将它识别为次品的概率为.该企业生产出的产品次品率为0.1.现用两台型号相同的检测器组成一个检测系统，每台检测器独立识别，若任意一台识别某件产品为次品，则认定该产品为次品. (1)若，求一件产品被该检测系统识别为次品的概率； (2)设该系统第次检测结果为随机变量表示检测结果为次品，0表示检测结果为正品，每一次检测结果相互独立.设随机变量.一次调查中抽取20件产品，检测出3件次品，若以此次检测结果的均值作为的数学期望，由此求的估计值； (3)若在检测过程中，需同时满足以下两个条件：①检测结果识别为次品，该产品确实是次品的概率至少为0.9；②检测结果识别为正品，该产品确实是正品的概率至少为0.9.求的最大值. 附：若随机变量相互独立，且存在，则；参考数据：. 【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据给定条件，利用条件概率及全概率公式列式求解. （2）求出的概率，及随机变量的期望，再建立方程求出估计值. （3）利用条件概率公式分别求出两个条件下的概率，再列出不等式并求出解集即可得最大值. 【详解】（1）设事件为“检测系统识别为次品”，事件为“该产品实际为次品”， 依题意，，， ，，， 若，则， ， 所以一件产品被检测系统识别为次品的概率为. （2）， 则 又， 由抽查结果得，因此， 解得，根据参考数据可知，则， 所以的估计值为. （3） ， 则，即，解得，， 由，解得，因此， 所以的最大值为. 15．（2025·湖北·模拟预测）一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉. (1)在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率； (2)设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为，其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求； (3)若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式. 【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点】求等比数列前n项和、计算条件概率、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件B表示第二次取出时为一次性电池，求出和即可求解； （2）求出的可能取值，求出、和即可求解； （3）分别求出可充电池和一次性电池可使用的数量，求出和，求出时即可求解. 【详解】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件B表示第二次取出时为一次性电池， 则，， 所以； （2）由题意，的可能取值为1，2，3， ，，， 所以； （3）由题意，现有3块可充电池和2块一次性电池可使用， 经分析可得，， 时， . 学科网（北京）股份有限公司 $$