排列组合(4大考点)专练-2025届高三数学三轮冲刺（新高考地区适用）

查漏补缺06 排列组合（4大考点） 目录 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 分类计数原理、分步计数原理的应用 考点2 计数原理与排列问题 考点3 计数原理与组合问题 考点4 排列组合问题的综合应用 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 分类计数原理、分步计数原理的应用 1．（2025·全国·模拟预测）如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ） A．24 B．48 C．60 D．84 2．（2025·河南·二模）为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.如图，在一个5×5的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书.则所有可能的图书排列方式总数为（   ） A．160 B．192 C．224 D．256 3．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）冷暖色调的调配是美术作品创作过程中不可避免的问题，现考虑对一个4*4方格（16个格子）进行冷暖色调染色，提供红，橙，黄，棕，蓝，紫，绿，青颜色（前四种为暖色，后四种为冷色）对格子染色，每个颜色使用两次，为了美观要求每行每列均由两个暖色格子，两个冷色格子组成，则符合要求的染色方式数目为 （数字作答，不考虑格子的旋转） 考点2 计数原理与排列问题 1．（2025·河北·模拟预测）某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 2．（2025·湖北·二模）甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 3.（2025·河北邯郸·二模）6个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江西新余·模拟预测）毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位，他们要求要站在同一行相邻的位置，则不同的排列方式共有（   ）种． A．200 B．300 C．400 D．600 5．（2025·河南·模拟预测）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，且丙不是最后两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（   ） A．524种 B．564种 C．624种 D．664种 6．（2025·江西萍乡·二模）将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有（   ） A．720种 B．120种 C．32种 D．30种 7．（2025·广西·三模）某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．32 8．（2025·山东济南·一模）将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为 .（用数字作答） 考点3 计数原理与组合问题 1．（2025·安徽·模拟预测）现将12个相同的小球全部放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（    ） A．24种 B．35种 C．56种 D．70种 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，平面内有A，B，C，D4个区域，随机在这4个区域之间画3道连线，且任意两个区域之间最多画一道连线，则从A，B，C，D任何一个区域，都可以通过连线及区域到达其它区域的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东聊城·模拟预测）中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（    ） A．30种 B．60种 C．72种 D．114种 4．（2025·江西鹰潭·二模）2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 5．（2025·湖南娄底·二模）长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 6．（2025·浙江·三模）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为 ． 考点4 排列组合问题的综合应用 1．（2025·四川达州·模拟预测）某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 2．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 查漏补缺06 排列组合（4大考点） 目录 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 分类计数原理、分步计数原理的应用 考点2 计数原理与排列问题 考点3 计数原理与组合问题 考点4 排列组合问题的综合应用 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 分类计数原理、分步计数原理的应用 1．（2025·全国·模拟预测）如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ） A．24 B．48 C．60 D．84 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】利用分步计数乘法原理与分类加法计数原理可求解. 【详解】根据牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，故可转化为有公共点的4个区域，如图所示： 1号小方格可以从4种颜色的染料中任取一种涂色，有4种不同的涂法. ①当2号，3号小方格涂不同颜色的染料时，有种不同的涂法，4号小方格有2种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. ②当2号，3号小方格涂相同颜色的染料时，有3种不同的涂法，4号小方格也有3种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. 综上，由分类加法计数原理，可得共有种不同的涂法. 故选：D. 2．（2025·河南·二模）为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.如图，在一个5×5的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书.则所有可能的图书排列方式总数为（   ） A．160 B．192 C．224 D．256 【答案】B 【知识点】实际问题中的计数问题 【分析】根据数字的约束，确定哪些方格可以放置图书，通过分析每个数字的约束，确定可以放置图书的方格，并计算最大可能的图书数目，使用排列组合的方法，计算所有满足条件的图书放置方式的总数. 【详解】如图所示，灰色代表图书位置，此时有11本图书，接下来说明不可能有12本图书，考虑数字控制的区域，假设有一种方式可以达到8本图书，首先左上角区域只有2本图书（下图左），在大图中去掉后变成了下图中间的样子，并且图中应有6本图书.类似的，下方数字2代表周围单元格中有2本图书，再去掉后形如下方右侧图形，此时需要填4本图书，但只剩下三个空方格，矛盾!故最多有7本，结合不受限制的区域，最多能抽中本书. 接下来求所有可能的方法数， 情形一： 如图所示，?处有图书时，在左上数字2的周围有两种情形，若数字3右侧方格无图书， 则4周围的图书排布方式已经固定，此时下方数字2的排布方式也被固定， 此时中间数字3周围只有两本图书，矛盾，∴中间数字3右侧必有图书. 此时如上右图阴影区域中有且仅有一本图书，故下方数字2左侧或右侧有一本图书. 若下方数字2左侧有一本图书，则右侧没有图书，此时4周围的图书排布已经固定， 则此时3周围图书也已经符合题意，只有一种情形. 若下方数字2右侧有一本图书，此时考虑下方数字2周围还应存在的一本图书的位置， 若在2右上方，即上左图中☆位置，则满足题意，并且此时3周围也满足题意， 4周围还剩一本图书，共有两种选择，共两种； 若不在2右上方，则4周围图书的排布已经符合题意， 3周围还应有一本图书，共有两种选择. 综上，在情形一中，根据分类加法和分步乘法计数原理，共有种可能. 情形二： 如图所示，?处无图书时，左上数字2的图书排布被固定，与情形一类似讨论，可知3右侧必有图书， 此时根据3周围应还有2本图书得到下方的2左右两侧均无图书（否则下方2周围图书数目大于2）， 故4周围的图书排列方式被固定，∴3周围还应有一本图书，共有两种选择，故情形二共有2种可能. ∴共有种. 故选：B. 3．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）冷暖色调的调配是美术作品创作过程中不可避免的问题，现考虑对一个4*4方格（16个格子）进行冷暖色调染色，提供红，橙，黄，棕，蓝，紫，绿，青颜色（前四种为暖色，后四种为冷色）对格子染色，每个颜色使用两次，为了美观要求每行每列均由两个暖色格子，两个冷色格子组成，则符合要求的染色方式数目为 （数字作答，不考虑格子的旋转） 【答案】 【知识点】涂色问题 【分析】先不考虑颜色，仅分析冷暖色调在方格中满足题意的分布情况，再计算沿格子从上到下从左到右顺序染色的情况数可得答案. 【详解】先不考虑颜色，仅安排冷暖色调，对于第一排，冷色调有种染色情况， 若此时第2排冷色调与第一排冷色调不在同一列，有1种染色情况， 则此时第三排可随意染色，有种情况，则由题意，最后一排染色情况确定， 则共有36种染色情况，此时未染色的格子均染暖色调，则这种安排下的情况数为36； 若第2排冷色调与第一排冷色调均保持在同1列，为满足题意，第三排，第四排只能染与第一排染色相异的那两列对应的那两排， 则共有6种染色情况，此时未染色的格子均染暖色调，则这种安排下的情况数为6； 若第2排冷色调分布与第一排冷色调分布仅一列相同，则共有种方式，为满足题意，此时第3排格子中未出现冷色调的那一列染冷色， 另一个冷色则染在仅有一个冷色调对应的那一列所对应的那一排，有2种方式，则共有48种染色情况，此时未染色的格子均染暖色调，则这种安排下的情况数为48； 则只考虑冷暖色调，不考虑颜色，符合要求的染色方式数目为； 下面考虑不同的颜色，对于冷色调，依照以上所提及的染色安排，沿格子从上到下从左到右顺序染色，则共有种方式， 但考虑到其中每种颜色使用2次，去掉相同情况，则共有种情况， 则对于暖色调，同理有种情况，则符合要求的染色方式数目为：. 故答案为： 考点2 计数原理与排列问题 1．（2025·河北·模拟预测）某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】将，捆绑，先排同学，再将其余同学（看做一个整体）全排列. 【详解】根据题意，因为，两名同学相邻，所以有种， 又因为同学不站在两端，所以有种，其他同学（看做一个整体）进行排列有种， 所以不同的排列方式种数为. 故选：B. 2．（2025·湖北·二模）甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】按照B项工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【详解】安排B项工作的人数分为两类， 第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法， 再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法， 若D项工作安排一人，则有种方法， 所以B项工作仅安排1人共种方法， 第二类，B项工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 故选：B. 3.（2025·河北邯郸·二模）6个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】先求出共有种情况，再利用捆绑法和插空法结合古典概型概率公式求出和，最后利用条件概率公式求出结果即可. 【详解】我们先把6个不同的芯片全排列，共有种情况， 设甲，乙两个芯片不相邻为，丙、丁相邻为， 当甲，乙两个芯片不相邻时，先对除了甲、乙两个芯片的其它芯片全排列， 其它芯片全排列共有种情况，产生了个空， 将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有种情况， 由分步乘法计数原理得此时共有种情况， 在该条件下，我们将丙，丁进行全排列，共有种情况， 将丙丁整体和除了甲乙以外的芯片全排列，共有种情况，产生了个空， 将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有种情况， 由分步乘法计数原理得此时共有种情况， 故，， 则由条件概率公式得，故D正确. 故选：D. 4．（2025·江西新余·模拟预测）毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位，他们要求要站在同一行相邻的位置，则不同的排列方式共有（   ）种． A．200 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】先确定特殊元素的位置，再利用排列、组合安排其他人的位置，根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】不妨将这9名挚友的身高从矮到高排序为1，2，3，4，5，6，7，8，9， 小郅同学最高，只能排在最后一行，小豪同学与之相邻，将其看作一个整体，共有种排法， 又由于小豪同学身高排第4，即从矮到高排第6，所以其前方只能站序号为1，2，3，4，5的同学， 从中选两名同学有种选法，选完之后让同学们由高到矮站位就行； 剩下的位置中任选两人站在小郅同学前面，剩余3人在最后一列按高矮顺序站位即可， 所以有种选法， 故共有种选法． 故选：C. 5．（2025·河南·模拟预测）已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，且丙不是最后两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（   ） A．524种 B．564种 C．624种 D．664种 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】分两种情况：甲、乙占据前两名和丙在前两名求解，然后再根据分类加法原理可求得结果. 【详解】若甲、乙占据前两名，则所有的情况有种， 若丙在前两名，则从甲、乙中选1人和丙排在前2名，故所有的情况有种， 故共有种． 故选：C 6．（2025·江西萍乡·二模）将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有（   ） A．720种 B．120种 C．32种 D．30种 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、组合数的计算 【分析】根据的取值，进行分级，逐项判断即可. 【详解】六个连续的整数随机排成先递增再递减的单峰序列，封顶必须是最大整数.封顶位置可在第2、3、4、5位， 对于每个，左边需选个数并按升序排列，右边选个数并按降序排列. 当时，左边选1个数，方式有种； 当时，左边选2个数，方式有种； 当时，左边选3个数，方式有种； 当时，左边选4个数，方式有种； 所以. 故选：D. 7．（2025·广西·三模）某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】由题意，分甲单独与组队两种情况，利用特殊元素优先法以及分组分配的思想，可得答案. 【详解】当甲单独一人进行现场报道时，甲有种选择，再将乙、丙、丁分配到其他两个地方， 情况数为，则此时总的情况数为； 当甲与人组队进项现场报道时，先从乙、丙、丁中选出一人与甲组队，则情况数为， 再在跳高、跳远选一个去进行现场报道，则情况数为， 最后剩下的两人安排去其他两个地方，则情况数为， 所以此时总的情况数为； 综上，符合题意的情况数为. 故选：C. 8．（2025·山东济南·一模）将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为 .（用数字作答） 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】先给两个1找两个位置，再给两个3找两个位置，最后剩的一个位置排5即可. 【详解】第一步选2个空给两个1有种选法， 第二步选剩下的3个空给两个3有种选法， 最后剩一个空排5即可， 根据分步乘法计数原理有种排法， 故答案为：. 考点3 计数原理与组合问题 1．（2025·安徽·模拟预测）现将12个相同的小球全部放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（    ） A．24种 B．35种 C．56种 D．70种 【答案】B 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】先在每个盒子中分别放入一个小球，剩余的个小球采用隔板法即可. 【详解】先在每个盒子中分别放入一个小球则剩余个小球， 只需保证个盒子中分别再放入至少个小球，则采用隔板法可得有种放法. 故选择：B 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，平面内有A，B，C，D4个区域，随机在这4个区域之间画3道连线，且任意两个区域之间最多画一道连线，则从A，B，C，D任何一个区域，都可以通过连线及区域到达其它区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的概率公式进行计算. 【详解】从四个区域中任选2个连线，可连条线段， 从中任选3条的方法有：. 从四个区域中任选3个，用3条线段将这3个区域连接，有种方法.这些连接方式不能连通四个区域. 所以可以通过3条线连通四个区域的概率为：. 故选：D 3．（2025·山东聊城·模拟预测）中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（    ） A．30种 B．60种 C．72种 D．114种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】根据题意，先从5人中选出三人，在把选出的3人，分配到三个舱内，剩余的2人出仓完成任务，结合排列数和组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，从5人中选出三人，共有中选法， 则把选出的3人，分配到三个舱内，剩余的2人出仓完成任务， 共有种不同的安排方案. 故选：B． 4．（2025·江西鹰潭·二模）2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】分类求出满足小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式. 【详解】若小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影， 有两人看《哪吒》，则有种方案，有一人看《哪吒》电影，则有种方案， 即满足小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案. 故选：D. 5．（2025·湖南娄底·二模）长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 【答案】A 【知识点】分组分配问题 【分析】将6种美食平均分成3组，再排到3天去品尝即可. 【详解】将6种美食平均分成3组，有种不同的分法， 该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法， 所以这三天他选择美食的不同选法种数为种. 故选：A 6．（2025·浙江·三模）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为 ． 【答案】 【知识点】实际问题中的计数问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】利用分步乘法计数原理求出总情况数，利用分类加法计数原理结合组合数的性质求出符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式求解概率即可. 【详解】设一次抽奖所生成的奖券码为S，共有种情况， 生成的5个数字中有个0，个1， 则， 由题可知．若获得二等奖，则S为3的正整数倍， 故可取的值为．当时，的取值为， 共有种情况；当时，的可能取值为，，， 共有种情况；当时，的取值为，， 共有种情况，由分类加法计数原理得符合条件的有种情况， 且设获得二等奖的概率为，由古典概型概率公式得. 故答案为： 考点4 排列组合问题的综合应用 1．（2025·四川达州·模拟预测）某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 【答案】A 【知识点】排列组合综合 【分析】分甲单独一人执勤对练赛场馆或集体项目场馆，甲和另一个人一起执勤对练赛场馆或集体项目场馆，甲和另两人一起执勤对练赛场馆或集体项目场馆，共六种情况求解即可. 【详解】由题意，分以下六种情况： 第一种情况，甲单独一人执勤对练赛场馆，则剩下的四个人可以分成一个人和三个人两组,或分成每组两个人,所以共有（种）方案； 第二种情况，甲单独一人执勤集体项目比赛场馆，则乙只能分配到个人赛场馆， 若只有乙一个人分配到个人赛场馆，剩下的三个人分配到对练赛场馆，则有1种情况； 若乙和另外一人分配到个人赛场馆，则有种情况； 若乙和另外两人分配到个人赛场馆，则有种情况； 所以共有（种）方案； 第三种情况，甲和另外一人执勤对练赛场馆，则剩下的三个人分成一个人和两个人两组，分配到个人赛场馆和集体项目比赛场馆， 所以共有（种）方案； 第四种情况，甲和另外一人执勤集体项目比赛场馆，若甲和乙执勤集体项目比赛场馆，则有种情况； 若甲和乙以外的一人执勤集体项目比赛场馆，则有种情况； 共有（种）方案； 第五种情况，甲和另外两人执勤对练赛场馆，则剩下的三个人分成一个人和两个人两组，分配到个人赛场馆和集体项目比赛场馆， 所以共有（种）方案； 第六种情况，甲和另外两人执勤集体项目比赛场馆，则乙只能分配到个人赛场馆， 若只有乙一个人分配到个人赛场馆，剩下的两个人分配到对练赛场馆，则有种情况； 若乙和另外一人分配到个人赛场馆，则有种情况； 所以共有（种）方案. 所以一共有（种）不同的分配方案. 故选：A. 2．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率 【分析】求出任意放球共有种方法，再求出恰有一个小球与所在盒子编号相同的方法总数，最后利用古典概型的概率公式求解． 【详解】由题得任意放球共有种方法， 如果有1个小球与所在的盒子的编号相同， 第一步，从4个小球中选择1个，使其编号与盒子编号相同.选择的方式有4种； 第二步：不妨设选的是1号球，再对后面的2，3，4进行排列，且3个小球的编号与盒子的编号都不相同，则有两种， 所以有1个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法． 由古典概型的概率公式得恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率为， 故选：A 学科网（北京）股份有限公司 $$