查漏补缺05 解析几何 专项训练——2025届高三数学三轮冲刺

查漏补缺05 解析几何（10大考点） 目录 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 圆的方程 考点2 直线和圆的位置关系 考点3 圆和圆的位置关系 考点4 椭圆的定义、方程及其几何性质 考点5 直线和椭圆的位置关系 考点6 双曲线的定义、方程及其几何性质 考点7 直线和双曲线的位置关系 考点8 抛物线的定义、方程及其几何性质 考点9 直线和抛物线的位置关系 考点10 圆锥曲线的新定义 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 圆的方程 1．（2025·安徽·模拟预测）已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 . 【答案】 【详解】因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心，从而，解得，则圆的方程为， 故圆的半径为． 故答案为： 2．（2025·北京通州·一模）若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、求点关于直线的对称点 【详解】由于在圆上，圆心为， 要使关于直线的对称点在圆上， 则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合， 故选：D 考点2 直线和圆的位置关系 1．（2025·广东揭阳·二模）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、已知圆的弦长求方程或参数 【详解】易知圆的圆心为，半径为 ， 设圆心到直线l的距离为d，由弦长公式可得， 所以圆心到直线的距离， 解得或，又，所以， 故选：C 2．（2025·江西景德镇·三模）动圆经过直线与的交点，过原点向动圆作切线，切点为，若恒成立，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、切线长 【分析】将与的方程联立可得，设动圆的方程为，由切线长可知的轨迹为圆，设设线段中点为令可得. 【详解】将与的方程联立，得，动圆的方程为， ∴切线长，即的轨迹是以为圆心为半径的圆， 设线段中点为，∵， 而（不能三点共线）， ∴的最大值是. 故选:D． 3．（2025·辽宁·二模）我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆 【分析】根据题意，可得动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍，即，利用两点间的距离公式，可求出，即判断点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部，令，即，令直线的方程为，利用点到直线距离公式可求出点到直线的距离，对直线与圆相交或相切进行分类讨论，可求出的取值范围，即可求出的最大值，即可得解. 【详解】    已知， 因为动点符合， 所以动点到定点的距离不大于定点到定点的距离的倍， 即动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍， 所以， 所以1， 即， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部， 令，即， 令直线的方程为， 要求的最大值，即为求当直线与圆相交或相切时的最大值， 又点到直线的距离为， 平移直线与圆相切时，点到直线的距离等于圆的半径， 即，即，解得或， 当直线与圆相交时，点到直线的距离大于等于0小于1， 即 ，即，即，解得， 综上所述，可得，即， 所以，即， 故选：A. 4．（多选）（2025·福建厦门·三模）过点的直线交圆于点P，Q，交圆于点M，N，其中T，P，Q，M，N顺次排列.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、圆的弦长与中点弦、用定义求向量的数量积 【分析】根据图形特征计算判断A，B，根据向量数量积公式计算判断C，D. 【详解】A选项：，，均为钝角， 因为，则，故，A选项正确. B选项：同上述分析可知，所以. 因为，所以，，B选项正确. C选项：取中点，则 ，C选项错误. D选项：因为，所以. 由B选项的分析可知，， 所以，D选项正确. 故选：ABD. 5．（多选）（2025·广东揭阳·二模）已知曲线，一条不过原点的动直线与x，y轴分别交于，两点，则下列结论正确的是（   ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线形成封闭图形的面积大于 C．当时，线段中点的轨迹与曲线相切 D．当时，直线与曲线相切 【答案】ACD 【知识点】轨迹问题——圆、由方程研究曲线的性质 【分析】对于A，根据绝对值的特征易得曲线有4条对称轴；对于B利用定积分求出第一象限内的面积，即可判断；对于C，先求得线段中点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，利用图形的对称性和关键点即可判断；对于D，设直线的方程，再与曲线方程联立，利用条件代入计算求得一个解，即可判断. 【详解】 对于A，由绝对值的特征，曲线在四个象限内都有对称性， 即关于轴，轴，以及直线和直线对称，故曲线有4条对称轴，A正确； 对于B，因曲线在第一象限的方程为，即，， 则曲线在第一象限内的面积为， 因曲线的对称性，在四个象限内的部分面积相同， 故曲线形成封闭图形的面积为，故B错误； 对于C，如图，考虑曲线的对称性，不妨设直线与x，y轴的正半轴分别交于两点， 线段的中点为，由图知，，即点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 该圆与曲线都关于直线对称，且在第一象限都经过直线上的点， 由图可知圆与曲线相切，同理在其他象限也有相同的结论，故C正确； 对于D，不妨设，则直线的方程为，其中， 由消去，可得， 将代入，化简得：，即，解得， 由函数的定义，可得直线与曲线在第一象限有且只有一个共同点，故此时直线与曲线相切， 同理在其他象限也有相同的结论，故D正确. 故选：ACD. 6．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、切线长、圆的弦长与中点弦 【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题. 【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得， 结合已知点，可得： 所以， 故答案为：. 考点3 圆和圆的位置关系 1．（2025·浙江宁波·三模）已知点，到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】以为圆心，2为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，可得， 所以. 故选：B 2．（多选）（2025·江西新余·模拟预测）数学之美，古来共谈．如图甲，在平面直角坐标系中有⊙O：与x轴分别交于、两点，为⊙O上的动点，以为直径的⊙E的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，⊙E扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作），则下列说法正确的是：（   ）． A．若，则⊙E与轴公共点坐标为和 B．图乙中内的点到轴距离的最大值为1.25 C．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的半径最小为 D．图乙中与轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为 【答案】ABD 【知识点】求直线与圆交点的坐标、由圆的位置关系确定参数或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、直线与圆中的定点定值问题 【分析】A选项利用直径的性质进行计算；B选项设，将用表示，再利用二次函数即可求出最大值；C选项用表示，再利用三角函数求最值即可；D选项利用点到直线的距离即可求解. 【详解】对于A选项，设⊙E与轴交于、，连接，， 为⊙E的直径，轴， 由题意可知，，， ，所以公共点的坐标为和，故A正确； 对于B选项，设，， 如图：过作轴于，另交⊙E于，过作轴于， ，，， ，， ， ，令， ，， 即内的点到轴距离的最大值为1.25，故B正确； 对于C选项，如图： 连接并延长交⊙E与， 由垂径定理：，就是⊙E上到原点距离最远的点， 下面我们求的最大值： ，， ， 当时，取得最大值，即该圆的半径最小为，故C错误； 对于D选项，如图： 设⊙E与轴交于点（图中为上方的点），则， 反面想，对于轴正半轴上一点作，若与⊙O有公共点即为点， 当离轴最远时，与⊙O有且仅有一个公共点． 设，则，， 原点到的距离：，解得， 即M与y轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 3．（24-25高三下·江苏·阶段练习）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆.圆C与圆交于A，B两点，则当最大时， . 【答案】2 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由标准方程确定圆心和半径、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据题意画出图形，结合圆性质可知当弦为圆的直径时满足题意，由勾股定理计算可得结果. 【详解】易知圆心，半径， 又因为都在圆上，可知，如图所示： 当公共弦长最大时，最大，此时弦为圆的直径， 在中，， 所以. 故答案为：2 4．（2025·山东日照·二模）已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 【答案】8 【知识点】轨迹问题——椭圆、求椭圆中的最值问题、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由两圆内切可以判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值. 【详解】 如图，设以为直径的圆的圆心为，， 因为两圆内切，所以， 又为的中位线，所以， 所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大， 最大值为. 故答案为：8 考点4 椭圆的定义、方程及其几何性质 1．（24-25高三下·山西·阶段练习）已知为椭圆上一动点．设点，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆中的最值问题 【详解】根据题设可知，为椭圆的右焦点，设为椭圆的左焦点，则， 所以，当，，三点共线时等号成立． 又，故，即的最小值为． 故答案为：． 2．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由角平分线性质得到，再结合余弦定理及椭圆定义即可求解. 【详解】    由可得：，由角平分线的性质可得：， 所以，设，由题意，因为，所以， 由余弦定理可得：，解得：， 又，所以，得：， 故选：D 3．（多选）（2025·辽宁沈阳·二模）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（    ） A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 【答案】ACD 【知识点】轨迹问题——圆、轨迹问题——椭圆、双曲线定义的理解 【分析】由点是线段的中垂线与直线的交点，可得.对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆的性质及圆锥曲线的定义逐项判断即可. 【详解】设圆的半径. 当点与圆的圆心重合时，线段的中垂线与直线的交点即为的中点， 此时，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故选项A正确； 当点在圆上时，如图所示，根据圆的性质可知线段的中垂线与直线的交点即为圆心，轨迹为一个点，故选项B错误；    当点在圆内且非圆心时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点，，， （其中为圆的半径），∴点的轨迹为椭圆，故选项C正确；    当点在圆外时，如图所示. ∵点是线段的中垂线与直线的交点， ，，或， ∴或（其中为圆的半径），即， ∴点的轨迹为双曲线，故选项D正确.    故选：ACD. 4．（2025·江西宜春·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，且该椭圆与抛物线相交于不同的两点，，且四边形的外接圆直径为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【知识点】正弦定理求外接圆半径、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形的外接圆就是的外接圆，再利用正弦定理求得，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解. 【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性知点关于y轴对称， 四边形是等腰梯形，易知四边形的外接圆就是的外接圆， 设四边形的外接圆半径为. 在中，由正弦定理知， 记椭圆的上顶点为，坐标原点为， 易知，又，则，， ，即为锐角， ， 又 又，，则， 所以， 所以，则，即， 则椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为： 5．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆，圆，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆定义及辨析、求椭圆中的最值问题 【分析】先判断点为椭圆的左焦点，设点为椭圆的右焦点，利用椭圆的定义得，由圆的几何性质得，结合图形判断当且仅当三点共线且点在点的上方时，取得最小值. 【详解】由配方得：，即圆心，半径， 如图所示，由可得，则，即点为椭圆的左焦点， 设点为椭圆的右焦点，易知点在圆上. 由椭圆的定义可得，由圆的几何性质可得， 则， 当且仅当三点共线且点在点的上方时，等号成立， 此时取得最小值． 故答案为： . 考点5 直线和椭圆的位置关系 1．（2025·湖南·二模）已知椭圆，为的右焦点，为第一象限内椭圆上的一点，过点作的切线，与、轴分别交于，两点，若，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】设，可得切线方程，进而可得，，结合向量数量积可得解. 【详解】设，， 易知切线斜率存在， 则设切线方程为 ，可得， 则， 所以，代入直线，可得， 即，即直线为，即， 令，得，同理令，得， 因此，， 又因为，， 故，得，， 故点的坐标为， 故答案为：. 2．（2025·广东·二模）已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上.点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于两点，当点在直线上运动时，恒构成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，定点 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）利用斜率公式可求参数，再由点在椭圆上可求参数，即可得椭圆方程； （2）利用斜率取特殊值0时，找到定点的坐标，再利用一般斜率来进行证明即可得证. 【详解】（1） 设，且点，得，. 由直线与直线的斜率之比为，得： 又因为点在上，所以，，将代入，解得， 所以的方程为. （2） 当直线斜率为0时，分别为轴上两个端点， 此时，要满足成立， 则，此时点，点，猜想直线斜率不为0时，定点， 当直线斜率不为0时，设 由得 ， 根据猜想有， 此时，满足也成立， 所以综上，椭圆的长轴上存在定点，使得直线与椭圆交于两点时，恰好成等差数列. 3．（2025·江西景德镇·三模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，求面积的最大值； (3)设，直线分别交于两点，证明：直线过定点． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）先根据椭圆离心率得出、与的关系，再把代入椭圆方程求出关于、的表达式，结合，联立方程解出、、，进而得到椭圆方程. （2）先确定、坐标，设出直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理求出和，算出，根据三角形面积公式得出面积表达式，再利用均值不等式求出面积最大值. （3）先把直线与椭圆方程联立，用韦达定理求出，再代入直线方程得，从而确定点坐标，同理得点坐标.因为直线MN过定点，利用两点斜率相等列等式，又已知，，代入等式化简，让等式恒成立求出的值，进而得到直线MN过的定点. 【详解】（1）设（），由的离心率为，得，，① 在中，令，得， 则当垂直于轴时，，② 由①，②，解得，则，， ∴的方程为． （2）由题意，知，， 显然与轴不重合，可设：，设，， 联立，消去x并整理，得， 由韦达定理，得，， 则， 则面积， 而，当且仅当，即时等号成立，∴面积的最大值为． （3）设，，， 直线与椭圆联立可得，， 根据韦达定理可得，，∴，， 即，同理，， 根据对称性，直线过定点， 则，∵，， ∴，∴，解得， 即直线过定点． 4．（2025·安徽·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且满足． (1)求椭圆的方程； (2)在直线上取一点，连接交椭圆于两点、，若，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)或 【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）依题意，设直线的斜率为，则直线的方程为，设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据题中条件得出，可得出，结合韦达定理求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）因为为椭圆上一点，且满足，则， 由题意知，得， 故椭圆的方程为． （2）若直线的斜率不存在，则该直线与椭圆相离，不合乎题意， 由题意可知，直线不与轴重合， 依题意，设直线的斜率为，则直线的方程为， 设、， 联立消得， 则， 可得①，②， 由，，， ，整理得③， 由①③得，代入②，解得， 直线的方程为或， 若直线的方程为，则点； 若直线的方程为，则点. 综上所述，点坐标为或． 5．（2025·河北·模拟预测）已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线被曲线所截的弦长为，求的值； (3)若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【知识点】轨迹问题——椭圆、根据韦达定理求参数、根据弦长求参数 【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹为一个椭圆，根据题给条件写出椭圆的标准方程即可. （2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式列等式即可求解. （3）设出直线的方程，联立直线与椭圆，并应用韦达定理写出根与系数关系.再根据题给条件写出点坐标与的关系，得到关于的方程，即可求解. 【详解】（1）根据题意可知，，所以， 点到两定点的距离和是一个常数，且这个常数大于，所以点的轨迹是以点，为焦点，为长半轴长的一个椭圆. 设椭圆的方程为， 则该椭圆的则. 所以曲线的方程为. （2）设直线与曲线的两交点的坐标分别为 根据题意，联立，可得， 所以， 弦长为 ， 则，化简得， 即得，所以的值为. （3）设，，直线的方程为，    联立，可得，， 所以， 设点，因为，可得， 则，得， 故，， 又因为，则，可得， 所以，可得， 得或（舍），所以. 6．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为1. (1)求椭圆的方程； (2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点， （i）求点M到直线距离的最大值； （ii）设直线与x轴交于点C，直线与y轴交于点D，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii） 【知识点】求点到直线的距离、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆的通径长和的关系求的值，确定椭圆方程. （2）（i）设，根据点到直线的距离公式，结合三角函数的最值，可求点M到直线距离的最大值. （ii）先确定四边形的面积为定值，再求面积的最大值，即可得面积的最大值. 【详解】（1）由题意：，解得. 所以椭圆的方程为：. （2）（i）如图： 易知：，，所以直线的方程为：. 设，因为在第一象限，所以可取. 所以点到直线的距离为： ，当时取“”. 所以点M到直线距离的最大值为. （ii）因为直线的方程为：，令可得； 直线的方程为：，令可得. 所以四边形的面积为： 为定值. 又面积的最大值为：， 所以面积的最大值为：. 7．（2025·山东济南·二模）已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）. 【知识点】圆的弦长与中点弦、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由点在椭圆上求出椭圆参数，即可得方程； （2）（i）设，结合及点在椭圆上求得，即可得直线方程；（ii）设直线方程联立椭圆，应用韦达定理及得到，再分类讨论求直线所过的定点，注意直线斜率不存在的情况，进而求弦长最小值. 【详解】（1）由题意，知PF与x轴垂直，， 令，解得，即，解得或（舍去）， 故，椭圆C的标准方程为． （2）（i）当直线AB斜率不存在时，设， 则，， 由，知，又，解得或1（舍去）， 故直线AB的方程为； （ii）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立椭圆C的方程，得， 设，由韦达定理知， 于是， 由知， ， 若，则直线AB为，直线AB恒过定点，不合题意， 若，则直线AB为，直线AB过定点， 当直线AB斜率不存在时，直线AB也过点， 于是直线AB恒过定点， 当直线AB与OM垂直时，圆心O到直线AB的距离最大，为， 故直线AB被圆O所截得的弦的长度的最小值为．    8.（2025·江西鹰潭·二模）在平面直角坐标系中，已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为 （ⅰ）若，求出的值； （ⅱ）设直线与轴交于点，求的面积S的最大值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由三角形的面积公式，椭圆的性质，三角形内切圆半径列方程组解出可得； （2）（i）设直线的方程为，直曲联立，用韦达定理表示出斜率之间的关系化简可得； （ii）方法一，由点斜式得到直线的方程，求出点坐标，联立曲线方程求出，再由三角形的面积公式表示出面积，然后利用换元法令，结合基本不等式求解； 方法二，先由（i）得到点是线段的中点，故的面积， 思路1  当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，设直线的方程为，直曲联立，令判别式等于零得到最大距离即可； 思路2  由点到直线的距离表示出，设，，结合辅助角公式求解. 【详解】（1）由题意知，则， 又，， 又，，解得，，， 所以椭圆的方程为.    （2）（ⅰ）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点，， 联立方程组整理得， ， 所以，， （ⅰ）， 即， （ⅱ）法一：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点，直线的方程为，令，得，故联立方程组整理得， 解得或0（舍），， 所以的面积 ， 由（ⅰ）可知，，故，代入上式， 所以， 因为点在轴下方且不在轴上，故或，得， 所以， 显然，当时，，当时，， 故只需考虑，令，则， 所以， 当且仅当，，即时，不等式取等号， 所以的面积的最大值为． 法二：直线的方程为，令，得，故，设直线与轴交于点，直线的方程为，令，得，故， 由（ⅰ）可知，，故，所以点是线段的中点， 故的面积， 其中为点到直线的距离， 思路1  显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值， 设直线的方程为，即， 联立方程组整理得， 据，解得（正舍）， 所以平行直线与直线之间的距离为 ，即的最大值为， 所以的面积的最大值为． 思路2  因为直线的方程为，所以， 因为在椭圆上，故，设，，不妨设， 所以， 当，，时，， 即的面积的最大值为．    考点6 双曲线的定义、方程及其几何性质 1．（2025·湖北·模拟预测）已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，M为C上一点，轴，过的直线分别交y轴和线段于H，N两点，直线交y轴于G点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】设，可得，利用相似三角形建立关系求得，进而得到，得解. 【详解】如图，设，由，得， 由，可得，即，则， 又，得，即， ，即，解得， ，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 2．（2025·安徽·模拟预测）已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据题意作图，利用点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程计算求解. 【详解】    如图，由题意，设，则，即． 因为渐近线方程为，所以， 因为，所以. 故选：D. 3．（2025·浙江台州·二模）已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，根据双曲线定义表示，在中利用余弦定理可得，在中利用余弦定理可得的关系，即可得到双曲线离心率. 【详解】由双曲线定义得，，， 设，则由图，， 在中，由余弦定理得，解得， ∴. 在中，由余弦定理得， ∴，故离心率. 故选：B. 4．（2025·河北邯郸·二模）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设内切圆圆心为，三个切点分别为，由切线长定理可得，进而可得，设，利用余弦定理可得，利用三角形面积公式可得，进而得，利用勾股定理可求离心率. 【详解】设内切圆圆心为，三个切点分别为， 如图，由切线长定理可得， 即 ，圆与轴切于左端点．内切圆半径． 设，， ， •， ，，， 由勾股定理，整理得， 所以，解得，即或（舍去）， 所以. 故选：D. 5．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设与交于点，根据条件可得，，求出点的坐标，由关系求出点的坐标，利用得到关系，运算得解. 【详解】如图，设与交于点， 由，且是的中点，所以，又， 所以，又，易得，， 则，代入双曲线方程可得， 设点，则，， 又设，由可得，即， 由，得，即， 化简整理得，，解得或， 又，，解得. 故选：D. 6．（2025·湖北·二模）已知点为抛物线的焦点，点在的准线上，点在上，若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式、抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设，则，可得，则，进而，即可求得. 【详解】如图，过作于，由抛物线的定义知， 又，则，设，则， 因为，则，所以. 由于轴，所以，则， 则， 所以，则. 故选：D.    7．（2025·安徽安庆·模拟预测）设双曲线：的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则C的离心率为 . 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】求出因为，再由可得答案. 【详解】因为，，所以， 双曲线：的两条渐近线方程分别为， 若，则的倾斜角为，的倾斜角为， 即，解得， 则C的离心率为. 故答案为：. 8．（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的轨迹方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再设出点的坐标，并表示出点，将三角形面积表示为的函数，借助对勾函数的性质求出范围. 【详解】依题意，以为直径的圆的圆心为，而点在圆外，且圆圆心，半径1， 由两圆相切，得，整理得， 设，由，得， 而点在上，则，整理得， 直线，的倾斜角为，则， 的面积， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 则，因此， 所以面积的取值范围为. 故选：D 9．（2025·北京丰台·一模）图1是出土于陕西西安的金筐宝钿团花纹金杯.它杯口外侈，器壁内弧，腹部内收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用复杂的金筐宝钿工艺，器腹以如意云头纹分割，内焊团花，边缘排满小金珠，是唐代金银器精品.图2是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝钿团花纹金杯制作的一只团花纹陶艺杯，其主体部分（忽略杯底部分）外轮廓可近似看作双曲线C的一部分.经测量，该陶艺杯主体部分上底直径（即杯口直径）约，下底直径约，腹部最细处直径约，主体部分高约，则下列各数中与双曲线C的离心率最接近的是（   ）（参考数据：，）    A． B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设双曲线的标准方程为，得到，设点，代入双曲线的方程，求得，结合，的关系可求得离心率的值. 【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为， 因为最小直径为，可得，即， 又因为主体部分高，上底直径为，下底直径约， 设点，所以且， 解得，即，故 故， 故选：B.    考点7 直线和双曲线的位置关系 1．（2025·陕西榆林·二模）已知离心率为2的双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线在第一象限交点为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、由双曲线的离心率求参数的取值范围 【分析】作出辅助线，得到，故为等腰三角形，，由双曲线定义得到，由余弦定理得到，进而得到正切值，利用得到斜率，并判断出CD错误. 【详解】由，得，设中点为． 故， 由得，故， 故为等腰三角形，    即， 又，所以． 所以中，． 则，， 所以直线的斜率， 显然直线与轴交于负半轴，，CD错误. 故选：B. 2．（2025·吉林·三模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线与轴交于点，设为的内心，且，则 ， ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意有是角的角平分线，由角平分线定理有得和，利用余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线的光学性质有：是角的角平分线， 由角平分线定理可知，， 由双曲线定义可知， 在中，由余弦定理可得，， ， 连接为内心，是的角平分线， 在中，由角平分线定理可知． 3．（2025·山东淄博·一模）已知双曲线，离心率，点在双曲线上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)点，分别是双曲线C的左右焦点，过点的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，若的周长为12，求直线l的方程. 【答案】(1)；(2). 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上求椭圆参数，即可得方程； （2）根据双曲线的定义及已知得，设联立双曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求得，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意可得，则，即， 又因为点在双曲线上，所以，解得，， 所以双曲线C的标准方程为：. （2） 因为的周长为12，所以①， 由双曲线的定义可得：，， 所以②， 由①②可得：， 由（1）知，所以， 因为直线l的斜率不为0，设， 则联立直线与双曲线，可得， 当，即，直线与双曲线只有一个交点，不合题意， 所以，，， 所以， 所以， 解得（舍去）或，所以， 直线l的方程为：，即. 4．（2025·四川绵阳·三模）已知双曲线的左右顶点为，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于两点，为坐标原点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上存在点，且，求此时直线的方程. (3)过点的直线双曲线于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线向量共线比例问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意可得，解出的值即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与双曲方程，结合韦达定理及题设可得，进而代入双曲线方程即可求出，进而得解； （3）由（2）可得，设直线的方程为，， 可得由，，可得，，，，表示出，换元，结合对勾函数求解即可. 【详解】（1）由题意，，解得，， 则双曲线的方程为. （2）当直线的斜率为时，， 此时，显然不存在点满足； 则直线的斜率不为，设直线的方程为，， 联立，得， 则，，即， ， 则， 又， 则， 即，代入， 得， 解得或，即（舍去）或， 则直线的方程为， 即. （3）由（2）知，设直线的方程为，， ， 显然直线的斜率不为，设直线的方程为，， 同理可得， 由，， 则，，即，， 所以， ， 所以 ， 令，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，；时，；时，， 则，所以， 函数在上单调递增， 则，即的最小值为.      5．（2025·辽宁沈阳·二模）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 【答案】(1)，且；(2)（ⅰ）；（ⅱ）， 【知识点】求平面轨迹方程、根据方程表示双曲线求参数的范围、求直线与双曲线的交点坐标、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由化为，根据曲线为双曲线可得答案； （2）方法一：（ⅰ）由题意得，，设点，由求出点坐标，求出直线BE的斜率可得直线BG的方程与双曲线方程联立， 由韦达定求出、，且可得答案；（ⅱ）由（ⅰ）得、，结合的范围可得求出的范围可得答案；方法二：（ⅰ）由题意得，，设点，由．求出点坐标，求出直线BE的斜率可得直线BG的方程， 将两式作差，将直线BG方程代入并化简得可得答案；（ⅱ） 由（ⅰ）得的范围，可得答案． 【详解】（1）由，得， 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 则，则， 所以当，且时，曲线为双曲线； （2）方法一：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，，设点，由， 即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为，即， 联立，得， 由直线BG与双曲线有2个交点，则， 又因为满足， 由韦达定得，解得， 因为，且， 得，所以， 又因为，可得， 所以， 因为，所以， 所以，可得，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 所以， 因为，则，则， ； 方法二：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，， 设点，由．即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为， 设点（，），因为， 所以，所以，， 同理，由， 两式作差得， 将直线BG方程代入并化简得（*） 所以，所以， 可得，即的取值范围为； （ⅱ）由（*）式可得， 所以， 由（ⅰ）得， 所以． 6．（2025·山西晋城·二模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线与交于两点，当轴时，． (1)求双曲线的离心率； (2)若经过点，为的左支上一动点． （ⅰ）当的斜率为时，求的面积的最小值； （ⅱ）设，为的右支上一动点，若三点不共线，且平分，证明：直线恒过定点． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的直线过定点问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据弦长列式计算得出结合双曲线计算求解即可； （2）（ⅰ）联立方程得出弦长，再结合对称性应用点到直线距离即可得出面积最小值；（ⅱ）设出直线直线的方程为及方程，联立应用斜率公式结合韦达定理计算求解即可得出定点. 【详解】（1）当轴时，，解得． 由，得，所以， 整理得，解得（舍去）， 故双曲线的离心率为． （2）由（1）知，，又，所以，所以的方程为． 将代入，得，故的方程为． （ⅰ）当的斜率为时，其直线方程为，设，， 联立得， 则，， 所以． 设过点与直线平行的直线的方程为，当直线与的左支相切时，直线与直线之间的距离最小，此时的面积最小． 联立得， 则，解得， 当时，直线与的左支相切，符合题意；当时，直线与的右支相切，不符合题意， 所以直线与直线之间的距离， 故的面积的最小值为． （ⅱ） 证明：由上可知，，所以直线的方程为． 因为平分，所以直线与关于直线对称，所以直线与的斜率之积为1， 显然直线的斜率存在，设其方程为，设，， 联立得， 则，且， ，， ， 整理得， 所以， 即，解得，或． 当时，直线的方程为，即直线恒过定点，三点共线，舍去； 当，且时，此时直线恒过定点． 综上可知，直线恒过定点． 7．（2025·浙江金华·二模）如图，双曲线：的虚轴长为2，离心率为，斜率为的直线过轴上一点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线上存在关于直线对称的不同两点，，直线与直线及轴的交点分别为，. （i）当时，求的取值范围； （ii）当时，求的最小值. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii） 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的最值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）由虚轴及离心率可得，即可得双曲线方程； （2）令，设直线为：，将直线BC方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得，.（i）代入，可得，，结合，可得，最后由可得答案；（ii）由，结合，，，可得关于的表达式，然后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）由题知，解得，双曲线E的标准方程为； （2）令，设直线为：，与联立得，当时， 设，则由韦达定理，及题意可得： 则，，. （i）当时，，， 由，得， 又因为，即， 所以； （ii）由题知，. 因为， 所以，又，， 则， ， 又， 则， 则， 当取得，此时满足题意. 综上，的最小值为. 8．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线经过点，过的焦点作斜率为的直线，与交于两点（在第一象限），过点作直线分别与交于另外两点，设直线的斜率为. (1)求的方程； (2)证明：为定值； (3)过点作两条相互垂直的直线，分别与交于另一点（点均与，不重合），若直线与的斜率之积为，证明直线与相交于定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析，定点为. 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题 【分析】（1）将点坐标代入方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点斜式写出、、的方程，将所过点代入得、，结合即可证； （3）由（2）有，得，结合得到，设直线的方程为，联立抛物线求得，同理有，两点式写出直线并确定所过定点，根据（2）结论得，判断也过定点，即可证. 【详解】（1）根据题意，将代入有，解得，所以的方程为. （2）由（1）可知，设， 则，从而直线为， 即，将代入，有. 同理，直线为，直线为， 将代入，有，又， 所以，为定值. （3）由（2）知，所以，从而点的坐标为. 故， 由，解得（负值舍去）， 所以，易知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，联立， 整理得，所以，即. 设直线的方程为，同理可得. 直线的方程为， 即 ， 所以直线过定点. 另一方面，因为，所以，即直线与垂直， 同的垂直关系求直线所过的定点，易知直线也过点， 即直线与相交于定点，定点坐标为. 9．（2025·湖南岳阳·二模）已知双曲线与抛物线有公共焦点，且. (1)若抛物线的方程为. ①求双曲线的方程； ②设直线与轴交于点，过点的直线交于两点，点在直线上，且直线轴，证明：直线恒过定点. (2)过的直线与抛物线交于两点，与的两条渐近线交于两点（均位于轴右侧）.若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)①；②证明见解析；(2). 【知识点】抛物线中的参数范围问题、抛物线中的直线过定点问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）①根据抛物线计算得出即可得出双曲线方程；②联立直线和双曲线得出韦达定理，再令，再计算求出恒过点； （2）联立直线和抛物线得出，再应用计算及，代入计算求出范围. 【详解】（1）①设双曲线的焦距为，则有，又，则 所以，则， 所以双曲线的方程为. ②由题意得，， 当直线与轴不重合时，设直线的方程为. 由整理得，， 恒成立，由韦达定理得， 则有 由得，直线的方程为，令， 即直线恒过点， 当直线与轴重合时，设，点，直线为轴，也过点 .综上，直线恒过定点. （2）由题意知，，又，则， 所以双曲线的渐近线方程为， 易知直线的斜率不为0，设直线， 由于两点且均位于轴右侧，有， 由，解得， 设，由，消去得， 则有， 由及得， ，即， 又，则，所以， 故实数的取值范围为. 考点8 抛物线的定义、方程及其几何性质 1．（2025·全国·模拟预测）设抛物线的焦点为，过上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：D. 2．（2025·河南·三模）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点，动点满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求点到直线的距离、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据动点满足的条件，得到其轨迹方程，再利用点到直线的距离公式求出的最小值. 【详解】设点，由及，得， 即，又，消去得， 的最小值即为点到直线的距离， 由已知得，而，故的最小值为. 故选：C. 3．（多选）（2025·江西·二模）已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（    ） A．轨迹关于原点对称 B．轨迹关于直线对称 C．当时，轨迹为一条直线 D．当时，轨迹存在最高点 【答案】BD 【知识点】求平面轨迹方程、求抛物线的轨迹方程、判断抛物线的开口方向、求抛物线的对称轴 【分析】设，根据题意写出斜率之差的方程，化简可得的轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，由此可以分析各个选项的正误. 【详解】设，则，整理得， 即，所以轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，故A错误，B正确； 当时，，即一条直线挖去了两个点，故C错误； 当时，轨迹为，开口向下，有最高点，故D正确． 故选：BD. 考点9 直线和抛物线的位置关系 1．（2025·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据以及抛物线定义可得直线的斜率，则可求，以及坐标，即可得点到直线的距离，最后利用面积公式即可. 【详解】如图，过点作，直线与轴分别交与点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得，解得， 则直线：，，得 故点到直线的距离为， 故的面积为. 故选：A 2．（2025·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，点，，向量，且，若为抛物线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、直线的向量参数方程、求点到直线的距离 【分析】先分析点的轨迹为一条直线，确定其方程；再求抛物线的切线，切线斜率与直线斜率相同，结合点到直线的距离公式可求的最小值. 【详解】设，因为，且， 所以， 消去得：即. 因为抛物线，即，则， 由，此时. 因为点到直线的距离为：，即为的最小值. 故选：A 3．（2025·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设,,根据判别式求出为切点的切线方程和以为切点的切线方程,设过直线上任一点为,将代入和,即可求得直线的方程,进而求得点到直线的距离. 【详解】设,,可得,， 设以为切点的切线方程为， 联立与抛物线的方程可得， 故，解得， 故以为切点的切线方程为:,即——① 同理可得,以为切点的切线方程为: ——② 设过直线上任一点为 代入①②得 所以直线的方程为,即, 故过定点, 当时,到的距离的最大值为:. 故选:B 4．（多选）（2025·安徽·模拟预测）已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（   ） A． B．当时， C．可以为 D．周长的最小值是11 【答案】ABD 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线的应用、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题 【分析】对于A项，设直线AB的解析式为，联立，由抛物线的定义及韦达定理求解；对于B项，设点到直线AB的距离为，则，，进行求解；对于C项，由进行判断；对于D项，由抛物线的定义知，的最小值是点到抛物线准线的距离，进行求解． 【详解】设直线AB的解析式为，联立，消去得， ． 对于A，由抛物线定义知，，， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，设点到直线AB的距离为，则，，即， 解得或（负值舍去）， 则．故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由抛物线的定义知，的最小值是点到抛物线准线的距离，的最小值为6， 又周长的最小值是11，故D正确． 故选：ABD. 5．（多选）（2025·四川成都·三模）已知抛物线：与圆M：交于A，B两点，圆M与y轴的负半轴交于点P，为坐标原点，则（   ） A． B．若为等边三角形，则 C．存在，使得 D．直线与抛物线C相切 【答案】ABD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、直线与抛物线交点相关问题、平面解析综合 【分析】根据抛物线与圆的对称性，结合曲线方程联立求解相关点的坐标，再结合三角形的性质、线段长度关系以及直线与抛物线的位置关系来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，抛物线的顶点为，圆的圆心为.因为抛物线与圆交于，两点，所以圆与抛物线有两个不同的交点，那么圆的半径（当时，圆与抛物线相切于原点），故选项A正确. 对于选项B，由，可得. 因为，所以，则，即. 不妨设，. 已知圆与轴的负半轴交于点， 令，则，解得，因为在轴负半轴，所以. 若为等边三角形，则，点到的距离为. 根据等边三角形的性质，点到的距离为，即， 令，则，即，解得（舍去）或，所以，解得，故B选项正确. 对于选项C，若，，. 则，两边平方得，即，解得，这与矛盾，所以不存在使得，故C选项错误. 对于选项D，已知，，则直线的斜率. 对抛物线求导，由，可得. 在点处的切线斜率，直线的斜率与抛物线在点处的切线斜率相等，所以直线与抛物线相切，故D选项正确. 故选：ABD. 6．（多选）（2025·辽宁·二模）已知焦点为的抛物线与圆交于两点，且，点在抛物线上，且过两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有（   ） A．拋物线C的方程为： B．若三点共线，则点横坐标为 C．若三点共线，且倾斜角为，则的面积是 D．若点，且三点共线，则的最小值是9 【答案】AD 【知识点】基本不等式求和的最小值、抛物线中的定直线、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】A先求出点坐标，再将其代入抛物线方程中；B先设直线得出韦达定理，再利用点坐标设切线方程并与抛物线方程联立，利用求出切线方程，即可求出点的坐标；C利用弦长公式求出，再计算点到直线的距离即可求；D设直线方程，再利用弦长公式求出的长度，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】对于A，因为，且在圆上，所以由对称性不妨设， 又因为点在抛物线上，所以， 因此抛物线方程，故A正确； 对于B，设，且过的直线方程 联立，得，则， 设在点处的切线方程为， 与联立得，， 因，则， 则在点处的切线方程为， 同理在点处的切线方程， 所以联立，并结合， 解得，所以点， 所以点的横坐标为，即，故B错误； 对于C，因为过的直线方程的倾斜角，所以， 联立，得，则， 所以， 又由B 选项可知，，所以点到直线的距离是， 所以，故C错误；    对于D，设过的直线方程 联立，得，则， 又因为，同理，， 且， 所以 ， 等号成立的条件为，即，即，故D正确.    故选：AD. 7．（24-25高三下·海南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据焦半径公式即可求解， （2）联立直线与抛物线的方程，结合中点坐标公式可得，，即可根据斜率公式，以及点斜式求解直线方程得解. 【详解】（1）的准线方程为， 因为点在上，且，即，得， 所以的方程为． （2）由（1）知，设． 设的方程为，代入，得． 所以，则， 代入，得，所以． 因为，所以的方程为，同理可得． 当时，，直线． 当时，， 直线的方程为， 即， 整理得． 所以直线过定点． 8．（2025·浙江杭州·二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点】抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）由题意得到，即可求解； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解； （3）由（2）结合两点斜率公式即可求解. 【详解】（1）由题意知，所以抛物线方程为. （2） 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. （3）设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 9．（2025·河北·二模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆与的准线相切． (1)求的标准方程； (2)已知是上的一点，是轴上的一点，若的最小值为4，求点的坐标； (3)过点作直线与交于两点，且在两点处的切线交于点，证明：． 【答案】(1)；(2)或；(3)证明见解析 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意设出抛物线方程，根据圆的方程明确圆心与半径，结合切线的性质，可得答案； （2）设出动点坐标，根据两点距离公式写出函数解析式，结合二次函数性质，可得答案； （3）由题意设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，利用导数求得切线方程，联立求交点，结合距离公式，可得答案. 【详解】（1）由题意，设的方程为，准线为， 因为圆与的准线相切，且圆心为，半径为 所以，解得，所以的标准方程为． （2）设， 当，即时，，解得或（舍去）； 当，即时，，解得， 所以点的坐标为或． （3） 证明：根据题意，直线的斜率存在，， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 所以， 对求导，得， 由，解得，所以． 因为， 所以 ， 又，所以. 考点10 圆锥曲线的新定义 1．（2025·江西南昌·二模）将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】易知“飘带”函数的渐近线，设两渐近线夹角为（），则，求得，进而旋转之前双曲线的一条渐近线斜率，结合计算即可求解. 【详解】“飘带”函数的渐近线为与轴， 设两渐近线夹角为（），则， 整理得，又， 所以，整理得， 由，解得. 所以旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 2．（多选）（2024·广东江苏·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 【答案】ABD 【知识点】由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B：又曲线方程为，而， 故. 当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得， 故，故D正确. 故选：ABD. 3．（多选）（2025·湖北武汉·二模）已知曲线，为曲线C上任一点，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线C与直线恰有四个公共点 B．曲线C与直线相切 C．是关于的函数 D．是关于的函数 【答案】BD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数、利用导数研究方程的根、由方程研究曲线的性质 【分析】对于A，构造，利用导数讨论其在上的零点个数为3后可判断其正误，对于B，利用导数可判断可判断其正误，对于C，结合零点存在定理可判断其正误，对于D，利用导数判断函数的单调性后可得其正误. 【详解】对于A，由消元法可得，所以， 当或时，或，故此时无解， 下面考虑上方程的解的个数， 设，其中， 设且，则的解为，， 而， 故当或时，，当时，， 故在，上为减函数，在上为增函数， 而，且， ，而，故， 故，， 故在有3个不同的实数根，故A错误； 对于B，由可得，故， 对两边求关于的导数， 则， 故当时，有， 当， ，而直线的斜率为2， 故曲线与直线相切，故B正确. 对于C，取，考虑即方程的解的个数， 设，则， ， ，， 故至少有两个零点，故有两个不同的解， 故不是关于的函数，故C错误； 对于D，，则， 故为的减函数，且当时，，当时，， 故对任意，方程即有唯一解， 故是关于的函数，故D正确； 故选：BD. 4．（24-25高三下·山东·阶段练习）对于抛物线，给定一点，若抛物线上存在两点，，使得，且不与轴垂直，则称弦是拋物线的一条“伴随弦”.已知抛物线存在“伴随弦”. (1)求的取值范围. (2)求伴随弦的中点的轨迹方程.（用表示） (3)伴随弦的弦长是否有最大值？若有，求出最大值（用表示）；若没有，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)当时无最大值，当时有最大值，且最大值为. 【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的参数范围问题、圆锥曲线新定义 【分析】（1）设，条件可转化存在使得为直线与抛物线在轴上及其右侧有两个交点，结合二次函数图象列不等式可求结论； （2）设，，证明的横坐标在定直线上，又与直线交点为即可求解； （3）由两点的距离公式有，利用基本不等式有，可得，解得，把看成关于的二次函数，最后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设，则点，在圆上， 由，得. 由题意知，存在使得这个关于的方程有两个不相等的非负根. 转化为直线与抛物线在轴上及其右侧有两个交点， 只需抛物线的对称轴在轴的右侧， 即，得， 的取值范围是. （2）设，，则. 由，得. 直线AB的斜率为， 直线的斜率为，. 将点的坐标代入上面的方程，整理得， 点在直线上. 抛物线与直线的交点为， 显然点的纵坐标的绝对值小于， 又不与轴垂直，故， 点的轨迹方程为. （3） . 由（2）得， 故，即. 又为关于的二次函数且当且仅当时取得最大值， 当，即时，弦长有最大值，当且仅当时取等号， 当时，，则无最大值. 综上所述，当时无最大值，当时有最大值，且最大值为. 5．（2025·辽宁·二模）已知抛物线，焦点为．抛物线上有一点，直线与抛物线的另一个交点为．按照如下方式依次构造点，过作x轴的垂线，垂足为，垂线与抛物线C的另一个交点为．作直线，与抛物线C的另一个交点为，直线与x轴的交点为．记．    (1)若，求； (2)求证：数列是等比数列，并用m表示数列的通项公式； (3)对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用m表示这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析，；(3)为定值 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由两点求得直线方程，联立抛物线方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线，写出韦达定理，结合等比数列的定义，可得答案； （3）根据三角形面积公式，整理化简，可得答案. 【详解】（1）   ， 直线，联立可得， 直线，联立可得，则， 由，可得， 综上可得：； （2）一方面，对任意的自然数k，都有直线过点， 设直线的方程为：， ，， 则， 因为，，故①， 另一方面，对任意的自然数k，都有直线过点 设直线的方程为：， ，， 则， 因为，，故②， 由①得：， 两式相乘得：③， 把②带入③，得：， 即：， 综上可得：递推知数列是等比数列，且公比为． 又，故． （3）对任意的自然数， ，    另解： ， ， 因此，，所以面积之比为定值． 6．（2025·山东济南·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． (1)判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ①；②． (2)过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组； (3)从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 【答案】(1)①不是，②是；(2)证明见解析；(3). 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、计算古典概型问题的概率、数列新定义 【分析】（1）根据有趣数组的定义判断即可； （2）联立直线与圆，应用韦达定理有，，代入圆的方程得，取，其中，应用反证思想，假设存在正整数i和j且i，，使得到矛盾，即可证明结论并确定2的一列有趣数组； （3）由（1）（2）结论，只需讨论，结合新定义及反证思想判断是否为有趣数组，即可得. 【详解】（1）①不是，因为数组中的任何两个都是比例关系； ②是，因为数组中的任何两个都不是比例关系. （2）直线AB的方程为，联立圆的方程， 整理得， 由韦达定理得，即， 于是，又点B的坐标满足圆的方程， 于是，即． 取，其中， 若存在正整数i和j且i，，使，那么． 因为，则有比例性质， 于是， ， 故，则，矛盾！ 故对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则2是有趣数， 所以2的一列有趣数组为． （3）由（1）可知1是有趣数；由（2）可知2是有趣数； 当时，假设方程有正整数解， 设是所有正整数解中使x最小的一组解，由，故是3的倍数， 若，k，l为非负整数，则不可能是3的倍数，矛盾！ 同理，或，或也不成立． 若为3的倍数，则也为3的倍数， 设，则，即，故为3的倍数． 设，则有，所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾． 因此方程没有正整数解，则3不是有趣数， 当时，由（1）知，则， 此时取，其中，…， 由比例性质同理可知对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则4是有趣数， 当时，过点作斜率为的直线交圆于另一点D， 则直线CD的方程为，联立圆的方程， 整理得， 由韦达定理可得，即， 于是，又点D的坐标满足圆的方程， 于是，即． 取，其中，…， 由比例性质同理知：对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则5是有趣数．         当时，假设方程有正整数解， 设是所有正整数解中使x最小的一组解． 由于，故是3的倍数， 由时的分析可知和都是3的倍数， 设，则，即， 故：为3的倍数． 设，则有． 所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾． 因此方程也没有正整数解，则6不是有趣数．            因此1，2，…，6中的有趣数为1，2，4，5，所求概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 查漏补缺05 解析几何（10大考点） 目录 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 圆的方程 考点2 直线和圆的位置关系 考点3 圆和圆的位置关系 考点4 椭圆的定义、方程及其几何性质 考点5 直线和椭圆的位置关系 考点6 双曲线的定义、方程及其几何性质 考点7 直线和双曲线的位置关系 考点8 抛物线的定义、方程及其几何性质 考点9 直线和抛物线的位置关系 考点10 圆锥曲线的新定义 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 圆的方程 1．（2025·安徽·模拟预测）已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 . 2．（2025·北京通州·一模）若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 考点2 直线和圆的位置关系 1．（2025·广东揭阳·二模）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 2．（2025·江西景德镇·三模）动圆经过直线与的交点，过原点向动圆作切线，切点为，若恒成立，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·二模）我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·福建厦门·三模）过点的直线交圆于点P，Q，交圆于点M，N，其中T，P，Q，M，N顺次排列.若，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·广东揭阳·二模）已知曲线，一条不过原点的动直线与x，y轴分别交于，两点，则下列结论正确的是（   ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线形成封闭图形的面积大于 C．当时，线段中点的轨迹与曲线相切 D．当时，直线与曲线相切 6．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 . 考点3 圆和圆的位置关系 1．（2025·浙江宁波·三模）已知点，到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·江西新余·模拟预测）数学之美，古来共谈．如图甲，在平面直角坐标系中有⊙O：与x轴分别交于、两点，为⊙O上的动点，以为直径的⊙E的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，⊙E扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作），则下列说法正确的是：（   ）． A．若，则⊙E与轴公共点坐标为和 B．图乙中内的点到轴距离的最大值为1.25 C．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的半径最小为 D．图乙中与轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为 3．（24-25高三下·江苏·阶段练习）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆.圆C与圆交于A，B两点，则当最大时， . 4．（2025·山东日照·二模）已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 考点4 椭圆的定义、方程及其几何性质 1．（24-25高三下·山西·阶段练习）已知为椭圆上一动点．设点，，则的最小值为 ． 2．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·辽宁沈阳·二模）在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（    ） A．当点与圆心重合时，点的轨迹为圆 B．当点在圆上时，点的轨迹为抛物线 C．当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆 D．当点在圆外时，点的轨迹为双曲线 4．（2025·江西宜春·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，且该椭圆与抛物线相交于不同的两点，，且四边形的外接圆直径为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 5．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆，圆，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为 ． 考点5 直线和椭圆的位置关系 1． （2025·湖南·二模）已知椭圆，为的右焦点，为第一象限内椭圆上的一点，过点作的切线，与、轴分别交于，两点，若，则点的坐标为 . 2．（2025·广东·二模）已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上.点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于两点，当点在直线上运动时，恒构成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 3．（2025·江西景德镇·三模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，求面积的最大值； (3)设，直线分别交于两点，证明：直线过定点． 4．（2025·安徽·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且满足． (1)求椭圆的方程； (2)在直线上取一点，连接交椭圆于两点、，若，求点的坐标． 5．（2025·河北·模拟预测）已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线被曲线所截的弦长为，求的值； (3)若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 6．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为1. (1)求椭圆的方程； (2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点， （i）求点M到直线距离的最大值； （ii）设直线与x轴交于点C，直线与y轴交于点D，求面积的最大值. 7．（2025·山东济南·二模）已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 8.（2025·江西鹰潭·二模）在平面直角坐标系中，已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为 （ⅰ）若，求出的值； （ⅱ）设直线与轴交于点，求的面积S的最大值． 考点6 双曲线的定义、方程及其几何性质 1．（2025·湖北·模拟预测）已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，M为C上一点，轴，过的直线分别交y轴和线段于H，N两点，直线交y轴于G点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江台州·二模）已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北邯郸·二模）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（   ） A． B． C．2 D． 5．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·二模）已知点为抛物线的焦点，点在的准线上，点在上，若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025·安徽安庆·模拟预测）设双曲线：的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则C的离心率为 . 8．（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·北京丰台·一模）图1是出土于陕西西安的金筐宝钿团花纹金杯.它杯口外侈，器壁内弧，腹部内收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用复杂的金筐宝钿工艺，器腹以如意云头纹分割，内焊团花，边缘排满小金珠，是唐代金银器精品.图2是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝钿团花纹金杯制作的一只团花纹陶艺杯，其主体部分（忽略杯底部分）外轮廓可近似看作双曲线C的一部分.经测量，该陶艺杯主体部分上底直径（即杯口直径）约，下底直径约，腹部最细处直径约，主体部分高约，则下列各数中与双曲线C的离心率最接近的是（   ）（参考数据：，）    A． B．2 C． D．3 考点7 直线和双曲线的位置关系 1．（2025·陕西榆林·二模）已知离心率为2的双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线在第一象限交点为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林·三模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线与轴交于点，设为的内心，且，则 ， ． 3．（2025·山东淄博·一模）已知双曲线，离心率，点在双曲线上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)点，分别是双曲线C的左右焦点，过点的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，若的周长为12，求直线l的方程. 4．（2025·四川绵阳·三模）已知双曲线的左右顶点为，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于两点，为坐标原点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上存在点，且，求此时直线的方程. (3)过点的直线双曲线于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的最小值. 5．（2025·辽宁沈阳·二模）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 6．（2025·山西晋城·二模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线与交于两点，当轴时，． (1)求双曲线的离心率； (2)若经过点，为的左支上一动点． （ⅰ）当的斜率为时，求的面积的最小值； （ⅱ）设，为的右支上一动点，若三点不共线，且平分，证明：直线恒过定点． 7．（2025·浙江金华·二模）如图，双曲线：的虚轴长为2，离心率为，斜率为的直线过轴上一点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线上存在关于直线对称的不同两点，，直线与直线及轴的交点分别为，. （i）当时，求的取值范围； （ii）当时，求的最小值. 8．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线经过点，过的焦点作斜率为的直线，与交于两点（在第一象限），过点作直线分别与交于另外两点，设直线的斜率为. (1)求的方程； (2)证明：为定值； (3)过点作两条相互垂直的直线，分别与交于另一点（点均与，不重合），若直线与的斜率之积为，证明直线与相交于定点，并求出定点的坐标. 9．（2025·湖南岳阳·二模）已知双曲线与抛物线有公共焦点，且. (1)若抛物线的方程为. ①求双曲线的方程； ②设直线与轴交于点，过点的直线交于两点，点在直线上，且直线轴，证明：直线恒过定点. (2)过的直线与抛物线交于两点，与的两条渐近线交于两点（均位于轴右侧）.若实数满足，求的取值范围. 考点8 抛物线的定义、方程及其几何性质 1．（2025·全国·模拟预测）设抛物线的焦点为，过上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·河南·三模）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点，动点满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·江西·二模）已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（    ） A．轨迹关于原点对称 B．轨迹关于直线对称 C．当时，轨迹为一条直线 D．当时，轨迹存在最高点 考点9 直线和抛物线的位置关系 1．（2025·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D．2 2．（2025·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，点，，向量，且，若为抛物线上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（多选）（2025·安徽·模拟预测）已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（   ） A． B．当时， C．可以为 D．周长的最小值是11 5．（多选）（2025·四川成都·三模）已知抛物线：与圆M：交于A，B两点，圆M与y轴的负半轴交于点P，为坐标原点，则（   ） A． B．若为等边三角形，则 C．存在，使得 D．直线与抛物线C相切 6．（多选）（2025·辽宁·二模）已知焦点为的抛物线与圆交于两点，且，点在抛物线上，且过两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有（   ） A．拋物线C的方程为： B．若三点共线，则点横坐标为 C．若三点共线，且倾斜角为，则的面积是 D．若点，且三点共线，则的最小值是9 7．（24-25高三下·海南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点． 8．（2025·浙江杭州·二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 9．（2025·河北·二模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆与的准线相切． (1)求的标准方程； (2)已知是上的一点，是轴上的一点，若的最小值为4，求点的坐标； (3)过点作直线与交于两点，且在两点处的切线交于点，证明：． 考点10 圆锥曲线的新定义 1．（2025·江西南昌·二模）将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数，“对勾”函数，“飘带”函数等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数的图象，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024·广东江苏·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 3．（多选）（2025·湖北武汉·二模）已知曲线，为曲线C上任一点，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线C与直线恰有四个公共点 B．曲线C与直线相切 C．是关于的函数 D．是关于的函数 4．（24-25高三下·山东·阶段练习）对于抛物线，给定一点，若抛物线上存在两点，，使得，且不与轴垂直，则称弦是拋物线的一条“伴随弦”.已知抛物线存在“伴随弦”. (1)求的取值范围. (2)求伴随弦的中点的轨迹方程.（用表示） (3)伴随弦的弦长是否有最大值？若有，求出最大值（用表示）；若没有，请说明理由. 5．（2025·辽宁·二模）已知抛物线，焦点为．抛物线上有一点，直线与抛物线的另一个交点为．按照如下方式依次构造点，过作x轴的垂线，垂足为，垂线与抛物线C的另一个交点为．作直线，与抛物线C的另一个交点为，直线与x轴的交点为．记．    (1)若，求； (2)求证：数列是等比数列，并用m表示数列的通项公式； (3)对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用m表示这个定值；若不是，请说明理由． 6．（2025·山东济南·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． (1)判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ①；②． (2)过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组； (3)从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$