平面向量(5大考点)专练-2025届高三数学三轮冲刺（新高考地区适用）

查漏补缺03 平面向量（5大考点） 目录 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 向量的线性运算 考点2 向量的数量积运算 考点3 向量的坐标运算 考点4 向量与其它知识的融合 考点5 向量新定义 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 向量的线性运算 1．（2025·安徽滁州·二模）已知为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】由题意得. 故选：B. 2．（2025·广东茂名·二模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可． 【详解】因为向量不共线，且， 设，即， 所以，解得． 故选：D． 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算、向量减法的法则、用基底表示向量 【分析】利用向量的线性运算，即可用基底表示. 【详解】 因为，所以为中点，即， 又因为点E为边上的中点，所以， 由， 因为，，所以， 故选：D. 4．（多选）（24-25高三下·广东肇庆·阶段练习）下列叙述命题错误的是（    ） A．若，则与的方向不一定相同 B．若，则 C． D．若非零向量与方向相同或相反，则与，中之一向量的方向相同 【答案】BCD 【知识点】零向量与单位向量、向量加法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】当与中至少有一个为零向量时可判断A；当时可判断B；由向量的加法为向量判断C；当时判断D. 【详解】对于A，当与中有一个为零向量时，与方向不一定相同，故A正确； 对于B，当时，，但与不一定相等，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，与，方向不一定相同，故D错误. 故选：BCD 5．（2025·辽宁·二模）已知向量，向量满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】向量减法的法则、向量模的坐标表示 【分析】由题意可得：，，根据向量减法的运算性质即可得结果. 【详解】由题意可得：， 因为，则， 当且仅当反向时，等号成立，所以的最小值为1. 故选：A. 考点2 向量的数量积运算 1．（2025·广东揭阳·二模）已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据已知结合数量积的运算律求出.进而得出，即可得出答案. 【详解】由已知，可得，，即. 又平面向量与均为单位向量，所以. 所以，， 所以，，夹角为. 故选：A. 2．（2025·江西·二模）若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】由投影向量的定义可列出等式，求出向量与的夹角. 【详解】设向量与的夹角为，则由题意可知，， 因为向量的夹角，所以. 故选：B. 3．（2025·河南周口·二模）在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律 【分析】根据等边三角形可得，再根据平面向量的线性运算与数量积的运算性质即可得结论. 【详解】    在等边中，， 由于点M为AB的中点，点N满足， 所以. 故选：D. 4．（多选）（2025·辽宁·二模）已知平面单位向量满足．设，向量与的夹角为，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由得，设，根据平面向量夹角公式表示出，设求得即可求解． 【详解】由得，，设， ， ， 则， 设，则， 则， 所以，即， 故选：AB． 5．（2025·四川·三模）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】设与的夹角为，则，利用投影向量的定义可得出的值，即可得出角的值，即为所求. 【详解】设与的夹角为，则， 因为在上的投影向量为，可得， 故，即与的夹角为. 故答案为：. 6．（2025·浙江·二模）若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量、数量积的运算律 【分析】根据投影向量定义计算得出数量积，再根据夹角公式计算求出余弦值，最后根据夹角范围计算夹角即可. 【详解】在上投影向量，，， 则，由于，. 故答案为：. 考点3 向量的坐标运算 1．（2025·安徽淮北·二模）已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量共线以及垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得，则， 由可得，解得. 故选：D 2．（2025·湖南·二模）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C．. D． 【答案】D 【知识点】求投影向量 【分析】计算，根据投影向量的计算公式直接计算即可. 【详解】因为，所以， 在上的投影向量为. 故选：D 3．（2025·陕西咸阳·二模）在直角梯形中，，且，，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立直角坐标系，根据坐标运算即可求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意，在直角梯形中，，且，，， ，所以，，，， 因此， 故选：B. 4．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）设为单位向量，，当和夹角最大时，（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、向量与几何最值 【分析】若，则终点的位置在直线上，设，应用数量积的定义及坐标表示、余弦定理、三角形面积公式得、，结合最大，即可得目标向量的数量积. 【详解】若，而，则终点的位置在直线上，如下图示， 其中，则， 设，则， 而，显然， 所以，则， 又，可得， 所以，要最大，即最小， 而，当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 5．（2025·湖北·二模）已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为 . 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和投影向量的计算方法，求解即可. 【详解】因为，所以，又， 所以向量在向量上投影向量为，故所求坐标为. 故答案：. 6．（2025·陕西榆林·二模）在平面直角坐标系Oxy中，点，写出正方形ABCD顶点的一个坐标 ． 【答案】或．（答案不唯一，写出其中一个即可） 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】先设，再根据向量模长相等及向量垂直列方程组求参即可. 【详解】设，则， 所以且． 即，解得或． 故答案为：或．(写出其中一个即可) 7．（2025·广东·二模）已知是圆上两个动点，点坐标为，若点满足四边形是矩形，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】设与交于点，根据点的坐标写出点的坐标，然后在直角三角形中运用勾股定理列方程可得的关系式，进而得出的范围，最后求的取值范围即可． 【详解】如图，连接，设与交于点． 因为四边形是矩形，则，． 连接，在中，， 所以， 所以，即， 所以，所以， 故答案为：. 8．（2025·天津河东·二模）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.如图，正八边形，边长为，，点在线段上且，则的值为 ；若点为线段上的动点，则的最小值为 .    【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，求向量，，，的坐标，根据数量积的坐标运算公式求，，再求的最小值可得结论. 【详解】因为多边形为正八边形， 所以，，，，， ， 由正八边形性质可得， 由已知， 过点作，垂足为， 则，又，，故， 如图，以点为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 因为， 所以， 又点在线段上，所以，所以， 所以， 所以， 因为点为线段上的动点，故可设点的坐标为， 则，，， 所以，且， 因为二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当或时，取最小值，最小值为， 即当点为线段的端点或端点时，取最小值，最小值为， 故答案为：，.    考点4 向量与其它知识的融合 1．（2025·浙江·二模）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，，，且，则（   ）    A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、数量积的坐标表示 【分析】根据函数图象得出，再求出点的坐标及数量积公式计算，最后求出函数值. 【详解】由题干图象可知，则，所以，所以， 由，得，，即，， 因为，所以，则. 又，则，又，， ，解得（负根舍去）， 所以，所以. 故选：C 2．（2025·广东广州·二模）在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为 . 【答案】 【知识点】用向量解决线段的长度问题、向量在几何中的其他应用 【分析】如图建立直角坐标系，设AC，BD交点为E，由的面积是的面积的2倍可得E坐标，然后由B，E，D三点共线结合可得B 点坐标，即可得答案. 【详解】如图，以D点为原点，取AC中点为F，以DF所在直线为x轴， 以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系. 又 则. 过C，A两点作DB垂线，垂足为G，H，则. 又注意到，则.设，则， 则. 注意到B，E，D三点共线，则，则. 又 则或，又由图可得，则. 则. 故答案为：    3．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 4．（2019·黑龙江哈尔滨·一模）在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为 . 【答案】9 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以，又三点共线， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 5．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）等比数列中，，，满足：（P点在直线上），则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、基本不等式求积的最大值 【分析】由题意得，根据等比数列的性质有，结合重要不等式即可求解. 【详解】等比数列中，，有， ，满足：（P点在直线上），则有， 所以，当且仅当时等号成立， 又，有，所以的最大值为. 故答案为：. 考点5 向量的新定义 1．（2025·河南新乡·二模）已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、向量垂直的坐标表示、向量新定义 【分析】将提公因式化简，分别讨论各个因式可得结果. 【详解】若，则，则或. 当时，未必成立； 当时，. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量新定义、数量积的坐标表示 【分析】首先根据条件设出向量和，以及向量的坐标，代入条件中定义，即可求解. 【详解】依题意设， 则，，，， 则. 故选：C． 3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量新定义 【分析】设，根据定义求出的坐标可得答案. 【详解】，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到 ， 设，则， 解得，即. 故选：C. 4．（24-25高三上·湖北·期中）定义：已知平面向量，表示夹角为的两个单位向量，为平面上的一个定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量新定义 【分析】由斜坐标的定义，，利用向量数量积的运算，求. 【详解】平面向量，表示夹角为的两个单位向量， 则有， 依题意，，则. 故答案为：. 5．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】已知数量积求模、向量新定义 【分析】对、的符号进行分类讨论，确定点的轨迹，作出其图形，计算出该图形的面积，即为所求；计算得出，要求其最大值，令，由已知得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 如下图所示： 记点、、、， 则点的轨迹为四边形， 因为，，同理可得， 故四边形为矩形，且， 所以，点的轨迹围成的图形面积为； 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 因为，要求其最大值，令， 不妨设，，于是，则， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：；. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 查漏补缺03 平面向量（5大考点） 目录 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 向量的线性运算 考点2 向量的数量积运算 考点3 向量的坐标运算 考点4 向量与其它知识的融合 考点5 向量新定义 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 向量的线性运算 1．（2025·安徽滁州·二模）已知为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·二模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高三下·广东肇庆·阶段练习）下列叙述命题错误的是（    ） A．若，则与的方向不一定相同 B．若，则 C． D．若非零向量与方向相同或相反，则与，中之一向量的方向相同 5．（2025·辽宁·二模）已知向量，向量满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点2 向量的数量积运算 1．（2025·广东揭阳·二模）已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·二模）若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南周口·二模）在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·辽宁·二模）已知平面单位向量满足．设，向量与的夹角为，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川·三模）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为 ． 6．（2025·浙江·二模）若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为 . 考点3 向量的坐标运算 1．（2025·安徽淮北·二模）已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·湖南·二模）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C．. D． 3．（2025·陕西咸阳·二模）在直角梯形中，，且，，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 4．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）设为单位向量，，当和夹角最大时，（    ） A．5 B．6 C． D． 5．（2025·湖北·二模）已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为 . 6．（2025·陕西榆林·二模）在平面直角坐标系Oxy中，点，写出正方形ABCD顶点的一个坐标 ． 7．（2025·广东·二模）已知是圆上两个动点，点坐标为，若点满足四边形是矩形，则的取值范围是 . 8．（2025·天津河东·二模）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.如图，正八边形，边长为，，点在线段上且，则的值为 ；若点为线段上的动点，则的最小值为 .    考点4 向量与其它知识的融合 1．（2025·浙江·二模）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，，，且，则（   ）    A．4 B． C． D． 2．（2025·广东广州·二模）在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为 . 3．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 4．（2019·黑龙江哈尔滨·一模）在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为 . 5．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）等比数列中，，，满足：（P点在直线上），则的最大值为 ． 考点5 向量的新定义 1．（2025·河南新乡·二模）已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖北·期中）定义：已知平面向量，表示夹角为的两个单位向量，为平面上的一个定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 5．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$