函数与导数(11大考点)专练-2025届高三数学三轮冲刺（新高考地区适用）

查漏补缺01 函数与导数（11大考点） 目录 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性） 考点2 函数的性质的综合应用 考点3 指对幂函数 考点4 抽象函数 考点5 函数与方程 考点6 导数的几何意义 考点7 利用导数研究函数的单调性、 考点8 利用导数研究函数的极值和最值 考点9 利用导数研究函数的零点或方程的根 考点10 利用导数研究不等式（不等式的证明、不等式恒成立、不等式能成立） 考点11 函数新定义 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性） 1．（2025·山东日照·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·二模）若函数（，且）是偶函数，且，则 . 5．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）请写出一个同时满足以下3个条件的函数 ． ①、，且，都有；②且，使得；③． 考点2 函数的性质的综合应用 1．（2025·安徽淮北·二模）已知函数和的定义域均为为偶函数，为奇函数，若，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 2．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 3．（多选）（2026高三·全国·专题练习）是定义在上的偶函数，对，均有，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的一个周期为4 B． C．当时， D．函数在内有1011个零点 考点3 指对幂函数 1．（2025·江西·二模）已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2025·湖北·二模）已知且，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，且为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（    ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 5．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 6．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 7．（2025·河北石家庄·一模）卷积神经网络（Convolutional Neural Network，简称CNN）是人工神经网络的一种，它在图象识别中扮演关键角色，即使图象经历平移，旋转等变换也能准确识别.它的工作原理是用卷积核在原图上进行步长为1的运动扫描，卷积核与扫描部分的对应位置数字相乘并求和得出新的值，例如下图中卷积核对一个图象运算，图中虚线部分经过运算为，，依此规律完成第1阶段的卷积运算，同理完成第2阶段的卷积运算，得到卷积结果为. 根据以上信息卷积核按照步长为1进行运动扫描，一个的图象，记表示其第行，第列数据，满足，卷积核为，图象经历 个阶段卷积核运算后，卷积结果为一个数值；若满足（），则 .（参考数据：） 考点4 抽象函数 1．（2025·广东揭阳·二模）已知定义在上的函数，对任意满足，且当时，.设，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（多选）（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（   ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 5．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数满足：，，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）函数的定义域为，若满足：①在上是单调函数， ②存在使得在上的值域为,那么函数为“优美函数”.若函数是“优美函数”，则的取值范围是 . 考点5 函数与方程 1．（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·二模）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北保定·一模）函数有且只有三个零点，则的取值可以是（   ） A．3 B． C．1 D． 4．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足，若函数有6个零点，则6个零点的和为 ． 6．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知函数为上的奇函数，在上单调递增，都有且，则的值域为 . 考点6 导数的几何意义 1．（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南·模拟预测）与曲线和圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．（多选）（2025·山东济南·二模）设函数，则（   ） A．一定有两个极值点 B．若，则或 C．过点作曲线的切线有且仅有一条 D．当时， 5．（2025·山东泰安·二模）若函数与直线相切，则实数的值为 . 考点7 利用导数研究函数的单调性 1．（2025·陕西榆林·二模）已知正实数满足，则（   ） A． B． C．-1 D． 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·江西鹰潭·二模）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 6．（2025·山东日照·二模）定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为 ． 7．（2025·浙江·二模）已知,函数. （1）若,求的单调区间; （2）若在上不单调，求的取值范围. 8．（2025高三下·福建·阶段练习）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知，若为增函数，求． 考点8 利用导数研究函数的极值和最值 1．（多选）（2025·河北石家庄·一模）函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的极小值为0 B．若有3个零点，，，则 C．若，则为奇函数 D．当时，在区间上单调递增 2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数有三个极值点，且，则实数的取值范围是 ． 3．（2025·河北张家口·二模）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)探究是否为的极大值点. 4．（2025·陕西汉中·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数，求在区间上的最大值和最小值. 5．（2025·湖南·一模）已知函数. (1)当时,有两个零点,求的取值范围; (2)若是的极小值点,求的取值范围. 6．（2025·浙江杭州·二模）已知函数（）. (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)当时，设的极大值为，求证：. 考点9 利用导数研究函数的零点或方程的根 1.（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，讨论方程的根的个数. 2．（2025·浙江金华·二模）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围. 3．（2025·山东·模拟预测）已知，函数． (1)若，，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的单调区间； (3)若对任意，至多有2个零点，求a的取值范围． 考点10 利用导数研究不等式（不等式的证明、不等式恒成立、不等式能成立） 1．（2025·湖北宜昌·二模）已知函数，，在公共定义域内，下列结论正确的是（    ） A．恒成立 B．恒成立 C．恒成立 D．恒成立 2．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 4．（2025·河南·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证． 5．（2025高三·广东揭阳·开学考试联考）已知函数. （1）时,求的极值; （2）若不等式恒成立,求实数的取值范围. 6．（2025·浙江·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数无极值点，求实数的取值范围； (3)若为函数的极小值点，证明：. 7．（2025·山东·模拟预测）已知函数. (1)若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程； (2)若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围. 考点11 函数新定义 1．（2025·重庆·模拟预测）如果函数在区间D上有定义，且对，，均有，则称D为的“平稳区间”.已知函数有“平稳区间”，则a的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 2．（多选）（2025·河北邯郸·二模）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“负导值点”，下列函数中具有“负导值点”的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东揭阳·二模）在平面直角坐标系中，两点，的“曼哈顿距离”定义为.例如点的“曼哈顿距离”为.已知点在直线上，点在函数的图象上，则的最小值为 ，的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 查漏补缺01 函数与导数（11大考点） 目录 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性） 考点2 函数的性质的综合应用 考点3 指对幂函数 考点4 抽象函数 考点5 函数与方程 考点6 导数的几何意义 考点7 利用导数研究函数的单调性、 考点8 利用导数研究函数的极值和最值 考点9 利用导数研究函数的零点或方程的根 考点10 利用导数研究不等式（不等式的证明、不等式恒成立、不等式能成立） 考点11 函数新定义 各地市高考模拟试题分考点精练 考点1 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性） 1．（2025·山东日照·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数函数在区间上的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】当时，单调递增，所以值域为，由分段函数的值域为，所以当时，的取值包含的每一个取值，求解参数a的取值范围即可. 【详解】因为函数， 当时，单调递增，所以值域为， 要使得分段函数的值域为， 则当时，的取值包含的每一个取值， 所以，解得， 故选：D 2．（2025·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由奇函数的性质和导数逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以定义域为， 又，所以为减函数，故A错误； 对于B，，， 二者不相等，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，定义域需满足，即，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，定义域为， ，为奇函数； ，为增函数，故D正确. 故选：D 3．（2025·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）、基本不等式求和的最小值、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数是偶函数列式得出函数解析式，再应用导函数判断函数单调性，最后结合单调性计算求解. 【详解】因为，且是偶函数， 所以， 所以，单调递减， 则不等式化简为， 所以，即， 所以或. 故选：B. 4．（2025·广东广州·二模）若函数（，且）是偶函数，且，则 . 【答案】 【知识点】对数的运算、由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义可求得，进而可得，计算可求得的值. 【详解】因为是偶函数，则，可得， 所以，所以或， 则（舍去）或，所以， 又，所以，所以，又，解得. 故答案为：. 5．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）请写出一个同时满足以下3个条件的函数 ． ①、，且，都有；②且，使得；③． 【答案】（答案不唯一，符合题意均可得分） 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据三个条件分别得出函数所具有的性质，例如单调性、奇偶性等即可写出结果. 【详解】由条件①可得在上单调递增， 对于条件②不妨取，可知函数在一定条件下满足可乘性，并简化运算； 由条件③可知函数为奇函数； 因此可得满足题意. 故答案为： 考点2 函数的性质的综合应用 1．（2025·安徽淮北·二模）已知函数和的定义域均为为偶函数，为奇函数，若，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】A 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由为偶函数得到，由为奇函数，得到，将，代入，将代入，结合已知条件联立求出. 【详解】因为为偶函数，故， 所以的图象关于对称，因此. 因为为奇函数，故， 整理得， 当时，， 当时，， 由得，， 当时，由得 ， 所以，即， 因为 所以解得，所以. 故选：A. 2．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】D 【知识点】函数基本性质的综合应用 【分析】根据为奇函数，得，从而可知的对称中心；根据题意令可知，从而，结合对称中心可判断的对称轴与奇偶性和最小正周期. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，项正确； 因为函数的定义域为，易知的定义域为， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 根据的图象关于点对称，得， 所以，故为偶函数，项错误； 因为， 所以，所以的最小正周期为， 则的最小正周期为，项错误； 根据为偶函数，且关于点对称，最小正周期为， 易知的所有对称轴为直线，故项错误. 故选：. 3．（多选）（2026高三·全国·专题练习）是定义在上的偶函数，对，均有，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的一个周期为4 B． C．当时， D．函数在内有1011个零点 【答案】ABC 【知识点】函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据可求的周期，从而判断A；根据周期性和在时的解析式可求，从而判断B；当时，，再根据在时的解析式和即可求得在时的解析式，从而判断C；求出，再根据可求，从而可判断D. 【详解】因为是定义在上的偶函数，对，均有， 所以，所以函数的一个周期为4，故A正确；，故B正确； 当时，， 则，故C正确； 易知，于是函数在内至少有1012个零点，故D错误． 故选：ABC． 考点3 指对幂函数 1．（2025·江西·二模）已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】比较对数式的大小、既不充分也不必要条件 【分析】利用对数函数的单调性判断是否能推和是否能推即可得解. 【详解】当时，因为函数在单调递增， 所以，即， 所以或，故必要性不成立； 若“”，则或， 所以，或， 则，或，故充分性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2.（2025·湖北·二模）已知且，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数型复合函数的单调性、分段函数的值域或最值 【分析】利用二次函数的值域，指对数函数的单调性，结合分界点的函数值大小，即可求出的范围. 【详解】当时，的取值范围为， 要使的值域为，必有在上单调递增，且， 所以解得. 故选:D. 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，且为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数型复合函数的单调性、由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用、比较对数式的大小 【分析】根据奇函数的性质结合函数的定义域，可得，进而利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】因为的定义域为为奇函数，所以，则， 由于为减函数且值恒为正数，则为单调递增函数，因此为增函数. 因为，所以，所以，故. 故选：A 4．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数，则（    ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的取值，对函数进行分析，即可判断和选择. 【详解】对AB：当时，，其定义域为，，故为偶函数； 又，当时，令， 因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增， 故在单调递减，故AB都错误； 对CD：当时，，其定义域为，，故为奇函数； 又，当时，均为减函数，故为上的减函数， 故为上的增函数，故C错误，D正确. 故选：D. 5．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】由函数的值域为R，得函数的值域包含， 因此，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 6．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 【答案】 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】把已知数据代入模型，求出对应的值即可． 【详解】根据题意，所给模型中， 则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为， 因为，所以， 所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 故答案为：36. 7．（2025·河北石家庄·一模）卷积神经网络（Convolutional Neural Network，简称CNN）是人工神经网络的一种，它在图象识别中扮演关键角色，即使图象经历平移，旋转等变换也能准确识别.它的工作原理是用卷积核在原图上进行步长为1的运动扫描，卷积核与扫描部分的对应位置数字相乘并求和得出新的值，例如下图中卷积核对一个图象运算，图中虚线部分经过运算为，，依此规律完成第1阶段的卷积运算，同理完成第2阶段的卷积运算，得到卷积结果为. 根据以上信息卷积核按照步长为1进行运动扫描，一个的图象，记表示其第行，第列数据，满足，卷积核为，图象经历 个阶段卷积核运算后，卷积结果为一个数值；若满足（），则 .（参考数据：） 【答案】 99 ； 29 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据题意，可得经过第阶段后得到图象，记，表示其第行，第列数据，满足，由此运算得解. 【详解】根据题意，图象经过第1阶段后得到图象，记，表示其第行，第列数据，满足， 经过第2阶段后得到图象，记，表示其第行，第列数据，满足， 0 0 依次类推，经过第98阶段后得到图象，如图     经过第99阶段后得到， 则，解得， 即，又，所以. 故答案为：，29. 考点4 抽象函数 1．（2025·广东揭阳·二模）已知定义在上的函数，对任意满足，且当时，.设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】设，则有.根据已知可得出，从而得出函数在上单调递减.构造函数，利用导函数证明在上恒成立.进而分以及讨论，即可得出答案. 【详解】设，则有. 当时，由已知可得， 化简可得. 又由已知当时，可得，， 所以. 所以，在上单调递减. 又时，构造， 则在上恒成立， 所以，恒成立， 所以在上恒成立. 所以，有在上恒成立； 当时，有，所以有，即； 当时，，此时有，即. 综上所述，. 故选：D. 2．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数基本性质的综合应用 【分析】由题意可得，，进而可求得 【详解】， 则， 则， 即，所以，即 故选：B. 3.（多选）（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 【答案】ACD 【知识点】函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，对于A，取可得；对于C，取，再由条件当时，推理可得；对于B，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导即可. 【详解】对于A，由， 取，得，故A正确； 对于C，由， 取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故C正确； 对于B，由， 取，可得，，整理得，， 因为，，当且仅当时取等号， 由选项C可知的符号可正可负，故不一定有， 即不一定成立，故B错误； 对于D，任取，则， 依题意，，而， 则，即， 即在上是增函数， 于是对于， 任取，因为，则，即， 即函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（   ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】C 【知识点】整除和余数问题、函数新定义、函数周期性的应用 【分析】赋值法依次求出的值，以及关系式，进而推得，求出函数的周期.进而结合的值，可得出当i为偶数时，；当i为奇数时，根据二项式定理展开式得出除以4的余数为1，即可得出对应值，求和即可得出答案. 【详解】令时，因为， 所以. 令， 则，所以. 令，则， 所以，则，所以4为的一个周期. 又， 所以由周期性可知，即． 当i为偶数时，为偶数，所以； 当i为奇数时，设， 则 ， 故被4除的余数为1，所以， 所以． 故选：C． 5．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数满足：，，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【知识点】求函数值 【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出，再赋值法结合应用不等关系计算求解即可. 【详解】依题意，因为，则， 令，则，因为，所以， 又因为，则，即， 令，则，即， 令，则，所以，故得， 又； 又， 所以，即． 故选：C． 6．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）函数的定义域为，若满足：①在上是单调函数， ②存在使得在上的值域为,那么函数为“优美函数”.若函数是“优美函数”，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数新定义 【分析】利用复合函数法分析可知，函数在定义域上为增函数，则存在使得在上的值域为,进一步分析可知，关于的方程至少有两解，令，，则函数有两个不等的正零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】当时，内层函数为减函数，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在定义域上为增函数； 当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在定义域上为增函数. 综上所述，函数在定义域上为增函数， 根据题意，存在存在使得在上的值域为, 则， 所以，关于的方程至少有两解，即，可得， 令，， 由题意可知，函数有两个不等的正零点、， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 考点5 函数与方程 1．（2025·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】画出函数的图象，结合图像求解即可. 【详解】画出的图象， 由图象可知a的范围是. 故选：D 2．（2025·广东广州·二模）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】当时，对函数求导，对参数的取值进行分类讨论，大致画出分段函数的图象，再由数形结合即可得出实数的取值范围. 【详解】易知当时，函数单调递增，且; 当时，函数，易知, 显然当时，恒成立，即在上单调递增； 当时，；当时，， 此时函数的图象大致如下图所示：    若函数恰有2个零点，即函数的图象与有两个交点， 由上图可知； 当时，根据对勾函数性质可知， 当且仅当时，等号成立； 此时其图象大致如下图：    显然函数的图象与没有交点，不合题意； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 3．（2025·河北保定·一模）函数有且只有三个零点，则的取值可以是（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究方程的根 【分析】拆分绝对值后转变为方程根的个数问题，分离参数，利用导数分析单调性和极值，综合可得. 【详解】令得， 当时，，则，令， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数， 所以函数在处取得极大值，且，当时，； 当时，， 则，则时，，为减函数， 当时，； 综上，与函数图象有三个交点时，即函数有且只有三个零点时. 所以的取值可以是. 故选：D 4．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】探讨给定函数的对称性及单调性，脱去法则“f”，构造函数，利用导数探讨函数的性质并作出图象，数形结合求得答案. 【详解】函数的定义域为R，且在R上单调递增， ，即， 方程，即，于是， 即，令，依题意，直线与函数的图象有三个不同的交点， 求导得，当时，， 当时，，函数在上递减，在上递增， 当时，取极小值；当时，取极大值为， 而当或时，恒有， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得，原方程有三个不同实根，所以实数的取值范围为， 故选：A 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足，若函数有6个零点，则6个零点的和为 ． 【答案】6 【知识点】函数对称性的应用、求零点的和 【分析】根据题意，得到函数的图象关于点对称，结合对称性，进而求得所有零点的和. 【详解】由，可得，即的图象关于点对称， 又由函数的图象也关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 因为函数有6个零点，可得该函数的零点之和为． 故答案为：6. 6．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知函数为上的奇函数，在上单调递增，都有且，则的值域为 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数基本性质的综合应用 【分析】设，得到，不妨设函数且，求得，代入化简得到，求得，得出，且，则，结合正弦函数的值域，即可求解. 【详解】设，因为，可得， 由函数为上的奇函数，在上单调递增， 因为题目为客观题，不妨设函数且， 则， 又因为，可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以，且，则， 因为，则，则，且， 所以的值域为. 故答案为：. 考点6 导数的几何意义 1．（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】求导得，设切点为，根据，求出切点坐标，再代入原函数即可. 【详解】设，， 设切点为，根据切线斜率为1，则， 解得，则，则切点坐标为，则，解得. 故选：C. 2．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根 【分析】设切点，利用导数求出切线方程，代入点，可得，过点可以做三条直线与曲线相切，即方程有三个不等的实数根，令，利用导数判断单调性，求极值，即可求得实数的取值范围. 【详解】设切点为，，， 点处的切线斜率， 则过点的切线方程为， 又切线过点，所以，化简得， 过点可以作三条直线与曲线相切， 方程有三个不等实根． 令，求导得到， 令，解得，， 则当时，，在上单调递减，且时，， 当时，，在上单调递增，且，， 当时，，在上单调递减，且时，， 如图所示，    故，即． 故选：A． 3．（2025·河南·模拟预测）与曲线和圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】设直线与曲线相切于，求导确定斜率，求得切线方程，再结合此直线与圆也相切，即可求解. 【详解】设直线 与曲线 相切于点 ，，当时，， 所以 的方程为 ，即 圆 ，因为 与圆 相切， 所以所以 ， 令 ， 则 因为，，，， 所以，借助二次函数的性质，令 得： 或 ， 当可得：，当可得：， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 极大值 极小值 又当 时， ， 所以 在区间 上分别有1个零点， 所以这样的切线有3条. 故选：C 4．（多选）（2025·山东济南·二模）设函数，则（   ） A．一定有两个极值点 B．若，则或 C．过点作曲线的切线有且仅有一条 D．当时， 【答案】AB 【知识点】求过一点的切线方程、由函数对称性求函数值或参数、求函数零点或方程根的个数、函数极值点的辨析 【分析】利用导数研究函数的极值点判断A；由求判断B；利用导数几何意义得到处的切线也过，结合处切线判断C；根据解析式得，利用对称性求函数值判断D. 【详解】由题设， 当或时，，则在、上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以分别为极大值点、极小值点，A对； 由，令，则， 所以或，故对于，则或，B对； 由且，则处的切线为，过， 由，则处的切线过， 所以过的切线至少有两条，C错； 由，， 所以，故，D错. 故选：AB 5．（2025·山东泰安·二模）若函数与直线相切，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出的值. 【详解】设切点为， 由得，，故切线斜率， 由直线可知切线过，故， ∴，解得， ∴. 故答案为：. 考点7 利用导数研究函数的单调性 1．（2025·陕西榆林·二模）已知正实数满足，则（   ） A． B． C．-1 D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、条件等式求最值、对数的运算性质的应用 【分析】分别利用基本不等式和导函数求出函数最值，由夹逼法可得出，再利用不等式中等号成立的条件构建方程组，解出的值即可. 【详解】由，得． 因为均为正实数，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以，即. 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 故当时，，即（当且仅当时取等号）， 因此，即. 由和可得， 则有，解得， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】对函数求导，化为在区间上有解，再应用参变分离或二次函数性质研究不等式能成立，求参数范围. 【详解】由，则． 函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解， 即在区间上有解， 方法一：即在区间上有解，所以． 令，则， 令在上单调递增，所以，即， 所以． 方法二：当时，在恒成立，不符合； 当时，开口向上，只需或，所以． 故选：D 3．（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】易得函数为偶函数，利用导数判断函数在上的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性即可得解. 【详解】因为， 所以函数为偶函数， ， 令，则， 所以函数， 即当时，， 所以函数在上单调递增， 所以. 故选：A. 4．（2025·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，利用导数得到在各区间的符号，再分类讨论即可解出不等式. 【详解】构造，则， 因为当时，，则此时，单调递增， 则的正负符号由决定， 又因为，则，因为在上单调递增， 则当时，，所以此时， 当时，，所以此时， 又因为为上的奇函数，则当时，，则， 当时，，则， 且， 则若，则或 即或，解得或， 综上，的解集为. 故选：D. 5．（多选）（2025·江西鹰潭·二模）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】ACD 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】赋值法计算判断A，应用偶函数定义计算判断B，应用赋值法结合累加法计算判断C，应用错位相减法计算判断D. 【详解】令，得，即，故A正确； 对于选项B：令，可得，解得， 令，，可得，所以的图象不是偶函数，故B错误； 令，所以，所以，所以， 所以，则，所以，， ，累加得：，所以选项C正确； 对于选项D，， 又，所以， 设， 则， 所以， 所以 即，故D正确． 故选：ACD． 6．（2025·山东日照·二模）定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】先求出在区间的单调性，再结合K-条件的定义进行分析，从而求K的取值范围，即可求出K的最小值. 【详解】因为， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以在上恒成立， 所以，则在上单调递增， 设，所以， 若函数在区间上满足K-条件 因此对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 则对任意恒成立， 令，所以在上单调递减， 在恒成立，所以， 又因为在上单调递减，. 所以，所以K的最小值为. 故答案为：. 7．（2025·浙江·二模）已知,函数. （1）若,求的单调区间; （2）若在上不单调，求的取值范围. 【答案】（1）增区间:，减区间:;（2） 【详解】（1）的定义域为, 在,上单调递增,在,上单调递减. （2） 设 解法一:注意到 只需满足 解法二:①若,即时,, ②若,即时,, 解法三:在上有穿根. 在上有穿根. . 结合双勾函数图象可得. 8．（2025高三下·福建·阶段练习）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知，若为增函数，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，，则， 而，切点为，设切线斜率为， 由斜率的几何意义得， 故切线方程为，整理得，. （2）由题意得， 因为为增函数，所以恒成立， 故，解得， 而，， 故解得，取交集得， 因为，所以或， 当时，，易知，不符题意； 当时，，设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值， 即，符合题意；所以. 考点8 利用导数研究函数的极值和最值 1．（多选）（2025·河北石家庄·一模）函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的极小值为0 B．若有3个零点，，，则 C．若，则为奇函数 D．当时，在区间上单调递增 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、求零点的和 【分析】利用导数求出的极小值，即可判断A；利用韦达定理求出的零点之和判断B；利用奇函数的定义判断C；利用的导函数在区间上的正负判断D. 【详解】对于A，当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以为的极小值，故A错误； 对于B，由可知是其一个零点，令， 令，设是的两个根，由韦达定理得， 所以，若函数的3个零点为，，， 则，故B正确； 对于C，令，当时， ， 所以函数不是奇函数，故C错误； 对于D，， 因为当时，，当时，， 所以， 所以，当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：BD. 2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数有三个极值点，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】根据给定条件，结合导数将问题转化为直线与的图象有三个不同交点，利用导数求出的范围，再利用零点的定义及，构造函数，利用导数求出的范围，进而求出所求范围. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数有三个极值点，得有三个不同的零点，显然， 则方程有三个不相等的实根，令，于是直线与的图象有三个不同交点， 求导得，由，得，由得，或， 函数在上单调递增，在上单调递减，， ，又时，恒成立，因此， 而，则，令，则，即， 令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递减， ，则，函数在上单调递减，， 而函数在上单调递增，当时，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 3．（2025·河北张家口·二模）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)探究是否为的极大值点. 【答案】(1)；(2)不是极大值点 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数极值的辨析、函数极值点的辨析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）假设是的极大值点，由极值点定义推理找到矛盾，得解. 【详解】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）易得， 假设是的极大值点，则，即， 化简得， 当时，， 当时，，，只有当时，上式成立， 故，当时，，则， 但由假设知是的极大值点， 于是由极大值的定义知存在，使得时，，与假设矛盾. 所以不是的极大值点. 4．（2025·陕西汉中·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)；(2)，. 【详解】（1），， ，， 在处的切线方程为，即. （2） ， 令，则在上恒成立，且仅在处等号成立， 在上单调递减， ， 且仅在处等号成立， 在上单调递减， ，. 5．（2025·湖南·一模）已知函数. (1)当时,有两个零点,求的取值范围; (2)若是的极小值点,求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】(1), 令, 当时,在R上单调递减,又因为, 当时,,, 当时,,, 所以在上单调递增,在上单调递减, , ①若,即,则,至多有一个零点,不合题意; ②若,即,因为当x趋于负无穷时,趋于负无穷, 所以在上有一个零点,, 又在上单调递减,,所以由零点存在性定理知, 所以在上有一个零点,所以在R上有两个零点,符合题意. 综上：. (2)因为,,在R上单调递增,, ①当时,,存在,使得时,, 当时,,, 当时,,, 故在上单调递增,在上单调递减, 所以是的极大值点,不合题意; ②当时,,存在,使得时,, 当时,,, 当时,,, 故在上单调递减,在上单调递增, 所以是的极小值点,符合题意; ③当时,,, 当时,,当时,, 故在上单调递减,在上单调递增, 又因为,所以,即恒成立, 所以在R上单调递增,无极值点,不合题意. 综上：. 6．（2025·浙江杭州·二模）已知函数（）. (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)当时，设的极大值为，求证：. 【答案】(1)；(2)和；(3)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性求解出函数的极值即可 （2）当时，利用导数求解函数的单调性求解出函数的单调递增区间 （3）分和讨论求解即可. 【详解】（1）由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于. （2）因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. （3）当时，由（2）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极大值等于， 令，所以， 在上在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故， 综上所述，. 考点9 利用导数研究函数的零点或方程的根 1.（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，讨论方程的根的个数. 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【详解】（1）的定义域为， 则， 因，由，解得，， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为，； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为，； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为， 递减区间为，； （2）由题设， （*）. 令，则， 即在上单调递增， 故上式（*）中满足，则有，可得， 令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 2．（2025·浙江金华·二模）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值；(2)或. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值. （2）求出函数，利用导数探讨其单调性及极值，再按分类处理函数的零点为1个的条件求解. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得，当时，，当时，， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. （2）函数的定义域为，求导得， 令，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值， ①若，当时，，函数在有唯一零点； 当时，，函数在无零点， 因此当时，有唯一零点； ②若，当从大于0的方向趋近于0时，函数的值趋近于负数， 即当时，，函数在上无零点； 当从大于的方向趋近于时，函数的值趋近于正无穷大， 当趋近于正无穷大时，函数的值趋近于正无穷大， 则当且仅当，有唯一零点，由，得，即， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，因此， 则方程有唯一解，于是时，有唯一零点， 所以实数的取值范围为或. 3．（2025·山东·模拟预测）已知，函数． (1)若，，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的单调区间； (3)若对任意，至多有2个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)单调递增区间为，单调递减区间为和；(3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程. （2）求导，利用导函数的符号求函数的单调区间. （3）分和讨论.当时，问题转化为方程只有1解，求的取值范围. 【详解】（1）若，，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题易知，所以． 令，得， 当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）若，则，仅有1个零点，符合题意． 若，由至多有2个零点，可知至多有1个极值点， 则至多有1个变号零点． 由，可得． 设，则， 可得在上单调递减，在和上单调递增， 所以的极大值为，极小值为， 且当时，，当时，，作出的大致图象如下： 根据题意，直线与的图象至多有1个交点（切点除外）， 所以或，解得或． 综上，a的取值范围是． 考点10 利用导数研究不等式（不等式的证明、不等式恒成立、不等式能成立） 1．（2025·湖北宜昌·二模）已知函数，，在公共定义域内，下列结论正确的是（    ） A．恒成立 B．恒成立 C．恒成立 D．恒成立 【答案】C 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造函数，，根据其导数判断单调性，再根据即可判断AB；根据与在的单调性和公共零点即可判断CD. 【详解】令，， 则恒成立， 故在上单调递增，而，故当时，； 当时，，故A、B均错误； 由于与在均为单调递增函数，且有公共的零点， 故恒成立. 故选：C. 2．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】函数不等式恒成立问题转化为方程根的问题，以及利用韦达定理和对数运算性质得到相关等式，最后通过求函数最值来求解的最大值. 【详解】因为恒成立，所以和有两个相同正根.对于方程，两边同乘得. 由一元二次方程性质，有两个不同正根，则，且，.   由可得，可得. 根据对数运算法则，所以，即.   令，对求导，. 令，即，解得. 当时，，递增； 当时，，递减. 所以在处取最大值，.   综上， 的最大值为. 故选：B. 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】依题意可得对任意恒成立，再根据指数不等式得到，即可求出的最小值，从而得解. 【详解】因为关于的不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以，即的取值范围是. (令，则，，所以在上存在零点). 故答案为： 4．（2025·河南·模拟预测）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）将问题化为证在时恒成立，构造函数，利用导数求出其单调区间，再构造函数，利用导数可得，再由可得，从而可证得结论. 【详解】（1）由题可知，则， 又．故所求切线方程为． （2）当时，要证，即证， 即证在时恒成立． 令，则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 令，则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，故． 当时，有，故， 即在时恒成立， 故当时． 5．（2025高三·广东揭阳·开学考试联考）已知函数. （1）时,求的极值; （2）若不等式恒成立,求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）当时,,, ,得, 当,,单调递增,当,,单调递减, 所以当时,函数取得极大值,无极小值; （2）由题意可知,, 即恒成立,即,恒成立, 设,, 设,, , 设,所以,得（负值舍去）, 当时,,单调递增,当时,,单调递减, 所以的最大值为,即恒成立, 所以单调递减,且, 所以当时,,即,单调递增,当时,,即,单调递减, 所以的最大值为, 所以. 6．（2025·浙江·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数无极值点，求实数的取值范围； (3)若为函数的极小值点，证明：. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、根据极值点求参数 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程； （2）将问题转化为在上恒成立，通过必要性探路可求得，将问题转化为充分性的证明，采用放缩法可知需证明，利用导数可说明单调性和最值，进而得到结论； （3）当时，求导后，结合零点存在定理可说明在，上单调递增，在上单调递减，由此可得；令，可证得，利用放缩并整理可得，进而得到结论. 【详解】（1），， 又，在点处的切线方程为：. （2）由题意知：的定义域为， 若函数无极值点，在上单调， 或在上恒成立； ，在上恒成立， ，，解得：； 下面证明充分性： 当时，，又，， ， 令， 当时，， 在上单调递增，又，为定义在上的偶函数， 在上单调递减，，， 在上单调递增，无极值点，充分性成立； 综上所述：. （3）由（2）可得：当时，函数无极值点. 当时，令，则， 当时，，又，为定义在上的奇函数， 在上单调递增，又， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 又，，， ，，使得， 在，上单调递增，在上单调递减； 函数存在唯一的极小值点，且满足. 下证：. 令，则， 令，则， 在上单调递增，即， 在单调递增，，即 又，， 又，， 即，， 即，，又，. 7．（2025·山东·模拟预测）已知函数. (1)若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程； (2)若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围. 【答案】(1)；；(2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用给定条件结合导数的几何意义得到，再代入已知定点得到方程，求解参数，并化简直线方程即可. （2）先构造函数并对求导，由恒成立，结合自变量取值范围讨论符号，构造函数求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）因为， 所以，而，得到切点为， 设切线斜率为，由导数的几何意义得， 则切线方程为， 而切线l过点，得到， 解得，此时l的方程为， 即，则l的方程为. （2）因为， 且，所以， 令， 则． 因为有两个不同的极值点，，（）， 所以当时，，则只有一个极值点，不符合题意， 当且， ①当，，即时， 当时，恒成立，即，即恒成立， 设，则， 所以在上单调递减， 则，则，故； ②当，，即时， 当时，恒成立，即恒成立， 若，则当时，，不满足题意， 所以，此时，即， 设，则， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，故， 综上，的取值范围是． 考点11 函数新定义 1．（2025·重庆·模拟预测）如果函数在区间D上有定义，且对，，均有，则称D为的“平稳区间”.已知函数有“平稳区间”，则a的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】先根据题意将题设问题等价转化成存在“平稳区间”D，对任意有，再利用导数工具分和两种情况结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】由题可得函数有“平稳区间”，设为D， 则对，，均有，即对任意，均有， 所以函数存在“平稳区间”D，对任意有， 又，所以对任意，， 当时有，故函数有“平稳区间”，符合； 当时，函数有最值， 要使函数存在“平稳区间”，则或， 解得或. 综上，满足题意的a的取值范围是. 故选：D 2．（多选）（2025·河北邯郸·二模）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“负导值点”，下列函数中具有“负导值点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】由函数解析式，求导，结合题意建立方程，根据函数与方程的关系，可得答案. 【详解】对于A，即为无解，A不正确； 对于B，不是方程的解， 不等于零时方程化为为，由的图象有交点知该方程有根，B正确； 对于C，即为，由函数及的图象无交点知该方程无解，C不正确； 对于D，即为， 设，，令，， 由，解得，，解得，则函数在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值，是增函数，，， 由基本初等函数的图象与的图象知该方程有一个根，D正确． 故选：BD. 3．（2025·广东揭阳·二模）在平面直角坐标系中，两点，的“曼哈顿距离”定义为.例如点的“曼哈顿距离”为.已知点在直线上，点在函数的图象上，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数新定义 【分析】根据题意，结合“曼哈顿距离”定义列出方程，然后构造函数，利用导数求得函数的最值，即可得到结果. 【详解】设函数上与直线平行的切线的切点坐标为， 则，解得，所以切点为， 即切线方程为，即， 则的最小值为直线与直线间的距离， 即； 设，则， 将看成关于的函数，则在或时，取得最小值， 当时，令， 则，令，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以时，，即； 当时，则，令， 则，令，解得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，； 综上所述，. 故答案为：； 学科网（北京）股份有限公司 $$