19.2.2平行四边形的的判定 同步练习 2024-2025学年沪科版八年级数学下册

平行四边形的的判定 同步练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD∥BC，AB∥DC B．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC C．OA＝OC，OD＝OB D．AD∥BC，AB＝CD 【解答】解：A、∵AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意； B、∵∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC ∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意； C、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意； D、由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故该选项符合题意； 故选：D． 2.小峰不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　） A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③ 【解答】解：只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：D． 3.下列说法错误的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不符合题意； B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，符合题意； D、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 4.如图在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，再添加下列条件之一，能使四边形ABCD成为平行四边形的条件是（　　） A．∠DAB＝∠ADC B．AD＝BC C．∠ABD＝∠BDC D．∠BAD＝∠BCD 【解答】解：A、由AB∥CD，∠DAB＝∠ADC，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵∠ABD＝∠BDC， ∴AB∥CD，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（　　） A．6 B．12 C．20 D．24 【解答】解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得 CE5． ∵BE＝DE＝3，AE＝CE＝5， ∴四边形ABCD是平行四边形． 四边形ABCD的面积为BC•BD＝4×（3+3）＝24， 故选：D． 6.如图，平行四边形ABCD对角线交于点O，点M，N，P，F分别在ABCD的四条边上（且不与顶点重合）．现有甲、乙、丙三种方案，则能判定四边形MNPF是平行四边形的是（　　） 甲：使AF＝CN，AM＝CP；乙：使MP，NF均经过点O；丙：使NF经过点O，且AM＝DP． A．只有甲、乙 B．只有乙、丙 C．只有甲、丙 D．甲、乙、丙 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， 甲∵AQ＝CN，AM＝CP， ∴DQ＝BN，BM＝DP， ∴△AMQ≌△CPN（SAS），△BMN≌△DPQ（SAS）， ∴MQ＝NP，MN＝PQ， 则四边形MNPQ是平行四边形； 故甲能判定四边形MNPQ是平行四边形； 乙∵▱ABCD的对角线交于点O，MP，NQ均经过点O， ∴OQ＝ON，OP＝OM， 则四边形MNPQ是平行四边形； 故乙能判定四边形MNPQ是平行四边形； 丙NQ经过点O，AM＝PD．Q，N的位置未知， 故丙不能判定四边形MNPQ是平行四边形； 综上所述：能判定四边形MNPQ是平行四边形的有甲乙． 故选：A． 7.如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（　　）个． A．10 B．12 C．14 D．27 【解答】解： 以AB为一边，另两顶点在MG上的有四边形ABMI、ABQO、ABIG、共3个， 以AF为一边，另两顶点在MG上的有四边形AFGI、AFOQ、AFIM共3个， 以AC为一边，另两顶点在PH上的有四边形ACPZ、ACZN、ACNV、ACVH，共4个， 以AE为一边，另两顶点在PH上的有四边形EAPZ、EAZN、EANV、EAVH，共4个， 以AI为一边，另两顶点在YF上的有四边形AIHG、AILH、AIYL，共3个， 以AI为一边，另两顶点在XB上的有四边形AIPM、AITP、AIXT，共3个， 以AN为一边，另两顶点在ER′上的有四边形ANKO，ANR′V共2个， 以AN为一边，另两顶点在RC上的有四边形ANSQ、ANRZ，共2个， 以及正方形AONQ， 还有平行四边形AOYK和AQXS， 共3+3+4+4+3+3+2+2+1+2＝27个， 故选：D． 8.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列选项中错误的是（　　） A．AB⊥AC B．EF＝6 C．四边形AEFD是平行四边形 D． 【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC，故A选项不符合题意； .∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴∠DAB＝∠EAC＝60°， ∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC， 在△ABC与△DBF中， ， ∴△ABC≌△DBF（SAS）， ∴AC＝DF＝AE＝8， 同理可证：△ABC≌△EFC（SAS）， ∴AB＝EF＝AD＝6， ∴四边形AEFD是平行四边形， 故B，C选项不符合题意； 过A作AG⊥DF于G， ∴∠AGD＝90°， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴∠DFE＝∠DAE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°， ∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°， ∴AGAD＝3， ∴S▱AEFD＝DF•AG＝8×3＝24， 故D选项符合题意． 故选：D． 9.在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为（　　）（提示：可以构造平行四边形） A．2＜AD＜14 B．1＜AD＜7 C．6＜AD＜8 D．12＜AD＜16 【解答】解：延长AD至点E，使AD＝ED，连接BE、CE． ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∴CE＝AB（平行四边形的对边相等）， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜CE+AC， 即2＜2AD＜14， 1＜AD＜7． 故选：B． 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时，且P在BC上， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t， ∴16﹣t＝21﹣3t， 解得t， ∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形； 当点P在BC延长线上时， ∴16﹣t＝3t﹣21， 解得t， ∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.如图在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，能使四边形ABCD成为平行四边形的需添加的条件是　 　 （写出一个即可） 【解答】解：根据平行四边形判定定理得AB＝CD或AD∥BC等 故答案为：AB＝CD（或AD∥BC等） 12.已知A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有 　　 个． 【解答】解：如图， 分别以AB、BC、CA为平行四边形的对角线， 构成的平行四边形有三个：▱ACBD，▱ACEB，▱ABCF． 故答案为：3． 13.在平面直角坐标系中，有四个点O（0，0），A（4，0），B（1，3），C（x，3），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　 　 ． 【解答】解：∵B（1，3），C（x，3）， ∴BC∥x轴， ∵以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（4，0）， ∴BC＝OA＝4， ①当点C在点B左侧，如图1，则x＝1﹣4＝﹣3； ②当点C在点B右侧，如图2，则x＝1+4＝5； 综上所述，x＝﹣3或5， 故答案为：﹣3或5． 14.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的一点，点E是线段CQ上的点，且CQ＝2AP，设AP＝x，CE为y，则y＝2x﹣2．当点Q为BC中点时，y＝3． （1）BC＝　 　 ． （2）当AP＝　 　 时，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形． 【解答】解：（1）CE＝y＝2x﹣2，当y＝3时，则3＝2x﹣2， 解得x， ∴AP＝x，CQ＝2AP＝25， ∵此时Q为BC中点， ∴BC＝2CQ＝2×5＝10， 故答案为：10． （2）∵AD∥CB，点P在AD上，点E在CB上， ∴AP∥BE， ∴当AP＝BE时，以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形， 当点E在边BC上，则x＝10﹣（2x﹣2）， 解得x＝4， ∴AP＝4； 当点E在CB的延长线上，则x＝2x﹣2﹣10， 解得x＝12， ∴AP＝12， 故答案为：4或12． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF且AE＝DF，AB＝CD．求证： （1）△AEB≌△DFC； （2）四边形BECF是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D， 在△AEB和△DFC中， ， ∴△AEB≌△DFC（SAS）； （2）∵△AEB≌△DFC， ∴EB＝CF．∠ABE＝∠DCF， ∴∠EBC＝∠FCB， ∴EB∥CF， ∴四边形BECF是平行四边形． 16.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题： （1）通过计算判断△ABC的形状； （2）在图中确定一个格点D，连接AD，CD，使四边形ABCD为平行四边形． 【解答】解：（1）由题意可得，， ，， ∵， 即AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． （2）过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，直线AD和CD的交点就是D的位置，格点D的位置如图， 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，△ADE为等边三角形，且点E与点D在直线AC的两侧，点F在AB上（不与A，B重合）且∠AFE＝∠B，EF与AB，AC分别相交于点F，G． 求证：四边形BCEF是平行四边形． 【解答】证明：如图，∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴在△ABD与△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE＝60°， ∴∠B+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴BF∥CE． 又∵∠AFE＝∠B， ∴EF∥BC． ∴四边形BCEF为平行四边形． 18.如图，△ABC中，点D为AB的中点，E是AC上的一点，且DE∥BC，延长ED至点F，使得DF＝DE，连接BF． 求证：（1）△BDF≌△ADE； （2）四边形FBCE是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵点D为AB的中点， ∴AD＝BD， 在△BDF和△ADE中， ， ∴△BDF≌△ADE（SAS）； （2）由（1）证得△BDF≌△ADE， ∴∠A＝∠DBF， ∴CE∥BF， ∵EF∥BC， ∴四边形FBCE是平行四边形． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.一块铁皮零料ABCD的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料ABCD的四条边上，且平行四边形的一条边的长度等于BD长度的一半．可以怎样裁？请说明理由． 【解答】解：先取铁皮零料ABCD各边的中点，顺次连接各边中点，所得四边形即为要裁出的平行四边形铁皮，理由如下： 如图，分别取AB，BC，CD，AD的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，BD， ∴FG是△CBD的中位线，HE是△ABD的中位线， ∴FG∥BD，FGBD，HE∥BD，HEBD， ∴FG∥HE，FG＝HE， ∴四边形EFGH是平行四边形． 20.数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的． 小澈同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD＝OB，连结AD，CD（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形ABCD中，OD＝OB．OA＝ 　 　 ． 求证：四边形ABCD是 　 　 四边形． （1）补全已知和求证（在方框中填空）． （2）小澈同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请用小澈的思路完成证明过程（注意：其他方法不得分）． 【解答】（1）解：已知：如图，在四边形ABCD中，OD＝OB，OA＝OC， 求证：四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：OC，平行． （2）证明：在△ABO与△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（SAS）， ∴AB＝CD，∠BAO＝∠DCO， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 六、（本题满分12分） 21.如图，在四边形ABCD中，AD＝12，BC＝32，AD∥BC，AB＝16，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段PD＝ 　 　 ；CQ＝ 　 　 ；QE＝ 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【解答】解：（1）∵AD＝12，BC＝32，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上， ∴PD＝6﹣AP，BE＝CEBC＝16， ∴QE＝16﹣CQ或QE＝CQ﹣16， ∵点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动， ∴AP＝2t， ∴PD＝12﹣2t； ∵点Q同时以每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动， ∴CQ＝4t， 若点Q与点E重合，则4t＝16， 解得：t＝4； 若点P与点D重合，则2t＝12， 解得：t＝6， 当0＜t＜4时，则QE＝16﹣4t； 当4＜t＜6时，则QE＝4t﹣16， 故答案为：12﹣2t，4t，16﹣4t或4t﹣16； （2）∵AD∥BC，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上， ∴PD∥QE， ∴当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形， 当0＜t＜4，且PD＝QE时，则12﹣2t＝16﹣4t， 解得：t＝2； 当4＜t＜6，且PD＝QE时，则12﹣t2＝4t﹣16， 解得：t； 综上所述，当t＝2或t时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 七、（本题满分12分） 22.如图，▱ABCD两条对角线AC，BD相交于点O，E是BO的中点，连结CE并延长至点F，连结BF，使BF∥AC，连结AF． （1）求证：四边形AOBF是平行四边形． （2）若AD⊥AC，BC＝2，，求▱AOBF的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC， ∵E是BO的中点， ∴OE＝BE， ∵BF∥AC， ∴∠BOC＝∠ABE，∠EFB＝∠OCE， ∴△BEF≌△OEC（AAS）， ∴EF＝CE， ∴OE是△ACF的中位线， ∴OE∥AF， ∴OD∥AF，AF＝2OE， ∵OB＝2OE， ∴AF＝OB， ∴四边形AOBF是平行四边形． （2）解：∵AD∥BC，AD⊥AC， ∴∠ACB＝∠CAD＝90°， ∵BC＝2，， ∴AB＝CD＝2， ∴AC6， ∴AO3， ∴▱AOBF的面积＝OA•BC＝3×2＝6． 八、（本题满分12分） 23.【综合探究】 在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2），点M为线段AB的中点，则线段AB的中点M的坐标为． （1）如图1，已知点A（﹣1，3）、B（3，﹣1），则线段AB的中点M坐标为 　 　 ； （2）如图2，在（1）的条件下，过点A、B的直线交x轴于点N，交y轴于点E，图中点C为x轴上的动点，当S△MCN＝S△EON时，求点C的坐标． （3）如图3，在（1）（2）的条件下，且点C在x轴的负半轴时，点P是y轴上的动点，点Q是直线AB上的动点，存在以C，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为 　 　 ． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3）、B（3，﹣1）， ∴线段AB的中点M坐标为（1，1）； 故答案为：（1，1）． （2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A、B坐标代入得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2， ∴E（0，2），N（2，0）， ∴S△EON2， ∵S△MCN＝S△EON， ∴S△MCN＝2， 设点C坐标为（t，0），则CN＝2﹣t， ∴2， 解得t＝﹣2， ∴C（﹣2，0）； （3）①如图A，当点P在y轴负半轴时， ∵四边形CPQM是平行四边形， ∴PC∥AB， 设PC解析式为y＝﹣x+b，代入点C（﹣2，0）坐标得，b＝﹣2， ∴P（0，﹣2）， 由中点坐标公式得：1+0＝﹣2+xQ，1+（﹣2）＝0+yQ， ∴Q（3，﹣1）． 如图B，当点P在y轴正半轴时， ∵CMPQ是平行四边形，M是AB的中点， ∴点A是QM的中点， 由中点坐标公式得：xQ+1＝﹣1×2，yQ+1＝3×2， ∴Q（﹣3，5）， 综上分析，满足条件的点Q坐标为（3，﹣1）或（﹣3，5）． 故答案为：（3，﹣1）或（﹣3，5）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平行四边形的的判定 同步练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD∥BC，AB∥DC B．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC C．OA＝OC，OD＝OB D．AD∥BC，AB＝CD （1题） （2题） （4题） （5题） 2.小峰不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　） A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③ 3.下列说法错误的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 4.如图在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，再添加下列条件之一，能使四边形ABCD成为平行四边形的条件是（　　） A．∠DAB＝∠ADC B．AD＝BC C．∠ABD＝∠BDC D．∠BAD＝∠BCD 5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（　　） A．6 B．12 C．20 D．24 6.如图，平行四边形ABCD对角线交于点O，点M，N，P，F分别在ABCD的四条边上（且不与顶点重合）．现有甲、乙、丙三种方案，则能判定四边形MNPF是平行四边形的是（　　） 甲：使AF＝CN，AM＝CP；乙：使MP，NF均经过点O；丙：使NF经过点O，且AM＝DP． A．只有甲、乙 B．只有乙、丙 C．只有甲、丙 D．甲、乙、丙 7.如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（　　）个． A．10 B．12 C．14 D．27 （7题） （8题） （10题） 8.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列选项中错误的是（　　） A．AB⊥AC B．EF＝6 C．四边形AEFD是平行四边形 D． 9.在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为（　　）（提示：可以构造平行四边形） A．2＜AD＜14 B．1＜AD＜7 C．6＜AD＜8 D．12＜AD＜16 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.如图在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，能使四边形ABCD成为平行四边形的需添加的条件是　 　 （写出一个即可） （11题） （14题） 12.已知A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有 　　 个． 13.在平面直角坐标系中，有四个点O（0，0），A（4，0），B（1，3），C（x，3），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　 　 ． 14.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的一点，点E是线段CQ上的点，且CQ＝2AP，设AP＝x，CE为y，则y＝2x﹣2．当点Q为BC中点时，y＝3． （1）BC＝　 　 ． （2）当AP＝　 　 时，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF且AE＝DF，AB＝CD．求证： （1）△AEB≌△DFC； （2）四边形BECF是平行四边形． 16.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题： （1）通过计算判断△ABC的形状； （2）在图中确定一个格点D，连接AD，CD，使四边形ABCD为平行四边形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，△ADE为等边三角形，且点E与点D在直线AC的两侧，点F在AB上（不与A，B重合）且∠AFE＝∠B，EF与AB，AC分别相交于点F，G． 求证：四边形BCEF是平行四边形． 18.如图，△ABC中，点D为AB的中点，E是AC上的一点，且DE∥BC，延长ED至点F，使得DF＝DE，连接BF． 求证：（1）△BDF≌△ADE； （2）四边形FBCE是平行四边形． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.一块铁皮零料ABCD的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料ABCD的四条边上，且平行四边形的一条边的长度等于BD长度的一半．可以怎样裁？请说明理由． 20.数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的． 小澈同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD＝OB，连结AD，CD（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形ABCD中，OD＝OB．OA＝ 　 　 ． 求证：四边形ABCD是 　 　 四边形． （1）补全已知和求证（在方框中填空）． （2）小澈同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请用小澈的思路完成证明过程（注意：其他方法不得分）． 六、（本题满分12分） 21.如图，在四边形ABCD中，AD＝12，BC＝32，AD∥BC，AB＝16，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段PD＝ 　 　 ；CQ＝ 　 　 ；QE＝ 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 七、（本题满分12分） 22.如图，▱ABCD两条对角线AC，BD相交于点O，E是BO的中点，连结CE并延长至点F，连结BF，使BF∥AC，连结AF． （1）求证：四边形AOBF是平行四边形． （2）若AD⊥AC，BC＝2，，求▱AOBF的面积． 八、（本题满分12分） 23.【综合探究】 在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2），点M为线段AB的中点，则线段AB的中点M的坐标为． （1）如图1，已知点A（﹣1，3）、B（3，﹣1），则线段AB的中点M坐标为 　 　 ； （2）如图2，在（1）的条件下，过点A、B的直线交x轴于点N，交y轴于点E，图中点C为x轴上的动点，当S△MCN＝S△EON时，求点C的坐标． （3）如图3，在（1）（2）的条件下，且点C在x轴的负半轴时，点P是y轴上的动点，点Q是直线AB上的动点，存在以C，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$