精品解析：北京市丰台区2024-2025学年高一下学期期中练习数学试题

丰台区2024-2025学年度第二学期期中练习 高一数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. （ ） A. B. C. D. 3. 用斜二测画法画水平放置的正方形，若该正方形的边长为，则其直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知某长方体的长、宽、高分别为、、，且该长方体的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则的形状一定为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 9. 如图，为了测量两山顶、间的距离，飞机沿水平方向在、两点进行测量，、、、在同一个铅垂平面内. 在点测得、的俯角分别为和，在点测得、的俯角分别为和，，则为（ ） A. B. C. D. 10. 在△中，，，．为△所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知，，，则___． 12. 已知复数为纯虚数，则___． 13. 在中，，． ① 若，则___； ② 若有两个，则的一个值可以为___． 14. 如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点（靠近和），此时容器中的水形成的几何体为___（填“棱柱”或“棱台”）．当底面水平放置时，水面高为___． 15. 已知平面内三个向量，，满足，且，，给出下列四个结论： ①若，则射线平分； ②若，则的最小值为； ③若，则△面积是△面积的4倍； ④若，，设点到所在直线的距离为，则的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是___． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知、都锐角，，． （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知，，且. （1）求的值； （2）设，，记与的夹角为，求的值. 18. 在中，，. （1）求的值； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. 条件①：； 条件②： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 在中，，． （1）求； （2）求周长的取值范围. 20 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若在区间上恒成立，求的最小值； （3）若，，求的值. 21. 设为正整数，集合. 对于集合中的任意元素和，记. （1）当时，若，，求和的值； （2）当时，若，，求的最大值； （3）给定不小于2，设是集合的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素和，都有. 求集合中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰台区2024-2025学年度第二学期期中练习 高一数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的几何意义可得结论. 【详解】复数在复平面内的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的加法和减法化简可得结果. 【详解】. 故选：A. 3. 用斜二测画法画水平放置的正方形，若该正方形的边长为，则其直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出直观图，求出高，结合平行四边形的面积可求得直观图的面积. 【详解】如下图所示： 在直观图中，，， 易知四边形为平行四边形，则， 故直观图的面积为. 故选：B. 4. 如图，在矩形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则结合向量的数乘运算即可. 【详解】在矩形中,， 因为为的中点，所以， 则 故选：A. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知结合二倍角的余弦公式、两角差的余弦公式、两角和的正切公式的逆用化简可得. 【详解】化简； ， 显然； . 所以，. 故选：D. 6. 已知，，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质可求得的值. 【详解】因为，，且与的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， 故选：B. 7. 已知某长方体的长、宽、高分别为、、，且该长方体的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径为，由题意可知，长方体的体对角线长等于球的直径，可求出的值，再利用球体表面积公式可求得球的表面积. 【详解】设球的半径为，由题意可知，长方体的体对角线长等于球的直径， 所以，， 因此，球的表面积为. 故选：C. 8. 在中，，则的形状一定为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【详解】由余弦定理可得，整理可得， 因此，为等腰三角形. 故选：A. 9. 如图，为了测量两山顶、间的距离，飞机沿水平方向在、两点进行测量，、、、在同一个铅垂平面内. 在点测得、的俯角分别为和，在点测得、的俯角分别为和，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】因为在点测得、的俯角分别为、， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为、， 所以，， 在中，已知，，， 由正弦定理得，所以， 因为，，则，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故，所以. 故选：C. 10. 在△中，，，．为△所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系表示各点坐标，再利用三角恒等变换即可求出结果. 【详解】以B为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设， 为所在平面内的动点，且， 设， 则，， ∴ ，其中， 则的取值范围是， 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知，，，则___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由可得，，所以. 故答案为：. 12. 已知复数为纯虚数，则___． 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，再利用纯虚数的定义求得答案. 【详解】依题意，复数， 由是纯虚数，得且，所以. 故答案为：1 13. 在中，，． ① 若，则___； ② 若有两个，则的一个值可以为___． 【答案】 ①. ②. （只需满足即可） 【解析】 【分析】利用余弦定理可求得值；②由有两解可得出，求出的范围即可. 【详解】①因为，，若， 由余弦定理可得，故； ②如下图所示： 若有两解，则，即，即. 故答案为：①；②（只需满足即可）. 14. 如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点（靠近和），此时容器中的水形成的几何体为___（填“棱柱”或“棱台”）．当底面水平放置时，水面高为___． 【答案】 ①. 棱柱 ②. 【解析】 【分析】根据棱柱的定义判断容器中的水形成的几何体为棱柱；不同放置方式水的体积相等，结合柱体的体积公式求解即可. 【详解】当侧面水平放置时，由于水面恰好过的三等分点， 此时平面平面，其余各面都是平行四边形， 且每相邻四边形的公共边互相平行，所以容器中的水形成的几何体为棱柱； 设当底面水平放置时，液面高度为， 依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的三等分点处， ， 所以水的体积，解得. 故答案为：棱柱； 15. 已知平面内三个向量，，满足，且，，给出下列四个结论： ①若，则射线平分； ②若，则的最小值为； ③若，则△面积是△面积的4倍； ④若，，设点到所在直线的距离为，则的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是___． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，取为的中点后可判断其正误；对于②，利用二次函数的性质可判断其正误；对于③④，利用等和线转化后可判断它们的正误. 【详解】对于①，若，则， 因为，故为等腰三角形，取为的中点， 则，而平分，故平分，故①正确； 对于②，若，则， 所以， 当时，，故，故②错误； 对于③，若，则，故在内部， 如图，延长交于，则， 设，因为，故三点共线， 而，故三点共线，故重合， 故，故即， 所以，故到直线的距离为到直线距离的4倍， 故面积是面积的4倍，故③正确； 对于④，取，则， 由可得， 因为，故在直线上， 取的中点，过作的平行线交于，过作的平行线交于， 则，， 因为，故在线段上（如图所示），而， 故到的距离为，到的距离为， 故的取值范围为，故④正确； 故答案为：①③④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知、都是锐角，，． （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求得的值； （2）求出的值，利用两角差的正弦公式可求得的值. 【小问1详解】 因为，且为锐角，所以. 所以，所以. 【小问2详解】 因为，且为锐角，所以. 所以. 17. 已知，，且. （1）求的值； （2）设，，记与的夹角为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量垂直的坐标表示求解； （2）由向量模长和数量积的运算律求. 【小问1详解】 根据题意，， 所以，得； 【小问2详解】 由（1）知，， ， ， ， ， 所以. 18. 在中，，. （1）求的值； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简可得的值； （2）选①：利用正弦定理求出，利用两角和的正弦公式求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； 选②：利用正弦定理求出角的值，利用两角和的正弦公式求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 由余弦定理，且， 所以. 又，所以，所以. 【小问2详解】 选择条件①：由正弦定理得. 又因为在中，，所以， 即. 所以的面积； 选择条件②：由正弦定理得. 因为在△中，，所以，所以. 又因为在中，，所以， 即 . 所以△的面积. 19. 在中，，． （1）求； （2）求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得周长的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以，所以，故. 【小问2详解】 由正弦定理，可得， 所以，，所以. 因为，所以， 因为 ， 所以. 因为，所以，所以. 所以，即，所以， 即△周长的取值范围为. 20. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）若在区间上恒成立，求的最小值； （3）若，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，再令即可求解； （2）先求出，再结合正弦函数图象可得即可； （3）先根据的范围得出的值，再根据两角和差的正弦公式计算即可. 【小问1详解】 令，得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 因在区间上恒成立，则在区间上恒成立， 因为，则， 结合正弦函数图象可得，得， 所以的最小值为. 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 21. 设为正整数，集合. 对于集合中的任意元素和，记. （1）当时，若，，求和的值； （2）当时，若，，求的最大值； （3）给定不小于2，设是集合的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素和，都有. 求集合中元素个数的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义可求得和的值； （2）设，，对、的取值进行分类讨论，可得出的值为0或，分析可知和中共有8个，8个0，设中有个，中有个，于是得出，然后对、的取值进行分类讨论，由此可得出的最大值； （3）记表示中的最小值，由（2）中的结论得出，根据，可得出，于是得出，设，设，，，对、与关系进行讨论，进行逻辑推理，由此可证得结论成立. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 设，，其中. 当时，. 当或时，. 当时，. 所以的值为0或. 因为，， 所以和中共有8个，8个0. 设中有个，中有个， 其中为不大于8的非负整数，且. 当或时，. 当或时， 当或时，. 当或时，. 当时，（当时等号成立） 所以的最大值为. 【小问3详解】 记表示中的最小值， 由（2）知的值为0或，则 . 因为，所以. 又因为，所以， 所以. 设， ， ， ， ， 则，且两两交集为. 设，，. 当时，则 ， 所以，不符合题意. 同理，当时，，不符合题意. 当时，，不符合题意. 当时，，不符合题意. 所以中的任意两个元素不可能同时在集合中， 所以集合中元素个数不超过. 取，且， 令，则集合元素个数为，符合题意. 综上，集合中元素个数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$