【三轮冲刺】专题07 函数综合选填压轴（江苏专用）-2025年江苏数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年江苏数学中考预测专项突破 专题07 函数综合选填压轴（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题函数综合选填压轴分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：选择题第10题：此题主要考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数综合中定义新运算问题，分值3分，难度偏上； ❆苏州卷：填空题15题：此题主要考查的是二次函数的性质与图形，分值3分，难度中等； 题型一：函数综合之定义新运算问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别把代入和，都求出，即可判断①；先整理得，得或当，再结合，得出，则，求出，此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；同理结合，得，得可以为正数，零，负数，即可判断③；把或当与构建方程组，再结合判别式进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， ∴， ∴； 把代入把， ∴， ∴； ∴是“和谐点”； 故①说法是正确的； 依题意，把代入，得， 再把代入， 得， 解得或； ∴直线上有两个“和谐点”； 故②说法是错误的； ∵，， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴或当， ∵反比例函数的图象上 ∴依题意，则， ∴， 则， ∵， ∴， 此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”； 或， ∴， ， ∵， ∴可以为正数，零，负数， 综上当时，反比例函数的图象上最多只有四个“和谐点”； 故③说法是错误的； ∵二次函数， 依题意，则， ∴， ， 解得， ∴与有一个“和谐点”； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则与有两个“和谐点”； 故二次函数的图象上有3个“和谐点”，则； 当， 解得， 把代入， ∴， 解得， 此时， ∴， ∴， 此时有2个“和谐点”， 则， ∴， ， 此时有2个“和谐点”， 但有一个点是重合的，则二次函数的图象上有3个“和谐点”， 综上：二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． 故④说法是正确的； 故选：B． 2．（2025·江苏无锡·一模）定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 根据反比例函数的性质即可判断①，根据一次函数的性质求出函数的最大值即可判断②；由题意可知：，再由，即可求的取值范围，即可判断③；根据对称轴方程和“顶峰”值为 3 ，分类讨论时和时，列方程求解，即可判断④． 【详解】解：函数无最大值，不是“顶峰”函数，故①错误； 在中， ∵，∴随值的增大而增大， 当时，有最大值， 即函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1，故②正确； ∵随值的增大而减小， 当时，， ∵“巅峰”值是， ， ∵函数的最小值不超过， ， ， ， ， ， ∴的取值范围为：，故③正确； ∵的对称轴是直线， 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：（舍去）或； 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：，符合题意． 综上所述：的值为或 0，故④错误． ∴正确的是②③， 故选：C． 3．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：若O，A，B在一条直线上 ；若O，A，B不在一条直线上．已知点A坐标为，点B坐标为，有下列结论： ①； ② 若，则点P坐标为； ③ 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④ 若平面中任意一点P满足，则满足条件的点P的全体组成的图形面积为其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题中的定义计算即可判断①；由可得点在轴上，由可得，据此求出点的坐标即可判断②；根据可得，即可判断③；由题意得出，然后计算出满足条件的点的全体组成的图形面积即可判断④． 【详解】解：点坐标为和点坐标为， ，， ，故①正确； ， 点在轴上，设点的坐标为， ， ， ， 或， 点的坐标为或，故②错误； 设点的坐标为， 若，则， ，即：， 解得：或， 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上，故③正确； ， ， ， 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 在同一坐标系中画出它们的图象如图： 满足条件的点的全体组成的图形面积为，故④正确． 故选：C． 4．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，解一元二次方程．根据新定义和函数图象进行讨论是解题的关键． 根据新定义和函数图象分情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别求关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：由题意知，当时，，解得或，均不合题意； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，方程没有实数解； 当时，，方程没有实数解； ∴方程的解为0， 故选：B． 5．（2024·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题为新定义题型，考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征．根据“a方内点”的定义，逐一判断即可． 【详解】解：①点到x轴距离为2，到y轴的距离等于1，不大于2， 故是一次函数图像的“2方内点”；故①正确； ②当时，，则点到y轴的距离为2，到x轴的距离为，不大于2，即点是函数图像上的“2方内点”；故②错误； ③若直线的“方内点”有两个， 由题意知，函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x轴、y轴平行的正方形边上， 如图，当时，，即直线过定点， 当时，直线与有无数个“方内点”， 对于直线，把点代入中，， 解得：， 当时，直线与正方形的边有两个交点，表明有两个“方内点”，故③正确； ④抛物线的“方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为且相邻两边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点，如下图； 当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时：，解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 综上，a的值恰有三个，分别为， 故④正确； 故正确的有①③④， 故选：C． 6．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，用到了一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识，先求出，根据m的取值范围分三种情况进行讨论即可得到答案. 【详解】解：∵动点B在直线上，横坐标为m， ∴点B的坐标为， ∵点A的坐标为 ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当取得最小值时，应满足的条件是， 故选：C 7．（2024·江苏南通·一模）定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．先求出直线解析式，与反比例函数解析式联立方程组确定、的横坐标，利用平行线得到、的代数式，根据条件进行判断即可． 【详解】解：在图象上， ， ， 令， ， △， 与有两个交点， ， ， ， ， 点的横坐标为，点的横坐标为， 作于点，作轴于点，则， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， 故选：B． 8．（2023·江苏无锡·一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”． ①点是函数的“1倍点”； ②若函数存在唯一的“3倍点”，则b的值为； ③若函数的“m倍点”在以点为圆心，2m为半径的圆内，则m为大于1的所有整数． 上述说法正确的有（        ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据函数的“倍点”的定义即可判断①；确定函数存在唯一的“3倍点”，则，满足，两函数有唯一一个交点，△，求得的值可判断②；根据定义可知：“倍点”的横纵坐标是与的公共解，计算可得其解为且，根据函数的“倍点”，再以点为圆心，半径长为的圆内，列不等式求得解集即可判断③． 【详解】解：①当时， ，， 点是函数的“1倍点”； ①正确； ②当时，， 函数存在唯一的“3倍点”， ， ， ， ； ②错误； ③， ， 函数的“倍点”为， 如图所示，直线与交于点，连接，过点作轴于， ， ， ， 为正整数， 的所有整数． ③正确． 故选：C． 9．（2025·江苏宿迁·一模）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查的是一次函数的定义，一次函数的图象与性质，由且，可得，，可得在正方形内，包括边界；当一次函数过时，当一次函数过时，再结合一次函数的定义可得答案． 【详解】解：如图，∵且， ∴，， ∴在正方形内，包括边界； 当一次函数过时， ， 解得：， 如图，当一次函数过时， ∴， 解得：， ∵， ∴一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围为： 且； 故答案为：且． 10.（2024·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，根据是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，得到点在反比例函数时有最大值，当点在线段时有最小值，即可得解． 【详解】解：如图，过点A作轴，轴，垂足分别为M，N， 则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，绕点逆时针旋转得到，则，， 设直线的表达式为：，代入， 得：， 解得：， 直线为， 设经过点的双曲线为：， 代入得：， ∴经过点的双曲线为， 是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 的取值范围是． 故答案为：． 11．（2023·江苏常州·一模）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶好点”．例如点是函数图像的“1阶好点”；点是函数图像的“2阶好点”，若y关于x的二次函数图像的“3阶好点”一定存在，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点和点时为临界情况，求出此时a的值，由图象可得a的取值范围． 【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点坐标在直线上移动， ∵y关于x的二次函数图象的“3阶好点”一定存在， ∴二次函数的图象与以顶点坐标为，的正方形有交点， 如图，当过点时， 将代入得：， 解得：或（舍去）， 当的顶点过点时，则， 由图可知，若y关于x的二次函数图象的“3阶好点”一定存在，a的取值范围为：． 故答案为： 12．（2025·江苏泰州·一模）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 13．（2025·江苏徐州·一模）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，当时，，即，所以是函数的“级关联范围”．函数的“级关联范围”是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，“级关联范围”的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由二次函数的图象与性质得当时，随的增大而增大，当时，的取值范围是，当时，，即，解得：，因为，所以，当时，即，解得：，因为，所以，即可求解． 【详解】解：函数开口向下，对称轴， 当时，随的增大而增大， 当时，的取值范围是， 当时，， 即， 解得：， ， ， 当时，， 即， 解得：， ， ， ， 函数的“级关联范围”是， 故答案为：． 14．（2023·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（其中k为常数且），则称点为点P的“k—关联点”．已知点A在函数的图像上运动，且A是点B的“3—关联点”，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由点是点的“3—关联点”，可设点坐标，表示出点坐标，由点在函数的图象上，就得到点在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点、，过作这条直线的垂线，这点到垂足之间的线段，此时最小，由题中的数据，可以证明出，进而得出，进而求出． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示： 设， 点是点的“3—关联点”， ， 点在函数的图象上， ， 即：或（舍去，， ， 点在直线上， 直线与轴、轴相交于点、， 则、， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 即：， 解得：，   故答案为：． 题型二：函数综合之动点问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与y轴的交于点M，过点F作轴于点N，根据正方形的性质得出，进而求得E的坐标，根据勾股定理求得，即可求得，通过证得，求得，从而求得F的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式和折痕所在直线解析式，联立成方程组，解方程组即可求得点H的坐标． 【详解】解：设与y轴的交于点M，过点F作轴于点N， ∵， ∴， ∵四边形正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数为， 由折叠可知，，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 解得或， ∴折痕所在直线与反比例函数图象的另一个交点H的坐标为， 故选：D． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，则：，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，推出，作点关于的对称点，连接，得到的周长，得到的周长的最小值为，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：设，则：， ∵均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小为，此时点与点重合，如图：设与交于点，作于点，作于点， 则：， ∴，， ∴为定值， ∴当的长最小时，的周长的值最小， ∵， ∴当时，最小为，此时最小为， ∴的周长的最小值为：； 故选：A． 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形的判定和性质，两直线的交点坐标等知识点．根据已知条件得到，，求得，，得到，，在轴正半轴取点，使，连接交于点，连接交于，连接，，推出垂直平分，则点与点关于直线对称，此时四边形周长最小，，求得直线为，直线的解析式为，解方程组即可得到结论．正确的找到点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴，， 在轴正半轴取点，使，连接交于点，连接交于，连接，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即平分， ∴，， ∴垂直平分，则点与点关于直线对称， ∴，， ∴， 当点与点重合时，取“”号，此时四边形周长最小， 设直线为，过点， ∴， 解得：， ∴直线为， 直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得：， ∴． 故选：C．    3．（2024·江苏南通·二模）如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（    ） A．函数图象上点的横坐标表示的长 B．当点D为的中点时，点E为线段的三等分点 C．两段抛物线的开口大小不一样 D．图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 【答案】D 【分析】第二个图形中点在两段函数中，是关键点．结合第一个图形，可得此时点D移动到点C，E在AB的中点，那么．．可得．判断A选项；作于点H．可得，根据相似三角形的判定与性质可得E为的四等分点，从而判断B选项；分为当D在上时及当D在上时，两种情况分别求出函数解析式，从而判断C选项；把代入当D在上时的函数解析式中可求得面积的值，判断出D选项． 【详解】解：∵点在两段函数中，即点D与点C重合时． ∵等腰中，，，， ∴． ∴． ∴． ∴点横轴表示的长，故A错误； 如图，作于点H． 又∵是等腰三角形， ∴． ∵， ∴． ， ∵D为中点， ， ∴． ∴． ∴点E为线段的四等分点，故B错误； 当D在上时，为x，则， ∴， 当D在上时，为x，则， ∴． ∵两个二次函数的二次项的比例系数的绝对值相等， ∴两段抛物线的开口大小一样，故C错误； 当时，点D在上， ∴，故D正确． 故选D 4．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形中，，，为中点，动点从点开始沿方向运动到点停止，动点从点开始沿方向运动，与点同时出发，同时停止；这两点的运动速度均为每秒个单位；若设他们的运动时间为（s），的面积为，则与之间的函数关系的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点P在上运动是时间为6秒，点Q在上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得，然后分①点Q在上时，表示出，再根据的面积为，列式整理即可得解；②点Q在上时，表示出，再根据的面积为，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可． 【详解】解：∵点P、Q的速度均为每秒1个单位， ∴点P在上运动的时间为（秒），点Q在上运动的时间为（秒）， ∵E为中点， ∴， ①如图1，点Q在上时，， 则， 的面积为， ②如图2，点Q在上时，， 则， 的面积为， ， 综上所述，， 函数图象为对称轴为直线的抛物线的一部分加一条线段，只有A选项符合． 故选：A． 5．（2024·江苏常州·一模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形的边长是（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等边三角形的性质等知识点，如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在上运动时，，，易知，当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知，过点O作，解直角三角形可得，进而得出等边三角形的边长，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件． 【详解】如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B， 结合图象可知，当点P在上运动时，， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为4， ∴，即， ∴， 过点O作，垂足为D， ∴，则， ∴， 即等边三角形的边长为． 故选：A． 6．（2023·江苏南通·一模）如图，△ABC中，，，．点，同时从点出发，点以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．作，设运动时间为，与△ABC重合部分的面积为，则下列图象中能大致反映与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出,由题意可得，，，且，由平行线分线段成比例可知，先求出在的内部时的取值范围，当点在线段上时，易得四边形为矩形，根据可列出方程，求得，再分两种情况讨论：当时，在的内部，此时；当时，交于点，交于点，易得四边为平行四边形，，于是，由平行线分线段成比例可得，以此算出，，此时；最后根据得出的函数关系即可判断． 【详解】解：在中，，，． ∴， ∴，， 如图，连接， 由题意可得，，，且， 则，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 当点在线段上时，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，在的内部， 此时； 当时，如图，交于点，交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴四边为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴ ， ∴； 综上，， 故选：B． 7．（2023·江苏无锡·一模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（        ） A． B． C．20 D．24 【答案】C 【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C． 8．（2023·江苏苏州·一模）东南环立交是苏州中心城区城市快速内环道路系统的重要节点，也是江苏省最大规模的城市立交．左图是该立交桥的部分道路示意图（道路宽度忽略不计），A为立交桥入口，D、G为出口，其中直行道为、、，且；弯道是以点O为圆心的一段弧，且、、所对的圆心角均为．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，期间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如右图所示，结合题目信息，下列说法错误的是（   ） A．该段立交桥总长为672 m B．从G口出比从D口出多行驶192m C．甲车在立交桥上共行驶22s D．甲车从G口出，乙车从D口出 【答案】C 【分析】由两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系图，在段行驶时间是8s，在段行驶时间是（s），通过计算可判断选项A和B；14s后乙车距点O的距离越来越远，甲车距点O的距离暂未改变，可判断选项C和D． 【详解】解：由题意可得（m）， 在段行驶时间是（s），（m） ，、、所对的圆心角均为 该段立交桥总长为：（m），A正确； 从G口出比从D口出多行驶：（m），B正确； 14s后乙车距点O的距离越来越远，甲车距点O的距离暂未改变， 甲车从G口出，乙车从D口出，D正确； 甲车在立交桥上行驶时间：（s），C错； 故选：C． 9．（2023·江苏盐城·一模）已知△ABC，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止．设点P运动的运动时间为t秒，的面积S关于t的函数图象如图所示，则△ABC的边上的高等于 ．    【答案】或 【分析】由图象可知，的长度为，，当点与点重合时，的面积最大为6，即△ABC的面积为6，求出边上的高为，再分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：由题意，得：当点在上时，的面积为0，当点从B→C运动时，的面积逐渐增大，当点与点重合时，的面积最大，即为△ABC的面积，当点从C→A运动时，的面积逐渐减小，当点与重合时，的面积为0， ∵动点P以每秒钟1个单位长度的速度运动， ∴由图象可知：，，， ∴， 设点到的距离为， 则：， ∴， ①当或时，此时△ABC为直角三角形， ，满足题意， ∴当时，边上的高即为的长为：4， 当时，此时， 设上的高为，则：， ∴； ②当△ABC，边上的高在三角形外部时，如图，    设，则：，设， 则：，解得：（负值舍掉）， 即：，， 或：    同法可得：，， ③当边上的高在三角形内部时，     或   同②法可得：，，或，， 综上，△ABC只能为直角三角形，或， ∴△ABC的边上的高等于或； 故答案为：或． 10．（2025·江苏宿迁·一模）如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为 ． 【答案】 【分析】先由矩形性质得到，，进而证的，证明得到，即，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由图象知， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∴点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 题型三：二次函数的图象与性质（选填压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏南通·一模）已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由时，的取值范围为或，可得或是方程的两个根，则有，再得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解．熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：当时，， ， 当时，的取值范围为或， 或是方程的两个根， ， ， ， 是函数的对称轴，且， ， 函数经过点， ， ， ， ， ， ， 设抛物线， 令，解得， 令，解得， 根据抛物线开口向上， 的解集为或 的可能取值为2， 故选：A． 2．（2025·江苏无锡·一模）已知函数（为常数）的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，则的值是（   ） A．4或7 B．4或6 C．5或7 D．5或6 【答案】B 【分析】先根据抛物线不经过第三象限得出，求出，再求出抛物线的顶点坐标为，根据，得出当时，抛物线不经过第三象限，求出，从而得出，说明函数最小值为，把代入得，把代入得，分两种情况求出结果即可． 【详解】解：把代入得：， ∵抛物线不经过第三象限， ∴， 即， ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴当时，抛物线不经过第三象限， 解得：， ∴， 当时，函数最小值为， 把代入得， 把代入得， 当时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为4或6． 故选：B． 3．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知，是抛物线上的两点，当时，均有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先求出二次函数的对称轴，根据对称轴可得点关于对称轴的对称点为，再根据当时，均有，可得，解不等式组即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵当时，均有， ∴， 解得， 故选：． 4．（2024·江苏扬州·二模）若点、、都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．求得二次函数的对称轴直线即为直线，由抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【详解】解：，都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 故选：D． 5．（2024·江苏南通·一模）已知关于x的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整式的乘法运算，通过消元法将代数式化简为二次函数的形式是解题的关键．由已知得，化简得，所以，再求出b的取值范围，最后根据二次函数的图象与性质，可求出的取值范围，由此可判断答案． 【详解】当时，该多项式的值为， ， 整理得， ， ， 即， ， ，， ， ， 当时，， 根据二次函数的图象可知，当时，． 故选A． 6．（2023·江苏南通·一模）二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，，则a的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】作轴，交x轴于点D，设A、B两点横坐标为x1和x2，设点，根据勾股定理进行线段之间的转换，列出方程，再根据韦达定理，即可解答． 【详解】   解：如图，作轴， 设A、B两点横坐标为x1和x2，设点， 轴， ， ， ， ， ， 整理得，， 二次函数的图象与x轴相交于A，B两点， 是的解， ， ， ， ∵点在抛物线上， ， ． 故选：D． 7．（2023·江苏扬州·二模）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当时，得出，进而求出方程的解，判断即可得出结论，②当时，结合二次函数的图象和性质，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得，， 解得：． 分类讨论：①当时，即， ∴原方程为， 解得：，满足题意； ②当时，即时． ∴原方程有两个不相等的实数根． ∵该二次函数的对称轴为直线，且有且只有一个根在的范围内， ∴在平面直角坐标系中画出大致函数图象，如图所示， 观察图象可知，当时，方程的两个根分别为，，不满足题意； 当时，方程的两个根分别为，，满足题意； 当时，方程的两个根都在范围内，不满足题意． 综上可知，满足条件的t的范围为或， 故选C． 8．（2024·江苏徐州·一模）如图，抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线的对称轴，可求出m=4，进而求出抛物线的解析式；把关于x的一元二次方程有解的问题，转化为抛物线与直线y=t的交点问题，可求出t的取值范围；最后将所给的四个选项逐一与t的范围加以对照，即可得出正确答案． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线, ∴， 解得，． ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 当时， 当时， ∵关于x的一元二次方程是， ∴． ∵方程在的范围内有解， ∴抛物线与直线在范围内有公共点，如图所示． ∴， 故选：B． 9．（2025·江苏宿迁·一模）已知二次函数的图象与轴交于，且，若，在此图象上，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，代数式的取值范围等知识点．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据函数图象上点的坐标特征得，则可将与看成二次函数中，当和时两个函数值，可确定，，进一步推出与不能同时取得最大值，可得答案． 【详解】解：∵，在二次函数的图象上， ∴，， ∴， 将与看成二次函数中，当和时两个函数值， 配方得：， ∵， ∴，， ∵， ∴与不能同时取得最大值， ∴， 即， ∴的取值范围是． 故答案为：． 10．（2024·江苏苏州·一模）如图，点是二次函数（为常数）的图像与轴的交点，是二次函数的对称轴与轴的交点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点恰好落在二次函数的图像上，则的值为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作轴于点，由旋转得，，进而可证明，得到，，又由二次函数可得，，即可得，把代入二次函数的解析式解答即可求解，证明得到点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，    则， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵是二次函数的对称轴与轴的交点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点恰好落在二次函数的图像上， ∴， 整理得，， 解得，， ∴的值为或， 故答案为：或． 题型四：函数综合之最值问题（选填压轴）（高频考点） 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】首先利用待定系数法确定该抛物线解析式，进而确定抛物线顶点的坐标；结合的长度，且是定值，故只需取最小值，即可使得的周长最小．过点作关于轴和轴对称的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 【详解】解：根据题意，抛物线的对称轴为，且经过点， 则有，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线顶点的坐标为， ∵的长度，且是定值，所以只需取最小值，即可使得的周长最小， 如图1，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点， 则，， 设直线的解析式为， 将点和点代入， 可得，解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵， 且， ∴此时的周长； 同理，如图2，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点， 则， 设直线的解析式为， 将点和点代入， 可得，解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵， 且， ∴此时的周长； ∵， ∴， ∴点在轴上时，的周长最小，此时点的坐标是． 故选：A． 2．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点分别是上的动点，且，点是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，两点间距离公式，二次函数的性质，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，设直线解析式为，可得，设点，则，由为中点得，进而得，利用二次函数的性质即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，， 设直线解析式为，把，代入得， ， 解答， ∴， 设点，则， ∴为中点， ∴， ∴， ∵， ∴时，取最小值， 当时，， ∴， 故选：． 3．（2023·江苏无锡·二模）如图，中，，点D、E分别是边上的动点，将绕点D逆时针旋转，使点E落在边的点F处，则的最小值是（    ）．    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】如图：在上取点P，使，先解直角三角形可得、；再证明是等边三角形，可得；再说明，进而证明可得、；设,则，进一步得到、，然后根据勾股定理列出的解析式，再运用二次函数的性质求得最小值，进而求得的最小值． 【详解】解：如图：在上取点P，使，    ∵中， ∴, ∴ ∵将绕点D逆时针旋转，使点E落在边的点F处 ∴, ∴是等边三角形， ∴, ∵， ∴ ∵，, ∴, ∴, 设,则 ∵ ∴ ∴， ∴，即 ，即 ∴ ∴当时，有最小值，则的最小值为． 故答案为A． 4．（2024·江苏扬州·一模）若关于x的方程的两根，满足，则二次函数的顶点纵坐标的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，运用根的判别式和根与系数的关系得到，根据二次函数，得到 时，y随x的增大而减小，根据在对称轴的左侧，，得到当时，顶点纵坐标的最大值是． 【详解】∵关于x的方程的两根，满足， ∴， ∴，或， ∵， ∴， ∴， ∵二次函数， ∴对称轴为直线，顶点为，图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵在对称轴的左侧，， ∴当时，点距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值， ∴, ∴， ∴顶点纵坐标的最大值是． 故答案为：． 5．（2024·江苏南通·一模）如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形面积问题，根据题意列二次函数求最值，先根据中位线问题得到三角形面积的关系，然后根据四边形面积列出二次函数，即可求得最值，准确找到三角形面积与四边形面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 又点M是的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴ ， 设，边长， ∵， 则， ∵， ∴， 则， 当时，取得最大值为， 故答案为：． 6．（2024·江苏扬州·一模）已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，由可得，进而得到二次函数为，由二次函数的对称性可得二次函数的对称轴为直线，把方程转化为，即可得为二次函数图象上的点，得到是方程的一个解，利用对称性即可得到方程的另一个解，即可求解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴二次函数为， ∵，在二次函数的图象上， ∴二次函数的对称轴为直线， 由方程可得，， ∵点为二次函数图象上的点， ∴是方程的一个解， 即为方程的一个解， 设方程的另一个解为， 由可得，， ∴方程的另一个解为， ∴方程的解为或， 故答案为：或． 7．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，点分别在边上，且，则的面积最大值 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，二次函数的应用，勾股定理，解题关键是熟练应运同角或等角的三角函数值相等及二次函数的性质．过点作，垂足为，设，，由，可得结合勾股定理可得，易证同理可得，结合可得由三角形的面积公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由，设， ， 如图，过点作，垂足为， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积有最大值为， 故答案为：． 8．（2024·江苏镇江·二模）如图，△ABC中，，边上的高为18，点D、E是边上的动点，且，点F为边上的一点，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、三角形的面积等知识点，熟知相似三角形对应高之比等于相似比是解题的关键． 过点A作于点H，交于点G，由证得，再根据相似三角形对应高之比等于相似比得出，设,即可用含x的代数式表示，然后根据三角形面积公式计算，最后根据二次函数的最值计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，交于点G， ∵， ∴， ∴， 设, ∵，边上的高为18， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积有最大值，当时，面积最大，最大值为54． 故答案为：54． 9．（2024·江苏泰州·二模）如图，，点C为线段上一个动点，在上方构造等腰直角和等腰直角，，点F，G分别在边和上，且满足，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】过F作于H，过G作于K，过F作于L，利用相似三角形的判定与性质求出，，设，则，利用矩形的判定与性质求出，，利用勾股定理求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图，过F作于H，过G作于K，过F作于L    则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，， ∵， ∴， 同理， 设，则， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴当时，取最小值为10， ∴的最小值为， 故答案为：． 58．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，过点作，与边交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和二次函数的最大值，关键在于数形结合的熟练应用．根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，根据三角形相似的判定得到，利用相似比得到与之间的函数关系式，由关系顶点式即可求得． 【详解】解：的长为，则，的长为， ，，， ， ，， ， ， ，即， ， ， 当时，，此时为最小， ． 故答案为：． 10．（2025·江苏南通·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，把代入得，故抛物线的解析式为，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，求出，，，，可得，，即得，从而，由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，根据面积法求出，故的最小值为，解题的关键掌握胡不归问题的解决方法． 【详解】解：把代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，、 ， 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 如图，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于， 在中，令得， 解得或， ， ， 将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点， ，， ， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度， ， ， 的最小值为． 故答案为： 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点坐标为，D点坐标为，过点分别作平行线，交x轴于两点，若，直线、之间距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形相似的判定和性质、求二次函数的最大值、平行线之间的距离等综合知识点，构造相似三角形与平行线间的距离是解题的关键． 如详解中的辅助线作图法，可证，并设，然后将相关线段都用m与t的代数式表示出来，再证得出比例式然后可得，可求得m的最大值，从而可求得的最大值为 【详解】如图，自C点作延长线的垂线，垂足为点M；自，垂足为点N． 设，由题意可知，， ∴，， ∵ ∴，则， ∵， ∴，又 ∴ ∴ ∴， 即 即的最大值为， ∴， ∴ 即的最大值为 即直线之间距离的最大值为 故答案为： 12．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过三个点中的两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征，求二次函数的解析式等知识点，正确求得抛物线平移前后的解析式是解题的关键． 先判断抛物线经过点A、C，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出设平移后的抛物线为，令，得到解得是纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得m，即可求得平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式． 【详解】解：在直线上， 或B是抛物线的顶点， 的横坐标相同， 抛物线不会同时经过B、C点， 抛物线过点A和C两点， 把代入： 得，解得， 二次函数为 顶点始终在直线上， 抛物线向左、向下平移的距离相同， 设平移后的抛物线为， 令，则， 时，抛物线与y轴交点纵坐标有最大值为， 平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为． 故答案为：． 13．（2024·江苏南通·三模）已知 为反比例函数上任意一点，过点 作轴，轴且 ，则四边形 的面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，本题借用考查四边形面积的最小值来考查反比例函数图象的应用，综合能力较强. 先设再求出， 根据四边形的面积然后再用配方法解答即可. 【详解】解：设 则 ， 四边形的面积 ， ， ， 当，即 时， 有最小值， 故答案为：. 14．（2024·江苏泰州·三模）已知，，且，设，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了韦达定理，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点并能发现和是方程的两个根是解题的关键．因为可转化成，结合，可知和是方程的两个根，然后利用韦达定理，得到，再结合二次函数的性质，得出最值． 【详解】 又 可知和是方程的两个根 那么有 ， 时，随的增大而增大 时，有最小值，最小值是 故答案为：6． 题型五：函数综合之多结论问题（选填压轴）（高频考点） 1．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知点M在反比例函数位于第二象限的图象上，点N在x轴的负半轴上，连接交该图象于点P，若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，给出以下结论：的度数随着k的值的变化而变化；②的面积随着k的值的变化而变化；③；④的面积为．其中正确的有（    ） A．① B．①② C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】过P作轴于H，过M作于G，过M作轴于L， 设，由是以为斜边的等腰直角三角形，证明，可得，而M在反比例函数位于第二象限的图象上，得到，可得，故，故③正确，①错误；求出，可得的面积为，故④错误，②正确； 【详解】解：过P作轴于H，过M作于G，过M作轴于L，如图： 设，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ，， ， ∵M在反比例函数位于第二象限的图象上， ， ，即， 解得， ， ， ，故③正确； 的度数不会随着k的值的变化而变化，故①错误； ， ， ∴的面积为，故④错误； ∴的面积随着k的值的变化而变化，故②正确； ∴正确的有②③， 故选：． 2．（2023·江苏盐城·三模）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，其对称轴为直线，结合图像分析如下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④若一次函数的图像经过点A，则点在第三象限；⑤点M是抛物线的顶点，若，则．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据二次函数图象与系数的符号判断即可；②根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，代入解析式可得；③当时，随的增大而增大；④由直线经过点A可得k与b的数量关系，进行判断．⑤设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．利用相似三角形的性质，构建方程求出，进而根据求出． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴是直线， ， ， 抛物线交轴的负半轴， ， ，故①正确； 抛物线与x轴交于点，对称轴是直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即， 将代入，得， ，故②错误； 观察图象可知，当时，随的增大而增大， 故③错误； ∵一次函数的图像经过点A， 将代入得， 解得， ∵， ∴， ∴点在第三象限，故④正确； 抛物线经过，， 设抛物线的解析式为， ，， 过点作轴于点，设对称轴交轴于点．   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故⑤正确， 故正确的有，共3个． 故选C． 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，．其中正确的序号是（    ） A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时（即，对称轴在轴左侧；当与异号时（即，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；根据抛物线开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，即，由抛物线与轴的交点位置得到，所以；根据二次函数的性质得当时，函数有最大值，则当时，，即；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在的右侧，则当时，，所以；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算得到． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ，即，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①错误； 抛物线对称轴为直线， 函数的最大值为， 当时，，即，所以③正确； 抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧 当时，， ，所以④错误； ， ， ， ， 而， ，即， ， ，所以⑤正确． 故选：D 4．（2024·江苏无锡·一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论： ①； ②当时，； ③当时，的长为； ④的面积最大值为． 其中正确的为（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，解一元二次方程．证明四边形是平行四边形，都是等边三角形，即可判断①；利用三角形内角和定理，通过计算即可判断②；设，证明，得到关于的一元二次方程，解方程即可判断③；设，利用，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：连接， ∵四边形是边长为4的菱形，， ∴和都是等边三角形， ∴， 由平移的性质得，四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴都是等边三角形， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，②正确； 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得，解得， ∴，③错误； 作于点，于点， 设，则，， ∴，， ∴等边、、的高都是， ∴，， ， ， ，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ④正确． 综上，①②④正确， 故选：D． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，正方形的边长为2，点在边上运动（不与点、重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：①；②；③；④面积的最大值为，其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】如图1中，在上截取，连接．证明，即可判断①②；如图2中，延长到Q，使得，则，即可判断③；设，则，，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题可判断④；从而可得答案． 【详解】解：如图1：在上截取，连接， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， 故①②正确； 如图2，延长到Q，使得， 在正方形中，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故③错误， 如图1；设，则，， ∴， ∵， ∴时，的面积的最大值为； 故④正确， 故答案为：①②④． 6．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，小然利用绘图软件画出了函数 的图象，下列有关于该函数性质的四种说法： ①图象与x轴有两个交点； ②方程有三个根； ③最大值是，最小值是； ④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有． 其中，说法正确的序号是 ． 【答案】③ 【分析】根据图象，获取信息，解答即可，本题考查了函数图象的信息解题，正确读取信息是解题的关键． 【详解】① 根据图象，得图象与x轴有3个交点； 故本说法错误； ②∵, 令， 得 ∴当时，函数有最大值，且当时，取得最大值，最大值为， 根据图象，得到有两个交点， 故方程有两个根； 故本说法错误； ③ ∵, 令， 得 ∴当时，函数有最大值，且当时，取得最大值，最大值为， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，函数有最大值，且点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴时，函数取得最小值，且为； ∴当时，函数有最小值，且当时，取得最小值，最小值为， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，且点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴时，函数取得最大值，且为； 综上所述，时，最大值是，最小值是 故本说法正确； ④如果和是该函数图象上的两个点， 根据题意，得时，y随x的增大而减小， ， 故当时，一定有说法错误， 故答案为：③． 7．（2025·江苏扬州·一模）如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由二次函数图象可知， ∵该二次函数对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可知，当时，，即． ∵， ∴，故②正确； 当时，y取得最小值， ∴，即，故③正确； 当时，， ∴顶点坐标为， 根据题意得， 即将位于x轴下方的图像向上翻折， ∴翻折后的顶点坐标为， ∵若关于x的方程恰有三个解， ∴即函数与恰有三个解， 即恰好经过向上翻折后的图像的顶点， ∴，故④错误； 综上可知正确的结论为①②③， 故答案为：①②③． 8．（2024·江苏宿迁·二模）如图，抛物线的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为，3，与y轴负半轴交于点C，下面四个结论：①；②；③，是抛物线上两点，若，则；④使为等腰三角形的a值可以有2个．其中正确的结论有 （填序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，根据抛物线的对称轴可判断①；根据抛物线与轴的交点个数可判断②；根据抛物线的对称轴得到 根据二次函数的性质可判断③；根据等腰三角形的定义和性质可判断④，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标分别为 ∴抛物线的对称轴为直线 故①符合题意； ∵抛物线与轴有两个交点， 故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线 故③不符合题意； 由题意可知，， 若为等腰三角形，则或， ∵， ∴，， 当时，此时， ∴或（不合题意，舍去）， 当时， ， ∴或（不合题意，舍去）， ∴使为等腰三角形的值可以有2个，故④符合题意； 故答案为：． 9．（2024·江苏宿迁·二模）下列关于抛物线（m为常数）的结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的顶点在直线上；③抛物线与y轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点，若，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；二次函数配方即可得抛物线的对称轴，从而判断①；根据抛物线的顶点坐标可判断②；抛物线与y轴的交点为，对进行配方即可判断③；由题意得，，计算，根据差的符号即可判断④，最后得到结论． 【详解】解：， 则抛物线的对称轴为直线，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，表明顶点纵坐标比横坐标大1，即顶点在直线上，故②正确； 对于，令，则， 所以抛物线与y轴的交点为， 而， 故抛物线与y轴的交点在原点的上方，故③正确； 在抛物线上， ，， ， ， ， ， 即， 故④错误； 综上，正确的是①②③； 故答案为：①②③． 题型六：函数综合之双空类题型（选填压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ． 【答案】 /0.125 或 【分析】（1）依据题意，令，整理得，又因抛物线与直线有且只有一个交点，从而可得，解方程即可求出的值； （2）由“顶点在第二象限”可得，然后分两种情况讨论：①当点在轴的正半轴上时；②当点在轴的负半轴上时；分别画出图形，然后过点作于点，由可得，进而可得，然后依据该比例式列出关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：（1）依题意，令， 整理，得：， 又抛物线与直线有且只有一个交点， ， 解得：， 故答案为：； （2）顶点在第二象限， ， 然后分两种情况讨论： ①当点在轴的正半轴上时， 如图，过点作于点， 令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）； ②当点在轴的负半轴上时， 如图，过点作于点， 令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 2．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线，交轴于点为，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ． 【答案】 /0.125 或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及二次函数的图象与性质，解直角三角形的相关计算，难度较大，解题的关键在于分类讨论思想的运用． ①联立抛物线和直线表达式得到一元二次方程，根据即可求解； ②根据，得到等角的正切值相等，分类讨论求解即可． 【详解】解：①联立抛物线和直线表达式得：， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为：； ②∵顶点D在第二象限， ∴， 当， ∴， ∵， ∴顶点． 情况1，点A在轴的正半轴上，如图（1），作于点G， ∵，， ∴，， ， ， ∴． ∴． 整理得：． ∴或（舍）． 情况2，点A在轴的负半轴上，如图，作于点G， ∵，， ∴，， ， ， ∴． ∴． 整理得：． ∴或（舍）， 或， 故答案为：或 3．（2024·江苏无锡·三模）已知抛物线，交y轴交于点，则 ，抛物线与x轴正半轴交于点B，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线垂直平分时，点M的坐标为 ． 【答案】 ， 【分析】先把代入，即可求得；得抛物线解析式为，得到抛物线对称轴为直线和点，再用待定系数法求得直线的解析式为，设，直线与对称轴的交于点H，与交于G，证明是等腰直角三角形，从而可求得，再根据直线垂直平分，得G点是的中点，利用中点坐标公式求得，然后代入抛物线解析式得，求解即可． 【详解】解：把代入，得 ，解得：， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，直线与对称轴的交于点H，与交于G， 令时，则， ∴， ， ，当直线垂直平分时， 是等腰直角三角形， ∵，， ∴点G的纵坐标为， ∵点G过直线， ∴，解得， 则， 直线垂直平分， 点是的中点， ， ∵点N为抛物线上， ， 解得或． 故答案为：；或． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再分和两种情况，分别画出图形，求出与的函数关系式，再把代入计算即可求解，看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当时，如图，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，； 故答案为：，． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 ； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ． 【答案】 且或 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质． （1）当时，直线的函数表达式为，进而与直线l1的函数表达式联立成方程组，解方程组即可求解； （2）当直线过点时，将点B的坐标代入函数表达式得：，解得：；当直线过点时，同理可得：，进而求解． 【详解】解：（1）当时，直线的函数表达式为， 由， 解得：， ∴． 故答案为：； （2）令，则， ∴， ∵， 当时，，即直线必过点； 当直线过点时， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：； 当直线过点时， 同理可得：； ∵两条直线相交于点C，则， 综上，k的取值范围为：且或． 故答案为：且或． 6．（2023·江苏无锡·二模）直线：、为常数分别与轴、轴交于点、，动点的坐标为（为常数）． （1）当 时，有且仅有一个满足条件的的值，使得点在直线上； （2）若有且仅有两个符合条件的的值，使得点到直线的距离为1，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】（1）用待定系数法可求得直线的表达式为，将点的坐标代入得，根据判别式，进行计算即可得答案； （2）分三种情况：若有两个不相等的解，而无解；若有两个不相等的解，而无解；若有一个解，有一个解，分别列示计算即可得到答案． 【详解】解：（1）分别将两点的坐标代入直线， 得方程组， 解得， 故直线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 若它只有一个根即有两相等实根，则有， 解得， 故答案为：； （2）点到直线的距离为， 整理得，即， 若有两个不相等的解，而无解， 则有， 解得且， 若有两个不相等的解，而无解， 则有， 此不等式组无解， 若有一个解，有一个解， 则有， 此方程组无解， 故答案为：或． 7．（2024·江苏无锡·一模）如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将△BCF沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．    【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数的最值，矩形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质．结合图形，由已知先证明为正方形，设，则，求出的长，进而求出；由得到，利用二次函数的性质即可求得的面积的最小值． 【详解】解：连接，如图所示：   ， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形为正方形， ， 设，则， ， ， ，解得， ， ， ； ， ， 的面积的最小值是， 故答案为：，． 8．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为 ，点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰直角三角形的判定和性质．分别过点，，，作轴的垂线，垂足分别为，，，，设，则，点，则点的横坐标为，再根据点在反比例函数 的图象上可求出，进而得点的横坐标为4，设，同理，则点，点的横坐标为，然后可求出，进而得点的横坐标为，设，则，点，点的横坐标为，然后求出，进而得点的横坐标为，同理：点的横坐标为，点的横坐标为，，以此类推即可点的横坐标． 【详解】解：分别过点，，，作轴的垂线，垂足分别为，，，，如下图所示： 是以为直角顶点的等腰直角三角形， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 设，则， 点的坐标为，则点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， （舍去负值）， 点的横坐标为4， 设，同理， 则点，点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 点的横坐标为， 设，则，点，点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 点的横坐标为， 同理：点的横坐标为，点的横坐标为， ，以此类推，点的横坐标为． 点的横坐标为，点的横坐标为． 故答案为：；． 9．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线、交点D．将菱形绕点O逆时针方向旋转，每次旋转，则旋转2次后，点D的坐标是 ，旋转2022次后．点D的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、点的坐标变化等知识点，求出点D的坐标，再根据其周期性变化求出坐标是解本题的关键，综合性较强，难度较大．先求出点D的坐标，菱形每次逆时针旋转，相当于对点D每次逆时针旋转，根据周期性，可求出点D的坐标． 【详解】解：如下图所示，作轴交于点E，    ∵四边形是菱形， ∴，点D是的中点， ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ， ∴， ∴点B的坐标为，， ∵点D是的中点， ∴点D的坐标为， ， 菱形每次逆时针旋转，相当于对点D每次逆时针旋转， 根据图形变化可得， 旋转1次坐标为， 旋转2次坐标为， 旋转3次坐标为， 旋转4次坐标为， 旋转5次坐标为， 旋转6次坐标为， ……， ∴旋转2次后，点D的坐标是， 坐标的变化具有周期性， ， ∴旋转2022次后．点D的坐标是， 故答案为：；． 题型七：.函数综合之其他题型（选填压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图像交轴于点，经过的一次函数的图像交轴于点．若，则函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式，设，，设，把代入可求出，则，设，把，代入，可求出，则，进而求出，即可求解． 【详解】解：设，， ∵二次函数的图像经过、， ∴设， 把代入， 得， 解得， ∴ ∵经过的一次函数的图像经过，， 设， 则， 解得， ∴， ∴， 当时，；当时，，解得， 且，即， 故选：A． 2．（2025·江苏无锡·一模）秦九韶三角形面积公式，是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一．这个公式设三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．若，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．12 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．由已知可得，，把代入S的表达式中得：，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值． 【详解】∵，， ∴ ∴ 由，得， 代入上式，得： 设， ∵ ∴当时，y取得最大值4， ∴S的最大值为． 故选：A． 3．（2025·江苏无锡·一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三老屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵，， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当时， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∴， 故答案为：A． 4．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，动点M从点A出发以的速度沿折线运动到点C停止．连接，作交于点N．设点M运动时，长为，则y关于t的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分点M在和上运动两种情况，分别根据矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质求出函数解析式，最后根据函数解析式判断即可． 【详解】解：①当点M在边上时，即， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即， 此时，图象为一次函数； ②当点M在边上时，即，则，， 如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，，，， ∴， 此时，图象为二次函数，最大值为； 只有D选项中图象符合题意． 故选：D． 5．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作，交反比例函数图像于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过A作轴于M，过B作轴于N，设，证明，求出，，则，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于N， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2024·江苏苏州·一模）若二次函数的图象与一次函数的图象在的部分有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图像与一次函数图像的交点问题，一元二次方程的根的判别式，利用数形结合思想是解决本题的关键． 找出两个临界状态，一个是抛物线与直线相切时，一个是抛物线经过原点时，分别求出此时的a值，根据数形结合的思想即可求解． 【详解】解：当抛物线与直线相切时，此时只有1个交点，如图： 则 ， 得到， 由得，， 解得：， 当时，此时恰好有2个交点，如图： 当抛物线经过原点时，此时有2个交点，如图： 此时将原点代入抛物线解析式得，， ∴， 当时，又只有1个交点，如图： 综上，取值范围为：， 故答案为：． 7．（2024·江苏连云港·一模）对任意实数x，二次函数满足，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用特值法是解本题的关键；由题意可得，可令即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 令， 有， ∴， ∴ 故答案是：9． 8．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数，有下列结论： ①该函数图象过定点； ②当时，函数图象与x轴无交点； ③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧； ④当时，点是曲线上两点，若，则． 其中，正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是二次函数综合题，解题的关键是熟练理解并综合运用二次函数的各个特征． 将抛物线整理为，即可判断①；将代入并计算即可判断②；计算抛物线对称轴并根据可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，根据增减性可判断④． 【详解】解：， 当时，， 该函数图象过定点，故①正确，符合题意； 当时，， 令，则， ， 当时，函数图象与x轴无交点，故②正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在右侧，故③错误，不符合题意； ， ， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， ， 抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， 当时，， 当时，， 此时，， ， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 9．（2024·江苏宿迁·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的是 ．    【答案】①③④ 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键． 利用二次函数的性质可以判断各个小题即可完成解答． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，因此①正确； 当时，， 由图象可知此时，即，因此②不正确； 对称轴是直线，即， ∴，而， ∴，故③正确； 对称轴是直线，即， ∴，而， ∴当时，， ∴顶点为，因此④正确； 在对称轴的左侧，随的增大而减小， 即：当时，随的增大而减小，因此⑤不正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 10．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】36 【分析】作轴于点于，根据证明，求出的长度，进而求出点的坐标，设设向上平移个单位，用表示出和，根据两点都在反比例函数图象上，即可求出的值． 【详解】解：作轴于点于， 在中，，点均落在坐标轴上，且，点的坐标为， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 设向上平移个单位，则，则， 又 ∵点和在该比例函数图象上， ∴，解得， ， 故答案为： 36 ． 11．（2025·江苏无锡·一模）如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用．取点关于轴的对称点，根据点的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将用含的代数式表示出来；再分别将点、的坐标代入得到对应的值，从而得到的取值范围，进而求得的整数值． 【详解】解：如图，取点关于轴的对称点． ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点、点为的三等分点， ∴，， ∵点关于轴的对称点， ∴，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点， 设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且， 将代入， 得，∴， ∴， 当反射光线经过时，得， 解得； 当反射光线经过时，得， 解得， ∴， 故答案为：． 12．（2025·江苏泰州·一模）如图1，在△ABC中，，为中点，点从点出发以每秒1个单位的速度向点运动（到达点后停止），设点运动的时间为，的长为，图2是点运动时随变化的关系图像．为曲线部分的最低点，则的值为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可知，， ，，，根据，所以当三点共线时，的值最小，为的长，由图可知， ，过点作于点，根据勾股定理求出，得到，，根据解直角三角形得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ，， ， ， ∴当三点共线时，的值最小，为的长，如图所示： 由题图2可知，此时， 过点作于点， ∵为中点， ， 在中， ， ， （负值已舍去）， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ∴的值为， 故答案为：． 13．（2025·江苏苏州·一模）二次函数（其中a，b，c为常数，且）的图象过点，其中m为常数，且，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，待定系数法求出二次函数的解析式，进而确定一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得： ，解得：， ∴方程化为：， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 13．（2025·江苏徐州·一模）小宇想在边长为的正方形纸片上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片的面积最小，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值问题．设的长度为，可得，根据二次函数的性质可得：正方形纸片的面积最小，则的长为． 【详解】解：设的长度为， 则， 四个直角三角形全等， ， ， 又， ， 整理得：， ， 当时，正方形纸片的面积最小， 正方形纸片的面积最小，则的长为． 故答案为：． 14．（2025·江苏宿迁·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，得以解决． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵， ∴， 二次函数的图象与轴交于正半轴， ， ，故①正确， ∵， ∴，故②正确， ∵二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， ∴二次函数的图像与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，即，故③正确， ∵， ∴，故④正确， 综上所述，其中正确的个数有4个， 故答案为：． 15．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线绕点逆时针旋转得到直线，再将直线沿直线翻折与直线重合，则直线的函数表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与轴对称，旋转变换，中点坐标公式，掌握待定系数法求一次函数的解析式以及几何变换是解题的关键． 根据题意得，连接，由旋转可知，绕点逆时针旋转得到点绕点逆时针旋转得到，从而可求出点，进而可得直线m表达式为，联立直线m与直线l，可得交点，的中点，的中点坐标，则过两点的解析式即为直线的表达式，则过两点的解析式即为直线的表达式，由此即可求解． 【详解】解：设直线与轴交于点，令，则，令，则，如下图所示，，连接， ∵绕点逆时针旋转得到直线，则， 相当于绕点逆时针旋转得到点绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作延长线于点，延长交轴于点，过点作延长线于点，则四边形是矩形，，，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，则， ∴，，则， 同理，，即，且， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 设直线表达式为，代入两点坐标， ∴， 解得， 故直线表达式为， 如图所示，设直线与直线的交点为，连接，设与对称轴直线交于点， 联立直线与直线，得， 解得，即直线与直线的交点坐标为， ∵， ∴，即的中点为， 同理，的中点坐标为，即， ∵将直线沿直线翻折与直线重合，如图所示， ∴直线经过直线与直线的交点坐标为，的中点， 设过两点的解析式为， 即， 解得， 即直线的函数表达式为； 当对称轴为直线时，直线过直线与直线的交点坐标为，的中点， 设过两点的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线解析式为； 综上所述，直线的函数表达式为或， 故答案为：或． 16．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B在x轴正半轴上，，将绕点O逆时针旋转，当点A的对应点落在函数的图象上时，设点B的对应点的坐标是，则 ． 【答案】 【分析】过作轴于C，过作轴于，先根据旋转性质结合锐角三角函数关系得到，证明得到，则可得，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，由勾股定理求得，进而利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：过作轴于C，过作轴于，则， ∵点坐标是， ， 在中，，则， 由旋转性质得，点在第一象限中， ，又， ， ， ， ∵的坐标是，且在第一象限， ， ， ∵在函数的图象上， ，且， ， ， ， （负舍）， 故答案为：． 17．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】先求出，根据等边得到，解直角三角形求出，则，依次类推求出，找到规律，即可求解． 【详解】解：当， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∵过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴同理可求， ... ∴以此类推， ∴， 故答案为：． 18．（2025·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴负半轴上的点，点F为y轴正半轴上的点，以、为边，在第二象限内作矩形，且矩形的面积为，将矩形翻折，使点E与原点O重合，折痕为，点D的对应点落在第三象限，过点N的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，交于，过作于，过作于，证明，可得是的中点，反比例函数过点，证明，可得，求解，可得反比例函数，即，可得，，设，则，，由，解得：（舍去），再进一步解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于，过作于，过作于， ∵矩形翻折， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴是的中点，反比例函数过点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴反比例函数，即， ∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴， 设，则，， 由对折可得：， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∵矩形，结合对折， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 故答案为： 第 1 页 共 135 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏数学中考预测专项突破 专题07 函数综合选填压轴（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题函数综合选填压轴分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：选择题第10题：此题主要考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数综合中定义新运算问题，分值3分，难度偏上； ❆苏州卷：填空题15题：此题主要考查的是二次函数的性质与图形，分值3分，难度中等； 题型一：函数综合之定义新运算问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（2025·江苏无锡·一模）定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：若O，A，B在一条直线上 ；若O，A，B不在一条直线上．已知点A坐标为，点B坐标为，有下列结论： ①； ② 若，则点P坐标为； ③ 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④ 若平面中任意一点P满足，则满足条件的点P的全体组成的图形面积为其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 5．（2024·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 6．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏南通·一模）定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江苏无锡·一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”． ①点是函数的“1倍点”； ②若函数存在唯一的“3倍点”，则b的值为； ③若函数的“m倍点”在以点为圆心，2m为半径的圆内，则m为大于1的所有整数． 上述说法正确的有（        ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 9．（2025·江苏宿迁·一模）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ． 10.（2024·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是 ． 11．（2023·江苏常州·一模）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶好点”．例如点是函数图像的“1阶好点”；点是函数图像的“2阶好点”，若y关于x的二次函数图像的“3阶好点”一定存在，则a的取值范围为 ． 12．（2025·江苏泰州·一模）定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 13．（2025·江苏徐州·一模）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，当时，，即，所以是函数的“级关联范围”．函数的“级关联范围”是 ． 14．（2023·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为（其中k为常数且），则称点为点P的“k—关联点”．已知点A在函数的图像上运动，且A是点B的“3—关联点”，若，则的最小值为 ． 题型二：函数综合之动点问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·二模）如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（    ） A．函数图象上点的横坐标表示的长 B．当点D为的中点时，点E为线段的三等分点 C．两段抛物线的开口大小不一样 D．图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 4．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形中，，，为中点，动点从点开始沿方向运动到点停止，动点从点开始沿方向运动，与点同时出发，同时停止；这两点的运动速度均为每秒个单位；若设他们的运动时间为（s），的面积为，则与之间的函数关系的图像大致是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏常州·一模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形的边长是（    ） A． B．4 C．6 D． 6．（2023·江苏南通·一模）如图，△ABC中，，，．点，同时从点出发，点以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．作，设运动时间为，与△ABC重合部分的面积为，则下列图象中能大致反映与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 7．（2023·江苏无锡·一模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（        ） A． B． C．20 D．24 8．（2023·江苏苏州·一模）东南环立交是苏州中心城区城市快速内环道路系统的重要节点，也是江苏省最大规模的城市立交．左图是该立交桥的部分道路示意图（道路宽度忽略不计），A为立交桥入口，D、G为出口，其中直行道为、、，且；弯道是以点O为圆心的一段弧，且、、所对的圆心角均为．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，期间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如右图所示，结合题目信息，下列说法错误的是（   ） A．该段立交桥总长为672 m B．从G口出比从D口出多行驶192m C．甲车在立交桥上共行驶22s D．甲车从G口出，乙车从D口出 9．（2023·江苏盐城·一模）已知△ABC，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止．设点P运动的运动时间为t秒，的面积S关于t的函数图象如图所示，则△ABC的边上的高等于 ．    10．（2025·江苏宿迁·一模）如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为 ． 题型三：二次函数的图象与性质（选填压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏南通·一模）已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·江苏无锡·一模）已知函数（为常数）的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，则的值是（   ） A．4或7 B．4或6 C．5或7 D．5或6 3．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知，是抛物线上的两点，当时，均有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏扬州·二模）若点、、都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 5．（2024·江苏南通·一模）已知关于x的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A． B．2 C． D． 6．（2023·江苏南通·一模）二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，，则a的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 7．（2023·江苏扬州·二模）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 8．（2024·江苏徐州·一模）如图，抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏宿迁·一模）已知二次函数的图象与轴交于，且，若，在此图象上，设，则的取值范围是 ． 10．（2024·江苏苏州·一模）如图，点是二次函数（为常数）的图像与轴的交点，是二次函数的对称轴与轴的交点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点恰好落在二次函数的图像上，则的值为 ．    题型四：函数综合之最值问题（选填压轴）（高频考点） 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点分别是上的动点，且，点是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·江苏无锡·二模）如图，中，，点D、E分别是边上的动点，将绕点D逆时针旋转，使点E落在边的点F处，则的最小值是（    ）．    A． B． C． D．1 4．（2024·江苏扬州·一模）若关于x的方程的两根，满足，则二次函数的顶点纵坐标的最大值是 ． 5．（2024·江苏南通·一模）如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 6．（2024·江苏扬州·一模）已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为 7．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，点分别在边上，且，则的面积最大值 ． 8．（2024·江苏镇江·二模）如图，△ABC中，，边上的高为18，点D、E是边上的动点，且，点F为边上的一点，连接，则面积的最大值为 ． 9．（2024·江苏泰州·二模）如图，，点C为线段上一个动点，在上方构造等腰直角和等腰直角，，点F，G分别在边和上，且满足，，则的最小值为 ．    58．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，过点作，与边交于点，连接，则的最小值为 ． 10．（2025·江苏南通·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为 ． 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点坐标为，D点坐标为，过点分别作平行线，交x轴于两点，若，直线、之间距离的最大值为 ． 12．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过三个点中的两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 ． 13．（2024·江苏南通·三模）已知 为反比例函数上任意一点，过点 作轴，轴且 ，则四边形 的面积的最小值为 ． 14．（2024·江苏泰州·三模）已知，，且，设，则的最小值为 ． 题型五：函数综合之多结论问题（选填压轴）（高频考点） 1．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知点M在反比例函数位于第二象限的图象上，点N在x轴的负半轴上，连接交该图象于点P，若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，给出以下结论：的度数随着k的值的变化而变化；②的面积随着k的值的变化而变化；③；④的面积为．其中正确的有（    ） A．① B．①② C．②③ D．②④ 2．（2023·江苏盐城·三模）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，其对称轴为直线，结合图像分析如下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④若一次函数的图像经过点A，则点在第三象限；⑤点M是抛物线的顶点，若，则．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，．其中正确的序号是（    ） A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤ 4．（2024·江苏无锡·一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论： ①； ②当时，； ③当时，的长为； ④的面积最大值为． 其中正确的为（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 5．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，正方形的边长为2，点在边上运动（不与点、重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：①；②；③；④面积的最大值为，其中正确结论的序号为 ． 6．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，小然利用绘图软件画出了函数 的图象，下列有关于该函数性质的四种说法： ①图象与x轴有两个交点； ②方程有三个根； ③最大值是，最小值是； ④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有． 其中，说法正确的序号是 ． 7．（2025·江苏扬州·一模）如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）． 8．（2024·江苏宿迁·二模）如图，抛物线的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为，3，与y轴负半轴交于点C，下面四个结论：①；②；③，是抛物线上两点，若，则；④使为等腰三角形的a值可以有2个．其中正确的结论有 （填序号） 9．（2024·江苏宿迁·二模）下列关于抛物线（m为常数）的结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的顶点在直线上；③抛物线与y轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点，若，则．其中正确结论的序号是 ． 题型六：函数综合之双空类题型（选填压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ． 2．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，抛物线，交轴于点为，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为 ； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为 ． 3．（2024·江苏无锡·三模）已知抛物线，交y轴交于点，则 ，抛物线与x轴正半轴交于点B，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线垂直平分时，点M的坐标为 ． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 ； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ． 6．（2023·江苏无锡·二模）直线：、为常数分别与轴、轴交于点、，动点的坐标为（为常数）． （1）当 时，有且仅有一个满足条件的的值，使得点在直线上； （2）若有且仅有两个符合条件的的值，使得点到直线的距离为1，则的取值范围是 ． 7．（2024·江苏无锡·一模）如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将△BCF沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．    8．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为 ，点的横坐标为 ． 9．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线、交点D．将菱形绕点O逆时针方向旋转，每次旋转，则旋转2次后，点D的坐标是 ，旋转2022次后．点D的坐标是 ．    题型七：.函数综合之其他题型（选填压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图像交轴于点，经过的一次函数的图像交轴于点．若，则函数的图像是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·一模）秦九韶三角形面积公式，是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一．这个公式设三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．若，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．12 C． D．10 3．（2025·江苏无锡·一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三老屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 4．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，动点M从点A出发以的速度沿折线运动到点C停止．连接，作交于点N．设点M运动时，长为，则y关于t的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点为反比例函数图像上的一点，连接，过点作，交反比例函数图像于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏苏州·一模）若二次函数的图象与一次函数的图象在的部分有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 7．（2024·江苏连云港·一模）对任意实数x，二次函数满足，则的值是 ． 8．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数，有下列结论： ①该函数图象过定点； ②当时，函数图象与x轴无交点； ③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧； ④当时，点是曲线上两点，若，则． 其中，正确结论的序号为 ． 9．（2024·江苏宿迁·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的是 ．    10．（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是 ． 11．（2025·江苏无锡·一模）如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时，的取值范围为 ． 12．（2025·江苏泰州·一模）如图1，在△ABC中，，为中点，点从点出发以每秒1个单位的速度向点运动（到达点后停止），设点运动的时间为，的长为，图2是点运动时随变化的关系图像．为曲线部分的最低点，则的值为 ． 13．（2025·江苏苏州·一模）二次函数（其中a，b，c为常数，且）的图象过点，其中m为常数，且，则方程的解为 ． 13．（2025·江苏徐州·一模）小宇想在边长为的正方形纸片上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片的面积最小，则的长为 ． 14．（2025·江苏宿迁·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为 ． 15．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线绕点逆时针旋转得到直线，再将直线沿直线翻折与直线重合，则直线的函数表达式为 ． 16．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B在x轴正半轴上，，将绕点O逆时针旋转，当点A的对应点落在函数的图象上时，设点B的对应点的坐标是，则 ． 17．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为 ． 18．（2025·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴负半轴上的点，点F为y轴正半轴上的点，以、为边，在第二象限内作矩形，且矩形的面积为，将矩形翻折，使点E与原点O重合，折痕为，点D的对应点落在第三象限，过点N的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 ． 第 1 页 共 135 页 学科网（北京）股份有限公司 $$