【三轮冲刺】专题06 几何综合选填题压轴（江苏专用）-2025年江苏数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年江苏数学中考预测专项突破 专题06 几何综合选填题压轴（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题几何综合选填题压轴分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：填空题第18题：此题主要考查相似三角形的判定和性质综合，分值3分，难度较难； ❆徐州卷：填空题第18题：此题主要考查的是圆锥的侧面积公式、扇形面积公式相关求解，分值3分，难度中等； ❆苏州卷：选择题8题：此题主要考查的是几何综合中最值问题，分值3分，难度较难；填空题第16题：此题考查的是几何综合中折叠问题，分值3分，难度中等偏上； 题型一：几何综合之最值问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长，点为平面内一动点，且，点为上一点，，连接、，当线段的长最小时，三角形的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形面积，动点问题，圆的定义，正弦函数．由，知的轨迹是以为圆心，4为半径的，故当在线段上时，最小，过作于，可得，，根据，即得，从而可得答案． 【详解】， 的轨迹是以为圆心，4为半径的， 当在线段上时，最小，过作于，如图：   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图．△ABC中，，，，为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交与点E，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，根据勾股定理可得，，再证，得，则即：当取得最大值是，的面积取得最大值，由，，根据圆周角定理可知，，，，四点共圆，点在以为直径的圆上，可知的最大值为3，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴，， ∵，则， ∵， ∴， ∴，则 即：当取得最大值时，的面积取得最大值， ∵，， 由圆周角定理可知，，，，四点共圆， ∴点在以为直径的圆上， ∴，即的最大值为3， ∴的最大值为， 故选：B． 3．（2025·江苏苏州·一模）如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，则：，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，推出，作点关于的对称点，连接，得到的周长，得到的周长的最小值为，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：设，则：， ∵均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小为，此时点与点重合，如图：设与交于点，作于点，作于点， 则：， ∴，， ∴为定值， ∴当的长最小时，的周长的值最小， ∵， ∴当时，最小为，此时最小为， ∴的周长的最小值为：； 故选：A． 4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在长为，宽为2，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是（  ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】设圆心为点O，与的切点为I，J，作切线，可得，四边形为正方形，证明四边形是正方形，得，，证明，得，证明，得，得，同理，得，得.得最短路径的长是． 【详解】解：如图为长方体表面展开的上面与正面部分，设圆心为O，与的切点为I，J， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∵圆与上表面三边相切， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作切线， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是： ． 故选：B． 5．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点分别是上的动点，且，点是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，两点间距离公式，二次函数的性质，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，设直线解析式为，可得，设点，则，由为中点得，进而得，利用二次函数的性质即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，， 设直线解析式为，把，代入得， ， 解答， ∴， 设点，则， ∴为中点， ∴， ∴， ∵， ∴时，取最小值， 当时，， ∴， 故选：． 6．（2024·江苏常州·二模）如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，化为最简二次根式，作出适当的辅助线是解本题的关键． 如图，作关于直线的对称点，连接，过作于，由，当三点共线时，最小，再进一步利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接，过作于， ∴，共线，， 由旋转可得：，， ∴， 当三点共线时，最小， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∴的最小值是； 故选B 7．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，． 【详解】设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，如图， 则，， ，，， 平分， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ，， ， 设的半径为r，则， ，， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的切线， ， ， 当时，． 故选：D． 8．（2024·江苏无锡·三模）如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（    ） A．16 B．4 C．9 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线将条件集中在同一个三角形中求解． 作交的延长线于，作于，设，表示出，解斜三角形，进而求得结果． 【详解】解：如图，作交的延长线于，作于， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， 在中，，， ，， ， 在中， ， 当时，，即 ． 故选：D． 9．（2024·江苏无锡·二模）在中，，，点D和点E分别是线段上的动点，且，在运动过程中，可取的最大整数值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键．过点D作于点F，则，利用三角形相似和三角函数，转化为比例式计算即可． 【详解】∵， ∴， 设， 过点D作于点F， 则，， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵， ∴， ∴可取的最大整数值为2． 故选B． 10．（2024·江苏徐州·二模）如图，△ABC和△ADE是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将△ADE按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， ∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小 ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴． 故选：A． 11．（2024·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作△ABC使得，，连接，则长的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】过点作，交过点平行于轴的直线于点，证明，得到，进而求出的长，取的中点，连接，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出，根据，进行求解即可． 【详解】解：过点作，交过点平行于轴的直线于点， 则：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接，则：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：； ∵， ∴长的最大值为8； 故选C． 12．（2024·江苏无锡·一模）如图，在△ABC中，．分别为上的动点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系、勾股定理，过点B作，且，作于点，交的延长线于点，证得，推出，可得，求出即可求解，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：过点B作，且，作于点，交的延长线于点，如图： , , 在和中， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 设， ， ， 解得：， ，， ， ， ， 的最小值， 故选B． 13．（2025·江苏宿迁·一模）如图， 矩形 中，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点B，D 运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接相交于O，取的中点H，连接，由，可知G点在以H为圆心，为直径的圆上运动，求出的长即为的最大值． 【详解】解：连接相交于O，取的中点H，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点B，D运动， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴O是对角线的交点， ∵， ∴， ∴G点在以H为圆心，为直径的圆上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点H作交于M点， ∴， ∴， ∴的值最大为， 故答案为：． 14．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作，垂足为，连接，则的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长到，使得，连接，可证明得到，再导角证明，得到三点共线；取的中点O，连接，则可得到当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线； 如图所示，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∵， ∴当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为；． 15．（2025·江苏泰州·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，为上的一点，连接、，当的值最小时， ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；在的延长线上截取，过点作，使得，则得出，即可证明，进而得出，则点在与垂直的上运动，当时，即时，最小，进而得出四边形是矩形，证明，得出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ∴，， 如图所示，在的延长线上截取，则，过点作，使得 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点在与垂直的上运动， 当的值最小时，在上，最小值为的长 ∴当时，即时，最小 此时如图， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 16．（2025·江苏连云港·一模）如图，在以为直径中，弦，，点D是上一动点，以为一边在左侧作△ADE，使，，连接，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】如图所示，延长到点F，使，连接，首先勾股定理求出，然后证明出，得到，求出，得到点E在以点F为圆心，4为半径的圆上运动，进而求解即可． 【详解】如图所示，延长到点F，使，连接 ∵为直径 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点E在以点F为圆心，4为半径的圆上运动 ∴当点E在的延长线上时，取得最大值 ∴此时． 故答案为：6． 17．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，求正弦，设、交于点，过作于，设，，则，先证明，得到，再由平分平行四边形的面积，得到，利用勾股定理得到，则，利用配方得到当时，最小，此时最大，进而求得的最小值． 【详解】解：设、交于点，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∵， ∴当时，最小，此时最大， ∴ 的最小值为 故答案为：． 题型二：几何综合之多结论问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）如图，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，点是边上一动点，将四边形沿翻折，得到四边形，、的对应点分别是、，连接，，当点从点运动到点的过程中，设，三角形的面积、三角形的面积、三角形的面积分别用、、表示，则下列结论正确的是（    ） ①； ②； ③当、、三点在一条直线上时，； ④． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据，是边的中点，得出，，结合，表示出，即可得出，可判断①正确；根据，，得出，根据折叠可得，，设，则，，，得出，结合，证明可得，判断出②正确；当、、三点在一条直线上时，，得出，设，则，在中，勾股定理求解，判断出③正确；根据题意，延长交于点K，根据，得出，，证出点是中点，即可得，证明，得出，即可求出，判断出④正确； 【详解】解：∵，是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， 根据折叠可得，， 连接， 设， ， ， ， ， ， 又， ∴ ，故②正确； 当、、三点在一条直线上时，， ∴， 设，则， 在中，， 解得：，故③正确； ， 延长交于点K， ∵， ∴，， ∴点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：A． 2．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形中，为的中点，于延长交于点延长交于点于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意可证即可判定①；如图所示，过点作于点，，交延长线于点，可证四边形是矩形，再证，可得四边形是正方形，由正方形的性质可判定②；如图所示，过点作于点，于点，可得四边形是正方形，，再证，由此即可判定③；设，运用相似三角形的判定和性质可得，由此可判定④；由此即可求解． 【详解】解：①， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，故①正确； ②， 如图所示，过点作于点，，交延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由①得，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，故②正确； ③， 如图所示，过点作于点，于点， 同理可得，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④， 根据③中图示可得，， 设，，则， ∵， ∴， ∴, 根据勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即，故④错误； 综上所述，正确的有：①②③， 故选：． 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，正方形的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边上运动，且满足，连接，过点O作交点G，则下列结论：①连接，则的周长不变；②若，则；③连接，则；④．其中正确的为（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，推出是等腰直角三角形，是线段的垂直平分线，再证明，，据此求解即可． 【详解】解：点O是正方形的中心，连接，则经过点O，连接，，， ∵正方形的边长为4， ∴，，又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴①的周长不变，故①正确； ∵，∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 解得，即，故②正确； ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，①②④正确， 故选：C． 4．（2024·江苏无锡·一模）如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则以下结论：①；②与相似；③当时，则；④当时，．其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】A 【分析】利用证明，得，，可知①正确；根据是等边三角形，再利用角的和差关系，由，，得与不相似，可知②错误；过点作于，过点作于点，利用含的直角三角形的性质及勾股定理，分别表示出，作比即可判断③④，从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形是菱形， ，， ， ，是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ，，故①正确； ，， 是等边三角形， ， ， ， 在菱形中，已知，则， ， ， 与不相似，故②错误； 过点作于，过点作于点， ，， ， 设菱形的边， 在中，，，则， ，，则； 在中，，则，， ，则； 过点作于，如图所示： 是等边三角形， ， 在中，，，则， ，，则； ， ，， ， 在中，，，则， ， ，则； ；；故③正确，④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：A． 5．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一点，连接，将沿对折，A点恰好落在对角线上的点F处．延长，与边交于点G，延长，与的延长线交于点H，则下列说法：①为等腰直角三角形；②≌；③；④；⑤．其中正确的说法有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据对称及正方形的性质即可判断；②可证，为公共边，根据可证明三角形全等；③可证，可判断③错误；④可证，有，可求出，进而求出的长，即可判断；⑤过作于，另交于点，可证≌，而，，则可判断． 【详解】解：①∵四边形为正方形，为对角线， ∴， ∵翻折之后为， ∴≌， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， 故①正确； ②∵为等腰直角三角形，为正方形的对角线，    ∴， ∵、关于对称， ∴ 在和中， ∴≌ 故②正确； ③∵、关于对称， ∴， 又∵， ∴， 故③错误； ④∵，与对称， ∴，， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 有， ∴， ∴， 故④正确； ⑤过作于，设交于点，    ∵， ∴， ∴，， 在中，， ， 在和中， ∴≌， ∴， 而，， ∴． 故⑤正确． 正确的说法有①②④⑤， 故选D． 6．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边上， ，线段在边上运动， ，有下列结论： ①与一定不相等； ②与可能相似； ③ 四边形面积的最大值为 ； ④ 四边形周长的最小值为 ．其中，正确结论的序号为（　　） A．② ④ B．② ③ C．① ② ③ D．② ③ ④ 【答案】C 【分析】①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；③过P作于E，过D作于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；④作点D关于直线的对称点，作，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长为：，即此时四边形周长有最小值；再由，，，可得的最小值，即可得解． 【详解】解：①∵线段在边上运动，， ∴， ∴与不可能相等，故①正确； ②设， ∵，， ∴，即， 假设相似， ∵， ∴，即， ∴，解得或（经检验是原方程的根）， 又∵， ∴解得的或符合题意， 即与可能相似，故②正确； ③如图，过P作于E，过D作于F， 设， 由，，得，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴四边形面积为：， 又∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为：， 即四边形面积最大值为，故③正确； ④如图，作点D关于直线的对称点，作，连接交于点，在射线上取， 此时四边形的周长为：，即此时四边形周长有最小值 ∴，， 且， ∴，， 在中，，， ∴， 在中， 由勾股定理可得，， ∴四边形的周长为： ，故④错误， 故选：C． 7．（2024·江苏无锡·一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论： ①； ②当时，； ③当时，的长为； ④的面积最大值为． 其中正确的为（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，解一元二次方程．证明四边形是平行四边形，都是等边三角形，即可判断①；利用三角形内角和定理，通过计算即可判断②；设，证明，得到关于的一元二次方程，解方程即可判断③；设，利用，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：连接， ∵四边形是边长为4的菱形，， ∴和都是等边三角形， ∴， 由平移的性质得，四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴都是等边三角形， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，②正确； 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得，解得， ∴，③错误； 作于点，于点， 设，则，， ∴，， ∴等边、、的高都是， ∴，， ， ， ，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ④正确． 综上，①②④正确， 故选：D． 8．（2024·江苏无锡·一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点于点；下列结论：①； ②； ③． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，过点作于， 过点作于，提供角度计算证明，再证明，是等腰直角三角形，得到即可求解，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】解：如图， 过点作于， 过点作于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中， ，故①正确，符合题意； ∵为等腰直角三角形， ∴，故②正确，符合题意； 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， 故③正确，符合题意， 故选：A． 9．（2023·江苏无锡·中考真题）如图△ABC中，，为中点，若点为直线下方一点，且与△ABC相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（    ）    A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，． 【详解】①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心； 如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心； 如图，点不是中点，所以点不是重心； ①正确    ②当，如图时最大，， ，，， ， ， ②错误；    ③如图5，若，， ∴，，，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴③错误； ④如图6，， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 当时，最大为5， ∴④正确． 故选：A． 10．（2023·江苏无锡·三模）如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕上的点G处，点H在上（如图3），给出四个结论：①的长为10；②的周长为18；③；④的长为，其中所有正确的结论有（　　）    A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】过点作，交、于点、，可知四边形为正方形，可求得的长，可判断①，且和为等腰三角形，设，则可表示出、、，利用折叠的性质可得到，在中，利用勾股定理可求得，再利用，可求得、和，则可求得，即可判断②③④，可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点、，    四边形为矩形， ，， 由折叠可得，且， 四边形为正方形， ， 故①正确； ， 和为等腰直角三角形，且， 设，则，，， 又由折叠的可知，   在中，由勾股定理可得， 即，解得， ，，， 又， ， ， ， ， ，即，   ，，故④错误； ， 又和为等腰直角三角形，且，， ，， 的周长， ， 故②不正确；③正确； 综上可知正确的为①③， 故选：A． 11．（2023·江苏连云港·一模）如图，在边长为4的正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：①；②；③；④四边形的面积为；⑤．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】连接，证明，再利用三角形的外角的性质即可判断①；利用四点共圆证明即可判断②；由正方形的边长为4，则，求出，即可判断③；根据正方形的性质推出，利用相似三角形的性质求得四边形的面积即可判断④；先求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可判断⑤． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， 点是边的中点，则， ， ，， ， 故①正确； 如图，连接． ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， 故②正确； 正方形的边长为4，点是边的中点， ， ，， ，即， 故③正确； ，， 是的中位线，， ， ， 设边上的高为，边上的高为， ，， ， ， ， 根据对称性可知，， ， 故④正确； ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， 解得：， 故⑤错误， 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：C． 12．（2023·江苏扬州·一模）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，连接，由等边对等角求出，得到，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可判断④． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； 连接， 由折叠得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 过点F作于点M， ∵， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴，故④错误； 故选：B． 13．（2023·江苏无锡·二模）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角．有下列四个结论：①；②点在线段上；③当时，平分；④若点在上以一定的速度由向运动，则点的运动速度是点运动速度的2倍．其中正确的结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：，从而可判定①；由可得，由正方形的性质可证明，可得，即有，再由可得，从而、分别平分、，即可判定③；连接交于点，由知，点的运动轨迹为线段，而点的运动轨迹为线段，即可判断②，由知，点的运动速度是点的运动速度的倍，即可判断④，因而可确定答案． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故①正确； 、都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，即点E在线段上， 故②正确； ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 、分别平分、， 故③正确； 如图，连接交于点， ， 当点与点重合时，点与点重合；当点与点重合时，点与点重合， 点的运动轨迹为线段，而点的运动轨迹为线段， ，且点与点的运动时间相同， ， 故④错误； 故选：C． 14．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，是线段上一点，△ADE和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．    【答案】②③④ 【分析】①延长交于M，过P作直线，由和是等边三角形，可得四边形是平行四边形，而P为中点，知P为中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出，即可判断①是否正确；②由，即可得：当共线时，最小，最小值为的长度，求出即可判断②是否正确；③过D作于K，过C作于T，由和是等边三角形，得，有，得到周长，即可判断③是否正确；④设，用m表示，再配方，即可知四边形面积的最小值，从而可判断④是否正确． 【详解】解：①如图，延长交于M，过P作直线，   和是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， 为中点， 为中点， 在线段上运动， 在直线l上运动， 由知等边三角形的高为， 到直线l的距离，P到直线的距离都为， 作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小， 此时最小值，故①错误； ②， ， 当共线时，最小，最小值为的长度， 为的中点， ， 为等边三角形的高， 的最小值为，故②正确； 过D作于K，过C作于T，如图，   和是等边三角形， ， ， ，即， ， 周长的最小值为6，故③正确； ④设，则， ，，，， ， 当时，四边形面积的最小值为，故④正确． 故答案为：②③④． 题型三：几何综合之动点问题（选填压轴）（高频考点） 1．（2024·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，，点F在上，且，E是边上的一动点，M、N分别是、上的点，，，则在点E从B向C运动的过程中，线段所扫过的图形面积是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质知识，分情况进行讨论，当E与或当E与重合时找到的位置，结合图象即可判断扫过区域的形状并求出面积，解题的关键是作出正确的图形． 【详解】解：如图所示：连接，当点E与点重合时，，， 当点E与点重合时，，， ，，， ， ， 四边形为平行四边形， 扫过的区域为平行四边形， 同上理可得，， ，和的距离为， 线段所扫过的图形面积是， 故选：A． 2．（2024·江苏南通·二模）如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（    ） A．函数图象上点的横坐标表示的长 B．当点D为的中点时，点E为线段的三等分点 C．两段抛物线的开口大小不一样 D．图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 【答案】D 【分析】第二个图形中点在两段函数中，是关键点．结合第一个图形，可得此时点D移动到点C，E在AB的中点，那么．．可得．判断A选项；作于点H．可得，根据相似三角形的判定与性质可得E为的四等分点，从而判断B选项；分为当D在上时及当D在上时，两种情况分别求出函数解析式，从而判断C选项；把代入当D在上时的函数解析式中可求得面积的值，判断出D选项． 【详解】解：∵点在两段函数中，即点D与点C重合时． ∵等腰中，，，， ∴． ∴． ∴． ∴点横轴表示的长，故A错误； 如图，作于点H． 又∵是等腰三角形， ∴． ∵， ∴． ， ∵D为中点， ， ∴． ∴． ∴点E为线段的四等分点，故B错误； 当D在上时，为x，则， ∴， 当D在上时，为x，则， ∴． ∵两个二次函数的二次项的比例系数的绝对值相等， ∴两段抛物线的开口大小一样，故C错误； 当时，点D在上， ∴，故D正确． 故选D 3．（2024·江苏常州·一模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形的边长是（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等边三角形的性质等知识点，如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在上运动时，，，易知，当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知，过点O作，解直角三角形可得，进而得出等边三角形的边长，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件． 【详解】如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B， 结合图象可知，当点P在上运动时，， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为4， ∴，即， ∴， 过点O作，垂足为D， ∴，则， ∴， 即等边三角形的边长为． 故选：A． 4．（2023·江苏盐城·一模）已知，其中，，，M、N分别为、的中点，将两个三角形按图①方式摆放，点F从点A开始沿方向平移至点E与点C重合结束（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点M、N作于点G，于点H，直线交于点K，根据勾股定理和全等三角形性质推出，判定四边形是矩形， ， ，得到，的最小值为1；当点A、F重合时，判定是等腰直角三角形，得到；当点C、E重合时，判定是等腰直角三角形，得到； 得到最大为，即得的取值范围． 【详解】分别过点M、N作于点G，于点H，直线交于点K， 则， ∵，，， ∴， ∵， ∴，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， 当时， ，最小； 当点A、F重合时， ∵， ∴， ∵，， ∴； 当点C、E重合时，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点A、F重合或点C、E重合时，最大，为， ∴的取值范围是． 故选：D． 5．（2023·江苏宿迁·一模）如图，已知四边形中，，，点分别是边上的两个动点，且，过点B作于G，连接，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作，交延长线于M，连接，交于O，则构造的四边形为正方形，由可证，得出，则O是正方形的中心，由正方形的性质得出，取中点N，连接，过点N作于H，由勾股定理求出，由直角三角形的中线性质得出，由三角形三边关系得，则当C、G、N三点共线时，最小，即可得出结果． 【详解】解：过点C作，交延长线于M，连接，交于O，如图所示： ∴，    ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴四边形为正方形， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴O是正方形的中心． ∵， ∴， 取中点N，连接，过点N作于H， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，N是的中点， ∴． ∵， 当C、G、N三点共线时，最小为：． 故答案为：． 6．（2023·江苏镇江·一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（　　） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】连接，设交于点，交于点，连接，设中点为，连接，根据菱形及等边三角形得性质可得，，可得出，可得必经过点，根据，可得点在以为直径的圆上，根据的速度及菱形性质可得当点达到点时，点达到点，，可得点点运动路径长是的长，利用勾股定理可求出的长，根据圆周角定理可得，利用弧长公式即可得答案． 【详解】解：如下图，连接，设交于点，交于点，连接，设中点为，连接， ∵菱形的边长为12，， ∴，是等边三角形， ∵点为边的中点， ∴，，， ∵点的速度为每秒1个单位，点的速度为每秒2个单位， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴必经过点， ∵，， ∴点在以为直径的圆上，且四点共圆， ∵当点达到点时，点达到点，， ∴点点运动路径长是的长， ∵，， ∴， ∴，即点点运动路径长是． 故选：D． 7．（2023·江苏无锡·三模）在四边形中，，，，，点从点出发，沿以的速度运动；点从点出发，沿以的速度运动，直到与相遇就停止运动．在运动过程中，四边形的面积的最大值为(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，作于，可求得，，的值，进而求得四边形的面积；当点在上时，当点和点重合时，四边形的面积，当点在上，点在上时，设四边形的面积为，求得根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图1， 作于，作于， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ∴梯形的面积 如图2， 当点在上时，    当点和点重合时，四边形的面积最大．此时， ∴四边形的面积= 如图3，    当点在上，点在上时，设四边形的面积为， ∴， ∴ ∴当时，最大，最大值为 ∵ ∴最大值为 故选：C． 8．（2023·江苏无锡·一模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（        ） A． B． C．20 D．24 【答案】C 【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C． 9．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在△ABC中，，，点为中点，点以每秒1个单位的速度从出发沿运动．当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或18或19或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形应用等知识，分点P在上和上讨论，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形的应用求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ①当点P在上时，， ∴为等腰三角形时，只有， ∴， 过D作于Q， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在上时， ∵为等腰三角形， ∴或或， 当时，如图， ； 当时，如图，过P作于Q， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； 当时，如图，过D作于Q， 则， ∵， ∴， 解得， ∴ ∴； 综上，t的值为或18或19或， 10．（2025·江苏南通·一模）如图，在△ABC中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则y与x之间关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了动点问题函数，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，二次函数的图象与性质；过点作于点，延长交的延长线于点，利用矩形的判定与性质可得，设，利用相似三角形的判定与性质求得，进而求得，的长，利用求得与之间关系，再利用二次函数的性质和的取值范围解答即可得出结论，做出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点，如图， 点、分别为，的中点， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ． ，， ． ， ， ． 为等腰直角三角形， ． 设， 由题意得：，则， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， 解得：， ． ． ， ， 由题意：的取值范围为：， 故答案为：． 11．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再分和两种情况，分别画出图形，求出与的函数关系式，再把代入计算即可求解，看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当时，如图，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，； 故答案为：，． 12．（2023·江苏苏州·二模）如图，在菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动，顺次连接、、、．设运动的时间为，若四边形是矩形，则的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质及动点问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 首先证四边形是平行四边形，则当时，四边形是矩形，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， 动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动， ，， 在和中， ， ， ， 同理可证：， 四边形是平行四边形， 如图，连接，，过点作于，于， 当时，四边形是矩形， 即当时，四边形是矩形， ， ， ， ， 同理可求：，，， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（2024·江苏扬州·三模）在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在整个运动过程中，点所经过的路径长是 ． 【答案】 【分析】根据矩形性质、中点性质即可求得，如图1中，连接交于点，连接，首先证明，利用勾股定理求出．由，推出点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，．点的运动轨迹是，求出，再利用弧长公式求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 点、分别是边、的中点， ，， 连接交于点，连接，如图1， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 点在为直径的上运动， 当点与重合时，如图2中，连接，．点的运动轨迹是， 此时，， ， ，， 平分， ， ， ， 点的运动轨迹的长． 故答案为：． 题型四：几何综合之三角函数问题（选填压轴）（高频考点） 1．（2024·江苏连云港·二模）如图，在矩形中，，，点E为边上一点，，将沿 折叠得到，的延长线交于点F，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，作于点，由矩形的性质得，，，，则，，所以，求得，由折叠得，可证明，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：取的中点，连接，作于点，如图， 则， 四边形是矩形，，，点为边上一点，， ∴，，，， ， ， ， ， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，求角的正弦值，勾股定理，等角对等边等等，延长交于G，过点D作于G，先证明得到，设，则，由勾股定理建立方程，解得，则，利用面积法求出，则，由折叠的性质可得，则，可得，则，证明，得到，即可得到． 【详解】解：如图所示，延长交于G，过点D作于G， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·江苏泰州·一模）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为，是中点，延长交于点，且，则＝ ． 【答案】 【分析】过点作垂足为点，并延长交的延长线于点，设，，则，根据点是的中点，且，利用平行线分线段成比例，结合相似三角形的判定和性质，得到，，进而推出，再根据正切的定义可求的值． 【详解】解：如下图所示，过点作垂足为点，并延长交的延长线于点， 则：， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ， 整理得：， 在中，． 故答案为： ． 4．（2024·江苏苏州·一模）如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角函数，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，作的角平分线交于，过点作于，由题意可得，，，由得到，再证明，得到，，进而得到，由可得，求得，，再勾股定理可得，，，得到，由求出，再利用勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，作的角平分线交于，过点作于，则，    ∵，，， ∴，，， ∵平分， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， 若，则， ∴不符合题意， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·江苏苏州·二模）如图，将一等腰直角三角形放置在平面直角坐标系的第一象限，其一锐角顶点与原点O重合，点A、点B 正好经过一双曲线，则直角边与x轴所成锐角的正切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，反比例函数图象上点的特征，解直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 过点B作轴于点C，过点A作轴于点D交于点E，得到，则有，，设直角边与x轴所成锐角的正切值为，设点B的横坐标为x， 则可得到，，然后根据点在双曲线上得到，解题即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作轴于点D交于点E， 则是矩形， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设直角边与x轴所成锐角的正切值为，设点B的横坐标为x， 则，， ∴，， 又∵点A、点B 正好经过一双曲线， ∴， 解得或（舍去） 故答案为：． 6．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知正方形的边长为6，点在上，且，若直径为的半圆恰好经过D，F两点，则 ． 【答案】 【分析】过点E作于M，交于点G，连接并延长交于H，连接，首先可证四边形是矩形，从而得；其次由得其正切值相等，从而得；由勾股定理求得的长，进而由勾股定理求得的长，则得，，由正切函数定义即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于M，交于点G，连接并延长交于H，连接； 在正方形中，， ， ， ； ， ； 是直径， ， ， 即四边形是矩形， ，，，； ； ， ， ， ； 由勾股定理得，； 在中，由勾股定理， 则（负值已舍去）， ，， ． 故答案为：． 7．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，点E是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ． 【答案】 【分析】解法一：过点C作，交的延长线于点F，由平行四边形的性质可得，，，由平角的定义，利用含30度角的直角三角形性质得， ，由平行线的性质得，，由折叠可知，，于是可通过证明，得到，再利用勾股定理求得，则． 解法二：过点B作于点F，过点C作于点G，由题意易得，在中，， ，由折叠可知，由平行线的性质可得，进而得到，于是为直角三角形，， ，易证，由相似三角形的性质得到，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】解：解法一：如图，过点C作，交的延长线于点F， ∵四边形为平行四边形，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ，， 根据折叠的性质可得，，， ，， 在和中， ， ， ， 在中， ， 解法二：当点恰好落在上时，如图，过点B作于点F，过点C作于点G， ∵四边形为平行四边形，， ，， ， ， 在中， ，， 根据折叠的性质可得，， ， ， ，即， 为等腰三角形，， ， ， ，， ， ∴，即， ， 设， ， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去），， ， ） 故答案为： 8．（2024·江苏无锡·二模）如图，△ABC中，，，垂足为D，点C关于的对称点È在边上，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】的外接圆，过点B作于F，则点D在上，，从而得为等腰直角三角形，则，再根据为等腰直角三角形得，证得，根据对称性得，则，据此可得的值；作的外接圆，过点A作于H，则点D在上，设，则，，，根据得，证为等腰直角三角形得，进而得，然后在可求出的值． 【详解】解：作的外接圆，过点B作于F，如图1所示： ∵， ∴为直径， 又∵，即， ∴点D在上， ∵在中，， ∴， ∴， ， ∴为等腰直角三角形，即， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵点C关于的对称点E在边上， ∴， ∴， ∴； 作的外接圆，过点A作于H，如图2所示： 则点D在上， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：；． 9．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数与的图象上．若，且，则k的值为 ． 【答案】/0.4 【分析】作轴于点M，轴于点E，轴于点F，根据题意，易证，，设，利用勾股定理、相似三角形和全等三角形的性质表示出点D的坐标，从而求出a，进而求出点C的坐标，根据反比例函数的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于点M，轴于点E，轴于点F， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， ， ，即， 由勾股定理有，即， ， ， ， ，， ， ， 点D在函数的图象上， ， （舍负）， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，已知点，点B为直线上的一动点，点，于点C，连接．若直线与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当的值最大时，n的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的性质，解直角三角形等，当的值最大时，则值最大，即当最大时，的值最大，设，由，得到，进而求解． 【详解】解：过点A作轴于点M，作交于点N， ∵直线与x轴平行， ∴， 当的值最大时，则值最大， 故最小，即最大时，最大， 即当最大时，的值最大， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，m取得最大值， 故， 故答案为：． 11．（2023·江苏盐城·模拟预测）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方形可以制作一副如图所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图所示的造型恰好放入矩形中其中点，，，都在矩形边上，若，则的正切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形；在图1中，根据正方形的性质求得正方形的对角线长为4，再根据七巧板的构造求出有关的线段的长，于是在图2中，即可求得，，再证明，得，进而证明，则，得，，由，得，所以，可求得，再由求出的正切值即可． 【详解】解：如图1，四边形是矩形为的正方形， ，， ， 由七巧板的构造可知，图形①、②、③、④、⑤都是等腰直角三角形，图形⑥是正方形， ， ， ， 如图2，四边形是矩形， ，， 由图1可知，，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将△ABC沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识点．在中，由勾股定理可得，则，，，由的面积是的3倍，可知，即，得，过点作于点，结合折叠的性质解直角三角形可求得在中，，，，进而可证得，可得，则，得，由即可求解．根据折叠的性质解直角三角形证得是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， 则，， ∵为的中点， ∴， ∵的面积是的3倍， ∴，即， ∴， 由折叠可知，，，，， 过点作于点， 在中，， ， 在中，， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（2025·江苏宿迁·一模）矩形中，，，点在边上运动，点关于的对称点为点，点到边的距离是点到边距离的3倍，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意画出示意图，①利用翻折的性质，线段的数量关系和勾股定理求出相关线段，证出，利用相似比即可求解；②利用翻折的性质，线段的数量关系求出相关线段，利用特殊角的三角函数值求出，进而利用平行线的性质和翻折的性质求出即可求解． 【详解】解： ①如图所示， 根据题意得，， 则， 根据翻折的性质可得，，， 在中，由勾股定理得， ,, ， 又， ， ； ②如图所示，，， 则， ∴在中，， ， ， ， 又， ， ， ， ； 综上，或． 题型五：几何综合之其他题型（选填压轴）（高频考点） 1．（2023·江苏宿迁·二模）如图，平行四边形中，，，在上，且，是的中点，连接、，交于点，连接，过作于，于，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形面积，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积，含度角的直角三角形的性质，连接，过作于，过 作于，由平行四边形的性质得到 ，得到，进而可得，设，，根据题意可得，，由直角三角形的性质可得，，据此由勾股定理可得，，再根据勾股定理得到，，最后根据三角形和平行四边形的面积公式关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过作于，过 作于，则，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∵， ， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ， ∵是的中点， ∴，， 即，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 2．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，边长为的正方形中，交于点，正方形绕着点旋转，直线与直线交于点，当时， 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于M，交于N，交于O，作于T交于R．证明，得到，再证明，得到，再证明，，则，由勾股定理得到，则，，证明四边形是矩形，得到，则，则． 【详解】解：如图，设交于M，交于N，交于O，作于T交于R． ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E在上，，作，交于点F，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，矩形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的．作添加恰当辅助线构造全等三角是解题关键．在上截取，使得，连接，交于，延长至，使，连接，可证四边形是正方形，可得，，通过证明，，可得，，由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质求出． 【详解】解：在上截取，使得，连接，交于，延长至，使，连接， 四边形是矩形， ， ， ，， ，，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：D． 4．（2024·江苏无锡·二模）在菱形中，，E是对角线上的一个三等分点，点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，则的长为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据E是上的一个三等分点，可分成两种情况求解，先根据对称性得到边长，然后根据三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果． 【详解】解：连接交于点，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 分两种情况：①当时，如图，连接与交点， 由对称性可知，， ， ， 设，则，即， 在中，， 即， 解得：(舍去)，， ， ， ， ， ， ∴． ②当时，连接， 由对称性可知，， 过点作于点，如图， ， ， ， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：(舍)，， ∴， 即， 综上，的长为或． 故选：B． 5．（2024·江苏苏州·二模）如图，已知正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形，连结并延长交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用代数分别表示全等直角三角形两直角边的长及正方形面积，再根据全等三角形性质推理求得全等直角三角形两直角边的长，利用垂直平分线的判定证明后可得，最后利用相似三角形性质即可求解． 【详解】解：设全等直角三角形长直角边为，短直角边为，，， ，， 依题得：， ， ， ，， ，， ，， 在线段的垂直平分线上， 在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， ， 正方形中，， ， ， ， ， ，， ． 故选：． 6．（2024·江苏无锡·二模）在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，折叠的性质，三角形三边性质，相似三角形的判定和性质，过点作的延长线于点，交的延长线于点，则，连接，利用平行四边形的性质可得，，再结合折叠的性质可证，得到，进而得，由此可得，得到，推导出四边形为平行四边形，得到，，即可得，又由得，根据三角形三边性质得，，又证明，得，即得，当点在的延长线时，，得，即可得到，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，交的延长线于点，则，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴，， 由折叠得，，，，，， ∴，，，，， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 当点在的延长线时，， ∴， ∴， 故选：． 7．（2024·江苏扬州·二模）如图，在△ABC中，若，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 过点作交于点，根据，即可证明，根据等腰三角形性质可得，设，则，在中，根据勾股定理算出，解得，，再过点作交于点，设，则，在中，根据勾股定理列方程，解出，求出，则，，，在中，根据勾股定理即可算出． 【详解】过点作交于点， ， 即， 又， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， 解得：， 即，， 过点作交于点， 设，则， 在中，， 解得：， ∴，则，，， 在中，， 故选：A． 8．（2024·江苏南通·一模）如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，延长与交于点，设正方形边长为，由，得到等边，由平行线截线段成比例得到，，的长度，在中，应用勾股定理，即可求解， 本题考查了，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，得到等边． 【详解】解：过点作，垂足为，延长与交于点，连接， 设正方形边长为， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴平行于， ∴，，，， 在中，，即：，解得：，（舍）， 故选：D． 9．（2025·江苏南通·模拟预测）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段．当点在内部时，过点作的垂线交射线于点，作，交射线于点，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】解：在射线上取点H，使得，取的中点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：2． 10．（2025·江苏·二模）如图，在正方形中，，，交于点O，M在边上，且，于N，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】过A作交的延长线于，过作于，先求出，证和相似得，由此得，证和相似得，由此得，，则，再证为的中位线，则，，则，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点A作交的延长线于，过点作于，如下图所示： 四边形为正方形，， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， 又， ， ， 即， ， ，， ， 又， ， ， 即， ，， ， 点为正方形对角线的交点， ， ，， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， ∵在中，，， ∴由勾股定理得：． 故答案为：． 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，，，．若，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理；添加辅助线，证明是解题的关键；首先将条件转化成线段和角度关系，由，很容易找到，再根据这个相似结论证出，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数． 【详解】解：延长，交于点， ， ， ，， ，即， ， ，， 为中点， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ． 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，菱形中，，点M，点N分别是边上的点，且交于点E，如果点F是的中点，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，是解题的关键． 连接，并延长交于一点Q，根据菱形性质证明为等边三角形，结合，得到，得到，得到，根据问题是一个定值，可化一般情况为特殊情况，点M，点N分别是边上的中点，得到点E为等边的重心，得到，Q为中点，得到，，，得到，得到，得到，得到，得到是等边三角形，推出，即得． 【详解】解：连接，并延长交于点Q， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据问题是一个定值，因此化一般情况为特殊情况， 则点M，点N分别是边上的中点， ∴点E为等边的重心， ∴，Q为中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在△ABC中，，，点E是三角形内部一点，且满足，则点E在运动过程中所形成的图形的长为 ． 【答案】/ 【分析】将绕点A顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，过点A作，过点O作，先证明，推出点E的运动轨迹为圆弧，再求得圆心角，然后按照弧长公式计算即可． 【详解】解：作的外接圆O，交于一点G，将绕点A顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，过点A作，过点O作，如图： 由旋转可知：，，， ， 在中，； 在中，； ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 点E在运动过程中所形成的图形的长为 故答案为： 14．（2024·江苏南京·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将沿翻折，得到，若是等腰三角形，则等于 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的定义，等边三角形的判定和性质，由正方形可得，，由折叠可得，，由等腰三角形可得或，分两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∵是等腰三角形， ∴或， 当时，则， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作于，延长交于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴等于或， 故答案为：或． 题型六：几何综合之圆的相关计算（选填压轴）（高频考点） 1．（2024·江苏扬州·一模）如图，一块四边形材料，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造三角形用等面积法是解题的关键．延长交延长线于，当这个圆是的内切圆时，此圆的面积最大，构造三角形，通过等面积法求解即可． 【详解】解：延长交延长线于   ，， ， ，即， 解得， ， 在中，， ， 设这个圆的圆心为，与分别相切于， ， ， ， ， ， 即， 解得， 故选：B． 2．（2023·江苏宿迁·二模）如图，将沿弦折叠，交直径于点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质．由沿弦折叠知，弧与弧相等，得到，由外角公式知，得，可知是等腰三角形，再证得，可求出，进而能求． 【详解】如图，连接，过点作于． 沿弦折叠 弧与弧相等 是直径 即 即 ． 故选：B． 3．（2025·江苏南京·一模）如图，△ABC内接于半圆O，，连接并延长，交的延长线于点D．若，则 【答案】105 【分析】本题主要考查了圆周角定理、同弧所对的圆周角相等、三角形内角和、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：设，，则，由如图：设，，则可得、、、；然后根据三角形内角和定理列方程组求解即可． 【详解】解：如图：设，，则， ∴，，， ∵内接于半圆O， ∴， ∴，即①， ，即②， ①②联立：解得：， ∴． 故答案为：105． 4．（2025·江苏连云港·一模）如图，在矩形中，点E在边上，连接，平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为 ． 【答案】/6.25 【分析】如图所示，过点作于H，连接，设交于G，由矩形的性质得到；由点O为的内心，得到，，则是等腰直角三角形，可得；证明，即可证明，得到，，，进一步证明，得到，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于H，连接，设交于G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵点O为的内心， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设， 则， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 则， ∴在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 5．（2025·江苏南京·一模）如图，圆内接四边形的对角线互相垂直，且平分，延长，交于点F，若，，则 ． 【答案】/ 【分析】延长交于H，交于G，设、相交于E，根据角平分线的定义，圆周角定理以及三角形外角的性质可得出，根据垂径定理得出，证明，根据平行线分线段成比例可求出，在中，根据勾股定理得出，解方程求出，即可求解． 【详解】解：延长交于H，交于G，设、相交于E， ∵圆内接四边形的对角线互相垂直， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知是的直径，M为上的点，且，，弦经过点M．当时， ；的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识点，由题意可知，，连接，，则，当时，由垂径定理可知，，结合勾股定理可得，则此时，；由，，可得，，即可得，由图可知，，当时，有最大值8，此时，有最大值，再结合，判断存在使得，即存在当时，有最大值．利用线段关系得面积关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵是的直径，且，， ∴，， 连接，，则， 当时， 由垂径定理可知，， 在中，，则， 则此时，； ∵，， ∴，即， 同理：， ∴， 由图可知，，当时，有最大值8， 此时，有最大值， 若，则，点到的距离为，此时， 即存在使得， 即存在当时，有最大值， 故答案为：，． 7．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在△ABC中，，是上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切，切点为，与相交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的计算，平行线分线段成比例，切线的性质，勾股定理，作于点M，连接，由切线得到，利用勾股定理求出半径，再依次求出，，，的长，最后根据，得到，代入求值即可． 【详解】解：如图，作于点M，连接， 设圆的半径为r，则， ∵，，， ∴， ∴， ∵长为半径的圆与相切， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵长为半径的圆与相切，切点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2024·江苏南通·三模）如图，已知半圆 的直径为 ，点 在半径 上，为 的中点，点 在弧 上，以、为邻边作矩形 ，边 交于点 ，连接，并延长交 于点 ，若，则 的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，综合运用这些知识是解题关键. 先证明为的垂直平分线，是的垂直平分线，为的垂直平分线，设.再利用射影定理得故再计算即可. 【详解】过作延长线交于，过作延长线交于， 连. ， ∴为的垂直平分线. ∵矩形， ∴是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ∴为的垂直平分线，设， ， ∵为 的中点， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为： ． 9．（2024·江苏盐城·三模）如图，直线与相切于点A，点C为上一动点，过点C作，垂足为B，已知的半径为，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】过点A作直线，交的延长线于点D，交于点N，且，则即，从而把转化为，过点C作于点H，结合，设，则，得到，继而得到，即，把的最大值转化为的最大值，根据圆的性质解答即可． 【详解】过点A作直线，交的延长线于点D，交于点N，且， 则即， ∴， 过点C作于点H， ∵，设，则， ∴， ∴， 即， ∵直径是圆中最大的弦， ∴经过圆心O时，的值是最大的， ∵直线与相切于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ． 故答案为：． 10．（2024·江苏连云港·三模）如图，在以为直径半圆上，，，点是弧上的一动点，，连接，则的长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，求到圆上一点的最小距离，斜边上的中线等于斜边的一半，三角函数，勾股定理，求得点的轨迹是解题的关键． 取中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，点在以为圆心，为半径的圆上运动，进而解求得，即可求解． 【详解】解：取中点，连接，如图， ∵，， ∴， 即点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴， 在中，， ∴的长最小是， 故答案为：． 11．（2024·江苏淮安·一模）如图，已知以为直径的半圆O，C 为弧上一点，，P为弧上任意一点，交AP于D，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】先求出，，则可判断点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，过E作于F，可求，利用等腰三角形的三线合一性质求出，，利用正弦定义求出，求出，可得，利用勾股定理求出，由，当E、D、B三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，过E作于F，    ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 当E、D、B三点共线时，最小，最小值为， 故答案为：． 12．（2024·江苏泰州·二模）如图，点D是等边△ABC边上一点，，连接，将沿翻折得到，若以D为圆心，为半径的圆经过一边的中点，则的半径是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆的有关性质、图形的折叠、等边三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，解决本题的关键是运用分类讨论的方法解决问题，分为当过边的中点时及当过边的中点时，两种情况分类讨论来求解即可． 【详解】如图，第一种情况：当过边的中点时，设与的交点为点F，作于G， 设的半径为r， 则， ， 是等边三角形， ， ，， ， 由题意可得点F为中点， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：（舍去）， 的半径为； 如图，第二种情况：当过边的中点时，设与的交点为点H，连接， 设的半径为r， 则， 是等边三角形， ，， 是由折叠而得， ， 中，， 是等边三角形， ， 的半径为； 综上所述的半径为或， 故答案为：或． 13．（2024·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，，将边翻折到，使点D的对应点E在边上；再将边翻折到，点A的对应点为F，连接． （1）若，则的长为 ； （2）若点F为的内心，则的长为 ． 【答案】 1 【分析】（1）由翻折的性质可得，再利用矩形的性质和勾股定理求出，则； （2）如图所示，过点F作于H，连接，设交于G，由矩形的性质得到；由点F为的内心，得到，，则是等腰直角三角形，可得；证明，即可证明，得到，进一步证明，得到，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由翻折的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）如图所示，过点F作于H，连接，设交于G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点F为的内心， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．（2023·江苏宿迁·二模）如图，已知△ABC中，，，．点M是线段上一动点，过点M作交于点N，当点M从点A运动到点C的过程中，点N经过的路径长是 ．    【答案】/ 【分析】如图所示， 过点A作分别交于H、E，先解直角三角形得到，设，利用勾股定理建立方程求出，则，证明，求出，则；取的中点O，连接，可知点M在以点O为圆心，为圆心的圆上运动；当最大时，最小，即此时最小，则当圆O与相切时，最大，同理可设，则，据此求出，当点M在点A时，点N在点E，当点M从点A运动到圆O与相切时，点N从点E运动到最大时的位置，M继续运动到点B时，点N从最大时的位置运动到点C的位置，则整个过程中点N的运动路径长为． 【详解】解：如图所示， 过点A作分别交于H、E， ∵， ∴， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 取的中点O，连接， ∵， ∴点M在以点O为圆心，为圆心的圆上运动， 当最大时，最小，即此时最小， 又∵当圆O与相切时才有最小， ∵当圆O与相切时，最大， ∴此时， 同理可设， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点M在点A时，点N在点E，当点M从点A运动到圆O与相切时，点N从点E运动到最大时的位置，M继续运动到点B时，点N从最大时的位置运动到点C的位置， ∴整个过程中点N的运动路径长为， 故答案为：．    15．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，点为矩形对角线上一动点，连接，以为边向上作正方形，对角线交于点，连接，则线段的最小值为    【答案】 【分析】作于点则由正方形的性质得所以 取的中点连接以点为圆心为半径作则点、点都在上, 所以可知点在过点且与直线所交成的锐角为的直线上运动，则当时，线段的值最小，此时由矩形的性质得，则由得所以于是得到问题的答案． 【详解】如图，作于点，    则 ∵四边形是正方形， ∴且 取的中点连接以点为圆心为半径作， ∴点、 点都在上， ∴点在过点且与直线所交成的锐角为的直线上运动， ∴当时，线段的值最小，如图，则    ∵点、点都在以为直径的圆上， ， ， ∵四边形是矩形，， ， ∴的最小值为 故答案为：． 第 1 页 共 153 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏数学中考预测专项突破 专题06 几何综合选填题压轴（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题几何综合选填题压轴分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：填空题第18题：此题主要考查相似三角形的判定和性质综合，分值3分，难度较难； ❆徐州卷：填空题第18题：此题主要考查的是圆锥的侧面积公式、扇形面积公式相关求解，分值3分，难度中等； ❆苏州卷：选择题8题：此题主要考查的是几何综合中最值问题，分值3分，难度较难；填空题第16题：此题考查的是几何综合中折叠问题，分值3分，难度中等偏上； 题型一：几何综合之最值问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长，点为平面内一动点，且，点为上一点，，连接、，当线段的长最小时，三角形的面积是（　　）    A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·一模）如图．△ABC中，，，，为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交与点E，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·一模）如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在长为，宽为2，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是（  ） A． B． C． D．4 5．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点分别是上的动点，且，点是的中点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·江苏常州·二模）如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到△ADE，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 8．（2024·江苏无锡·三模）如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（    ） A．16 B．4 C．9 D．2 9．（2024·江苏无锡·二模）在中，，，点D和点E分别是线段上的动点，且，在运动过程中，可取的最大整数值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024·江苏徐州·二模）如图，△ABC和△ADE是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将△ADE按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 11．（2024·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，，B为x轴正半轴上的动点，以为边在第一象限内作△ABC使得，，连接，则长的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．（2024·江苏无锡·一模）如图，在△ABC中，．分别为上的动点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 13．（2025·江苏宿迁·一模）如图， 矩形 中，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点B，D 运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为 ． 14．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作，垂足为，连接，则的长的最小值为 ． 15．（2025·江苏泰州·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，为上的一点，连接、，当的值最小时， ． 16．（2025·江苏连云港·一模）如图，在以为直径中，弦，，点D是上一动点，以为一边在左侧作△ADE，使，，连接，则的最大值为 ． 17．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 题型二：几何综合之多结论问题（选填题压轴）（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）如图，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，点是边上一动点，将四边形沿翻折，得到四边形，、的对应点分别是、，连接，，当点从点运动到点的过程中，设，三角形的面积、三角形的面积、三角形的面积分别用、、表示，则下列结论正确的是（    ） ①； ②； ③当、、三点在一条直线上时，； ④． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 2．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形中，为的中点，于延长交于点延长交于点于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（2024·江苏无锡·二模）如图，正方形的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边上运动，且满足，连接，过点O作交点G，则下列结论：①连接，则的周长不变；②若，则；③连接，则；④．其中正确的为（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 4．（2024·江苏无锡·一模）如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则以下结论：①；②与相似；③当时，则；④当时，．其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 5．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一点，连接，将沿对折，A点恰好落在对角线上的点F处．延长，与边交于点G，延长，与的延长线交于点H，则下列说法：①为等腰直角三角形；②≌；③；④；⑤．其中正确的说法有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边上， ，线段在边上运动， ，有下列结论： ①与一定不相等； ②与可能相似； ③ 四边形面积的最大值为 ； ④ 四边形周长的最小值为 ．其中，正确结论的序号为（　　） A．② ④ B．② ③ C．① ② ③ D．② ③ ④ 7．（2024·江苏无锡·一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论： ①； ②当时，； ③当时，的长为； ④的面积最大值为． 其中正确的为（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 8．（2024·江苏无锡·一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点于点；下列结论：①； ②； ③． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 9．（2023·江苏无锡·中考真题）如图△ABC中，，为中点，若点为直线下方一点，且与△ABC相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（    ）    A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 10．（2023·江苏无锡·三模）如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕上的点G处，点H在上（如图3），给出四个结论：①的长为10；②的周长为18；③；④的长为，其中所有正确的结论有（　　）    A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 11．（2023·江苏连云港·一模）如图，在边长为4的正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：①；②；③；④四边形的面积为；⑤．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．（2023·江苏扬州·一模）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 13．（2023·江苏无锡·二模）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角．有下列四个结论：①；②点在线段上；③当时，平分；④若点在上以一定的速度由向运动，则点的运动速度是点运动速度的2倍．其中正确的结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，是线段上一点，△ADE和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．    题型三：几何综合之动点问题（选填压轴）（高频考点） 1．（2024·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，，点F在上，且，E是边上的一动点，M、N分别是、上的点，，，则在点E从B向C运动的过程中，线段所扫过的图形面积是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（2024·江苏南通·二模）如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（    ） A．函数图象上点的横坐标表示的长 B．当点D为的中点时，点E为线段的三等分点 C．两段抛物线的开口大小不一样 D．图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 3．（2024·江苏常州·一模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形的边长是（    ） A． B．4 C．6 D． 4．（2023·江苏盐城·一模）已知，其中，，，M、N分别为、的中点，将两个三角形按图①方式摆放，点F从点A开始沿方向平移至点E与点C重合结束（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2023·江苏宿迁·一模）如图，已知四边形中，，，点分别是边上的两个动点，且，过点B作于G，连接，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 6．（2023·江苏镇江·一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（　　） A． B．12 C． D． 7．（2023·江苏无锡·三模）在四边形中，，，，，点从点出发，沿以的速度运动；点从点出发，沿以的速度运动，直到与相遇就停止运动．在运动过程中，四边形的面积的最大值为(    )    A． B． C． D． 8．（2023·江苏无锡·一模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（        ） A． B． C．20 D．24 9．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在△ABC中，，，点为中点，点以每秒1个单位的速度从出发沿运动．当为等腰三角形时，的值为 ． 10．（2025·江苏南通·一模）如图，在△ABC中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则y与x之间关系为 ． 11．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ． 12．（2023·江苏苏州·二模）如图，在菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动，顺次连接、、、．设运动的时间为，若四边形是矩形，则的值为 ． 13．（2024·江苏扬州·三模）在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在整个运动过程中，点所经过的路径长是 ． 题型四：几何综合之三角函数问题（选填压轴）（高频考点） 1．（2024·江苏连云港·二模）如图，在矩形中，，，点E为边上一点，，将沿 折叠得到，的延长线交于点F，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 2．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏泰州·一模）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为，是中点，延长交于点，且，则＝ ． 4．（2024·江苏苏州·一模）如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为 ．    5．（2024·江苏苏州·二模）如图，将一等腰直角三角形放置在平面直角坐标系的第一象限，其一锐角顶点与原点O重合，点A、点B 正好经过一双曲线，则直角边与x轴所成锐角的正切值为 ． 6．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知正方形的边长为6，点在上，且，若直径为的半圆恰好经过D，F两点，则 ． 7．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，，点E是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ． 8．（2024·江苏无锡·二模）如图，△ABC中，，，垂足为D，点C关于的对称点È在边上，则 ；若，则 ． 9．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数与的图象上．若，且，则k的值为 ． 10．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，已知点，点B为直线上的一动点，点，于点C，连接．若直线与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当的值最大时，n的值为 ． 11．（2023·江苏盐城·模拟预测）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方形可以制作一副如图所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图所示的造型恰好放入矩形中其中点，，，都在矩形边上，若，则的正切值为 ． 12．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将△ABC沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为 ． 13．（2025·江苏宿迁·一模）矩形中，，，点在边上运动，点关于的对称点为点，点到边的距离是点到边距离的3倍，则的值为 ． 题型五：几何综合之其他题型（选填压轴）（高频考点） 1．（2023·江苏宿迁·二模）如图，平行四边形中，，，在上，且，是的中点，连接、，交于点，连接，过作于，于，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，边长为的正方形中，交于点，正方形绕着点旋转，直线与直线交于点，当时， 的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E在上，，作，交于点F，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 4．（2024·江苏无锡·二模）在菱形中，，E是对角线上的一个三等分点，点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，则的长为（     ） A． B．或 C．或 D．或 5．（2024·江苏苏州·二模）如图，已知正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形，连结并延长交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏无锡·二模）在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏扬州·二模）如图，在△ABC中，若，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏南通·一模）如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏南通·模拟预测）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段．当点在内部时，过点作的垂线交射线于点，作，交射线于点，则的值为 ． 10．（2025·江苏·二模）如图，在正方形中，，，交于点O，M在边上，且，于N，连接，则的长为 ． 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，，，．若，且，则的长为 ． 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，菱形中，，点M，点N分别是边上的点，且交于点E，如果点F是的中点，那么 ． 13．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在△ABC中，，，点E是三角形内部一点，且满足，则点E在运动过程中所形成的图形的长为 ． 14．（2024·江苏南京·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将沿翻折，得到，若是等腰三角形，则等于 ． 题型六：几何综合之圆的相关计算（选填压轴）（高频考点） 1．（2024·江苏扬州·一模）如图，一块四边形材料，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·江苏宿迁·二模）如图，将沿弦折叠，交直径于点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·一模）如图，△ABC内接于半圆O，，连接并延长，交的延长线于点D．若，则 4．（2025·江苏连云港·一模）如图，在矩形中，点E在边上，连接，平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为 ． 5．（2025·江苏南京·一模）如图，圆内接四边形的对角线互相垂直，且平分，延长，交于点F，若，，则 ． 6．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知是的直径，M为上的点，且，，弦经过点M．当时， ；的最大值为 ． 7．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在△ABC中，，是上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切，切点为，与相交于点．若，，则的长为 ． 8．（2024·江苏南通·三模）如图，已知半圆 的直径为 ，点 在半径 上，为 的中点，点 在弧 上，以、为邻边作矩形 ，边 交于点 ，连接，并延长交 于点 ，若，则 的值为 ． 9．（2024·江苏盐城·三模）如图，直线与相切于点A，点C为上一动点，过点C作，垂足为B，已知的半径为，则的最大值为 ． 10．（2024·江苏连云港·三模）如图，在以为直径半圆上，，，点是弧上的一动点，，连接，则的长的最小值是 ． 11．（2024·江苏淮安·一模）如图，已知以为直径的半圆O，C 为弧上一点，，P为弧上任意一点，交AP于D，连接，若，则的最小值为 ．    12．（2024·江苏泰州·二模）如图，点D是等边△ABC边上一点，，连接，将沿翻折得到，若以D为圆心，为半径的圆经过一边的中点，则的半径是 ． 13．（2024·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，，将边翻折到，使点D的对应点E在边上；再将边翻折到，点A的对应点为F，连接． （1）若，则的长为 ； （2）若点F为的内心，则的长为 ． 14．（2023·江苏宿迁·二模）如图，已知△ABC中，，，．点M是线段上一动点，过点M作交于点N，当点M从点A运动到点C的过程中，点N经过的路径长是 ．    15．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，点为矩形对角线上一动点，连接，以为边向上作正方形，对角线交于点，连接，则线段的最小值为    第 1 页 共 153 页 学科网（北京）股份有限公司 $$