【三轮冲刺】专题05 几何与尺规作图综合（江苏专用）-2025年江苏数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年江苏数学中考预测专项突破 专题05 几何与尺规作图综合（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题几何与尺规作图综合分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：解答题第24题：此题主要考查的是利用尺规作图作角平分线问题，分值8分，难度中等； ❆徐州卷：解答题第27题：此题主要考查的是尺规作图与几何的综合应用，分值9分，难度中等； ❆常州卷：解答题第26题：此题主要考查的是尺规作图与几何的综合应用，分值10分，难度中等偏上； 题型一：几何与尺规作图的结合----角平分线（选填）（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，在△ABC中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知钝角，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作，垂足为点，过点作，交于点．若，，则的长为（　　） A． B． C． D．5 3．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知钝角，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作，垂足为点，过点作，交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 4．（2023·江苏南通·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，则点的坐标为（  ）    A． B． C． D． 5．（2023·江苏宿迁·三模）如图，直线相交于点O，，根据图中的尺规作图痕迹，则的度数是（    ）    A．64° B．56° C．58° D．45° 6．（2023·江苏苏州·三模）如图，在△ABC中，，，按以下步骤作图：第一步，一点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于、两点；第二步，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；第三步，作射线，交于点．则的长为（    ）    A． B．8 C． D．10 7．（2023·江苏·模拟预测）如图，△ABC中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交于点D，已知，则的长为（　　）    A．2 B．3 C． D． 8．（2023·江苏苏州·一模）如图，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平行四边形中，．利用尺规在上分别截取，使；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内，交于点G；作射线交于点H．若，则的长为 ．    10．（2024·江苏盐城·二模）如图，在中，以点为圆心，为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，若，则，两点之间的距离为 ． 11．（2024·江苏扬州·三模）如图，在中，以点为圆心，为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，若，则，两点之间的距离为 . 12．（2024·江苏宿迁·二模）在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．如果，则的长为 ． 13．（2024·江苏淮安·一模）如图，中，，，进行如下操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以点 M、N为圆心，以适当的长度为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点E，则的长为 ． 14．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，，则的长为 ． 15．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，是△ABC的高，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点；分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧交于点；作射线交于点．若，，，则的长 题型二：几何与尺规作图的结合---垂直平分线（选填）（高频考点） 1．（2024·江苏徐州·三模）如图，在△ABC中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交于点D、E，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·江苏连云港·一模）要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交于点F，D，E；以F点为圆心，以D、E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线，交边与点H．则即为所求； 乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D，E，F，G；分别作直线和，直线和分别交于点M，N；连接．则即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 3．（2023·江苏南通·二模）如图，在△ABC中，，．按照如下步骤作图： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，交点； ③以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点； ④连接． 下列说法错误的是(    ) A． B． C． D． 4．（2023·江苏扬州·二模）尺规作图：如图（1），在△ABC中，，，在边上求作一点P，使．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2023·江苏宿迁·二模）如图，在△ABC中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为（   ） A．3 B． C． D． 9．（2024·江苏南京·一模）如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 10．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在△ABC中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ． 11．（2023·江苏苏州·二模）如图，在△ABC中，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，分别交、于点E、F，则的长度为 ． 12．（2023·江苏苏州·一模）如图，在半径为、圆心角为120°的扇形中，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，直线与相交于点，连接，则由、、围成的阴影部分的面积为 ． 题型三：尺规作图---作一个角等于已知角（解答）（高频考点） 1．（2025·江苏徐州·一模）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，图2为其平面示意图．在操作时，通过人力或借助畜力、水力等动力，使碓杆一端的碓头点抬高，此时碓杆绕着支点转动．当碓头被抬升到一定高度后，释放动力，碓头在重力作用下快速落下，砸向放置在碓臼中的谷物．已知于点与水平线相交于点于点． (1)若分米，分米，，求此时点到水平线的距离（结果精确到1）．（参考数据：） (2)当点下落至时水平线上时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 2．（2025·江苏南京·一模）如图，已知和线段，用直尺和圆规作等腰三角形，使它的底角为，底角的平分线为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 3．（2025·江苏扬州·一模） 在数学课上，李老师给出了一道作图题： “如图1，点P为内一点，求作一条过点P的直线，分别交射线、射线于点E、F，且．”这道题中要作的直线需同时满足以下三个条件：①过点P；②E、F分别在射线上，③．经过尝试，同学们都觉得有些困难．于是，李老师提示同学们采用“弱化条件”的策略去思考问题．即先作出满足部分条件的直线（此时点、已满足分别在射线上和这两个的条件，如图2所示），再通过观察发现要作的与已作的互相平行． (1)根据李老师的提示，在图1中用尺规完成李老师给出的问题；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图3，为的高线，用尺规作一个圆，使该圆经过点P，并且与边和都相切．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）提醒：在答题卡上作图痕迹需要加粗． 4．（2025·江苏南通·模拟预测）菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），把△ADE沿直线折叠，与对应． (1)请用无刻度直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在的延长线上，求的长； (3)当与菱形的边垂直时，求的长． 5．（2025·江苏扬州·一模）（1）如图1，边中点为P，在边上求作一点D，使得的面积与的面积比为；   （2）如图2，边上有一点Q，在延长线上求作一点E，使得的面积与的面积相等； （3）如图3，边上有一点R(异于中点），在边上求作一点F，使得的面积与的面积比为． 要求：①用无刻度的直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．     6．（2024·江苏南京·模拟预测）已知：△ABC中，为边上的一点． (1)如图①，过点作交边于点，若，，，求的长； (2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)如图③，点在边上，连接、，若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 6．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，C为线段外一点． (1)在图1中，求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若在（1）的四边形中，相交于点O，则与的面积比为 ．（可用图2作图分析，不要破坏（1）中作图） 7．（2024·江苏盐城·三模）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作出线段的中点； (2)作出线段的三等分点． 8．（2024·江苏南京·三模）如图，已知和线段m，利用直尺和圆规作一个直角三角形，分别满足下列条件（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1)直角三角形的斜边等于m，且有一个内角等于； (2)直角三角形周长等于m，且有一个内角等于． 9．（2024·江苏宿迁·三模）如图，△ABC为锐角三角形．    (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 10．（2024·江苏盐城·二模）如图，△ABC中，点为的中点． (1)过点作；（尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法．） (2)在线段上任意找一点（不与重合），连接并延长，交于点连接．求证：四边形是平行四边形． 11．（2023·江苏盐城·一模）如图，在△ABC中，点D为边上中点 (1)尺规作图：作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求证：四边形为矩形 题型四尺规作图---作三角形（解答）（高频考点） 1．（2025·江苏淮安·一模）如图1，在中，为边上一点． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上找一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 2．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，． 例如：如图①，先将△ABC绕点逆时针旋转，得到△A1BC1，再将△A1BC1以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，． (1)如图②，△ABC经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，△ABC经过，逆，得到，△ABC经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④， 在△ABC中， 若△ABC经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形． ①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ②直接写出的长． 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）【问题情境】如图1，以点A为顶点，以射线为一边，作角．作法：在射线上任取一点C，过点C作，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，作射线，则，尺规作图可通过构造特殊图形，利用其边、角的性质完成作图． 【探究思考】如图2，以点A为顶点，以射线为一边，请利用无刻度的直尺和圆规作角（保留作图痕迹，不写作法） 【迁移应用】如图3，请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点P，使（保留作图痕迹，不写作法）． 5．（2024·江苏无锡·一模）如图，△ABC中，． (1)尺规作图：作矩形，使分别在上，在上，且； (2)若，设第（1）问中所作的矩形的面积为，△ABC的面积为，则______． 6．（2024·江苏南京·模拟预测）已知和线段l，线段h．使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形（写出作法，保留作图痕迹）． (1)求作△ABC，使得，周长等于线段l； (2)求作△ABC，使得，一边上的高等于线段h，周长等于线段l． 7．（2025·江苏盐城·一模）已知：如图，为正方形的对角线． (1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，求的长． 题型五：尺规作图---作角平分线（解答）（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）如图，中，． (1)尺规作图：请在图1的内作一点P，使点P在以为直径的圆上，且点P到的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)在（1）的条件下，若，，求直径、弦、围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图） 2．（2025·江苏扬州·一模）在中，． (1)求作，使得圆心在边上，经过点且与边相切于点； (2)已知，，求边的长． 3．（2025·江苏盐城·一模）如图，中，， (1)尺规作图：请在图1的△ABC内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则直径、弦围成的封闭图形的面积为_______．（直接写出答案，可用备用图分析） 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，在直角三角形中，． (1)利用无刻度的直尺和圆规，按要求在图（1）中作图；（不写作法，保留作图痕迹，并标记字母） ①作的垂直平分线l； ②在边上作一点M，使A关于的对称点落在l上． (2)在（1）的条件下，若，则 ．（如需画草图，请使用图2） 5．（2025·江苏南京·模拟预测）（1）已知线段OM，，，用尺规作满足条件的点 （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得为等边三角形，请提供两种不同的作法． 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）： ①在上取一点，使点到的距离等于线段的长； ②在上取一点，使． (2)在（1）的条件下，若，，则长为_________． 7．（2024·江苏南京·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（△ABC）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在△ABC的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在△ABC的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 8．（2024·江苏无锡·二模）中，，， (1)请在图（）中用无刻度的直尺和圆规作图：在边上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若，取的中点，连接交于点，则______． 9．（2024·江苏盐城·一模）如图将矩形纸片折叠，使得点落在边上的点处，折痕经过点，与边交于点． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作点，（作图时，不写作法，保留作图痕迹，作好后请用黑色水笔描黑）； (2)若，，求的长． 10．（2024·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，． (1)请用直尺(不带刻度)和圆规作图．要求：保留作图痕迹，不写作法． ①在上取一点，使； ②作的平分线交于点； (2)在(1)所作的图形中，交于点，连接．若，且，求的长．(如需画草图，请使用备用图) 11．（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，． (1)请在图（1）中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线交于点，在上求作点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则 （如需画草图，请使用图2） 题型六：尺规作图---作垂线（解答）（高频考点） 1．（2025·江苏盐城·一模）如图，在△ABC中，∠B=90°，请利用无刻度直尺和圆规，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）． (1)过点B作的垂线，垂足为点M； (2)过点A作一条射线分别交线段、边于点E、点F，且使得； (3)在（1）、（2）条件下，若，，求的长． 2．（2025·江苏·模拟预测）如图，已知角，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高．（用两种不同的方法） 3．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知． (1)尺规作图：求作点P，使，且．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，为锐角，△ABC的面积为15，则点P到的距离为________． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知△ABC，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ①作△ABC的高，垂足为D； ②在上求作点E，使． (2)在（1）的条件下，当，时，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 5．（2025·江苏宿迁·一模）“相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系．如图是我们研究三角形相似时常见的一类图形． 如图1， 在中， D为上一点， ， 又因为是 和的公共角， 可得． 【初步应用】： 如图2， 在中， ， ， 垂足为D．若， ， 则的长为_____． 【变式练习】： 如图3， 在中， ， ， 点D在上， 点E在上， 且，， 求的长． 【操作思考】： 如图4，已知直线l，点D在线段B上．请利用无刻度直尺和圆规，在l上作一点C，使得(要求∶ 不写作法， 保留作图痕迹)． 6．（2025·江苏淮安·一模）（1）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．在△ABC的边上找到一点，连结，使得的面积与的面积之比为，（请用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹）． （2）如图，四边形为菱形，，点是边的中点，用尺规作图分别在边上找一点，在上找一点，使最小，（请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹．） 7．（2025·江苏徐州·一模）2024年徐州中考数学试卷大家一定都做过，其中第27题的尺规作图，体现重要的数学解决问题方法：分析问题，无中生有，进行数学模型构建．汤老师对此题进行了变式处理，请按要求完成下列问题． (1)如图1，在△ABC中，在边上，且，求证：； (2)如图2，在△ABC中，若，于点，，求； (3)图3，已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规在直线上找所有的点，满足． 8．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，E是边上的一点，点P在边上，且满足． (1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； (2)若，试确定的长． 9．（2025·江苏徐州·一模）如图，已知△ABC，其中，请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． (1)在图1中求作点，使得：点在边上，且； (2)在图2中求作Rt，使得：点、在上，且的周长等于的长． 10．（2025·江苏无锡·模拟预测）请回答下列问题： (1)已知：和内一点．求作：点，使，且点到的两边，的距离相等． (2)如图2，已知及点，，求作点，使得到，的距离相等，且． 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，．    (1)尺规作图：在的上方作一点，使得，并且最大； (2)求（1）中△ABC的面积． 12．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知，用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写做法）    (1)如图1，在边上作点P，使； (2)如图2，在边上作点P，使． 题型七：尺规作图---作等腰三角形（解答）（高频考点） 1．（2024·江苏无锡·二模）尺规作图 在中，，，若点D是斜边上一个动点，点K在上，点B、点D、点K组成的三角形为等腰三角形， (1)连接，使，请用尺规作图的方法，作出点K，点D的具体位置． (2)在（1）的条件下，求此时的面积． 2．（2024·江苏南京·一模）如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1)△ABC的底边长为，底边上的中线为； (2)△ABC的底边长为，腰上的中线为． 3．（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求： （1）用无刻度的直尺和圆规作等腰△ABC，使底边，腰； （2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明； （3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图． 4．（2023·江苏南京·一模）如图，已知线段a．求作△ABC，使，，且分别满足下列条件： (1)． (2)△ABC的周长等于a． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 5．（2024·江苏南京·一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)． (1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h； (2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h． 题型八：尺规作图---作圆（解答）（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，正方形的边长为． (1)尺规作图：作，使它经过点A、B，并与边相切；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的半径． 2．（2024·江苏常州·模拟预测）在△ABC中，，，，点在斜边上． (1)作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； (2)若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为 ； (3)设（1）中所作的与交于点，与交于点，线段的最小值为 ． 2．（2024·江苏南京·三模）如图：已知直线，及同侧两点．用直尺与圆规作图． (1)在图（1）中作出点，使（保留作图痕迹）； (2)在图（2）中作出点，使（保留作图痕迹，简要说明画法） 3．（2024·江苏无锡·二模）如图点为△ABC中边上的一点， (1)请利用无刻度直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法） ①过点D作于点E； ②在上画出点，使得（标出所有符合条件的点）； (2)若△ABC为等边三角形且当满足（1）中条件的点有且只有一个时，则_________． 4．（2024·江苏泰州·三模）AB是的切线，切点为B，交于点，若． (1)如图1，用圆规和无刻度的直尺在上求作一点，使得为的切线．（圆规只限使用一次，并保留作图痕迹） (2)如图2，在（1）的条件下，连接与相交于点，求线段、与弧围成的图形的面积．（结果保留根号和） 5．（2024·江苏南京·二模）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联……． 【模型认识】 （1）如图①，在四边形中，点E在边上，连接，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）与满足的数量关系为______； 【初步理解】 （2）如图②，在△ABC中，，，点D在△ABC外，，连接并延长到点E，，点N在上，交于点M，，求证：． 【问题解决】 （3）如图③，在△ABC中，，点D在△ABC外，D到A的距离等于，过点D作直线l，使l分别交于点，且平分△ABC的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 6．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 7．（2024·江苏常州·模拟预测）在△ABC中，，点D在斜边上． (1)作出经过点C，且与边相切于点D的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； (2)若（1）中所作的的圆心O落在边上，则的半径长为 ； (3)设（1）中所作的与交于点E，与交于点F，当点D在斜边上移动时，线段的最小值为 ． 8．（2023·江苏宿迁·三模）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．    (1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点P是其中一个切点； (2)点P是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切； (3)【不可及点的作图】如图3，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线． 9．（2023·江苏南京·二模）命题：如果在一个四边形中满足一组对角相等，一组对边也相等，那么这个四边形是平行四边形．请问这个命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请你证明；如果是假命题，请你利用直尺和圆规在下图的基础上画出反例，并写出必要的文字说明．    题型九：格点作图题（解答）（高频考点） 1．（2024·江苏宿迁·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，将线段绕点A顺时针旋转后得到线段． (1)连接，请判断的形状，并说明理由； (2)请在线段上作一点G，并连接，使得（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法）． 2．（2023·江苏淮安·二模）如图，A、B、C是正方形网格的格点，请按要求仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留痕迹：    (1)作△ABC的高； (2)点P是上的一点，作点P关于直线的对称点Q． 3．（2023·江苏盐城·一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．    （2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）    4．（2023·江苏无锡·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，作出一个满足条件的格点，使得射线平分； (2)在图中，画一个与△ABC面积相等，且以为边的，、均在格点上； (3)在图中，在边上找一点，连接，使面积是面积的倍． 5．（2023·江苏盐城·三模）如图，在的正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．    (1)在图1中作出边上的点，使得； (2)在图2中作出边上的点（不与点重合），连接，使得； (3)在图3中作出边上的点，使得． 6．（2023·江苏宿迁·模拟预测）用无刻度直尺作图：    (1)如图1，在上作点E，使； (2)如图1，点F为与网格的交点，在上作点D，使； (3)如图2，在上作点N，使； (4)如图2，在上作点M，使． 7．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图. (1)在图①中，作的角平分线； (2)在图②中，在边上找一点D，使得． 8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，分别在一个单位长度网格线上，皆不为中点； (1)仅用直尺作出图一的中点； (2)仅用直尺作出图二的中点． 9．（2024·江苏淮安·一模）如图，在方格纸中，A、B、C三点在圆上，且均为格点，点F是圆与格线的交点，仅用无刻度的直尺按要求完成做图． (1)请在图①作出该圆的圆心O (2)请在图②优弧上确定一点P，使 10．（2024·江苏泰州·二模）如图是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC中，A，B，C三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图1上，利用网格图，过点C作的切线； (2)在图2的圆上作到一点D，使得． 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． ①在图（1）中，过点A画的平行线； ②在图（2）中，画△ABC的中线； ③在图（3）中，画△ABC的角平分线． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏数学中考预测专项突破 专题05 几何与尺规作图综合（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题几何与尺规作图综合分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：解答题第24题：此题主要考查的是利用尺规作图作角平分线问题，分值8分，难度中等； ❆徐州卷：解答题第27题：此题主要考查的是尺规作图与几何的综合应用，分值9分，难度中等； ❆常州卷：解答题第26题：此题主要考查的是尺规作图与几何的综合应用，分值10分，难度中等偏上； 题型一：几何与尺规作图的结合----角平分线（选填）（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，在△ABC中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】过点D作于点G，根据题意得，利用角的平分线性质，三角形面积性质解答即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，三角形面积的性质，直角三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点G，根据题意，得平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 故选：C． 2．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知钝角，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作，垂足为点，过点作，交于点．若，，则的长为（　　） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，平行线的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质等知识．如图，过点作于点．首先证明，推出，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分， ， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 3．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知钝角，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作，垂足为点，过点作，交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，平行线的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质等知识．如图，过点作于点．首先证明，推出，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分， ， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 4．（2023·江苏南通·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，则点的坐标为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，如图所示，由尺规作图得到平分，由三角形全等的判定得到，从而求出线段长，设，则，由勾股定理得到方程求解得到，再根据等面积法求出，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示：    由作图得：平分， ， ，， ， ，， ，，， ， ， 设，则， ，即，解得， ，即，解得， ， ， ， 故选：C． 5．（2023·江苏宿迁·三模）如图，直线相交于点O，，根据图中的尺规作图痕迹，则的度数是（    ）    A．64° B．56° C．58° D．45° 【答案】C 【分析】通过对图中作图痕迹观察得到是平角的角平分线， 是的角平分线，故而再通过对顶角相等算出的度数，最终得出答案． 【详解】解：由题意得 是平角的角平分线， 是的角平分线，， ，， ． 故选：C． 6．（2023·江苏苏州·三模）如图，在△ABC中，，，按以下步骤作图：第一步，一点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于、两点；第二步，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；第三步，作射线，交于点．则的长为（    ）    A． B．8 C． D．10 【答案】A 【分析】根据作图痕迹得知为的平分线，然后根据等腰三角形的性质得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据作图痕迹得知为的平分线，又，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， 故选：A． 7．（2023·江苏·模拟预测）如图，△ABC中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交于点D，已知，则的长为（　　）    A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】过点D作于点M，于点N，过点B作于点P，利用面积法求得，据此计算即可求解． 【详解】解：过点D作于点M，于点N，过点B作于点P，    由作图痕迹可知，为的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 8．（2023·江苏苏州·一模）如图，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴， 由题意可得，是的平分线， ∴， ∴． 故选：C． 9．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平行四边形中，．利用尺规在上分别截取，使；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内，交于点G；作射线交于点H．若，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，过B作于P，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过B作于P，    ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：， 10．（2024·江苏盐城·二模）如图，在中，以点为圆心，为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，若，则，两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．连接，，，设与交于点，由作图可知，即四边形为菱形，则可得，，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，设与交于点， 由作图可知，， 即四边形为菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， 即，两点之间的距离为， 故答案为：． 11．（2024·江苏扬州·三模）如图，在中，以点为圆心，为半径作弧，分别交射线，于点，，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，若，则，两点之间的距离为 . 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定及性质，勾股定理等知识点，根据尺规作图的方法判定出菱形是解题的关键． 根据题目所给的作图信息判定出四边形为菱形，再根据菱形的性质建立勾股定理的等式求解即可． 【详解】解：连接，，，设与相交于点，如图所示： 由作图可得，， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， ∴； 故答案为：． 12．（2024·江苏宿迁·二模）在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．如果，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作角平分线，含角的直角三角形的性质，根据题意得出平分，根据，进而可得，，根据含角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：依题意，平分， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． 13．（2024·江苏淮安·一模）如图，中，，，进行如下操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以点 M、N为圆心，以适当的长度为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点E，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了尺规作图——作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边等，根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到，的长，进而得到的长．理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 14．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行四边形的性质和勾股定理的逆定理．利用基本作图得到平分，则，再根据平行四边形的性质得到，，，接着证明得到，所以，然后利用勾股定理的逆证明证明为直角三角形，，则，最后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ∴，，， ， ， ， ， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， ∵， ， 在中，． 故答案为：． 15．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，是△ABC的高，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点；分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧交于点；作射线交于点．若，，，则的长 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．先证明△ABC为等腰直角三角形，则，，再利用基本作图得平分，所以点E到的距离等于1，接着利用面积法得到，于是可计算出，则，从而得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵为△ABC的高， ∴，， 由作法得平分， ∴点E到的距离等于E点到的距离为， 即点E到的距离等于1， ∵， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二：几何与尺规作图的结合---垂直平分线（选填）（高频考点） 1．（2024·江苏徐州·三模）如图，在△ABC中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交于点D、E，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先由，得，由作图可知为的垂直平分线，则，进而得，由此可求出的度数，进而可对选项①进行判断；由为的垂直平分线得，则，证得，由此可对选项②进行判断；设，，则，，证和相似得，即，整理得，由此解出，则，由此可对选项③进行判断；由得，由此可对选项④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：，， ， 由作图可知：为的垂直平分线， ， ， ， ∴； 故选项①正确， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选项②正确， 设，，则 则， ， ，， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ∵ ∴ 故选项③正确， ， ， ， 故选项④正确， 故选：D 2．（2024·江苏连云港·一模）要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交于点F，D，E；以F点为圆心，以D、E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线，交边与点H．则即为所求； 乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D，E，F，G；分别作直线和，直线和分别交于点M，N；连接．则即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，作线段垂直平分线，相似三角形的判定； 由甲作图可知，结合可得；由乙作图可得，结合可得． 【详解】解：由甲作图可知， ∵， ∴； 由乙作图可知垂直平分，垂直平分， ∴， 又∵， ∴； ∴甲、乙两人的作法都正确， 故选：A． 3．（2023·江苏南通·二模）如图，在△ABC中，，．按照如下步骤作图： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，交点； ③以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点； ④连接． 下列说法错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据题意可得：，是的垂直平分线，从而可得，进而可得，然后利用角的和差关系可得，从而利用三角形的外角性质可得，进而可得，再根据等量代换可得，从而可得，进而可得，即可判断A、B，然后证明，从而利用相似三角形的性质可得，即可判断C，根据等腰三角形的性质相似三角形的性质，可得即可判断D． 【详解】解：，， ， 由题意得：，是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ，故A正确； ， ， ， ，故B正确； ，， ， ， ，故C正确； 设，则， 解得：(负值舍去) 又∵ ∴，故D选项错误， 故选：D． 4．（2023·江苏扬州·二模）尺规作图：如图（1），在△ABC中，，，在边上求作一点P，使．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据尺规作垂直平分线和作一个角等于已知角，垂直平分线的性质，直径所对的圆周角是直角逐项求解即可． 【详解】①中，， ∴； ②中，由尺规作图可得； ③中，根据线段的垂直平分线的性质可得， ∴； ④中，∵直径所对的圆周角是， ∴． ∴正确的有4个． 故选：A． 5．（2023·江苏宿迁·二模）如图，在△ABC中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】勾股定理得出，根据作图可知，垂直平分，根据，求得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据作图可知，垂直平分， ∴，，， ∴， 即， 解得： ∴， 故选：D． 9．（2024·江苏南京·一模）如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 【答案】58 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作角平分线，作垂线，利用矩形的性质，中垂线和角平分线和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由作图可知：，， ∴， ∴； 故答案为：58． 10．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在△ABC中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，线段垂直平分线的性质和尺规作图，先由三角形内角和为180度求出，由作图方法可知垂直平分，则，可得，则． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2023·江苏苏州·二模）如图，在△ABC中，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，分别交、于点E、F，则的长度为 ． 【答案】 【分析】由题意得，，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明，可得，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，直线为线段的垂直平分线， ，，， ， ， ， ，， ， ， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 12．（2023·江苏苏州·一模）如图，在半径为、圆心角为120°的扇形中，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，直线与相交于点，连接，则由、、围成的阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】由题意知，为线段的垂直平分线，如图，连接交于，证明，根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，为线段的垂直平分线，如图，连接交于， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三：尺规作图---作一个角等于已知角（解答）（高频考点） 1．（2025·江苏徐州·一模）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，图2为其平面示意图．在操作时，通过人力或借助畜力、水力等动力，使碓杆一端的碓头点抬高，此时碓杆绕着支点转动．当碓头被抬升到一定高度后，释放动力，碓头在重力作用下快速落下，砸向放置在碓臼中的谷物．已知于点与水平线相交于点于点． (1)若分米，分米，，求此时点到水平线的距离（结果精确到1）．（参考数据：） (2)当点下落至时水平线上时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)4分米(2)见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，尺规作图等知识，解题的关键是： （1）延长交l于D，过B作于E，在中，根据正切的定义求出的长度，进而求出的长度，在中，根据正弦的定义求出的长度即可； （2）连接，以C为顶点，在的下方作，然后在截取即可． 【详解】（1）解：延长交l于D，过B作于E， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， ∴点到水平线的距离为4分米； （2）解：如图，点即为所求， ． 2．（2025·江苏南京·一模）如图，已知和线段，用直尺和圆规作等腰三角形，使它的底角为，底角的平分线为．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定，作，作平分，在射线上截取线段，使得，作交于点T，以D为圆心，为半径画弧，交于点B，连接，延长交于点C，△ABC即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 方法：作，作平分，在射线上截取线段，使得，作交于点T，以D为圆心，为半径画弧，交于点B，连接，延长交于点C，△ABC即为所求． 3．（2025·江苏扬州·一模） 在数学课上，李老师给出了一道作图题： “如图1，点P为内一点，求作一条过点P的直线，分别交射线、射线于点E、F，且．”这道题中要作的直线需同时满足以下三个条件：①过点P；②E、F分别在射线上，③．经过尝试，同学们都觉得有些困难．于是，李老师提示同学们采用“弱化条件”的策略去思考问题．即先作出满足部分条件的直线（此时点、已满足分别在射线上和这两个的条件，如图2所示），再通过观察发现要作的与已作的互相平行． (1)根据李老师的提示，在图1中用尺规完成李老师给出的问题；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图3，为的高线，用尺规作一个圆，使该圆经过点P，并且与边和都相切．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）提醒：在答题卡上作图痕迹需要加粗． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】题目主要考查作图，角平分线、垂线的作法，圆的性质，平行线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点，熟练掌握基本作图方法是解题关键． （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点C，，然后以点C为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点，连接，，然后以点P为顶点，为角的一边作，确定，然后延长交于点F即可； （2）先作的角平分线，在上任意取一点D，作于点F，以点D为圆心，为半径作圆D，圆D交于点G，连接，以点P为顶点，为边作交于点M，以点M为圆心，为半径的圆即为所求． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）根据题意，先作的角平分线，在上任意取一点D，作于点F，以点D为圆心，为半径作圆D，圆D交于点G，连接，以点P为顶点，为边作交于点M，以点M为圆心，为半径的圆即为所求． 4．（2025·江苏南通·模拟预测）菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），把△ADE沿直线折叠，与对应． (1)请用无刻度直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在的延长线上，求的长； (3)当与菱形的边垂直时，求的长． 【答案】(1)见解析(2)3(3)或 【分析】（1）利用尺规作图作，在上截取，连接，即为所求； （2）根据菱形的性质可得， ，由折叠可知，，，，在中，解直角三角形得，，即可求解； （3）根据菱形的性质可得，，，由折叠可知，，，，，可得， 分两种：当时，当时，分别解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）菱形中，，， ∴， 由折叠可知，，，， ∵点在的延长线上， ∴， 在中，， ∴，， ∴； （3）菱形中，，，， 由折叠可知，，，，， ∴， 当时，垂足为， 在中，，则， ∴， 在中，， ∴； 当时，垂足为，过点作， ∵， ∴，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，设，， ∴， 又∵， ∴，则， ∴； 综上，的长为或． 5．（2025·江苏扬州·一模）（1）如图1，边中点为P，在边上求作一点D，使得的面积与的面积比为；   （2）如图2，边上有一点Q，在延长线上求作一点E，使得的面积与的面积相等； （3）如图3，边上有一点R(异于中点），在边上求作一点F，使得的面积与的面积比为． 要求：①用无刻度的直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．     【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】题目主要考查作图，相似三角形的判定和性质，理解题意，根据题意分别作出相应图形是解题关键． （1）根据题意，作线段的垂直平分线交于点D，连接，利用相似三角形的判定和性质即可得出面积比； （2）作，连接并延长交于点E，根据全等三角形的判定得出，即可确定满足条件； （3）先作线段的垂直平分线交于点D，连接，作线段的垂直平分线交于点E，作交于点F即为所求，利用平行线间距离相等及相似三角形的判定和性质即可得出面积比． 【详解】解：（1）根据题意，作线段的垂直平分线交于点D，连接即可； （2）作，连接并延长交于点E，根据全等三角形的判定得出，即可确定满足条件； （3）先作线段的垂直平分线交于点D，连接，作线段的垂直平分线交于点E，作交于点F即为所求． 6．（2024·江苏南京·模拟预测）已知：△ABC中，为边上的一点． (1)如图①，过点作交边于点，若，，，求的长； (2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)如图③，点在边上，连接、，若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)2(2)见解析(3)相切；理由见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键． （1）由题意易得，则有，根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （2）作交于点，作，射线交于点，则点即为所求； （3）作交的延长线于点，连接，证明四边形是等腰梯形，推出，由，推出，推出，然后问题可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：①作交于点， ②作，射线交于点，则点即为所求； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴; （3）解：直线与相切，理由如下： 作交的延长线于点，连接，如图， ， 四边形是等腰梯形． ． 的面积等于， ， ， 是的半径， 直线与相切． 6．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，C为线段外一点． (1)在图1中，求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若在（1）的四边形中，相交于点O，则与的面积比为 ．（可用图2作图分析，不要破坏（1）中作图） 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查作图—复杂作图，相似三角形的判定和性质，关键是掌握基本作图：作一个角等于已知角；相似三角形面积的比等于相似比的平方． （1）由基本作图：作一个角等于已知角，即可作出，在上截取，即可得到所要作的四边形． （2）由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可计算． 【详解】（1）解：如图1，四边形即为所求作的四边形， （2）解：如图2， ， ， ， ， 与的面积比为． 故答案为：．． 7．（2024·江苏盐城·三模）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作出线段的中点； (2)作出线段的三等分点． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，掌握作一个角等于已知角和线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）作出线段的垂直平分线交于点C即可； （2）作出射线，在射线上分别截取，连接，再作出，交于点D即可． 【详解】（1）如图，点C即为所作， （2）如图，点D即为所作， 8．（2024·江苏南京·三模）如图，已知和线段m，利用直尺和圆规作一个直角三角形，分别满足下列条件（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1)直角三角形的斜边等于m，且有一个内角等于； (2)直角三角形周长等于m，且有一个内角等于． 【答案】(1)见详解(2)见详解 【分析】本题考查了尺规作图，作一角等于已知角，角平分线，线段的垂直平分线，作一线段等于已知线段，熟练掌握各种作图方法是解题的关键． （1）作射线，在射线上截取，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作，以点B为角的顶点，作，延长交于点A，连接，则△ABC即为所求； （2）作射线，在射线上截取，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作，记的垂直平分线交于点F，以点F为圆心，为半径作，作的角平分线，以点D为角的顶点，作，延长交于点A，连接并作其垂直平分线交于点C，连接，则△ABC即为所求． 【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求： 作射线，在射线上截取，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作，以点B为角的顶点，作，延长交于点A，连接，因为为直径，所以，故△ABC即为所求； （2）解：如图，△ABC即为所求： 作射线，在射线上截取，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作，记的垂直平分线交于点F，以点F为圆心，为半径作，作的角平分线，以点D为角的顶点，作，延长交于点A，连接并作其垂直平分线交于点C，连接，则△ABC即为所求． ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设， 则， 在中，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故△ABC即为所求． 9．（2024·江苏宿迁·三模）如图，△ABC为锐角三角形．    (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了作图—复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）根据要求作出图形即可； （2）作于，求出、，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求，   ； （2）解：如图，作于，   ， 在中，，， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ． 10．（2024·江苏盐城·二模）如图，△ABC中，点为的中点． (1)过点作；（尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法．） (2)在线段上任意找一点（不与重合），连接并延长，交于点连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作即可； （2）利用证明，得出，进而可以证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求， ； （2）证明：如图所示： ， ∵ ∴ ∵点为的中点 ∴ 在和中 ， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 11．（2023·江苏盐城·一模）如图，在△ABC中，点D为边上中点 (1)尺规作图：作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求证：四边形为矩形 【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【分析】本题考查作等角，三角形全等的判定与性质，矩形的判定： （1）根据判定画图即可得到答案； （2）连接，根据，得到，证明得到，得到四边形为平行四边形，结合即可得到证明； 【详解】（1）解：由题意可得，图形如图所示， ∴射线为所作射线，且延长交射线于点E； （2）证明：如图2，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 题型四尺规作图---作三角形（解答）（高频考点） 1．（2025·江苏淮安·一模）如图1，在中，为边上一点． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上找一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)作图见解析(2) 【分析】（1）根据题意，分析出在上找一点，使，就是以为边尺规作图作等边三角形，延长，以点为圆心、为半径画弧，交射线于点，使，再以点为圆心、为半径画弧，交边于点，在中，，，即可得到； （2）过点作，如图所示，在和，结合直角三角形性质及勾股定理求出相关角度及边长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，若，如图所示： ，且， 即在上找一点，使，就是以为边尺规作图作等边三角形， 点即为所求； （2）解：过点作，如图所示： 在中，，，则， 设， 在中，，则， 由勾股定理可得， ，， ，解得， 则． 2．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，． 例如：如图①，先将△ABC绕点逆时针旋转，得到△A1BC1，再将△A1BC1以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，． (1)如图②，△ABC经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，△ABC经过，逆，得到，△ABC经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④， 在△ABC中， 若△ABC经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形． ①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； ②直接写出的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①见解析；② 【分析】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，，进而作出图形； （2）根据和位似，与位似得出，，，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形； （3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法． 【详解】（1）解：如图1， 1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； （2）证明：和位似，与位似， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得：， 四边形是平行四边形； （3）解：如图2， 1．以为边在上方作等边三角形， 2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接， 3．作，，延长，交于，连接，， 则四边形是正方形， 证明：由上知：，， ，，，， ， 要使是正方形，应使，， ，， ， ， ， 作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法； ，，， ． 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）【问题情境】如图1，以点A为顶点，以射线为一边，作角．作法：在射线上任取一点C，过点C作，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，作射线，则，尺规作图可通过构造特殊图形，利用其边、角的性质完成作图． 【探究思考】如图2，以点A为顶点，以射线为一边，请利用无刻度的直尺和圆规作角（保留作图痕迹，不写作法） 【迁移应用】如图3，请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点P，使（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见详解 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图； （1）在射线上取点E，以为直径作圆O，然后以E为圆心，长为半径作弧交圆O于点F，作射线，则即为所作； （2）过点A作线段的垂线并在的上方截取，过点B作线段的垂线并在的下方截取，连接交于点P，则点P 即为所作． 【详解】探究思考： 迁移应用： 5．（2024·江苏无锡·一模）如图，△ABC中，． (1)尺规作图：作矩形，使分别在上，在上，且； (2)若，设第（1）问中所作的矩形的面积为，△ABC的面积为，则______． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作于，在的左侧作等边三角形，交于，作于，以为圆心，为半径作弧交于点，以为圆心，为半径作弧交于点，连接，，四边形即为所求； （2）设的面积为，求出△ABC的面积，矩形的面积，可得结论． 【详解】（1）解：如图，矩形即为所求， 由作图可得：，， ， ，， ， ； （2）解：如图，连接，，设△BDE的面积为， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 的面积为，的面积的面积，矩形的面积为， 的面积为， ． 6．（2024·江苏南京·模拟预测）已知和线段l，线段h．使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形（写出作法，保留作图痕迹）． (1)求作△ABC，使得，周长等于线段l； (2)求作△ABC，使得，一边上的高等于线段h，周长等于线段l． 【答案】(1)见详解(2)见详解 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，过已知点作已知直线的垂线等基本作图． （1）作，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，△ABC即为所求； （2）作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，△ABC即为所求． 【详解】（1）解：作，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图： △ABC即为所求； 理由：由作图可知，，， 是的垂直平分线， ， ， ， 的周长等于线段， ， 满足条件； （2）解：作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图： △ABC即为所求． 理由：由作图可知，， 到的距离等于， 同（1）可知△ABC的周长等于线段，， 满足条件． 7．（2025·江苏盐城·一模）已知：如图，为正方形的对角线． (1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查作图—复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）作的角平分线即可． （2）根据角平分线的性质可得，再由是等腰直角三角形，可设，则，然后在中，根据勾股定理可得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． 由（1）得∶平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 题型五：尺规作图---作角平分线（解答）（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）如图，中，． (1)尺规作图：请在图1的内作一点P，使点P在以为直径的圆上，且点P到的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (2)在（1）的条件下，若，，求直径、弦、围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)图见解析(2) 【分析】（1）画出以为直径的圆以及的平分线，取其交点即可； （2）连接，过点P作于点D，根据特殊角的三角函数值得出，再根据角平分线的定义知，再根据圆周角定理得，然后根据解直角三角形的知识得，最后根据直径弦围成的封闭图形的面积为即可求解． 【详解】（1）解：如图1，先作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，再作的平分线，交于点P， 则点P即为所求． （2）解：如图，连接，过点P作于点D， ∵，，， ∴， ∴． 由（1）知，，为的平分线， ， ∴， ， ∴直径、弦、围成的封闭图形的面积为：．     2．（2025·江苏扬州·一模）在中，． (1)求作，使得圆心在边上，经过点且与边相切于点； (2)已知，，求边的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质、平行线分线段成比例，勾股定理等知识，正确确定圆心的位置是关键． （1）作的角平分线交与D，过D点作，交与O，以O为圆心，以为半径作圆即可； （2）设圆的半径为r，利用勾股定理即可求出，利用切线性质可知，从而得到，从而求出结果． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：设圆的半径为r， 为的切线， ， ，即 解得：， ， ， ， ． 3．（2025·江苏盐城·一模）如图，中，， (1)尺规作图：请在图1的△ABC内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则直径、弦围成的封闭图形的面积为_______．（直接写出答案，可用备用图分析） 【答案】(1)作图见解析(2) 【分析】（1）先作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心， 的长为半径画圆，再作的平分线，交于点，则点即为所求； （2）连接，过点作于点 ，由题意可得，，，由（1）知，为的平分线，则，，进而可得，则可得直径、弦、围成的封闭图形的面积为． 【详解】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：连接，过点作于点，如图所示： ，， ， ， 由（1）知，为的平分线， ， ， ， 直径、弦围成的封闭图形的面积：， 故答案为：． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，在直角三角形中，． (1)利用无刻度的直尺和圆规，按要求在图（1）中作图；（不写作法，保留作图痕迹，并标记字母） ①作的垂直平分线l； ②在边上作一点M，使A关于的对称点落在l上． (2)在（1）的条件下，若，则 ．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查尺规作图作垂直平分线，角平分线，勾股定理等知识点． （1）根据尺规作图作垂直平分线的步骤，作的垂直平分线，再作，交直线于，然后作的角平分线，交于，即可求解； （2）令直线交于，由作图可知，直线垂直平分，得，由勾股定理可得，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：直线和点即为所求； （2）令直线交于， 由作图可知，直线垂直平分， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）（1）已知线段OM，，，用尺规作满足条件的点 （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得为等边三角形，请提供两种不同的作法． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质． （1）先分别以O、M点为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点A、B，接着作和的平分线、，然后以M点为圆心，为半径画弧交、于点N、，则点N、满足条件； （2）方法一：先过A点作于H点，再以点A、H为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件； 方法二：先过A点作于H点，再作的垂直平分线，接着以点A圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件． 【详解】解：（1）先分别以O、M点为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点A、B，接着作和的平分线、，然后以M点为圆心，为半径画弧交、于点N、，如图1，点N、为所作； 理由：由作法可知， 是等边三角形， 平分， ， ， 此时点满足题意，同理可证明点满足题意； （2）方法一：先过A点作于H点，再以点A、H为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件； 方法二：先过A点作于H点，再作的垂直平分线，接着以点A圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点D，接着作的平分线，交直线l于B点，然后截取，则满足条件． 如图2、3，△ABC为所作． 理由： 方法一：由作法可知，， 是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 方法二：是的垂直平分线， ， ， ， 中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）： ①在上取一点，使点到的距离等于线段的长； ②在上取一点，使． (2)在（1）的条件下，若，，则长为_________． 【答案】(1)①见解析   ②见解析(2) 【分析】（1）①作的角平分线，交于点，则点即为所求作，理由如下：由角平分线的性质定理可知，点到的距离等于线段的长；②作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心、或为半径画圆，交于点，连接，交于点，则点即为所求作，理由如下：由直径所对的圆周角是直角可得，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，即； （2）过点作于点，则，由（1）得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，于是可得，由（1）得是的角平分线，再结合，可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，则，由含度角的直角三角形的性质可得，由此即可求出的长． 【详解】（1）解：①如图，作的角平分线，交于点，则点即为所求作， 理由如下： 由角平分线的性质定理可知，点到的距离等于线段的长； ②如图，作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心、或为半径画圆，交于点，连接，交于点，则点即为所求作， 理由如下： 为的直径， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点， 则， 由（1）得：， ， ， ， ， ， 由（1）得：是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 7．（2024·江苏南京·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（△ABC）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在△ABC的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在△ABC的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②i）见解析；ii）见解析 【分析】本题考查了作三角形的内切圆，等边三角形，角平分线； （1）作角平分线的交点，作三角形的内切圆； （2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点； ②i）如图⑤或图⑥，即为所求．思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E；ii），分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上． 【详解】（1）解：如图①，⊙O即为所求，    （2）解：①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点，作图如下： ②i）如图⑤或图⑥，即为所求． 思路1：作△ABC的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，以O为圆心，为半径作． 思路2：作△ABC的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E，可得；在上截取，可知；过点N作，交于点O，以O为圆心，为半径作． ii）如图⑦，，分别是△ABC的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上（点P不与G，H重合）．    8．（2024·江苏无锡·二模）中，，， (1)请在图（）中用无刻度的直尺和圆规作图：在边上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若，取的中点，连接交于点，则______． 【答案】(1)作图见解析；(2)． 【分析】（）作的角平分线，交于点，因为，，所以，可得，进而可得，得到，又由直角三角形的性质可得，即可得到，故点即为所求； （）先证明为等边三角形，得到，再根据等边三角形的性质可得，，利用勾股定理得到，即得，再根据即可求解； 本题考查了角平分线的画法和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（2024·江苏盐城·一模）如图将矩形纸片折叠，使得点落在边上的点处，折痕经过点，与边交于点． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作点，（作图时，不写作法，保留作图痕迹，作好后请用黑色水笔描黑）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，尺规作图—作角平分线，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）以点C为圆心，为半径画弧，交于点M，连接，作的角平分线，交于点N，则M、N即为所求；； （2）连接，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理得，则，设，则．在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，以点C为圆心，为半径画弧，交于点M，连接，作的角平分线，交于点N，点，即为所求． （2）解：如图，连接， 由折叠可得，，， 四边形为矩形， ，，， 在中，由勾股定理得，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的长为3． 10．（2024·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，． (1)请用直尺(不带刻度)和圆规作图．要求：保留作图痕迹，不写作法． ①在上取一点，使； ②作的平分线交于点； (2)在(1)所作的图形中，交于点，连接．若，且，求的长．(如需画草图，请使用备用图) 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了作角平分线，作线段，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定； （1）根据作线段以及作角平分线的方法按照题意作图，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质得出，进而设，则，证明得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）在中，， ．又平分， ， ， ．又， ． ． ， ， 设，则． 又 ，即平分 、分别是角平分线， ，又， ， ， 即， 故，则． 11．（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，． (1)请在图（1）中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线交于点，在上求作点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则 （如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据尺规作角平分线和作一个角等于已知角的方法画图即可； （2）过点D作于G，过点E作于F， 分别证明和得到，再分别证明和得到，然后利用正切定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，射线、点E即为所求； （2）解：如图，过点D作于G，过点E作于F，则， ∵平分，，， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵，， ∴，又， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 题型六：尺规作图---作垂线（解答）（高频考点） 1．（2025·江苏盐城·一模）如图，在△ABC中，∠B=90°，请利用无刻度直尺和圆规，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）． (1)过点B作的垂线，垂足为点M； (2)过点A作一条射线分别交线段、边于点E、点F，且使得； (3)在（1）、（2）条件下，若，，求的长． 【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3) 【分析】本题考查的作垂线，作角平分线，锐角三角函数的应用； （1）作出斜边边上的高交于点M即可； （2）作的角平分线交线段、边于点E、点F即可； （3）过作于，证明，再求解，，再利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：线段即为所求； 理由如下： 由作图可得：，， ∴， ∴， 由作图可得：， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过作于， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 2．（2025·江苏·模拟预测）如图，已知角，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高．（用两种不同的方法） 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，通过得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角． （1）根据给定的线段长度作出底边，分别以、为顶点，作两底角都等于的角，这两个角的另一边相交于点，即得所求； （2）方法：先作出的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，在角平分线上截取，过点作，分别交、于点、点，即得所求；方法：先作一个两底角为的等腰三角形，作底边上的高，在上截取，过点作，分别交、于点、点，即为所求． 【详解】（1）解：作法：①作， ②在上取点，使， ③在的上方作，交于点， 则如图，即为所求； （2）作法：①原图中，在角的一边上作一个与相等的角， ②原图中，延长已知角的另一条边，得到，即， ③作， ④作的角平分线， ⑤在上取点，使， ⑥过点作，分别交、于点、点， 则如图，即为所求； 作法：①作一条线段， ②分别以、为顶点，作，，交于点， ③过点作于， ④在上截取，使， ⑤过点作，分别交、于点、点， 则如图，即为所求． 3．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知． (1)尺规作图：求作点P，使，且．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，为锐角，△ABC的面积为15，则点P到的距离为________． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）利用尺规作图作出的垂直平分线，过点作的垂线，两线相交于点P即可； （2）利用三角形面积公式求得，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理列式计算可求得，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点P即为所作， （2）解：由作图知是的垂直平分线，则， 如图，， ∵，即， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点P到的距离为， 故答案为：． 4．（2025·江苏无锡·一模）如图，已知△ABC，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ①作△ABC的高，垂足为D； ②在上求作点E，使． (2)在（1）的条件下，当，时，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)①见解析 ②见解析(2) 【分析】（1）①以C为圆心，以与  有两个交点的为半径，与相交，分别以交点为圆心，以大于两交点之间的距离为半径画弧，二弧交于一点，过交点，点C作直线与交于点D，解答即可； ②以为直径，交于点E，连接，则． （2）根据，得到，证明，得到，设，则，根据勾股定理，整理，得，解得（舍去），解答． 【详解】（1）①以C为圆心，以与有两个交点的长为半径画弧，分别以交点为圆心，以大于两交点之间的距离为半径画弧，二弧交于一点，过交点，点C作直线与交于点D， 则即为所求； ②解：作的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作，交于点E，连接 则， 故点E即为所求． （2）解：∵为三角形的高，为直径，，， ∴，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∵为三角形的高，为直径，，， ∴，， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·江苏宿迁·一模）“相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系．如图是我们研究三角形相似时常见的一类图形． 如图1， 在中， D为上一点， ， 又因为是 和的公共角， 可得． 【初步应用】： 如图2， 在中， ， ， 垂足为D．若， ， 则的长为_____． 【变式练习】： 如图3， 在中， ， ， 点D在上， 点E在上， 且，， 求的长． 【操作思考】： 如图4，已知直线l，点D在线段B上．请利用无刻度直尺和圆规，在l上作一点C，使得(要求∶ 不写作法， 保留作图痕迹)． 【答案】[初步应用]；[变式练习]的长为 ；[操作思考]图形见解析． 【分析】[初步应用]先证明，得到，可得，再在利用勾股定理即可求出的长； [变式练习]过点作交于点，先证明得到，设，表示出的长，再通过证明得到，解方程求出的值，结合题意即可求出的长； [操作思考]根据作图要求需作，则需要作出，利用尺规作垂线的方法作出交以为直径的圆于点，则有 ，由相似三角形的性质可得，最后利用圆规作出交直线于点，即可解答； 【详解】解：[初步应用]：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 即 ， ∴， 设， 则， 在中， ， ， 解得 (负值舍去) ， ∴的长为 ， 故答案为： ． [变式练习]：如图，过点E作 交于点F， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 即 ， 解得： ， 当 时，，不符合题意，舍去； 当 时，，符合题意； ∴的长为 [操作思考]：如图，点C即为所求． 6．（2025·江苏淮安·一模）（1）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．在△ABC的边上找到一点，连结，使得的面积与的面积之比为，（请用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹）． （2）如图，四边形为菱形，，点是边的中点，用尺规作图分别在边上找一点，在上找一点，使最小，（请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹．） 【答案】见解析；见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、尺规作图、垂线段最短． 连接交于点，可得，根据相似三角形的性质可知，根据三角形的面积公式可得； 利用尺规作图作交于点，根据轴对称的性质可知 ，利用尺规作图过点作交于点，交于点，根据垂线段最短可知最小，等量代换可知此时最小． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， ， ， ； 如下图所示， 利用尺规作图作交于点， 根据轴对称的性质可知 ， 利用尺规作图过点作交于点，交于点， 根据垂线段最短可知最小， 连接、， 则， 此时最小． 7．（2025·江苏徐州·一模）2024年徐州中考数学试卷大家一定都做过，其中第27题的尺规作图，体现重要的数学解决问题方法：分析问题，无中生有，进行数学模型构建．汤老师对此题进行了变式处理，请按要求完成下列问题． (1)如图1，在△ABC中，在边上，且，求证：； (2)如图2，在△ABC中，若，于点，，求； (3)图3，已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规在直线上找所有的点，满足． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是： （1）证明，即可得证； （2）根据勾股定理求出，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （3）延长至点，使，作线段的垂直平分线交于O，以O为圆心，为半径作圆，过B作的垂线交于点Q，以B为圆心，为半径画弧交直线a于，即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：如图，点，即为所求， 理由：由作图知：，，是的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理：， ∴． 8．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，E是边上的一点，点P在边上，且满足． (1)请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； (2)若，试确定的长． 【答案】(1)见解析(2)2或8 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，直径所对的圆周角是直角等等，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）可证明，则点P在以为直径的圆上；连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求； （2）根据矩形性质和，可以证明，对应边成比例进而可得的长． 【详解】（1）解： 如图，连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上； （2）解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得或， ∴的长为2或8． 9．（2025·江苏徐州·一模）如图，已知△ABC，其中，请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． (1)在图1中求作点，使得：点在边上，且； (2)在图2中求作Rt，使得：点、在上，且的周长等于的长． 【答案】(1)图见解析(2)图见解析 【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，作一线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，掌握这些基本作图是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线即可； （2）在上取点，过点作的垂线，在垂线上取点使，连接，作的垂直平分线交于点，则即为所求； 【详解】（1）解：如图，点即为所求； 作法说明：作的垂直平分线，交于点，则点即为所求； （2）解：如图，即为所求 作法说明：在上取点，过点作的垂线，在垂线上取点使，连接，作的垂直平分线交于点；则即为所求． 10．（2025·江苏无锡·模拟预测）请回答下列问题： (1)已知：和内一点．求作：点，使，且点到的两边，的距离相等． (2)如图2，已知及点，，求作点，使得到，的距离相等，且． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线和角平分线的作法是解题的关键． （1）根据点是内一点，使，且点到的两边，的距离相等，即点在的角平分线和线段的线段的垂直平分线的交点处． （2）根据点，使得到，的距离相等，且，即点在的角平分线和线段的线段的垂直平分线的交点处． 【详解】（1）解：（1）连接，作线段的线段的垂直平分线如图所示，作的角平分线如图所示，则的角平分线和线段的线段的垂直平分线相交，交点为， （2）解：连接，作的平分线和线段的垂直平分线，它们的交点即为P点， 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，．    (1)尺规作图：在的上方作一点，使得，并且最大； (2)求（1）中△ABC的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理. （1）如图所示，先作出线段的中点，再以为圆心，以的长为半径画圆，同理作出的中点，再以为圆心，的长为半径画圆，与交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可. 【详解】（1）如图所示，先作出线段的中点，再以为圆心，以的长为半径画圆，同理作出的中点，再以为圆心，的长为半径画圆，与交于点，点即为所求；    由可知点在以为圆心，以的长为半径的圆上，由于与交于点，则当与相切时，最大，即则点在以为圆心，的长为半径的圆上； （2）解：由题意得，， 由（1）得， ， ． 12．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知，用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写做法）    (1)如图1，在边上作点P，使； (2)如图2，在边上作点P，使． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是∶ （1）延长至点E，使，连接交于点P即可； （2）延长至点E，使，连接，作的垂直平分线交于点P即可． 【详解】（1）解∶如图，点P即为所求，    理由：由作图知：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，点P即为所求，    理由：由作图知，，点P在的垂直平分线上， ∴， 又，， ∴， ∴． 题型七：尺规作图---作等腰三角形（解答）（高频考点） 1．（2024·江苏无锡·二模）尺规作图 在中，，，若点D是斜边上一个动点，点K在上，点B、点D、点K组成的三角形为等腰三角形， (1)连接，使，请用尺规作图的方法，作出点K，点D的具体位置． (2)在（1）的条件下，求此时的面积． 【答案】(1)图见解析(2) 【分析】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的作图，是解题的关键． （1）以为圆心，的长为半径化弧，交于点，作的中垂线交于点，即为所求； （2）过点作，设，勾股定理求出的值，利用，求出的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）如图，即为所求； 由作图可知：，， ∴为等边三角形，， ∵， ∴， ∴，即：， 故点即为所求； （2）过点作，设，则：， 由（1）知， 由勾股定理，得：，即：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 2．（2024·江苏南京·一模）如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1)△ABC的底边长为，底边上的中线为； (2)△ABC的底边长为，腰上的中线为． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）先在射线截取，再作的垂直平分线，垂足为点，然后在直线上截取，则△ABC为所作． （2）先在射线截取，再作的垂直平分线，垂足为点，接着作的垂直平分线，然后以点为圆心，为半径画弧交直线于点，于是延长交直线于点，连接，则为所作． 本题考查了基本作图，熟练掌握常见基本作图是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，作图如图1所示： 则△ABC为所作． （2）根据题意，作图如图2所示： 则△ABC为所作． 3．（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求： （1）用无刻度的直尺和圆规作等腰△ABC，使底边，腰； （2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明； （3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的作法是解答本题的关键． 根据等腰三角形的作图方法画图即可；根据图形写出已知、求证，证明法一：作的平分线，交于点，根据证明即可；证明法二：取的中点为，连接，根据证明即可；证明法三：过点作于点，根据证明即可． 【详解】如图，△ABC即为所求作的三角形． 已知：如图，△ABC中，． 求证：． 证明：法一：作的平分线，交于点 在和中 ． 法二：取的中点为，连接． 在和中 法三：过点作于点 在和中 ． 4．（2023·江苏南京·一模）如图，已知线段a．求作△ABC，使，，且分别满足下列条件： (1)． (2)△ABC的周长等于a． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）先作线段，再作分别以点B，C为圆心，大于画弧，两弧分别交于点E，F，然后作直线交于点D，再以点D为圆心，为半径画弧，交直线于点A，连接，则△ABC即为所求； （2）先作线段，再作线段的垂直平分线交于点D，再以点D为圆心， 为半径画弧，交直线于点P，连接，再作的平分线交直线于点A，然后以点A圆心，长为半径画弧，交于点B，C，连接，则△ABC即为所求． 【详解】（1）解：如图，先作线段，再作线段的垂直平分线交于点D，再以点D为圆心，为半径画弧，交直线于点A，连接，则△ABC即为所求．     理由：根据作法得：垂直平分线段，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，先作线段，再作线段的垂直平分线交于点D，再以点D为圆心， 为半径画弧，交直线于点P，连接，再作的平分线交直线于点A，然后以点A为圆心，长为半径画弧，交于点B，C，连接，则△ABC即为所求． 理由：根据作法得：垂直平分线段，，平分，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴． 5．（2024·江苏南京·一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)． (1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h； (2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h． 【答案】(1)作图及理由见解析；(2)作图及理由见解析． 【分析】（1）首先作线段BC=a，再作出BC的垂直平分线，然后截取高为h，连接AB、CA即可． （2）首先作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，再直线DE上取线段FC=h，然后=a，连接AB、CB即可． 【详解】（1）解： 作法：1. 作线段BC=a，（如图1） 2.作线段BC的垂直平分线MN，最足为O， 3.在直线MN上取线段OA=h， 4.连接AB、AC， △ABC为所求作的三角形； 理由：线段BC的垂直平分线是MN，OA=h， ，△ABC的高为h， △ABC为等腰三角形， BC=a， △ABC是底边长为a，底边上的高为h的等腰三角形； （2）解： 作法：1. 作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，（如图2） 2. 在直线DE上取线段FC=h， 3.以点C为圆心，a的长为半径画弧，交直线GH于点A， 4. 以点A为圆心，a的长为半径画弧，交射线AF于点B， 5.连接BC、AC， △ABC为所求作的三角形； 理由：=a， △ABC为等腰三角形， 直线GH垂直于直线DE，垂足为F，FC=h， △ABC是腰长为a，腰上的高为h的等腰三角形； 题型八：尺规作图---作圆（解答）（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，正方形的边长为． (1)尺规作图：作，使它经过点A、B，并与边相切；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的半径． 【答案】(1)图见解析(2)的半径为 【分析】（1）先做出的垂直平分线，交于F点，交于E点，连接，再作出的垂直平分线交于O点，O点即为圆心，以O点为圆心，长为半径画圆即可． （2）根据题意首先得出四边形是矩形，进而利用勾股定理得出答案． 此题主要考查了复杂作图以及勾股定理和矩形的判定与性质等知识，正确应用勾股定理是解题关键． 【详解】（1）解：如图，为所作； ∵为的弦，垂直平分， ∴必过圆心， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴E点是切点， ∴是的弦， ∴、的垂直平分线的交点就是圆心，长就是半径， 因此即为所求； （2）解： ∵四边形是正方形， ，， ∵垂直平分， ，且， 四边形为矩形， 设的半径为r， 则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为 2．（2024·江苏常州·模拟预测）在△ABC中，，，，点在斜边上． (1)作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； (2)若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为 ； (3)设（1）中所作的与交于点，与交于点，线段的最小值为 ． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，再过点作交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径作圆，就是所求的图形； （2）当圆心在上时，连接，则，由切线的性质可得，根据勾股定理得到，证明得到，求出，即可求解； （3）作于点，连接、、，根据等面积法求出，由可知是的直径，得到，当，且的值最小时，则的值最小，再根据即可求解． 【详解】（1）解：作法：连接，作的垂直平分线，再过点作交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径作圆，就是所求的图形； 证明：连接， 点在的垂直平分线上， ， 经过点， 是的半径，且， 与相切于点， 就是所求的图形； （2）如图2，当圆心在上时，连接，则， 与相切于点， ， ， ∠ACB＝90°，AC＝3，， ， ， ， ， ＝， ， 解得:， 的半径长为， 故答案为：． （3）如图3，作于点，连接、、， ， ， 解得:， ， 是的直径， ， ， ， 当，且的值最小时，则的值最小， ， ， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 2．（2024·江苏南京·三模）如图：已知直线，及同侧两点．用直尺与圆规作图． (1)在图（1）中作出点，使（保留作图痕迹）； (2)在图（2）中作出点，使（保留作图痕迹，简要说明画法） 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）以点M为圆心，以适当长度为半径画弧，交于C，D两点，然后分别以点C，D为圆心，以长度为半径画弧，两弧交于点Q，连接交于点P，即为所求； （2）首先作出点N关于的对称点E，连接，作出的垂直平分线，连接两弧的交点交于点F，以点E为圆心为半径画圆，以点F为圆心，以为半径画圆，两圆交于点G，连接交于点Q，即为所求． 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； ∵点Q和点M关于对称 ∴ ∵ ∴； （2）如图所示，点Q即为所求； ∵点N和点E关于对称 ∴ ∵是直径 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 3．（2024·江苏无锡·二模）如图点为△ABC中边上的一点， (1)请利用无刻度直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法） ①过点D作于点E； ②在上画出点，使得（标出所有符合条件的点）； (2)若△ABC为等边三角形且当满足（1）中条件的点有且只有一个时，则_________． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2) 【分析】（1）①按尺规作图作垂线的方法作出图形即可； ②按尺规作图作线段垂直平分线的方法作出图形即可； （2）连接；设，由题意得，则，由切线长定理得，且，由正切函数建立等式，即可得a与x的关系，从而求得结果． 【详解】（1）解：①如图，于点E； ②作的垂直平分线，以垂直平分线与的交点为圆心，长为半径作圆，与交于两点，则有，点即为所求作； （2）解：如图，连接；设； 在等边中，，； ， ，； 由题意知，与相切，切点分别为E，P，则， ，， 是的角平分线， ； 在中，， 即， ， 即； 故答案为：． 4．（2024·江苏泰州·三模）AB是的切线，切点为B，交于点，若． (1)如图1，用圆规和无刻度的直尺在上求作一点，使得为的切线．（圆规只限使用一次，并保留作图痕迹） (2)如图2，在（1）的条件下，连接与相交于点，求线段、与弧围成的图形的面积．（结果保留根号和） 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，扇形的面积等知识: (1）以点为圆心，长为半径画圆交于点，作直线交于点，连接，交于点，作直线，则直线为的切线； （2）证明，求出，根据阴影部分的面积的面积-扇形的面积计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． 由（1）知，是的切线， ， 在和中，， ， ， 在中，， ， ，． 阴影部分的面积为． 5．（2024·江苏南京·二模）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联……． 【模型认识】 （1）如图①，在四边形中，点E在边上，连接，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）与满足的数量关系为______； 【初步理解】 （2）如图②，在△ABC中，，，点D在△ABC外，，连接并延长到点E，，点N在上，交于点M，，求证：． 【问题解决】 （3）如图③，在△ABC中，，点D在△ABC外，D到A的距离等于，过点D作直线l，使l分别交于点，且平分△ABC的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】（1）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）（Ⅰ）根据相似三角形的性质可得，即可得出结论； （Ⅱ）根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，再根据四边形的内角和可得，即可得出结论； （2）证明，可得，即，再根据三角形面积公式及，即可得出结论； （3）作的垂直平分线，交于点E，连接并延长作直线l，再以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D． 【详解】解：（1）（Ⅰ）∵， ∴， ∴； （Ⅱ）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作的垂直平分线，交于点E，连接并延长作直线l，再以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D， 理由如下：∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵点D、B在上， ∴． 6．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 7．（2024·江苏常州·模拟预测）在△ABC中，，点D在斜边上． (1)作出经过点C，且与边相切于点D的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； (2)若（1）中所作的的圆心O落在边上，则的半径长为 ； (3)设（1）中所作的与交于点E，与交于点F，当点D在斜边上移动时，线段的最小值为 ． 【答案】(1)详见解析(2)(3) 【分析】（1）经过点C，且与边相切于点D的，圆心O为线段的垂直平分线与过点D的的垂线的交点，所以，作的垂直平分线；再过点D作，交于点O，即得到所求的圆的圆心，半径为的长，即可作出所求的圆； （2）当圆心O在上，连接，则，由切线的性质得，由，求得，再证明，得，求得，则，所以，于是得到问题的答案； （3）作于点G，连接，由，求得，由，可知是的直径，则，因为，所以，当，且的值最小时，则的值最小，即可求得的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：作法：1．连接，作的垂直平分线MN； 2．过点D作，交于点O； 3．以点O为圆心，线段长为半径作圆， 就是所求的图形． 证明：连接， ∵点O在的垂直平分线上， ∴， ∴经过点C， ∵是的半径，且， ∴与相切于点D， ∴就是所求的图形． （2）解：如图2，圆心O在上，连接，则， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的半径长为， 故答案为：． （3）如图3，作于点G，连接， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴当，且的值最小时，则的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（2023·江苏宿迁·三模）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．    (1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点P是其中一个切点； (2)点P是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切； (3)【不可及点的作图】如图3，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】（1）根据尺规作图角平分线、垂直平分线作出结果； （2）根据尺规作图角平分线、垂直平分线、已知线段作出结果，有多种不同做法． （3）根据尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线作出结果，有多种不同做法． 【详解】（1）解：    ①过点作，垂足为点； ②作的平分线 交于点；   ③以点为圆心，长为半径作圆； 则⊙为所求的图形． （2） 法1：①过点作的垂线交于点， ②在上截取， ③作交于点 （或作的平分线交于点）； ④以点为圆心，长为半径作圆； 则⊙为所求的图形．    法2：①过点作，垂足为点； ②作的平分线交于点； ③作的垂直平分线交于点； （或过点作交于点；或作交于点）； ④以点为圆心，长为半径作圆； 则⊙为所求的图形．    法3：①反向延长射线，过点作，垂足为点； ②作的平分线； ③过点作，交于点； ④作的垂直平分线交于点； （或过点作交于点）； ⑤以点为圆心，长为半径作圆； 则⊙为所求的图形．    法4：①在上任取一点（除外），作，垂足为点； ②以点为圆心，长为半径作⊙，交于点； ③过点作，交于点； ④过点作，交于点； ⑤以点为圆心，长为半径作圆； 则⊙为所求的图形．    法5：①在上任取一点（除外），作，垂足为点； ②以点为圆心，长为半径作⊙交于点； ③连接，并延长交于点； ④过点作交于点； ⑤以点为圆心，长为半径作圆； 则⊙为所求的图形．    （3）法1：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外），连接； ②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点； ③同样方法，得点； ④作直线；则直线为所求的图形．    法2：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外），连接； ②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点； ③作的平分线，作的平分线，两平分线交于点； ④作直线；则直线为所求的图形．    法3：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外），连接； ②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点； ③过点作，垂足为点； ④过点作，垂足为点；   ⑤作的平分线； 则直线为所求的图形．    法4：①在上任取一点（除外），过点作； ②作的平分线，交于点； ③作线段的垂直平分线；则直线为所求的图形．    法5：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外）； ②过点作，垂足为点；过点作，垂足为点；与交于点； ③作的平分线交于点，射线反向延长线交于点； ④作线段平分线；则直线为所求的图形．    法6: ①在上任取一点（除外），过点作，垂足为点； ②过点作，垂足为点； ③作的平分线交于点； ④作线段的垂直平分线； 则直线为所求的图形．    法7: ①在上任取两点、（除外），以点为圆心，长为半径作⊙； ②过点作，交⊙于点； ③连接并延长交于点； ④作线段的垂直平分线；      则直线为所求的图形． 9．（2023·江苏南京·二模）命题：如果在一个四边形中满足一组对角相等，一组对边也相等，那么这个四边形是平行四边形．请问这个命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请你证明；如果是假命题，请你利用直尺和圆规在下图的基础上画出反例，并写出必要的文字说明．    【答案】假命题，见解析 【分析】根据圆周角定理和轴对称图形的性质，即可说明原命题为假命题. 【详解】假命题    文字说明： （1）作点关于的对称点； （2）作的外接圆； （3）以点为圆心，长为半径画圆，两圆交于点． 则四边形满足（一组对角相等），（一组对边相等），但四边形不是平行四边形． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行四边形的定义，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 题型九：格点作图题（解答）（高频考点） 1．（2024·江苏宿迁·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，将线段绕点A顺时针旋转后得到线段． (1)连接，请判断的形状，并说明理由； (2)请在线段上作一点G，并连接，使得（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法）． 【答案】(1)等腰直角三角形；理由见解析(2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，旋转的性质，网格作图． （1）由旋转的性质即可得到是等腰直角三角形； （2）取格点，连接，交于点，连接并延长交线段于点G，利用矩形的性质知点是的中点，，即． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形； 理由：∵将线段绕点A顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图，线段即为所求． ． 2．（2023·江苏淮安·二模）如图，A、B、C是正方形网格的格点，请按要求仅用无刻度的直尺作图，不写作法，保留痕迹：    (1)作△ABC的高； (2)点P是上的一点，作点P关于直线的对称点Q． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）取格点M，连接，交于点H，则即为所求； （2）连接交于点D，连接，并延长交于点Q即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，点Q即为所求；    ∵，， ∴垂直平分，与关于对称， 根据轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴点Q与点P关于直线对称． 3．（2023·江苏盐城·一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．    （2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）    【答案】（1）理由见解析（2）图见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）连接，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，连接，四边形即为所求． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）连接，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，连接，四边形即为所求，如图：    4．（2023·江苏无锡·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，作出一个满足条件的格点，使得射线平分； (2)在图中，画一个与△ABC面积相等，且以为边的，、均在格点上； (3)在图中，在边上找一点，连接，使面积是面积的倍． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】（1）以、为边作菱形，连接，由菱形性质即可； （2）在点右侧两个单位格点处取点，在点右侧两个单位格点处取点，由平行四边形的性质即可； （3）在点右侧个单位格点取点，在点左侧个单位格点取点，连接交于点，连接，由相似三角形的性质即可． 【详解】（1）解：如图，在点右侧个单位格点处取点，则点为所求， 由题得， 以、为边作菱形，连接， 由菱形性质可得，平分角． （2）解：由图得，如图， 在点右侧两个单位格点处取点，在点右侧两个单位格点处取点， ，， 四边形为平行四边形， 且， 故四边形为所求． （3）解：如图，在点右侧个单位格点取点，在点左侧个单位格点取点， 连接交于点，连接，则点为所求， ， ， ， ． 5．（2023·江苏盐城·三模）如图，在的正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．    (1)在图1中作出边上的点，使得； (2)在图2中作出边上的点（不与点重合），连接，使得； (3)在图3中作出边上的点，使得． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，利用正方形网格构造相应的相似三角形和直角三角形是解题的关键． （1）构造线段，且使，连接，交于点．利用相似三角形的性质即可证明点是符合条件的点； （2）取格点，连接交于点，连接，点即为所求； （3）取格点，连接，交网格线于点，连接，取格点，，利用相似三角形、勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以证得点是符合条件的点． 【详解】（1）解：如图所示，取，，连接，交于点E．    ， ， ， 点E就是所求作的符合条件的点； （2）解：如图所示，分别取格点、、，使得，，连接交于点，连接， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 在中，点是的中点， ， 点就是所求作的符合条件的点； （3）解：如图所示，取格点，连接，交网格线于点，连接，取格点，，    ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ． 6．（2023·江苏宿迁·模拟预测）用无刻度直尺作图：    (1)如图1，在上作点E，使； (2)如图1，点F为与网格的交点，在上作点D，使； (3)如图2，在上作点N，使； (4)如图2，在上作点M，使． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析 【分析】（1）作一个网格的对角线交于点E，连接，则点E即为所求； （2）取（1）中交一格点P，过点P作平行（1×2网格对角线），且，连接交于点D，则点D即为所求； （3）取格点G，连接，则与的交点即为点N； （4）取格点P、Q，连接（2×3网格的对角线）交点B所在的水平网格线于点E，连接交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解，如图，点E即为所求；    证明：网格中，是4×4网格的对角线， ∴， 由勾股定理可得：， 由作法可知：是一个网格对角线的2.5倍，即， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，点D即为所求；    证明：由作法知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 又∵， ∴； （3）解：如图，点N即为所求．    证明：由作法知，，， ∴， ∴，即； （4）解：如图，点M即为所求．    证明：在点P的下方取格点D、F，，，连接，如上图， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 7．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图. (1)在图①中，作的角平分线； (2)在图②中，在边上找一点D，使得． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）延长构造等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知的角平分线过等腰三角形底边的中点，找出底边中点P与点A连接即可； （2）设网格边长为1，如图，取格点、、，连接交网格于，连接，交网格于，连接交于，可得，根据可得，根据相似三角形的性质结合网格特征作出即可得答案． 【详解】（1）解：如图，点射线即为所求； （2）解：设网格边长为1，如图，取格点、、，连接交网格于，连接，交网格于，连接交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴如图，点D即为所求； 8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，分别在一个单位长度网格线上，皆不为中点； (1)仅用直尺作出图一的中点； (2)仅用直尺作出图二的中点． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（）根据平行线分线段成比例定理作图即可； （）根据三角形的重心及中线可进行求解； 本题考查了尺规作图，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，根据平行线分线段成比例定理 ∴点即为所求； （2）在格点上取一点C，连接，根据（1）所作方法取的中点H、G，连接，交于一点R，然后连接并延长，交于一点D，则点D即为所求，所作图形如图所示： 9．（2024·江苏淮安·一模）如图，在方格纸中，A、B、C三点在圆上，且均为格点，点F是圆与格线的交点，仅用无刻度的直尺按要求完成做图． (1)请在图①作出该圆的圆心O (2)请在图②优弧上确定一点P，使 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查网格作图，圆周角定理推论，的圆周角所对弦是直径确定圆心； （1）取格点N，连接并延长与圆交于点M，得到，连接得到为直径，与格线的交点的交点即为圆心； （2）取圆与格线交点Q及格点R，连接并延长与圆交点即为所求点P，由得出． 【详解】（1）解：如图①所示的点O即为所求； （2）解：如图②所示的点P即为所求． 10．（2024·江苏泰州·二模）如图是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC中，A，B，C三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图1上，利用网格图，过点C作的切线； (2)在图2的圆上作到一点D，使得． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别取格点，可得四边形是矩形，其对角线相交于点O，分别连接，，从而得出点O是圆心，作出格点，分别连接，得出，可得，得，而，所以，可得出，即是圆的切线，点P即为所作； （2）作出格点M，连接交圆于点D，连接AD，由图可知为平行四边形，则，此时，所以，从而得出，即，即可得． 【详解】（1）如图1中，直线即为所求； （2）如图2中，点即为所求． 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． ①在图（1）中，过点A画的平行线； ②在图（2）中，画△ABC的中线； ③在图（3）中，画△ABC的角平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图： ①由点B向上平移4格得到点A，可知将点C向上平移4格即可得到点G，连接，即为所求作； ②取格点E，F，与的交点为H，连接，即为所求作； ③由勾股定理求得，结合等腰三角形的性质，延长至点D，则，取的中点E，连接交与点K，即为所求作． 【详解】解：①如图（1），即为所求作： 点B向上平移4格得到点A，可知将点C向上平移4格即可得到点G， ； ②如图（2），即为所求作： 四边形是矩形， 与互相平分， 点H为的中点， 为的中线； ③如图（3），即为所求作： 由勾股定理得，， 延长至点D，则， 为等腰三角形， 取的中点E，连接交与点K， 平分． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$