【三轮冲刺】专题04 一次函数与反比例函数（江苏专用））-2025年江苏数学中考预测专项突破（原卷+解析版）

2025年江苏数学中考预测专项突破 专题04 一次函数与反比例函数（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题一次函数与反比例函数分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：填空题第17题：此题主要将反比例函数、一元二次方程以及平移结合考查，分值3分，难度中等； ❆徐州卷：填空题第15题：此题主要考查的是反比例函数的增减性判断值的大小，分值3分，难度较易； ❆常州卷：解答题第24题：此题主要考查的是反比例函数与一次函数的综合求解析式和面积问题，分值8分，难度中等； ❆苏州卷：选择题7题：此题主要考查的是反比例函数k的几何意义，分值3分，难度中等；解答题第24题：此题考查的是反比例函数与几何综合，分值8分，难度中等偏上； 题型一：一次函数的增减性求解（高频考点） 1．（2024·江苏南京·模拟预测）已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，利用函数的增减性逐一判断，即可求解；掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解题的关键. 【详解】解：A.在上时，，故不符合题意； B.在上时，，故不符合题意； C.在上时，，故不符合题意； D.在上时，，故符合题意； 故选：D． 2．（2025·江苏常州·一模）已知点、都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例图象上点的坐标特征，熟知正比例的图象和性质是解题的关键．根据正比例的图象和性质即可解决问题． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又点在正比例函数的图象上，且 ． 故选：B 3．（2025·江苏镇江·一模）已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，牢记“当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出 【详解】解：， 随x的增大而减小， 又点，都在一次函数的图象上，且， ． 故选：C． 4．（2024·江苏苏州·一模）已知一次函数（，为常数，），当时，，则的值为 ． 【答案】2或/或2 【分析】由与的范围，确定出点坐标，代入一次函数解析式求出与的值，即可确定出所求．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∵当时，， 一次函数图象上的点坐标为和， 代入得：， ②①得：， 解得：， 把代入①得：， 此时； 当时，随的增大而减小， 一次函数图象上的点坐标为和， 代入得：， 解得：， 此时， 故答案为：2或． 5．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知点、都在直线上，则与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，先根据解析式得到随增大而减小，再由即可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴随增大而减小， ∵点、都在直线上，且， ∴， 故答案为：． 题型二：与一次函数相关的交点个数问题（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值二次函数图象与一次函数图象的交点个数判断，掌握函数图象的画法，数形集合是解题的关键．先画出两个函数的图象，然后数形结合就可以得出答案． 【详解】解：， 或时，，当时，， 过、、 ， 其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 将的图象在轴下方的部分对称到上方，得到的图象， 一次函数，当时，，当时，，当时，，故一次函数过和和，如图所示： 从图象可知，交点个数为3个， 故选：C． 2．（2024·江苏扬州·二模）已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线m绕点B顺时针旋转得到新的直线m，则直线n与x轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换．设直线交轴于，，，可得出，根据将直线绕点逆时针旋转得到新的直线，即可得，故，可得． 【详解】解：设直线交轴于，如图： 在中，令得，令得， ，； ，， ， 将直线绕点逆时针旋转得到新的直线， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线与轴的交点坐标为； 故选：B． 3．（2024·江苏宿迁·二模）已知直线不经过第二象限，则关于x的方程的实数根个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，函数与方程的关系；画出函数与函数的图像，数形结合则可得答案． 【详解】解：直线不经过第二象限，则直线必第一、三、四象限或经过第一、三象限，且当时，，即直线经过定点；对于函数的图像，是把图像位于x轴下方的图像翻折后与原来在x轴上方的图像组成的； 由图像知，直线与函数的图像必有两个交点，从而关于x的方程的实数根必有两个； 故选：B． 4．（2025·江苏·模拟预测）平面直角坐标系中，，直线（m为常数）与线段有公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将点A、B的坐标分别代入直线方程，分别求得m的两最值．本题主要考查了一次函数图象与系数的关系和一次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求得m的最大值和最小值． 【详解】解：把代入直线，得， 解得， 把代入直线，得， 解得， 故m的取值范围为：， 故答案为：． 5．（2024·江苏南京·三模）已知一次函数与为常数），当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数的交点，以及一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想是解题的关键．联立两条直线的解析式求得交点坐标，由当时，，结合函数图象，可得，由此可得． 【详解】解：联立两个解析式得， 解得， 两条直线的交点坐标为， 当时，，结合图象可得， ， 解得． 故答案为：． 6．（2024·江苏连云港·模拟预测）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，确定的符号是解题的关键．根据题意得到，求出的值，即可得到结论． 【详解】解：一次函数的图像经过第二、三、四象限， ， ， ， 故与x轴的交点有个． 故答案为：． 7．（2024·江苏连云港·二模）若一次函数（）的图象经过第二、三、四象限，则函数轴的交点有 个． 【答案】2/两 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质得到，再计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义判断与x轴交点的情况，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵一次函数（）的图像经过第二、三、四象限， ∴， ∴ ∵ ∴， 函数轴的交点有2个． 故答案为：2． 8．（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 先求出线段的表达式为：，当抛物线与线段有两个不同交点，则，由得，当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入可得，故；当时，且抛物线经过点，代入解得：，故满足题意． 【详解】解：设直线的表达式为，代入， 得， 解得：， ∴线段的表达式为：， 当， 化简得：， 则， 解得：， 当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入得：， 解得：， 如图示： ∴当符合题意； 当时，且抛物线经过点，代入得：， 解得：， 如图示： ∴当时符合题意， 综上所述：当或满足题意． 故答案为：或． 9．（2024·江苏连云港·二模）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 【答案】两或2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质得到，再计算判别式的值得到，则，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：两． 10．（2024·江苏扬州·一模）若关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数与（是常数，）的图象的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 根据二元一次方程组的解确定，可确定正比例函数，联立方程组求解即可． 【详解】解：将代入方程组中， 解得， 一次函数为， ∵一次函数与（是常数，）的图象的相交， ∴，解得， ∴交点坐标是． 故答案为：． 11．（2024·浙江宁波·一模）已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 故答案为：． 题型三：一次函数与不等式的结合（高频考点） 1．（2024·江苏南通·二模）如图，一次函数的图象经过点和点．若，则满足条件的x的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：利用函数图象，写出在x轴下方对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象知当时，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 2．（2024·江苏徐州·二模）若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．根据函数图象知：一次函数过点；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出、的关系式；然后将、的关系式代入中进行求解 【详解】解：一次函数经过点，函数值随的增大而减小， ； 令，则， ； 解关于的不等式，移项得：； 两边同时除以， ， ． 故选：C 3．（2025·江苏无锡·一模）定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 根据反比例函数的性质即可判断①，根据一次函数的性质求出函数的最大值即可判断②；由题意可知：，再由，即可求的取值范围，即可判断③；根据对称轴方程和“顶峰”值为 3 ，分类讨论时和时，列方程求解，即可判断④． 【详解】解：函数无最大值，不是“顶峰”函数，故①错误； 在中， ∵，∴随值的增大而增大， 当时，有最大值， 即函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1，故②正确； ∵随值的增大而减小， 当时，， ∵“巅峰”值是， ， ∵函数的最小值不超过， ， ， ， ， ， ∴的取值范围为：，故③正确； ∵的对称轴是直线， 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：（舍去）或； 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：，符合题意． 综上所述：的值为或 0，故④错误． ∴正确的是②③， 故选：C． 4．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数交点情况，一次函数与不等式，根据题意得到，再结合当时，不等式恒成立，得到，对进行讨论得到，进而得到m的取值范围，即可解题． 【详解】解：一次函数的图像与x轴交于点， ， 整理得， 当时，不等式恒成立， 整理得， 当时，有，与当时，不等式恒成立矛盾， 当时，有，即当时，不等式恒成立，所以 ， ，即，有， 即，解得， 综上， ，， 即，解得， 故选：B． 5．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的性质，根据题意求得k的范围，结合交点即可求得x，代入正比例函数即可求得对应y值，即可求得答案． 【详解】解：∵双曲线位于一、三象限，直线与双曲线交相交， ∴， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴和是方程的解，解得， 若，则，，则， ∴， 故答案为：． 6．（2024·江苏徐州·一模）如图，根据函数图象可得关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一次函数图象求不等式解集，将整理为，再直接根据函数图象得出结论即可． 【详解】解：求不等式的解集， 即求不等式的解集， 由图知，不等式的解集为， 关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 7．（2023·江苏镇江·模拟预测）直线和双曲线相交于点和点，不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 先把代入直线求出的值，再代入双曲线求出的值即可，把一次函数求出的值，故可得出其坐标，利用函数图象可直接得出不等式的取值范围． 【详解】解：点是直线与双曲线的交点， ，解得， ， ∴一次函数和反比例函数解析式为， 点在直线上， ， 解得， ， 由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 故答案为：或． 8．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是 ；关于x的不等式的解集是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练运用了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 利用直线与x轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．利用直线与y轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．结合两条直线的交点坐标为和图象来求得解集． 【详解】解：∵直线与x轴的交点是，且随着x的增大而减小， ∴当时，，即不等式的解集是； ∵直线与y轴的交点是，且随着x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集是； 由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是， 当函数的图象在的上面时，有；当时，， 所以当时，； 故答案为：；；． 9．（2024·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，一次函数，，无论x取何值，始终有，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、解不等式，根据题意可得直线与直线平行，且直线在直线的上方，进而得出，根据列不等式，解不等式即可． 【详解】解： ∵无论x取何值，始终有， ∴直线与直线平行，且直线在直线的上方， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 10．（2024·江苏徐州·三模）如图，函数的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的平移，一次函数的图象与不等式的关系，根据函数图象可得的解集为，向右平移3个单位得，则的图象与x轴交于点，即可求解． 【详解】解： 向右平移3个单位得， 向右平移3个单位得， ∴的图象与x轴交于点， 根据函数图象得的解集为， ∴关于x的不等式的解集为 故答案为：． 题型四：一次函数中定义新运算（高频考点） 1．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：若O，A，B在一条直线上 ；若O，A，B不在一条直线上．已知点A坐标为，点B坐标为，有下列结论： ①； ② 若，则点P坐标为； ③ 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④ 若平面中任意一点P满足，则满足条件的点P的全体组成的图形面积为其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题中的定义计算即可判断①；由可得点在轴上，由可得，据此求出点的坐标即可判断②；根据可得，即可判断③；由题意得出，然后计算出满足条件的点的全体组成的图形面积即可判断④． 【详解】解：点坐标为和点坐标为， ，， ，故①正确； ， 点在轴上，设点的坐标为， ， ， ， 或， 点的坐标为或，故②错误； 设点的坐标为， 若，则， ，即：， 解得：或， 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上，故③正确； ， ， ， 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 当，时，，与轴交点为，与轴交点为； 在同一坐标系中画出它们的图象如图： 满足条件的点的全体组成的图形面积为，故④正确． 故选：C． 2．（2025·江苏无锡·一模）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别把代入和，都求出，即可判断①；先整理得，得或当，再结合，得出，则，求出，此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；同理结合，得，得可以为正数，零，负数，即可判断③；把或当与构建方程组，再结合判别式进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， ∴， ∴； 把代入把， ∴， ∴； ∴是“和谐点”； 故①说法是正确的； 依题意，把代入，得， 再把代入， 得， 解得或； ∴直线上有两个“和谐点”； 故②说法是错误的； ∵，， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴或当， ∵反比例函数的图象上 ∴依题意，则， ∴， 则， ∵， ∴， 此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”； 或， ∴， ， ∵， ∴可以为正数，零，负数， 综上当时，反比例函数的图象上最多只有四个“和谐点”； 故③说法是错误的； ∵二次函数， 依题意，则， ∴， ， 解得， ∴与有一个“和谐点”； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则与有两个“和谐点”； 故二次函数的图象上有3个“和谐点”，则； 当， 解得， 把代入， ∴， 解得， 此时， ∴， ∴， 此时有2个“和谐点”， 则， ∴， ， 此时有2个“和谐点”， 但有一个点是重合的，则二次函数的图象上有3个“和谐点”， 综上：二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． 故④说法是正确的； 故选：B． 3．（2024·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题为新定义题型，考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征．根据“a方内点”的定义，逐一判断即可． 【详解】解：①点到x轴距离为2，到y轴的距离等于1，不大于2， 故是一次函数图像的“2方内点”；故①正确； ②当时，，则点到y轴的距离为2，到x轴的距离为，不大于2，即点是函数图像上的“2方内点”；故②错误； ③若直线的“方内点”有两个， 由题意知，函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x轴、y轴平行的正方形边上， 如图，当时，，即直线过定点， 当时，直线与有无数个“方内点”， 对于直线，把点代入中，， 解得：， 当时，直线与正方形的边有两个交点，表明有两个“方内点”，故③正确； ④抛物线的“方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为且相邻两边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点，如下图； 当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时：，解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时，整理得：， 解得：（舍去）； 综上，a的值恰有三个，分别为， 故④正确； 故正确的有①③④， 故选：C． 4．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，用到了一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识，先求出，根据m的取值范围分三种情况进行讨论即可得到答案. 【详解】解：∵动点B在直线上，横坐标为m， ∴点B的坐标为， ∵点A的坐标为 ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当取得最小值时，应满足的条件是， 故选：C 5．（2025·江苏宿迁·一模）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查的是一次函数的定义，一次函数的图象与性质，由且，可得，，可得在正方形内，包括边界；当一次函数过时，当一次函数过时，再结合一次函数的定义可得答案． 【详解】解：如图，∵且， ∴，， ∴在正方形内，包括边界； 当一次函数过时， ， 解得：， 如图，当一次函数过时， ∴， 解得：， ∵， ∴一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围为： 且； 故答案为：且． 6．（2024·江苏徐州·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．在函数①，②，③，④，⑤，⑥的图象上，存在“平衡点”的函数是 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查函数图象上的点的特点．设平衡点的坐标为，将点分别代入到各个函数中，进行求解，判断即可．掌握“平衡点”的定义，是解题的关键． 【详解】解：设平衡点的坐标为， 把代入，得：，解得：， ∴的图象上存在“平衡点”； 把代入，得：，此方程无实数根， ∴的图象上不存在“平衡点”； 把代入，得：，解得：， ∴的图象上存在“平衡点”； 把代入，得：，此方程无实数根， ∴的图象上不存在“平衡点”； 把代入，得：，解得：， 经检验是原方程的解； ∴的图象上存在“平衡点”； 把代入，得：，此方程无解， ∴的图象上不存在“平衡点”； 故答案为：①③⑤． 7．（2024·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，根据是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，得到点在反比例函数时有最大值，当点在线段时有最小值，即可得解． 【详解】解：如图，过点A作轴，轴，垂足分别为M，N， 则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，绕点逆时针旋转得到，则，， 设直线的表达式为：，代入， 得：， 解得：， 直线为， 设经过点的双曲线为：， 代入得：， ∴经过点的双曲线为， 是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 的取值范围是． 故答案为：． 题型五：一次函数的实际应用（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模） “书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进A，两类图书，已知购进3本A类图书和4本类图书共需192元；购进6本A类图书和2本类图书共需240元． (1)A，两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划恰好用4800元来购进这两类图书，进货时，A类图书的购进数量不少于80本．已知A类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，求最大利润为多少元？ 【答案】(1)A，B类图书每本的进价分别为32元、24元(2)最大利润为1040元 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A，B类图书每本的进价分别为x元、y元，然后根据题意可得方程组，进而求解即可； （2）设购进A类图书m本，利润为w元，由题意可得，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设A，B类图书每本的进价分别为x元、y元，由题意得： ， 解得：； 答：A，B类图书每本的进价分别为32元、24元． （2）解：设购进A类图书m本，利润为w元，由题意得： ； ∵，， ∴当时，w有最大值，最大值为； 答：最大利润为1040元． 2．（2025·江苏南京·一模）A，B两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达B地后立即按原路原速返回，慢车到达A地后停止．快、慢两车离A地的距离（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)补全y1与x之间的函数图像： (2)若慢车的速度为． ①点P的坐标为 ； ②快车到达A地前，两车何时相距？ (3)若慢车在快车返回A地后的内到达，则慢车速度v的范围是 ． 【答案】(1)见解析(2)①；②当或或或时 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）根据快车到达B地后立即按原路原速返回，可得快车返回A地时，，即可补全与x之间的函数图象； （2）①求出快车速度为，可知两车出发后相遇，此时相遇处距A地，故P的坐标为； ②当时，，当时，，分别解方程可得答案； （3）分别求出慢车的速度进行比较即可． 【详解】（1）解：∵快车到达B地后立即按原路原速返回， ∴快车返回A地时，； 补全与x之间的函数图象如下： （2）解：①快车速度为， ∵， ∴两车出发后相遇，相遇处距A地， ∴P的坐标为； 故答案为：； ②根据题意得， 当时，， ∵两车相距， ∴， 解得或； 当时， ， ∵两车相距， ∴， 解得或； 综上所述，当或或或时，两车相距； （3）解：∵，， ∴； 故答案为：． 3．（2025·江苏宿迁·一模）某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为元，在整个销售旺季的天里，销售单价（元千克）与时间第 （天）之间的函数关系为： 日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： (1)求日销售量与时间的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（， 为整数）；(2)第天的日销售利润最大，最大利润为元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设日销售量与时间的函数解析式为，根据图象把，代入即可求解； （）设日销售利润为，则，然后分当时和当时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：设日销售量与时间的函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴（，为整数）； （2）解：设日销售利润为， 则， 当时， ∵， ∴当时，有最大值元； 当时， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∵， ∴第天的日销售利润最大，最大利润为元． 4．（2025·江苏南京·一模）圆圆在某游泳馆购买了一张会员卡，可以按次以优惠的价格购买游泳票，她的总花费y（元）与游泳次数x之间是一次函数关系，下表是记录的一组数据： 游泳次数x 1 2 3 4 5 … 总花费y/元 230 260 290 320 350 … (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当总花费为800元时，她游泳的次数是多少？ 【答案】(1)(2)20 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）将代入与之间的函数表达式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，设y与x之间的函数表达式为． 由，，得． 由，，得． 解方程组，得． 所以． （2）解：当时，． 解这个方程，得． 所以当总花费为800元时，圆圆游泳的次数是20． 5．（2025·江苏无锡·一模）《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本） 【答案】(1)（，且是整数）； (2)该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，实际问题与二次函数，正确列出二次函数解析式是解题的关键． （1）设，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出与之间的函数关系式； （2）根据“每日利润每张电影票售价每天售出的电影票数量每天的运营成本”得出二次函数解析式，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得： ， 解得：， （，且是整数）； （2）解：设每场的获利为元， 根据题意，得： ， 抛物线开口向下， 又，且是整数， 时，取得最大值，， 答：该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元． 6．（2025·江苏泰州·一模）为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费500万元购进高性能服务器的台数比花费450万元购进普通服务器的台数少5台． (1)高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？ (2)若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过4200万元．高性能服务器每台售价60万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打6折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)高性能服务器每台的进价各是50万元，普通服务器每台的进价各是30万元 (2)购进高性能服务器60台，普通服务器40台时利润最大，最大利润是840万元 【分析】此题考查不等式、一次函数的应用和分式方程的应用． （1）设普通服务器每台进价为元，则高性能服务器每台进价为元，根据“花费500万元购进高性能服务器的台数比花费450万元购进普通服务器的台数少5台”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可求解； （2）设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台，根据“购买的总费用不超过4200万元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设总利润为万元，根据题意，可找出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设普通服务器每台进价为元，则高性能服务器每台进价为元． 根据题意列方程得：，解得：， 经检验，是原方程的解，则高性能服务器每台进价为：； 答：高性能服务器每台的进价是50万元，普通服务器每台的进价是30万元； （2）解：设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台． 可列出不等式：，解得：， 高性能服务器每台利润为：（万元）， 普通服务器每台利润为：（万元）， 设总利润为万元，则，化简得：， 因为，所以随的增大而增大，又因为，所以当时，有最大值， （万元），此时购进普通服务器：（台）． 答：购进高性能服务器60台，普通服务器40台时利润最大，最大利润是840万元． 7．（2025·江苏无锡·一模）某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系如图所示： (1)求每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式；（毛利润销售总额进货成本） (2)受市场影响，服装的定价不能超过52元，则每件服装的销售价为多少元时，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，求一次函数解析式，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）首先利用待定系数法求出，然后表示出y即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式为 根据题意得， 解得 ∴ ∴； （2）∵ ∴对称轴为直线 ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，y随x的增大而增大 ∵受市场影响，服装的定价不能超过52元 ∴当时，y取得最大值，最大值为 ∴每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元． 8．（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 【答案】(1)(2)当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解； （2）根据销售量单价损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为，将，；，代入得： ， 解得：， ∵销售单价不低于成本价且不高于20元， ∴， ∴乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为； （2）解：由题意得：， 解得：，， ∵顾客获得最大实惠， ∴， ∴当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元． 9．（2025·江苏宿迁·一模）某商场购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商场按单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价定为40元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）设函数关系式为，代入和，利用待定系数法即可求解； （2）根据题意表示出利润关于销售单价的函数关系式，结合的范围，利用二次函数的性质求出的最大值和对应的的值即可解答． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 代入和得，， 解得：， 该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式为． （2）解：由题意得，， 由（1）得，， ， 当时，随增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 销售单价定为40元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为，在行驶过程中乙车速度始终保持，甲车先以一定速度行驶了，用时，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程与所用时间的关系如图①所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲车改变速度前的速度是 ，乙车行驶 到达绥芬河； (2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式，不用写出自变量的取值范围； (3)在图②中，画出甲、乙两车的距离（单位：）与所用时间之间的函数图象． 【答案】(1)100，10(2)(3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）根据甲车用时行驶了即可得甲车改变速度前的速度；利用时间路程速度即可得乙车行驶到达绥芬河所需时间； （2）先求出甲车行驶到达绥芬河所需时间为，再利用待定系数法求解即可得； （3）分别求出当、和时，与之间的函数关系式，再画出函数图象即可得． 【详解】（1）解：甲车改变速度前的速度是， 乙车行驶到达绥芬河所需时间为， 故答案为：100，10． （2）解：由题意得：甲车行驶到达绥芬河所需时间为， 设甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式为， 将点和代入得：， 解得， 所以甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，． 则画出甲、乙两车的距离（单位：）与所用时间之间的函数图象如图②所示： 题型六：反比例函数的图象（高频考点） 1．（2023·江苏盐城·三模）下列四个函数图象中，的大致图象（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】列表，描点，连线，即可画出函数图像，从而判断． 【详解】解：列表： x … 1 2 3 … y … 2 … 画图如下： 故选C． 2．（2024·江苏盐城·二模）若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图像．由点，，在同一个函数图像上，可得点与点关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点，， ∴点与点关于轴对称， 即这个函数图像关于轴对称，故选项A，C不符合题意； ∵，， ∴当时，随的增大而增大， 故选项B符合题意，选项D不符合题意． 故选：B． 3．（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案． 【详解】解：，点， 与关于轴对称， 即这个函数图象关于轴对称，故选项A不符合题意； ，点， 当时，随的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，一次函数图象，反比例函数图象等知识．熟练掌握函数图象，一次函数图象，反比例函数图象是解题的关键． 由图象可知，当时，随着的增大先增大后减小，A中，由，可知当时，随着的增大而减小，进而可判断A的正误；B中为与的和，如图，由一次函数图象与反比例函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，进而可判断B的正误；C中当时，，的图象经过点，进而可判断C的正误；D中当，无意义，进而可判断D的正误． 【详解】解：由图象可知，当时，随着的增大先增大后减小， A中，由，可知当时，随着的增大而减小，故不符合要求； B中为与的和，如图， 由一次函数图象与反比例函数图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，故符合要求； C中当时，，的图象经过点，故不符合要求； D中当，无意义，故不符合要求； 故选：B． 5．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大，继而求得答案． 【详解】解：∵点，点， ∴A与B关于y轴对称， 即这个函数图象关于y轴对称，故选项A不符合题意； ∵点，点， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 题型七：利用反比例函数的增减性求解（高频考点） 1．（2025·江苏泰州·一模）已知点，都是反比例函数图像上的点，并且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先判断反比例函数所在的象限，再根据，即可得出答案，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∵， ∴点，在第二象限，随的增大而增大， ∴， 故选：A． 2．（2025·江苏盐城·一模）已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，点、在同一象限，则 D．若，点、在不同象限，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据题意，判断和，该反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解； 【详解】解：A．若，则随的增大而减小，不知道的值在哪个象限，无法判断，故 A 错误，不符合题意； B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则可能小于 0 也可能大于 0 ，故 B 错误，不符合题意； C．若，点在同一象限，则随的增大而减小，所以，故 C 正确，符合题意； D．若，点在不同象限，则，故D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2023·江苏扬州·一模）已知点在反比例函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握时，在每个象限内，都随的增大而减小是解题的关键．先根据判断出反比例函数图象所在的象限，再根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·江苏扬州·三模）在中，有两点，则与的关系满足下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．由，，从而可得答案． 【详解】解：在中，有两点， ∴，， ∴， 故选C 5．（2024·江苏泰州·二模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围． 【详解】解：，且， ∴反比例函数的图像在第二、四象限， ， ， 故选：B． 6．（2024·江苏扬州·二模）某小组为了研究一组数据变化规律，将数据通过描点、连线得到相应的图象如图所示，若选择的函数模型是，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象．根据函数的增减性和图象上点的符号推断求解． 【详解】解：是有函数向上平移个单位得到的， 随的增大而增大， ， 时，， ， 故选：C． 7．（2024·江苏南京·三模）已知反比例函数的图像经过点，则下列关于与的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、分式运算等知识，正确求得的值是解题关键．首先根据题意可得， ，，进而可求得，结合，即可获得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 8．（2024·江苏扬州·二模）已知点都在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二四象限，在每个象限内，随增大而增大； A、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若，则，故原说法错误，不符合题意； B、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若，则，正确，符合题意； C、两点不在同一象限时，若，不成立，原说法错误，不符合题意； D、两点在同一象限时若，，不成立，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 9．（2024·江苏无锡·二模）已知，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立，则符合题意的函数可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数和二次函数及一次函数图象上点的坐标特征．先确定自变量每增加1个单位，函数值变化越大，再根据各函数逐项分析判断即可． 【详解】解：∵，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立， 自变量每增加1个单位，函数值变化越大． A、，自变量每增加1个单位，函数值变化越大，符合题意； B、，随先减小后增大，不符合题意 C、，随的增大而增大，均匀增大，不符合题意； D、，，不符合自变量每增加1个单位，函数值变化越大，不符合题意． 故选：A． 10．（2024·江苏常州·二模）已知两点和在反比例函数 的图像上，且则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的增减性，根据反比例函数解析式得出当，y随着x的增大而减小，据此得解． 【详解】解：在反比例函数 中，， ∴反比例函数 的图象经过第一、三象限，且在每个象限内图象下降， ∴当，y随着x的增大而减小， 又∵， ∴， 故选：D． 11．（2024·江苏泰州·二模）下列函数中，函数值y随自变量x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数，一次函数和反比例函数的性质，根据一次函数的性质解答即可，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：A、函数中，时，随的增大而增大，不符合题意； B、函数中，时，随的增大而增大，不符合题意； C、函数中，只是在每一个象限中，随的增大而减小，不符合题意； D、函数中， 随的增大而减小，符合题意． 故选：D． 12．（2025·江苏扬州·一模）已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则 0（请在中选择一个符号填写在横线上）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，由反比例函数的性质可知若，则，若，则，即可得出答案，明确双曲线位于一、三象限，点在同一象限是解题的关键． 【详解】解： ∴双曲线位于一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵点在反比例函数，且， ∴点在同一象限， ， 当在第一象限时， 若，则， ； 若，则， ； 当在第三象限时， 若，则， ； 若，则， ； 综上，， 故答案为：． 13．（2024·江苏徐州·二模）点，是反比例函数图象上的两点，若，则 (填“”、“”、“”)． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 14．（2024·江苏南京·二模）已知y是x的反比例函数，其部分对应值如下表： x … 1 2 … y … a b m n … 若，则m n．（填“”“”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：，， 每个象限内，随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 15．（2024·江苏镇江·二模）已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则、、的大小关系是 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特点．根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小， ， ，即， 故答案为：． 题型八：反比例函数K的几何意义（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点为函数图象上一点，连接，交函数的图象于点，点是轴上一点，且，的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点,设，则，设直线的解析式为，得到，继而得到，得到求出或（舍去），即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点, , , 设，则， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 或， ， 不符合题意， ， 故答案为：C． 2．（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键；分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，然后可证，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∵点A与点分别在反比例函数与的图象上， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在函数，的图像上，轴，点C是y轴上一点，线段与x轴正半轴交于点D．若的面积为12，，则k的值为（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】设与y轴的交点为E，连接、．由且与高相同可得，由此可求得．由，根据反比例函数k的几何意义即可求出k的值． 本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积的计算方法是解题关键． 【详解】 设与y轴的交点为E，连接、， ， ， ． ∵轴， ， ， 解得， ， ， 故选：B． 4．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线的性质，反比例函数比例系数k的几何意义；连接，由题意易得，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k的值；通过辅助线把的面积转化为的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，如图； 与x轴相切，为的直径， ，， ， ， 即， ， ； 故选：B． 5．（2024·江苏苏州·二模）面积为6的在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的面积，表示出的坐标是解题的关键．过点A作轴，过点B作轴，过点C作，交于M，交于N，根据平行四边形的性质可得，从而表示出，根据即可求解． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，过点C作，交于M，交于N，如图， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵反比例函数的图象经过点B，， ∴， 故选：B． 6．（2024·江苏连云港·二模）如图，点是反比例函数图象上一点，连接交反比例函数的图象于点，作轴，为垂足，轴，为垂足，则四边形的面积等于(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义；根据反比例函数的几何意义，分别求得和，即可求得四边形的面积． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∵反比例函数的图象于点， ∴， ∴． 故选：A． 7．（2024·江苏扬州·二模）如图，点A是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点B、C分别在x、y正半轴上，且轴，若的面积为2，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵轴，的面积为2， ， 即：， ， ∵反比例函数在第一象限图象上， ∴． 故选：D． 8．（2024·江苏扬州·一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中小正方形的顶点A、B、C在坐标轴上，点D为小正方形与y轴的交点，顶点E在反比例函数的图像上，若，则k的值为（    ） A． B． C． D．24 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．作轴于点N，过点C作于点M，先求得每个小正方形的边长，再求得，，利用相似三角形的性质结合勾股定理求得点E的坐标，据此求解即可． 【详解】解：作轴于点N，过点C作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设“L”型模具中小正方形的边长为m， 则， 解得：负值舍去， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 同理得：， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 8．（2024·江苏扬州·一模）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求反比例函数的关系式，相似三角形的性质和判定，矩形的性质，作轴，设点D的坐标为，表示，，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，，最后根据矩形的面积是得出答案． 【详解】过点D作轴，交x轴于点E，设点D的坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵矩形的面积是， ∴， 解得． 故选：B． 9．（2024·江苏无锡·一模）如图，矩形的顶点在双曲线上，BC与y轴交于点D，且．与轴负半轴的夹角的正切值为，连接OB，，则k的值为（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角函数，反比例函数的几何意义等知识的综合运用．过点作轴于点，由题意可知，由，可知，设，则，，利用三角函数求得，利用，求得的值，在中利用三角函数求得和的长，从而求得点的坐标，即可求得的值． 【详解】解：过点作轴于点， 四边形是矩形， ， ， 轴， ，轴， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，求角的正切值，相似三角形的性质与判定．过A、B作轴，轴，根据条件得到：，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，过A、B作轴，轴，垂足分别为C、D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025·江苏徐州·一模）如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形为矩形，点D在第一象限，点E在线段上，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，由的几何意义可得，再结合三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵点A、D分别在函数、的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，轴，垂足为，，分别交双曲线于点，，若，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，反比例函数的图象与性质；过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．设，根据题意则，根据系数的几何意义，，面积为，即可得到，即可得到，解得． 【详解】解：设， 轴，垂足为，， ， 点，在双曲线上， ， ， 的面积为，面积为， ， 解得， 故答案为：． 题型九：反比例函数的实际问题（选填）（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）当蓄电池的电压为定值时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．当电阻的取值范围是 时，电流． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电阻R，根据反比例函数的性质，求出结果即可． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， 当时，， 解得：， ∵， ∴时，随R的增大而减小， ∴当时，． 故答案为：． 2．（2025·江苏徐州·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．如下表，则 ． … 4 6 8 … … 9 6 … 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键．直接利用待定系数法求出反比例函数解析式，即可求出m的值． 【详解】解：设， 把代入得：， 解得，， ∴这个反比例函数的解析式为：， 当时，， 故答案为：． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，若机器狗的最快速度是载重后总质量的反比例函数，当该机器狗载重后总质量时，最快速度，则当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 当该机器狗载重后总质量时，最快速度， ， ， ， ， 时，随的增大而减小， 当时，， 当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于． 故答案为：4． 4．（2025·江苏南京·一模）已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距满足反比例函数，当近视眼镜的度数为度时，镜片焦距为，则 ． 【答案】100 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解答本题的关键．由于近视镜度数y（度）与镜片焦距之间成反比例关系可设，由200度近视镜的镜片焦距是先求得k的值． 【详解】解：由题意设， 由于点适合这个函数解析式，则， 故答案为：100． 6．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，某药剂在空气中的浓度y（）与时间之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 ．    【答案】8或18 【分析】先利用待定系数法求出正比例函数和反比例函数的表达式，然后将分别代入两个表达式中，即可求出x的值． 本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数和反比例函数的表达式，以及已知因变量的值求相应的自变量的值，熟练掌握待定系数法及数形结合法是解题的关键． 【详解】解：设时，正比例函数的表达式为， 则， 解得， ∴正比例函数的表达式为． 设时，反比例函数的表达式为， 则， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 当时，把代入得， ， 解得． 当时，把代入得， ， 解得． 综上，当时，x的值是8 或18． 故答案为：8或18． 7．（2024·江苏无锡·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，且电路中只有一个电阻，通过的电流I（单位：A）与电阻R的阻值（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为 A． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．设该反比函数解析式为 ，根据当 时， ，可得该反比函数解析式为 ，再把代入，即可求出电流. 【详解】解：设该反比函数解析式为，由题意得： ， 解得：， ∴该反比函数解析式为， 当 时，. 故答案为：2． 题型十：反比例函数的实际问题（解答）（高频考点） 1．（2024·江苏盐城·一模）【问题背景】在一次物理实验中，小聪同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1），已知串联电路中，电流与电阻、之间的关系为，通过实验得出如下数据： … … … 4 … （1）由题意可得________； 【探索研究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图像与性质． ①平面直角坐标系中画出对应函数的图像（画图时，不写画法，保留画图痕迹，然后请用黑色水笔描黑）； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是________； 【拓展提升】 （3）结合（2）中函数的图像，直接写出不等式的解集为________． 【答案】（1）；（2）①见解析；②不断减小；（3）． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，二次函数的图像，解题的关键是数形结合． （1）根据已知列方程求解； （2）①用描点法画出图像即可；②根据函数图像即可求解； （3）作函数的图像，根据图像即可求解． 【详解】（1）根据题意可得， 由表可得，当时，， ， 解得：， 故答案为：； （2）①函数的图像如下： ②由图像可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小， 故答案为：不断减小； （3）如图， 由图像可知，不等式的解集为， 故答案为：． 2．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件(2)4月份该产品销售单价的范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论； （2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为． 令，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为元件，则， 解得， 答：该产品的生产成本为38元件； （2）解：3月份利润为：元． 由题意得4月份成本为元件， 则， 解得， 月份该产品销售单价的范围是． 3．（2024·江苏南京·一模）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润年销售利润研发费用) 【答案】(1) (2)当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意是解决问题的关键． （1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，设y与x的函数关系式为， ， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 综上所述，y与x的函数关系式为； （2）当时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， 当时，， ∴当时，w取得最大值，此时， ∵， ∴当销售单价为16时，该产品利润最大，最大利润是104万元， 答：当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元． 4．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，能用光屏承接．凸透镜能成实像的前提是物体在一倍焦距以外，而光线能会聚的是因为折射． 上图中，凸透镜的焦距为，主光轴，点，，，，都在上，其中是光心，，，蜡烛，垂足为（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点，（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为，像高为，物距为，像距为． (1)若，，，则______，______． (2)求证． (3)当一定时，画出与之间的函数图像，并结合图像，描述是怎样随着的变化而变化的． 【答案】(1)20；30(2)见解析(3)画图见解析，随着的增大而减小． 【分析】（1）证明△△，得出，得出，证明，得出，求出即可；由，解得：； （2）证明，得出，求出，证明，得出，得出，求出，得出； （3）先列表，再描点，然后连线即可画出函数图象，根据函数图象得出随着的增大而减小． 【详解】（1）根据题意可知，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 解得：，即； ，即， 解得：，即； 故答案为：20；30； （2）证明：根据题意可知，，，， ， ， ，即， 整理得：， ，， ， ， ， ，即  ， ，， ， ， ； （3）列表： 描点、连线： 根据函数图象可知，随着的增大而减小． 5．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②；(2)， 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 6．（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高” (1)正比例函数的“单位铅直高”______； (2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值； (3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值； (4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值． 【答案】(1)(2)或(3)(4)当时，有最大值；当时，t没有最大值 【分析】依据题意，仿照例子代入计算即可得解； 依据题意，可以列方程，进而可以得解； 由题意，列出关于t的方程，再由，从而可以得解； 依据题意列出关系式，通过法变化即可得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，；当时，， 正比例函数的“单位铅直高” 故答案为： （2）解：由题意得，， 或 经检验，或是方程的解． 或 （3）解：由题意得， ， 又，， 的最小值为 （4）解：由题意，， ，且对于关于m的一元二次方程有解， 或 当时，有最大值；当时，t没有最大值． 7．（2023·江苏盐城·三模）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日    （星期四），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．    第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变． 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化． 第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率． 第四步，计算收集数据如下： R/Ω … 2 4 6 8 10 … P/W … 18 9 6 4.5 3 … 第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选） A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式； (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；    (4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为． 【答案】(1)B(2)(3)图见详解(4) 【分析】（1）通过类比思想发现各数据之间的对应关系； （2）根据与的积是定值发现有问题的一组数据； （3）将描出的点用光滑的曲线连接即可； （4）根据计算出的取值范围． 【详解】（1）通过类比思想发现数据之间的关系正确与否．故选：． （2）通过前四组数据发现：与的积都是36定值，发现最后一组有问题； 与关系式是：， （3）图象如图： （4）当时，即，解得． 题型十一：一次函数与反比例函数综合之面积问题（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，连接，求△ADE的面积的最大值并求此时的值． 【答案】(1)反比例函数解析式为；(2)当时，有最大值，最大值为． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数最值问题，熟练掌握该知识点是解题的关键． （）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （）根据题意列出，根据二次函数最值问题解答即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，且点的纵坐标为， ∴，解得， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点， ∴，， ∴ ∴ ； ∴当时，有最大值，最大值为． 2．（2025·江苏常州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：；(2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． （1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，根据的面积等于12，再建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图， 对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于12， ∴，即， 解得：或； ∴或． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点． (1)求m、k的值； (2)点D是的图像上一点，且，求点D的坐标． 【答案】(1)，(2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入一次函数，求得，再将点代入一次函数，得到，将代入反比例函数，即可求出的值； （2）利用，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与y轴交于点， ∴， ∵一次函数的图像过点， ∴，解得， ∴， ∵反比例函数的图像过点， ∴． （2）解：由（1）知，，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵点D是的图像上一点， ∴当时，；当时，， ∴或． 4．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标． 【答案】(1)(2)或(3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，， ，， 解得，， ，， 把、的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象，不等式的解集为：或． （3）解：连接，，由题意， ， 设， 由题意， 解得， 或． 5．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线（）交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当n为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)m =8，；(2)；(3)，的面积最大，最大值为． 【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型． （1）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线经过点A(1，m)， ， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴由图象得，不等式的解集为； （3）解：由题意得，点M，N的坐标分别为，， ， ，， ， ∵， 时，的面积最大，最大值为． 6．（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点D，点O是线段的中点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)试判断在第二象限的反比例函数图象上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)）反比例函数表达式为 (2)反比例函数图象上存在点，使得，点的坐标为 【分析】本题考查考查了锐角三角函数、用待定系数法求反比例函数表达式、点在图象上的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数、一次函数的图象与性质． （1）利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出的长，进而求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的表达式． （2）先设出点的横坐标，利用的长和点的坐标求出的面积，进而求出的面积，再利用面积公式进行求解． 【详解】（1）解：轴于点，，， ， ． ， 点是线段的中点， ． ， 代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：设点的横坐标为． 由（1）知，， ， ． 过点P作于点E， ∵， ∴， 解得， ， 此时，点的坐标为． 综上，反比例函数图象上存在点，使得，点的坐标为． 7．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点A、B，与轴交于点F，与轴交于点C．过点A作轴于点D，，连接，已知的面积等于6，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)请直接写出一次函数的关系式 ，反比例函数的关系式 ． (2)若点E是点C关于轴的对称点，求的面积． 【答案】(1)；(2)32 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）根据的面积等于6，求出点的坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）对称性求出点坐标，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵轴，点A的坐标为 ∴，轴， ∴的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：，； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2024·江苏苏州·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)为轴上的一动点，当的面积为时，求的值． 【答案】(1)的值为2，的值为6(2)或 【分析】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及待定系数法确定函数关系式、平面直角坐标系中求三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． （1）把代入中求出，然后把代入一次函数解析式确定，进而代入反比例函数解析式确定； （2）根据列出方程求出值即可． 【详解】（1）解：把代入中，得，解得， 一次函数为， 把代入中，得， ， 将代入反比例函数中得， 的值为2，的值为6； （2）解：一次函数为， 当时，， ， ， ，解得或． 9．（2024·江苏常州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求k的值； (2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标． 【答案】(1)4(2)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案； （2）设，则，根据三角形的面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， ， 故， 将代入反比例函数， 得； （2）解：由（1）得：， 联立， 解得：或， 可知 设，且，交x轴于点M，如图； ， ， ， 解得， 点P的坐标为或． 10．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点． (1)若，则点的坐标为______； (2)连接，若的面积为，求的值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）根据正方形的性质得到，求得，得到，得到反比例函数解析式为，进而可得点的坐标； （）设，则点，根据图形可得，利用梯形的面积公式解答即可求解； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：在正方形中，， 把代入得，， 解得， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵， 把代入得，， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设，则点， 根据反比例函数的几何意义得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十二：一次函数与反比例函数综合之存在性问题（高频考点） 1．（2024·江苏镇江·二模）如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线 交于点． (1) ， ； (2)将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，则点在双曲线上吗？请说明理由； (3)连接，点P为x轴正半轴上一点，若以点 C、O、P为顶点的三角形与 相似，求点P的坐标． 【答案】(1)4，．(2)点不在双曲线上，理由见解析(3) 【分析】（1）把点代入解方程得到，即；把代入可求得k的值； （2）联立两函数解析式可得，即，根据旋转的性质得到，过C作轴于D，过作交的延长线于E，则，根据全等三角形的性质得到，即，然后判断即可； （3）由（1）得，，得到，设，根据相似三角形的性质即可解得． 【详解】（1）解：把点代入解方程得到， ∴， 把代入可得，，解得． 故答案为：4，． （2）解：点不在双曲线上，理由如下： 在中，令，则， ∴， ∴， ∵线段绕点C逆时针旋转，得到线段， ∴， 过C作轴于D，过作交的延长线于E，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴点不在双曲线上． （3）解：由（1）得，， ∴， ∵点P为x轴正半轴上一点， ∴设， ∵以点C、O、P为顶点的三角形与相似，， ∴或（此时点A与点P重合） ∴，解得：， ∴． 2．（2025·江苏宿迁·一模）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是． (1)求，的值； (2)根据图像，直接写出当时自变量的取值范围； (3)若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标． 【答案】(1)，(2)或(3)或 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）由待定系数法求出函数解析式，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）分两种情况：或讨论，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴， 代入，得， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴ 代入，得， 解得； （2）解：观察函数图象知：当时，自变量x的取值范围为或； （3）解：由（1）知：， 当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 综上，点P的坐标为或． 3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与△AOB的面积比为，则点M的坐标为 ． 【答案】(1)，(2)12(3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 将点B坐标代入反比例函数解析式，再由点C为线段的中点求出点D坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可． 分别求出和的面积即可解决问题． 根据题意得出点M为的中点，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将点B坐标代入得，， ∴反比例函数的解析式为； ∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上， ∴，则， ∴点D的坐标为， 将点D和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由得， ∴，， ∴点A的坐标为， 将代入得，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴，， ∴． （3）解：∵，    ∴， ∵与的面积比为， ∴， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为， 故答案为： 4．（2023·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．    (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)在平面内存在点，使得点、点关于点成中心对称的点恰好落在坐标轴上，请直接写出点的坐标为_____． (3)连接、，点是轴上一点，若的面积等于面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；(2)或； (3)点的坐标为或． 【分析】（）根据待定系数法分别求出一次函数、反比例函数的关系式； （）由中心对称的定义以及平行线等分线段定理可得答案； （）利用三角形面积公式以及平行线等分线段定理得出答案即可； 本题考查了一次函数、反比例函数图象的交点坐标，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数的图象过，两点． ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∵一次函数的图象过，两点． ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为， 答：一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为； （2）如图，    点关于点的对称点在轴上，点关于点的对称点在轴上， 即点是的中点，也是的中点， ∵， ∴， 即点的横坐标为， 同理点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 如图，    点关于点的对称点在轴上，点关于点的对称点在轴上， 即点是的中点，也是的中点， 同理可求出点的横坐标为，纵坐标为， 此时点， 故答案为：或； （3）如图，    直线，即直线与轴的交点的坐标为， 根据平行线等分线段定理可得， 当或时，的面积等于面积的一半， ∴， ∴点或点， 综上所述，点的坐标为或． 5．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．    (1)______，______，点C的坐标为______． (2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)，，(2)点P的坐标为或 【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标． （2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标． 【详解】（1）（1）将代入，得， ∴． 将代入，得， ∴． 如图，过点A作轴于点D，则．    ∵点A，B关于原点O对称， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）由（1）可知，，． 当点P在x轴的负半轴上时，， ∴． 又∵， ∴与不可能相似． 当点P在x轴的正半轴上时，． ①若，则， ∵， ∴， ∴； ②若，则， 又∵，， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． 6．（2025·江苏常州·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点，若，且．    (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出当时，的解集； (3)若点P为x轴上一点，是以为底边的等腰三角形，求P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式，一次函数的表达式(2)(3) 【分析】（1）先利用的面积求出，再用勾股定理求出，进而得出，求出点的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论； （2）直接由图象，即可得出结论； （3）先判断出，设，进而表示出最后用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于，   ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； 点，在一次函数的图象上， ， ， 一次函数的表达式为； （2）解：由图象知，的解集为； （3）解：如图2，过点作轴于，   是以为底边的等腰三角形， ， 设， 由（1）知，， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ． 7．（2024·江苏镇江·二模）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数过点A．    (1)求a与k的值； (2)在x轴上是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)存在， 点D坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）在轴上存在点，使得．分两种情况：当点在轴正半轴上时，当点在轴负半轴上时，分别求得点的坐标即可． 【详解】（1）解： 点在直线上， ， ， 反比例函数经过点， ， 解得：； （2）解：在轴上存在点，使得． 当点在轴正半轴上时，如图，过点作轴交轴于点， 则， 此时点； 当点在轴负半轴上时，如图，设与轴交于点， ， ， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或． 题型十三：一次函数与反比例函数综合之其他问题（高频考点） 1．（2025·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点． (1)若点的横坐标为2，求的值； (2)点为轴正半轴上一点，且，过点垂直于轴的直线分别交函数、的图象于点、，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1)(2)，证明见解析 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的综合，勾股定理的应用，二次根式的除法运算； （1）先求解点坐标为，代入可得的值； （2）设，可得，，可得反比例函数为：，结合，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵点在正比例函数上，且点的横坐标为， 把代入中，得到， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数图象上， 将代入到反比例函数得，； （2）解：，理由如下： ∵正比例函数与反比例函数的图象相交于点． ∴设， ∴，， ∴反比例函数为：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 2．（2025·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点． (1)求反比例函数的表达式和a的值； (2)若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设的表达式为：，利用待定系数法确定的表达式为：，然后分别确定，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图像上， ∴代入得， ∴反比例函数关系式为， ∵点在的图像上， ∴代入得， 综上，反比例函数关系式为，； （2）设的表达式为：， 将，代入得：， 解得， ∴的表达式为：， ∵点的横坐标为4，把代入得． ∴， ∵轴， ∴，代入得， ∴， ∴． 3．（2025·江苏徐州·一模）如图，△ABC的三个顶点坐标都是整数，点在线段上，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)将△ABC向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1)(2)△ABC平移的距离为 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，图形平移的性质，掌握待定系数求解析式，图形平移的特点是关键． （1）由图可知点，点，点，运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法可得，则点，对于，令，根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知点，点，点， 反比例函数的图象经过点， ， ， 这个反比例函数的表达式为． （2）解：设，将，点，代入得， 解得， ， 令， 点， 对于，令， ∴， 解得，， 平移的距离为． 4．（2025·江苏宿迁·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)求B点坐标； (3)结合图象直接写出关于x的不等式的解集：______． 【答案】(1)；(2)点B的坐标为(3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据点坐标及的面积，求出点的坐标，再分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题． （2）将（1）中所得函数解析式，组成方程即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：点坐标为， ． 轴，且的面积为4， ， ， 点的坐标为． 将点坐标代入得，； 将点坐标代入得，． （2）解：由（1）知， 一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 则， 解得，， 经检验，是原方程的解． 当时，， 所以点的坐标为． （3）解：由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：或． 故答案为：或． 5．（2024·江苏淮安·模拟预测）“数形结合”是一种重要的数学思想．八上教材中，我们曾用函数观点看方程也就是利用一次函数的图像求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图像交点的问题． (1)方程的解可以转化为一次函数和反比例函数的图像交点问题，请直接写出一对符合要求的和的函数表达式； (2)利用“数形结合”，不解方程，借助下面平面直角坐标系，判断方程的解的个数； (3)关于的方程（为非零常数，其中）的根的情况，下列经论中正确的是（   ） A．一个实数根B．二个实数根 C．三个实数根D．无实数根 【答案】(1)，(2)个(3)A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， （1）将方程两边同时除以得：即可； （2）将方程方程两边同时除以得：，分情况画图即可得出结论； （3）将方程方程转化为，结合图形即可得出结论； 能正确的将方程转化为两个函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵且， ∴方程两边同时除以得：， ∴，； （2）∵且， ∴方程两边同时除以得：， 令，， 画图可得： ∴由此可知：方程的解有个； （3）∵（为非零常数，其中） ∴方程两边同时除以得：， ∴， 令，， ∵为非零常数，其中 ∴，， ∴一次函数的图像是一条直线，经过一、二、四或二、三、四象限， 画图可得： 或 ∴关于的方程只有一个实数根． 故选：A． 6．（2024·江苏镇江·模拟预测）（1）由“函数与方程关系”可知：方程(可化为)的解，可看作函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的两个解，可看作直线__________与双曲线交点的横坐标； （2）若直线与双曲线()交于，，求不等式的解． （3）若点A的坐标是，直线l：与y轴交于点B，点C是直线l上一动点，过点C作x轴的垂线，交双曲线于D，若A，B，C，D四点是一个平行四边形的四个顶点，求D的坐标． 【答案】（1）；（2） 或；（3）或 【分析】本题考查了反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题． （1）把方程变形为，即可求解． （2）根据已知条件画出两函数的大致图象，即可求出不等式的解集． （3）由与y轴交于点B，得设，则，，分以对角线为、，对角线为、，对角线为、三种情况进行讨论，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由左右同时除以x得，， 所以，， 所以，方程的两个解，可看作直线与曲线交点的横坐标． 故答案是：． （2）解：直线与双曲线交于，，画出大致图形如下： 由图可知，直线在双曲线上方时或 ∴不等式的解集为：或； （3）解：∵与y轴交于点B， ∴， 根据题意，设，则， 而， ①若平行四边形对角线为、则的中点即是中点， ∴，方程组无解； ②若平行四边形对角线为、，则的中点即是中点， ∴，化简整理得，无解； ③若平行四边形对角线为、，则的中点即是中点，如图： ∴， 解得或， ∴或． 综上所述，的坐标为：或． 7．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)若，点M为双曲线上一点，点N为直线上一点．．且，求点M的坐标； (3)如图2，连接，当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变求其值；若变化说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)不发生变化，18 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求得，设，，由．且，可得以M，N，O，C为顶点的四边形是以，为边的平行四边形，分两种情况：当，为对角线时，，的中点重合，当，为对角线时，，的中点重合，利用中点坐标公式列方程求解即可； （3）过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点为双曲线上一点， ∴， ∴双曲线的解析式为； （2）解：当时，由 解得（舍去）或， ∴， 设，， ∵．且， ∴以M，N，O，C为顶点的四边形是以，为边的平行四边形， 当，为对角线时，，的中点重合， ∴， 由得：， 解得（舍去）或， 经检验，是分式方程的解， ∴； 当，为对角线时，，的中点重合， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是方程组的解， ∴； 综上所述，M的坐标为或； （3）解：的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H， 如图：在中，令得，令得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴的值不发生变化． 8．（2024·江苏苏州·三模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次的数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为(2)点坐标为 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再求出点坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数解析式为． 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以点的坐标为． 将点和点的坐标代入一次函数解析式得，， 解得， 所以一次函数解析式为． （2）设点的坐标为， 过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ． ，． 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为，． 点在函数图象上， ， 解得，， 因为点坐标为， 所以舍去， 所以点坐标为． 9．（2024·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数 的图象在第一象限内交于和两点， 直线与x轴相交于点 C， 连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点B 作平行于x轴，交于点 D， 求梯形的面积． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）求的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ∴， ∴反比例函数为：， 把代入可得：， ∴， 把代入一次函数得： ∴，解得：， ∴一次函数为． （2）∵，设的解析式为：，则， 解得， ∴的解析式为：， ∵过点B作平行于x轴，交于点D，， ∴， ∴，即， ∴， ∵为， 当，则，即， ∴， ∴梯形的面积为：． 10．（2024·江苏扬州·一模）如图1，已知点，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点． (1)当，时，求直线的解析式及k的值； (2)当△AOB的面积为10时，求k的值； (3)当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离． 【答案】(1)；(2)(3)平移的距离为 【分析】（1）运用待定系数法即可求得直线的解析式，再联立方程组后运用根的判别式即可求得的值； （2）由的面积为10，可得出，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组整理得，运用根的判别式可得，即； （3）根据和反比例函数k值几何意义得出，从而得出当时，取最大值，解出，平移前点，得出．平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴，设点，则，根据，得出，．证明，得出，点，得出，解得，从而得出平移后点，即可求出平移的距离． 【详解】（1）解：当时，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得：， ∵反比例函数与直线有唯一一个交点， ∴， ∴； （2）∵的面积为10， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得：， ∵反比例函数与直数有唯一一个交点， ， ． （3）∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∴平移前点． ∴， ∴． 平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴， 设点，则， ∵平移，所以， ∴， ∴． ∵点是中点，且， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴，解得． ∵， ∴． ∴平移后点， ∴平移的距离为． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏数学中考预测专项突破 专题04 一次函数与反比例函数（江苏专用） 2024年江苏中考数学真题一次函数与反比例函数分析（主要针对无锡、徐州、常州、苏州） ❆无锡卷：填空题第17题：此题主要将反比例函数、一元二次方程以及平移结合考查，分值3分，难度中等； ❆徐州卷：填空题第15题：此题主要考查的是反比例函数的增减性判断值的大小，分值3分，难度较易； ❆常州卷：解答题第24题：此题主要考查的是反比例函数与一次函数的综合求解析式和面积问题，分值8分，难度中等； ❆苏州卷：选择题7题：此题主要考查的是反比例函数k的几何意义，分值3分，难度中等；解答题第24题：此题考查的是反比例函数与几何综合，分值8分，难度中等偏上； 题型一：一次函数的增减性求解（高频考点） 1．（2024·江苏南京·模拟预测）已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·一模）已知点、都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏镇江·一模）已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 4．（2024·江苏苏州·一模）已知一次函数（，为常数，），当时，，则的值为 ． 5．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知点、都在直线上，则与的大小关系是 ． 题型二：与一次函数相关的交点个数问题（高频考点） 1．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·江苏扬州·二模）已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线m绕点B顺时针旋转得到新的直线m，则直线n与x轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏宿迁·二模）已知直线不经过第二象限，则关于x的方程的实数根个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·江苏·模拟预测）平面直角坐标系中，，直线（m为常数）与线段有公共点，则m的取值范围是 ． 5．（2024·江苏南京·三模）已知一次函数与为常数），当时，，则的取值范围是 ． 6．（2024·江苏连云港·模拟预测）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有 个． 7．（2024·江苏连云港·二模）若一次函数（）的图象经过第二、三、四象限，则函数轴的交点有 个． 8．（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 9．（2024·江苏连云港·二模）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 10．（2024·江苏扬州·一模）若关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数与（是常数，）的图象的交点坐标是 ． 11．（2024·浙江宁波·一模）已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，则方程组的解是 ． 题型三：一次函数与不等式的结合（高频考点） 1．（2024·江苏南通·二模）如图，一次函数的图象经过点和点．若，则满足条件的x的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 2．（2024·江苏徐州·二模）若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·一模）定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为 ． 6．（2024·江苏徐州·一模）如图，根据函数图象可得关于x的不等式的解集是 ． 7．（2023·江苏镇江·模拟预测）直线和双曲线相交于点和点，不等式的解集为 ． 8．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是 ；关于x的不等式的解集是 ；当时，x的取值范围是 ． 9．（2024·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，一次函数，，无论x取何值，始终有，则m的取值范围是 ． 10．（2024·江苏徐州·三模）如图，函数的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 题型四：一次函数中定义新运算（高频考点） 1．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：若O，A，B在一条直线上 ；若O，A，B不在一条直线上．已知点A坐标为，点B坐标为，有下列结论： ①； ② 若，则点P坐标为； ③ 满足的点P，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④ 若平面中任意一点P满足，则满足条件的点P的全体组成的图形面积为其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·江苏无锡·一模）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（2024·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 4．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏宿迁·一模）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点，若且，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围 ． 6．（2024·江苏徐州·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．在函数①，②，③，④，⑤，⑥的图象上，存在“平衡点”的函数是 ．（填序号） 7．（2024·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是 ． 题型五：一次函数的实际应用（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模） “书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进A，两类图书，已知购进3本A类图书和4本类图书共需192元；购进6本A类图书和2本类图书共需240元． (1)A，两类图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店计划恰好用4800元来购进这两类图书，进货时，A类图书的购进数量不少于80本．已知A类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，求最大利润为多少元？ 2．（2025·江苏南京·一模）A，B两地相距，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶．快车到达B地后立即按原路原速返回，慢车到达A地后停止．快、慢两车离A地的距离（单位：）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)补全y1与x之间的函数图像： (2)若慢车的速度为． ①点P的坐标为 ； ②快车到达A地前，两车何时相距？ (3)若慢车在快车返回A地后的内到达，则慢车速度v的范围是 ． 3．（2025·江苏宿迁·一模）某县某水果种植户进行软籽石榴销售．已知每千克石榴的成本为元，在整个销售旺季的天里，销售单价（元千克）与时间第 （天）之间的函数关系为： 日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示，请解答： (1)求日销售量与时间的函数关系式？ (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ 4．（2025·江苏南京·一模）圆圆在某游泳馆购买了一张会员卡，可以按次以优惠的价格购买游泳票，她的总花费y（元）与游泳次数x之间是一次函数关系，下表是记录的一组数据： 游泳次数x 1 2 3 4 5 … 总花费y/元 230 260 290 320 350 … (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当总花费为800元时，她游泳的次数是多少？ 5．（2025·江苏无锡·一模）《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本） 6．（2025·江苏泰州·一模）为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费500万元购进高性能服务器的台数比花费450万元购进普通服务器的台数少5台． (1)高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？ (2)若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过4200万元．高性能服务器每台售价60万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打6折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 7．（2025·江苏无锡·一模）某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系如图所示： (1)求每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式；（毛利润销售总额进货成本） (2)受市场影响，服装的定价不能超过52元，则每件服装的销售价为多少元时，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 8．（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 9．（2025·江苏宿迁·一模）某商场购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商场按单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？ 10．（2025·江苏南京·模拟预测）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为，在行驶过程中乙车速度始终保持，甲车先以一定速度行驶了，用时，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程与所用时间的关系如图①所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲车改变速度前的速度是 ，乙车行驶 到达绥芬河； (2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式，不用写出自变量的取值范围； (3)在图②中，画出甲、乙两车的距离（单位：）与所用时间之间的函数图象． 题型六：反比例函数的图象（高频考点） 1．（2023·江苏盐城·三模）下列四个函数图象中，的大致图象（    ） A．B． C． D． 2．（2024·江苏盐城·二模）若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    ） A．B． C． D． 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型七：利用反比例函数的增减性求解（高频考点） 1．（2025·江苏泰州·一模）已知点，都是反比例函数图像上的点，并且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏盐城·一模）已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，点、在同一象限，则 D．若，点、在不同象限，则 3．（2023·江苏扬州·一模）已知点在反比例函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏扬州·三模）在中，有两点，则与的关系满足下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏泰州·二模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏扬州·二模）某小组为了研究一组数据变化规律，将数据通过描点、连线得到相应的图象如图所示，若选择的函数模型是，则（　　） A．， B．， C．， D．， 7．（2024·江苏南京·三模）已知反比例函数的图像经过点，则下列关于与的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．不能确定 8．（2024·江苏扬州·二模）已知点都在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（2024·江苏无锡·二模）已知，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立，则符合题意的函数可能是（　　） A． B． C． D． 10．（2024·江苏常州·二模）已知两点和在反比例函数 的图像上，且则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·江苏泰州·二模）下列函数中，函数值y随自变量x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·江苏扬州·一模）已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则 0（请在中选择一个符号填写在横线上）． 13．（2024·江苏徐州·二模）点，是反比例函数图象上的两点，若，则 (填“”、“”、“”)． 14．（2024·江苏南京·二模）已知y是x的反比例函数，其部分对应值如下表： x … 1 2 … y … a b m n … 若，则m n．（填“”“”或“＝”） 15．（2024·江苏镇江·二模）已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则、、的大小关系是 ．（用“<”连接） 题型八：反比例函数K的几何意义（高频考点） 1．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点为函数图象上一点，连接，交函数的图象于点，点是轴上一点，且，的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏淮安·一模）如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 3．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在函数，的图像上，轴，点C是y轴上一点，线段与x轴正半轴交于点D．若的面积为12，，则k的值为（    ） A．6 B． C．8 D． 4．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 5．（2024·江苏苏州·二模）面积为6的在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为（    ） A． B．4 C．2 D． 6．（2024·江苏连云港·二模）如图，点是反比例函数图象上一点，连接交反比例函数的图象于点，作轴，为垂足，轴，为垂足，则四边形的面积等于(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·江苏扬州·二模）如图，点A是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点B、C分别在x、y正半轴上，且轴，若的面积为2，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024·江苏扬州·一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中小正方形的顶点A、B、C在坐标轴上，点D为小正方形与y轴的交点，顶点E在反比例函数的图像上，若，则k的值为（    ） A． B． C． D．24 8．（2024·江苏扬州·一模）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（2024·江苏无锡·一模）如图，矩形的顶点在双曲线上，BC与y轴交于点D，且．与轴负半轴的夹角的正切值为，连接OB，，则k的值为（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 10．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则 ． 11．（2025·江苏徐州·一模）如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形为矩形，点D在第一象限，点E在线段上，则的面积为 ． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，轴，垂足为，，分别交双曲线于点，，若，的面积为，则的值为 ． 题型九：反比例函数的实际问题（选填）（高频考点） 1．（2025·江苏无锡·一模）当蓄电池的电压为定值时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．当电阻的取值范围是 时，电流． 2．（2025·江苏徐州·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．如下表，则 ． … 4 6 8 … … 9 6 … 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，若机器狗的最快速度是载重后总质量的反比例函数，当该机器狗载重后总质量时，最快速度，则当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于 ． 4．（2025·江苏南京·一模）已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距满足反比例函数，当近视眼镜的度数为度时，镜片焦距为，则 ． 6．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，某药剂在空气中的浓度y（）与时间之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 ．    7．（2024·江苏无锡·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，且电路中只有一个电阻，通过的电流I（单位：A）与电阻R的阻值（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为 A． 题型十：反比例函数的实际问题（解答）（高频考点） 1．（2024·江苏盐城·一模）【问题背景】在一次物理实验中，小聪同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1），已知串联电路中，电流与电阻、之间的关系为，通过实验得出如下数据： … … … 4 … （1）由题意可得________； 【探索研究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图像与性质． ①平面直角坐标系中画出对应函数的图像（画图时，不写画法，保留画图痕迹，然后请用黑色水笔描黑）； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是________； 【拓展提升】 （3）结合（2）中函数的图像，直接写出不等式的解集为________． 2．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 3．（2024·江苏南京·一模）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润年销售利润研发费用) 4．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，能用光屏承接．凸透镜能成实像的前提是物体在一倍焦距以外，而光线能会聚的是因为折射． 上图中，凸透镜的焦距为，主光轴，点，，，，都在上，其中是光心，，，蜡烛，垂足为（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点，（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为，像高为，物距为，像距为． (1)若，，，则______，______． (2)求证． (3)当一定时，画出与之间的函数图像，并结合图像，描述是怎样随着的变化而变化的． 5．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 6．（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高” (1)正比例函数的“单位铅直高”______； (2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值； (3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值； (4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值． 7．（2023·江苏盐城·三模）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日    （星期四），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．    第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变． 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化． 第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率． 第四步，计算收集数据如下： R/Ω … 2 4 6 8 10 … P/W … 18 9 6 4.5 3 … 第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选） A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式； (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；    (4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为． 题型十一：一次函数与反比例函数综合之面积问题（高频考点） 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，连接，求△ADE的面积的最大值并求此时的值． 2．（2025·江苏常州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点． (1)求m、k的值； (2)点D是的图像上一点，且，求点D的坐标． 4．（2025·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标． 5．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线（）交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时不等式的解集； (3)直线沿轴方向平移，当n为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 6．（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点D，点O是线段的中点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)试判断在第二象限的反比例函数图象上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点A、B，与轴交于点F，与轴交于点C．过点A作轴于点D，，连接，已知的面积等于6，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)请直接写出一次函数的关系式 ，反比例函数的关系式 ． (2)若点E是点C关于轴的对称点，求的面积． 8．（2024·江苏苏州·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)为轴上的一动点，当的面积为时，求的值． 9．（2024·江苏常州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求k的值； (2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标． 10．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点． (1)若，则点的坐标为______； (2)连接，若的面积为，求的值． 题型十二：一次函数与反比例函数综合之存在性问题（高频考点） 1．（2024·江苏镇江·二模）如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线 交于点． (1) ， ； (2)将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，则点在双曲线上吗？请说明理由； (3)连接，点P为x轴正半轴上一点，若以点 C、O、P为顶点的三角形与 相似，求点P的坐标． 2．（2025·江苏宿迁·一模）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是． (1)求，的值； (2)根据图像，直接写出当时自变量的取值范围； (3)若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标． 3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与△AOB的面积比为，则点M的坐标为 ． 4．（2023·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．    (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)在平面内存在点，使得点、点关于点成中心对称的点恰好落在坐标轴上，请直接写出点的坐标为_____． (3)连接、，点是轴上一点，若的面积等于面积的一半，求点的坐标． 5．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．    (1)______，______，点C的坐标为______． (2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 6．（2025·江苏常州·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点，若，且．    (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出当时，的解集； (3)若点P为x轴上一点，是以为底边的等腰三角形，求P的坐标． 7．（2024·江苏镇江·二模）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数过点A．    (1)求a与k的值； (2)在x轴上是否存在点D，使得，若存在，请直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 题型十三：一次函数与反比例函数综合之其他问题（高频考点） 1．（2025·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点． (1)若点的横坐标为2，求的值； (2)点为轴正半轴上一点，且，过点垂直于轴的直线分别交函数、的图象于点、，猜想与的数量关系，并证明． 2．（2025·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点． (1)求反比例函数的表达式和a的值； (2)若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长． 3．（2025·江苏徐州·一模）如图，△ABC的三个顶点坐标都是整数，点在线段上，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)将△ABC向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 4．（2025·江苏宿迁·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)求B点坐标； (3)结合图象直接写出关于x的不等式的解集：______． 5．（2024·江苏淮安·模拟预测）“数形结合”是一种重要的数学思想．八上教材中，我们曾用函数观点看方程也就是利用一次函数的图像求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图像交点的问题． (1)方程的解可以转化为一次函数和反比例函数的图像交点问题，请直接写出一对符合要求的和的函数表达式； (2)利用“数形结合”，不解方程，借助下面平面直角坐标系，判断方程的解的个数； (3)关于的方程（为非零常数，其中）的根的情况，下列经论中正确的是（   ） A．一个实数根B．二个实数根 C．三个实数根D．无实数根 6．（2024·江苏镇江·模拟预测）（1）由“函数与方程关系”可知：方程(可化为)的解，可看作函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的两个解，可看作直线__________与双曲线交点的横坐标； （2）若直线与双曲线()交于，，求不等式的解． （3）若点A的坐标是，直线l：与y轴交于点B，点C是直线l上一动点，过点C作x轴的垂线，交双曲线于D，若A，B，C，D四点是一个平行四边形的四个顶点，求D的坐标． 7．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)若，点M为双曲线上一点，点N为直线上一点．．且，求点M的坐标； (3)如图2，连接，当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变求其值；若变化说明理由． 8．（2024·江苏苏州·三模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次的数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 9．（2024·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数 的图象在第一象限内交于和两点， 直线与x轴相交于点 C， 连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点B 作平行于x轴，交于点 D， 求梯形的面积． 10．（2024·江苏扬州·一模）如图1，已知点，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点． (1)当，时，求直线的解析式及k的值； (2)当△AOB的面积为10时，求k的值； (3)当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$