精品解析：江苏省淮安市九校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

2024-2025学年度高二年级第二学期期中学情调查 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为－0.92，0.46，0.79，0.85，则（ ） A. 甲组数据变量间的线性相关程度最强 B. 乙组数据变量间的线性相关程度最强 C. 丙组数据变量间的线性相关程度最强 D. 丁组数据变量间的线性相关程度最强 【答案】A 【解析】 【分析】根据相关系数的性质进行判断，越接近1时，相关程度越强. 【详解】设变量间的线性相关系数为，当越接近1时，相关程度越强， 因为， 所以甲组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱． 故选：A. 2. 已知，分别是直线，的方向向量，若，则实数x，y的值分别是（ ） A. 6，15 B. 3， C. 3，15 D. 6， 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线列式得到，解出未知量即可. 【详解】由，得，解得，． 故选：D. 3. 完全展开后的项数是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计算即可. 【详解】由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为. 故选：C 4. 在三棱锥中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形应用向量加减法运算化简求解. 【详解】如图所示，连接， 因为，，则，， 所以 . 故选：D. 5. 若随机变量，则（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 4.8 D. 9.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的方差计算公式得到，再离散型随机变量的方差的性质计算求解. 【详解】因为，所以，， 所以， 故选：D. 6. 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：, 甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：, 所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为， 故选：C 7. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可. 【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图，    排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有（种）. 故选：A 8. 为迎接五一假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的5个红球和4个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券；摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者获得至多（ ）百元代金券 A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知代金券的取值，再根据随机变量的意义求概率，即可求分布列，再求期望可知，根据条件，结合基本不等式求的最大值，即可求解. 【详解】若摸到一红球一白球的概率， 若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率， 设可获得百元代金券为变量分布列如下， a b ab P ， 手气最好者获得百元代金券 即，， 又a，b均为正整数， 所以当时，有，即舍去； 当时，有，即， 此时运气最好者获得至多百元代金券； 当时，有，即舍去； 当时，有，即，此时运气最好者获得至多百元代金券； 当时，有，即舍去； 当时，有，即舍去； 当时，有，即舍去； 当时，有，即舍去； 当时，可得舍去； 综上，运气最好者获得至多16百元代金券. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则（ ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量万次 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 与负相关 B. C. 第7个月的下载量估计为1.8万次 D. 残差绝对值的最大值为0.2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归方程的增减性，可得A的正误；取得样本中心代入方程，可得B的正误，利用回归方程，代入求值，可得C的正误；由题意列表求得每个月的残差，可得D的正误. 【详解】对于A，由，则回归直线斜向下，故A正确； 对于B，由，，即样本中心为， 则，解得，故B正确； 对于C，将代入回归方程，解得，故C错误； 对于D，由题意可得下表： 则最大值，故D正确. 故选：ABD. 10. 甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率及全概率公式计算即可. 【详解】由题意知，， ，，故A正确； ，，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 11. 设，则（ ） A. B. C. D. 若表示正数的整数部分，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可得A正确；令可得B错误；令，再由偶数项的和可得C正确；由二项式定理的整除可得D正确. 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，令，可得，故B错误； 对于C，令，可得， 所以， 所以，所以，故C正确； 对于D， 所以，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是____________（请用数字作答） 【答案】30 【解析】 【分析】根据分类讨论，结合组合的知识求得正确答案. 【详解】选出的志愿者中，1个女生3个男生时，方法数有种，2个女生2个男生时，方法数有种，所以不同选法有种. 故答案为：30. 13. 某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意知正态曲线关于对称，然后由，从而可求得，从而可求解. 【详解】由题意得数学成绩， 所以由，可得， 所以， 所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为. 故答案为：10. 14. 甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则_________，若第1轮甲得3分，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：分析出情况的概率，结合事件的含义求解即可，第二空，列举出具体的样本点，结合二项分布求解即可. 【详解】由题知每一轮甲得3分的概率为，得0分的概率为，得1分的概率为，所以； 若第1轮甲得3分，则对应的甲乙得分情况可能为 所以 ． 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项，并指出是第几项； 【答案】（1）； （2）常数项为60，为第5项. 【解析】 【分析】（1）由二项式系数之比列式求解即可； （2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解． 【小问1详解】 依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， ∴，即，由，解得； 【小问2详解】 展开式的通项为 ， 令，解得， ∴， ∴常数项为60，为第5项. 16. 如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点． （1）求直线与直线AF的夹角的余弦值； （2）求点F到平面的距离． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线AF的夹角的余弦值； （2）求得平面的法向量，利用空间向量法可求得点F到平面的距离. 【小问1详解】 因为丄平面ABC，AB⊥AC，以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，则A(0,0,0)、、E(1,0,0)、F(1,0,2)， 所以，，， ， 所以，直线与直线AF的夹角的余弦值为． 【小问2详解】 易知，，， 设平面的法向量为， 则，取x=2，可得， 所以平面的一个法向量为， 且，所以，点F到平面的距离为． 17. 预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）： 发病 没发病 合计 接种疫苗 7 18 25 没接种疫苗 19 6 25 合计 26 24 50 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值. （3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）接种该疫苗与预防该疾病有关. （2） （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）求得卡方值，比较临界值即可判断； （2）由条件概率计算公式即可求解； （3）由题意确定，进而可求解； 【小问1详解】 根据列联表可得 ， 所以，在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关. 【小问2详解】 由于. 所以，， , 由列联表中的数据可得，，所以. 【小问3详解】 由题可知，抽取的24只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为18只和6只，所以从没发病的动物中随机抽取1只，抽取的是接种了疫苗的概率为， 则由题意可知，且， ，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为. 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，． （1）证明：平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，由点是上的一点得到进而得到平面的法向量的坐标，再由（1）中平面ABCD得到是平面ABCD的一个法向量，利用两平面夹角的余弦值求得的值，进而得到； （ⅱ）利用平面的法向量，确定点的坐标，从而得到的坐标，由点M在平面PBC上，可设，从而得到平面MAD的法向量，从而可以用表示出EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围，利用二次函数的值域得到正弦值的取值范围. 【小问1详解】 因为平面PAD，平面PAD，所以． 又，平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD． 【小问2详解】 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图． （ⅰ），，， ，，，设， 则． 设平面AEF的法向量为，则即， 取，得，， 所以是平面AEF的一个法向量， 因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量． 因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为， 所以，得，所以． （ⅱ）设，则． 因为为平面AEGF的一个法向量，所以， 所以，即，得， 所以，． ，，，，，， 因为M在平面PBC上，所以， 所以． 设平面MAD的法向量，则即， 取得，所以是平面MAD一个法向量， 设EG与平面MAD所成角为，则 因为，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为． 19. 从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试． （1）若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列； （2）若现只有三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下： 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至节点；否则保留在节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回节点；否则传输至节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回节点；否则传回B节点. 初始时数据在节点，设经过次骰子投掷（即次传输）后，数据在A节点的概率为， ①求 ②求 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布可求的分布列； （2）设投掷次后，数据仍在中的概率为，则可得，，利用构造法可求通项. 【小问1详解】 的可能取值为1，2，3 ，， 所以得分布列为： X 1 2 3 P 【小问2详解】 ①由题意，当投掷3次骰子后，点数大于3的概率为，若点数大于4的概率为， 数据在中，共有4种情况： ，其概率为； ，概率为； ，概率为； ，概率为； 所以投掷3次后，数据在中的概率为． ②设投掷次后，数据在中的概率为， 所以当时，， ， 所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二年级第二学期期中学情调查 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为－0.92，0.46，0.79，0.85，则（ ） A. 甲组数据变量间线性相关程度最强 B. 乙组数据变量间的线性相关程度最强 C. 丙组数据变量间的线性相关程度最强 D. 丁组数据变量间的线性相关程度最强 2. 已知，分别是直线，方向向量，若，则实数x，y的值分别是（ ） A 6，15 B. 3， C. 3，15 D. 6， 3. 完全展开后的项数是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 18 4. 在三棱锥中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若随机变量，则（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 4.8 D. 9.6 6. 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 8. 为迎接五一假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的5个红球和4个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券；摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者获得至多（ ）百元代金券 A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则（ ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量万次 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 与负相关 B. C. 第7个月的下载量估计为1.8万次 D. 残差绝对值的最大值为0.2 10. 甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（ ） A. B. C. D. 11. 设，则（ ） A. B. C D. 若表示正数的整数部分，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是____________（请用数字作答） 13. 某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______． 14. 甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则_________，若第1轮甲得3分，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项，并指出是第几项； 16. 如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点． （1）求直线与直线AF的夹角的余弦值； （2）求点F到平面的距离． 17. 预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）： 发病 没发病 合计 接种疫苗 7 18 25 没接种疫苗 19 6 25 合计 26 24 50 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值. （3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10828 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，． （1）证明：平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 19. 从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试． （1）若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列； （2）若现只有三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下： 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至节点；否则保留在节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回节点；否则传输至节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回节点；否则传回B节点. 初始时数据在节点，设经过次骰子投掷（即次传输）后，数据在A节点的概率为， ①求 ②求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $