1.6.1探究ω对y=sinωx的图象的影响课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

1.6.1 探究ω对y=sinωx的图象的影响 第一章 三角函数 1 学习目标 1.结合具体实例，了解<m></m>的实际意义.（数学抽象） 2.理解<m></m>中<m></m> 对图象的影响.（逻辑推理） 3.掌握<m></m>与<m></m>图象间的变换关系.（直观想象） 学习目标 2 你知道冲浪运动吗？那汹涌的波涛时而把人们推向高耸的巅峰，时而又将人们卷 入无底的深渊，让人们尽情地享受冲浪的乐趣.猛然间我们会发现它竟然与我们所学的 正弦、余弦函数的图象是那么的相似，它们之间是不是有某种联系？相信学过本节之 后，你一定会豁然开朗. 阅读教材，结合上述情境回答下列问题. 1.如何求函数 的周期？ [答案] . 自主预习 3 2.函数是怎样由 变换得到的? [答案] 把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（当 时）或伸长 （当时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的. 自主预习 4 1.若函数在区间，上单调递增，在区间， 上单调递减， 则 ( ). B A.1 B. C.2 D.3 [解析] 由题意可知函数在时取得最大值，则， ，所以 .当时， 满足选项.故选B. 自主预习 5 2.若将函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，则 得到的新函数图象的解析式为( ). D A. B. C. D. [解析] 横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，则函数解析式变为 . 自主预习 6 3.函数 的定义域是_____________________. ， [解析] 由题意知，，即，由正弦函数 得 ， ，所以 ，解得 ，所以函数的定义域为 ， . 自主预习 7 4.写出一个周期为2且值域为的函数的解析式： ________________________. （答案不唯一） [解析] 的周期为2，值域为 满足题意 （答案不唯一）. 自主预习 8 探究1 对 的图象的影响 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图描绘了筒车的工作原理. 如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过后，盛水筒从点 运 动到点.设点距离水面的高度为 ． 问题1: 由哪些量决定？ [答案] :由以下量决定：筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径 ，筒车转动 的角速度 ，盛水筒的初始位置以及所经过的时间 ． 合作探究 9 问题2: 将点距离水面的高度表示为时间 的函数. [答案] 如图，以为原点，与水平面平行的直线为轴建立平面直角坐标系.设当 时，盛水筒位于点，以为始边，为终边的角为 ，经过 后运动到点 . 于是，以为始边，为终边的角为 ，所以 ， 故点距离水面的高度 ． 合作探究 10 问题3: 若改变,, , 的值，则可得函数，和 ，它们的 周期分别是什么？当三个函数的函数值相同时，它们 的取值有什么关系？ [答案] 周期分别为 ， ， . 当三个函数的函数值相同时，中的取值是中取值的， 中的取值是中 取值的2倍. 合作探究 11 问题4: 你能在同一坐标系中画出函数，和 的图象吗？ [答案] 能，如图. 合作探究 12 探究对 的图象的影响： 一般地，对于，有 .根据周期函数的 定义，是函数的最小正周期.函数的图象是将函数 图象上所有点的横坐标 到原来的（当时）或（当 时） 到原来的倍（纵坐标）得到的.通常称周期的倒数 为频率. 合作探究 13 例1 已知函数，该函数的图象可由， 的图象经过怎样的变换 得到？ [解析] 把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，可以得 到函数 的图象. 【变式设问】 把已知函数改为 ，其他不变，如何变换？ 提示 把函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得 到函数 的图象. 合作探究 14 方法总结 由<m></m>的图象，通过变换得到<m></m>的图象时，注意<m></m> 的取值范围:当 <m></m>时，缩短到原来的<m></m>；当<m></m>时，伸长到原来的<m></m>倍. 巩固训练 为了得到函数的图象，只需把函数 的图象上所有点的 ( ). A A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变 [解析] 根据 对函数图象的影响，只需把函数 的图象上所有点的横坐标伸 长到原来的4倍，纵坐标不变，就得到函数 的图象. 合作探究 15 探究2 函数 的图象与性质 小明用五点作图法画出函数 与 在一个周期内的图象如图所示，根据该图 回答下列问题. 问题1: 函数在 上的单调递增区间是 什么？ [答案] ,,, . 合作探究 16 问题2: 如何求函数 的单调递减区间？ [答案] 因为在上的单调递减区间为, ，所以 ， 解得 , 所以函数的单调递减区间是 , . 合作探究 17 函数 的性质 定义域 值域 周期 奇偶性 奇函数 对称轴方程 由 求得 对称中心 由 求得 单调性 单调递增区间由 求得；单调递减区 间由 求得 合作探究 18 例2 已知函数， . （1）利用“五点法”画出函数 的简图; （2）研究函数 的性质. 合作探究 19 [解析] （1）列表取值，描出五个关键点并用光滑曲线顺次连接，得到一个周期的简图. 0 0 0 1 0 0 （2）函数的值域是 是周期为 的周期函数,是奇函数. 由 ，,得图象的对称中心为 , ； 合作探究 20 由,，得图象的对称轴方程为 , ； 由,，得单调递增区间为, ； 由,，得单调递减区间为, . 合作探究 方法总结 （1）用“五点法”作图时，应先令<m></m>分别为0，<m></m>，<m></m> ，<m></m>，<m></m> ，再解出<m></m>，从而 确定这五点，画出简图.（2）研究函数<m></m>的性质可以类比正弦函数的性质，注 意换元法的应用. 合作探究 22 巩固训练 作出函数 在长度为一个周期的闭区间上的简图，并研究其性质. [解析] 利用五点作图法画出简图,如图所示. 函数的周期;是奇函数；的单调递增区间是 , ，单调递减区间是,；的值域是； 图象的对称轴是直线，；图象的对称中心是，， . 合作探究 23 探究3 求 的值或取值范围 例3 若函数在区间,上单调递减，则 的取值范围是( ). D A. B. C. D. 利用正弦函数的单调递减区间，确定函数的单调递减区间，根据函数 在区间,上单调递减，建立不等式，即可求得 的取值范围. 合作探究 24 [解析] 令，则 . 函数在区间,上单调递减，且 ， ， 解得, ， 又， ， ,， ，故选D. 合作探究 25 方法总结 求 的值或取值范围，一般根据周期、函数的单调性建立不等式组，再根据 的 取值求解. 巩固训练 若函数在区间,上的最大值是，则 ___. [解析] 函数的周期 ， 在, 上是增函数， ，,是, 的子集， 在, 上单调递增， ，即 ， ， . 合作探究 26 1.函数 的最小正周期是( ). C A.1 B.2 C.4 D.8 [解析] ，故选C. 随堂检测 27 2.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，所得图象的 解析式为( ). D A. B. C. D. [解析] 由已知得 ，故选D. 随堂检测 28 3.函数 的频率为_ __. [解析] 因为，所以该函数的频率为 . 随堂检测 29 4.函数 的单调递增区间是______________________. , [解析] 由， ，得 . 随堂检测 30 $$