四川省泸州市合江县中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

合江中学高2024级高一下期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1． 设复数，则z的共轭复数为（ ） A． B． C．1 D．i 2． 若向量，，则（ ） A． B．5 C．20 D．25 3． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A．30° B．60° C．90° D．30°或150° 4． 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的（ ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移． B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移． C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移． D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移． 5． 已知，且，，则（ ） A． B． C． D． 6． 如图，在△ABC中，P在线段BC上，满足，O为线段AP 上一点，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 7． 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间内有2个零点 D．在区间上单调递增 8． 如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过70m的时长为（ ） A．10min B．12min C．14min D．16min 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． 已知i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A．若复数，，则 B．若复数，则复数z的虚部等于 C． 若复数为纯虚数，则 D． 10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则△ABC是等腰三角形 C． 若，则△ABC是直角三角形 D．若△ABC为锐角三角形，则 11．已知函数，则（ ） A．对于任意的，均为偶函数 B．当时，的最小正周期为 C．当时， D．当时，在上有12个零点 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则实数_______________． 13．已知复数z满足，则的最大值为_______________． 14．已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足：，则角A的取值范围是_______________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为． （1）求及； （2）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标． 16．（15分） 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，求△ABC的面积． 17．（15分） 如图，已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和． （1）求函数的解析式； （2）已知，，角的终边与单位圆交于 点，求的值． 18．（17分） 成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道AB一侧规划一个三角形区域ABC做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． （1）若米，求BC的长； （2）绿化完成后，某游客在绿道AB的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从A到D，再从D到B，然后从B到D，最终返回D点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 19．（17分） 定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”． （1）若，求的“特征向量”的坐标； （2）设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围； （3）设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围． ( 数学 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$合江中学高2024级高一下期半期考试 数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1B、2B、3.Ax4B.5.A6.D、7.D 8,B设tmin时点P距离底面的高度为y±Asin(at+p)+b, 由题意得P0,10)，A=40,b=50,周期T-36=2日 所以@-资所以40s(ox0+p)+50=10,即血p=-l, 可得p#受+24，令=0，则p=-受所以y=40sn(爱-受+50， 令y=40sn哈-+50>70，即血管4-受> 所以-名+26<合-受<g+2,解得12+36k<1<24+36k,令ka0,对n<124 1826 所以在摩天轮转动的一图内，点P距离地面超过70m的时长为24-12=12mn故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。 9.CD。l0,AD【详解】对于A,根据正弦定理，由sinA>sinB可得a>b,大边对大角， 所以A>B故A正确； 对于B,根据正弦定理，由acosA=bcosB可得sinAcosA=sin BcosB,即sin2A=sin2B,· 则2A=2B或24+2B=,印A=B或4+B-夸，所以△BC是等腰三角形或直角三角形 故B错误： 对于C,血A=eaB如（经A则A=经-B或4+受-B=,即4+B=气或4=B+号 所以△ABC是直角三角形或钝角三角形，故C错误： 对于D,若△MBC为悦角三角形：则0<4<20<B<受+>于即0<经B<4<受 2 因为函数y=snx在(0引上单调造增所以如合-小<血4，即血4>cos8,故D正确 故选：·AD. Il.ABD。A项：f（x)的定义域为R,f(-x)-bin(-ax)+acos(-2ax=sina+cos2ar∫)， 即证明f()=f(-x),A选项正确： B项：∫(x)=sin+cos2x,因为函数y=sin,y=cos2x的最小正周期均为π， 所以∫(x)的最小正周期为：，B选项正确： C项：取w<0,x=0,f(0)=0+w=0<0,C选项错误： 试卷第1页，共4页 D项：由图象的翻折变换和余弦函数的性质可知y=i血a以，y=0cos2x的最小正周期为？ ∫(x)在每个周期内存在2个零点， 因为区间 名g)的长度为g又得)-恤2+oaa=80 所以6个周期内为12个零点，D选项正确.故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-613.√5+1【详解】满足=1的复数z所对应的点在以原点为圆心，1为半径 的圆上，上-2-的几何意义为z所对应的点到点P(2,)的距离，因为OP=√2+2=5， 所以z-2-的最大值为51，故答案为：√5+1 4【答案】（后司 【详解】由b2-a2-ac=0,可得：b2=a2+ac, 由正弦定理可得：sin2B=sin2A+sin Asir血C=sinA(sinA+si如C), 再由余弦定理：cosA=尽+c2-d_+a。+e」 2be 2bc 26 再结合正弦定理可得：2 sinc=如A+si血G,所以2血80osA=如B sinA' 即2 sin AcosA=sinB,即sin2A=sin.B, 因为是锐角三角形，0<2A<元，0<B<所以B=2A,或B+2A=元， 当B+2A=π时，又B+A+C=π，所以A=C,即a=c, 所以b2=a2+c2,此时B为直角，舍去， 当日=2A时，可得：B=2<受即4<孕同时：C=-4-日=3<受即4管 综上角A的取值范围是 引做每案为 引 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15【答案】(1)a-6=leos(a,）-=5x1xcos牙-1 因为6+2=a+46+4.6=2+4+4=10,所以6+2=而. (2)在5方向上的投影狗蓝为骨 -6-i0 16【详解】(1)因a2=b2+c2-bc,则b2+c2-a2=bc, 由余弦定理得，6a4亡-宁 2bc 因0<4<，则A-骨 试卷第2页，共4页 (2)由a2-b+c2-bc得，a2=(6+c)2-3bc, 因a=反6te=2,则2=4-bc,即c=号 故sae与be血4=x名x5互 2326 17.【详解】(1) (x)=-2acosx+2asinaxcos+a=-a (1+cos2x)+asin2asin 2ox-acos2ox -2asin 2ax- 由象可得0)-12a(a1, ,联立解得=1， 所以函数y-问的解折式为)=2如2：-君司引 2))2a(-}1→m(-哥引分因为a引，解腾a 3 由角户的终边与单位圆交于点（传引可得cos9-血=号 所以m-m号r3-m子oa4号0-9号-4盟 10 18.【详解】(1)在△ABC中，由余弦定理得BC=AC+AB2-2AC×AB cos 3 =10+200-200×200-=3000,所以BC=105米 2因为08子所议De ,记∠DAB=0, 由正弦定理得 AB BD AD sim∠ADB sin DAB sin.∠4BD 200-BD AD 即子 sin 可所烈nao售-小 3 0ma传-小s5-9ms小瓦erp。 3 其中sinp= “2行，所以当血(B+)=1时，4D+2BD的最大值为400米 cosg=5 3 即游客所走路程的最大值为40，工米 3 19.【详解】(1)由题意可得： -2(+}4eo-引2（恤xm导+ox血}(oxo牙ax血君 =sinx+3cosx+2v3cosx+2sinx=3sinx+3v3cosx, 则f(x)的“特征向量"a=3,3: 试卷第3页，共4页 (2)由题意可得8（问-3血x-4cosx=5si血(x-,其中血0=号(0<0<经） 因为关于x的方程g(x)+k=0在[0，上有两个不同的实根， 所以关于x的方程-k=g(x)在[0，元上有两个不同的实根 当xe[0,x时，x-6e-0,r-0], 则g)在[0经+上单调递增，在[+8，不 上单调递减 因为80-4，g[经+小5,8问=4， 所以4≤-k<5,即-5<k≤-4 (3)由题意可得h(x)=asinx+acosx+sin2x, 设1=inx+osx=五s轴+月升[5可】 则sin2x=t2-1,所以G(0=2+at-1(2sts2) 当-≤5，即a≥25时，G0在[-5，同上单调递增。 则c(0=G瓦)=-2a+12-2,解得a535. 因为a≥2W2,所以a∈0： 省i<-号5.甲-25<a25时0的在i-引上#福莲流，在同上 单调递增， 则c0=d(引-号-12-2，解得-2a32 当-≥5，即a≤-2反时，G0在[一5，月上单调递减， 则c0=c瓦)=+1≥-2，解得a2-3 因为as-25,所以a∈0 综上，a的取值范围是[-22]. 试卷第4页，共4页