精品解析：河南省新乡市部分学校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱台 D. 五棱锥 2. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若均是单位向量，且，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 6. 在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知复数，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 质量是向量 B. 相等向量的起点不一定相同 C. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 D. 若某质点受到，，的作用处于平衡状态，则 10. 的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为______． 13. 如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形的高为________. 14. 某日甲船以24km/h的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿南偏东的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的南偏西的方向上，则乙船的航行速度是________km/h.（取，） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，是的中点，． （1）用表示； （2）若，证明：． 16. 已知复数是关于的方程的一个复数根. （1）求，的值； （2）若为纯虚数，求的值. 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积． 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）已知，在的垂直平分线上，且． ①求； ②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求． （2）若是的角平分线，，求的最大值． 19. 在直角边均大于1的直角三角形中，若两条直角边与单位圆均相切，则称该单位圆为直角三角形的伴生圆. （1）在直角中，，，，证明：的伴生圆与内切圆重合. （2）在等腰直角中，，为等腰直角的伴生圆上的一个动点. ①判断是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. ②若非零实数，，满足，当取最小值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱台 D. 五棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的结构特性，即可得出每个几何体的面数. 【详解】三棱锥由4个面围成，四棱柱和五棱锥均由6个面围成，三棱台由5个面围成． 故选：C. 2. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】为，所以， 则． 故选：A 3. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理可得. 【详解】由正弦定理得，得． 故选：A. 4. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法（乘方）运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D 5. 若均是单位向量，且，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】通过平方即可求解. 【详解】由题意， ，则． 故选：B 6. 在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，结合数乘向量以及向量加减法的几何意义，即可得出答案. 【详解】由图象可知，A选项，； B选项，； C选项，； D选项，． 故选：D. 7. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知结合正弦定理角化边，得出.设，联立方程组求得，，的值，根据余弦定理及其推论，计算求解即可得出答案. 【详解】由正弦定理角化边结合已知得， 设， 则，解得， 所以由余弦定理及其推论可得， ． 故选：C. 8. 已知复数，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数相等可得，结合三角函数及二次函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以 则． 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以． 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 质量是向量 B. 相等向量的起点不一定相同 C. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 D. 若某质点受到，，的作用处于平衡状态，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的相关概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于选项，向量是既有大小又有方向的量，而质量只有大小没有方向，所以质量不是向量，选项错误. 对于选项，相等向量是指长度相等且方向相同的向量，与它们的起点位置无关，所以相等向量的起点不一定相同，选项正确. 对于选项，物理学中的作用力与反作用力大小相等、方向相反，且作用在同一条直线上，满足共线向量的定义，所以作用力与反作用力是一对共线向量，选项正确. 对于选项，若某质点受到的作用处于平衡状态，说明这三个力的合力为零，即，选项正确. 故选：BCD. 10. 的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】BC 【解析】 【分析】由求出的范围，即可判断, 【详解】由满足的有两解，可得，即， 即，则符合题意的有BC. 故选：BC 11. 如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求出、的长度，建立平面直角坐标系，设，利用坐标法计算数量积，再由正弦函数的性质计算可得. 【详解】在中，，，， 所以，则， 因为是的中点，所以， 如图建立平面直角坐标系， 则，，， 设， 则，， 所以， 因为，所以，故符合题意的有ABC. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部. 【详解】因为复数， 所以该复数的虚部为5． 故答案为：5. 13. 如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形的高为________. 【答案】 【解析】 【分析】直接用斜二测画法画出梯形水平放置时的直观图.再计算即可. 【详解】运用斜二测画法根据直观图画出原图，如下， 梯形的面积为30，，则原图梯形的高为， 即，解得.，则. 根据直观图与原图的长度关系，知道原图高为. 故答案为：. 14. 某日甲船以24km/h的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿南偏东的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的南偏西的方向上，则乙船的航行速度是________km/h.（取，） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，得出的各个内角以及边的长度，进而根据正弦定理化简求解即可得出答案. 【详解】 如图，由题意得，，，. 所以，， ， 则． 在中，由正弦定理， 得， 所以乙船的航行速度是（）． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，是的中点，． （1）用表示； （2）若，证明：． 【答案】（1）， （2）证明如下： 由（1）可知 ， 因为，所以， 则，即， 从而． 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及垂直关系的向量表示即可证明. 【小问1详解】 因为四边形为平行四边形，是的中点，， 所以， ． 【小问2详解】 略 16. 已知复数是关于的方程的一个复数根. （1）求，的值； （2）若为纯虚数，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程化简，然后根据复数相等的条件列出方程组，求解即可得出答案； （2）根据复数的除法化简得出.进而根据纯虚数的概念列出方程组，求解即可得出答案. 【小问1详解】 因为， 所以有. 所以有，解得. 【小问2详解】 由（1）得， 则， 所以，. 因为为纯虚数， 所以有， 解得． 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，进而可求解； （2）由余弦定理结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由，可得． 因为，所以． 又，且， 所以解得． 【小问2详解】 由余弦定理可知． 因为，所以， 整理得，解得或（舍去）． 由，可得， 则的面积． 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）已知，在的垂直平分线上，且． ①求； ②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求． （2）若是的角平分线，，求的最大值． 【答案】（1）①；② （2）1． 【解析】 【分析】（1）①由条件得，在中，利用余弦定理求出，继而求得，再在中利用余弦定理即可求得；②结合题意推出四点共线，利用正弦定理分别求出和的外接圆半径，继而求出和即可求得； （2）结合三角形的角平分线，由面积相等推得，在中由余弦定理和基本不等式求得，再由和基本不等式即可求出的最大值(两次不等式等号成立条件相同). 【小问1详解】 ①由题意得，， 在中，由余弦定理得， 即，解得． 又，则，． 在中，由余弦定理得． ②如图，易得四点共线． 在中，由正弦定理，可得，得， 则． 在中，由正弦定理，可得，得， 则． 故． 【小问2详解】 因， 则得， 即(*). 在中，由余弦定理得： ， 因，且，故可得， 当且仅当时，等号成立. 此时，由(*)可得：， 当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为1． 19. 在直角边均大于1的直角三角形中，若两条直角边与单位圆均相切，则称该单位圆为直角三角形的伴生圆. （1）在直角中，，，，证明：的伴生圆与内切圆重合. （2）在等腰直角中，，为等腰直角的伴生圆上的一个动点. ①判断是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. ②若非零实数，，满足，当取最小值时，求的值. 【答案】（1）证明如下： 因为，，，所以， 设直角的内切圆的半径为， 则，即， 解得， 因为的伴生圆与内切圆的半径均为， 两条直角边与伴生圆均相切，两条直角边与内切圆均相切， 所以的伴生圆与内切圆重合； （2）①是定值，定值为； ② 【解析】 【分析】（1）利用等面积法求出内切圆的半径，即可得证； （2）①以等腰直角的伴生圆的圆心为原点，平行于的直线为轴， 平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，利用坐标法计算可得；②根据平面向量线性运算的坐标表示及向量相等得到方程组，从而得到，由，令，，从而转化为关于的一元二次方程，根据求出的范围，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①以等腰直角的伴生圆的圆心为原点，平行于的直线为轴， 平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设， 所以，，， 所以 ， 所以是定值，定值为； ②因为， 即， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 则， 即， 令，， 所以，即， 由，解得且， 所以当取最小值时，，则，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $