精品解析：甘肃省嘉峪关市第一中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

嘉峪关市第一中学2024--2025学年第二学期阶段性考试（一） 高二数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意求出函数的导函数，再解方程即可； 【详解】解：由题意可得，因为，所以． 故选：B 2. 设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的正负性与原函数单调性的关系，结合极值的定义逐一判断即可. 【详解】由图象可知，当时，， 所以函数在上单调递减，A错误； 当时， 所以函数在上单调递增，B正确，C错误； 函数在处取得极小值，D错误． 故选：B 3. 已知函数的导函数为，且满足，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求得，令，解得，得到，即可求解的值，得到答案. 【详解】由题意，函数，则， 令，则，解得，即， 令，则，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4. 设直线是曲线在点处的切线，则直线与x轴，y轴围成的三角形面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再求出直线与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式可得结果. 【详解】因为，所以， 所以， 所以直线的方程为，即， 令，得，令，得， 所以直线与x轴，y轴围成的三角形面积为. 故选：A 5. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分、、三种情况讨论的单调性，即可根据极值条件得出可判断AB选项；再给赋值判断CD选项. 【详解】由题意可得， ①当，即时， 则，得或；，得； 则在和上单调递增，在上单调递减， 则为函数的极小值点，不符合题意； ②当，即时， 则，得或；，得； 则在和上单调递增，在上单调递减， 则为函数的极大值点，符合题意； ③当，即时，恒成立，则在上单调递增， 则无极值，不符合题意. 综上所得，，故A错误；B正确； 若，则；若，则，故CD错误. 故选：B 6. 设，，，…，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给定义及导数运算法则求出、、、，即可找到规律，从而得解. 【详解】因为，所以，即， 所以，即， 所以，即， 所以，即， 所以，即， 又，所以. 故选：C 7. 设P为曲线上的点，若在点P处的切线的倾斜角的取值范围是，则点P的横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围求出斜率的取值范围，列不等式可求出结果. 【详解】，设点P的横坐标为， 设在点P处的切线的倾斜角为， 因为，所以， 所以，解得. 故选：A. 8. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 是的极大值点 C. 有三个零点 D. 在上最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对求导，令，可得的值，列表可得函数的单调性与极值，再逐个选项判断即可． 【详解】解：因为 所以， 令，解得或， 与随的变化情况如下表： 2 0 0 极大值 极小值 因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误； 是的极大值点，故正确； 因为，，，， 由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确； 当的定义域为时， 在，上单调递减，在，上单调递增， 又， ， 所以在，上的最大值是4，故正确． 故选：． 10. 已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断各选项. 【详解】对于AB，由图可知，，所以，A错B对； 对于CD，由图可知，，所以C错D对. 故选：BD 11. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（ ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出给定函数的导数，再逐项分析、计算并判断作答. 【详解】由函数求导得：， 对于A，，A正确； 对于B，，，则Sigmoid函数单调增函数，B不正确； 对于C，，当且仅当，即时取“=”，C正确； 对于D，因，则，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 函数在处的切线斜率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求导，代入即可求解. 【详解】,则， 故处的切线斜率为， 故答案为： 13. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】求导函数，求出极大值点，最后代入原函数可求得极大值. 【详解】由题意得，， ，解得， ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为. 故答案为： 14. 已知，分别为直线和曲线上的点，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用数形结合思想可知直线与曲线相切的切点到直线的距离是最小值，从而利用导数来求出切点，再用点到直线的距离公式求出最小值即可. 【详解】直线与曲线相切于点A， 由题意的最小值为切点A到直线的距离，如图所示， 对求导有，由可得，即， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； （2）若在的单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据切线斜率求出切点坐标，再由点斜式写出直线方程即可. （2）由在的单调递增，得在上恒成立，分离参数后得在上恒成立，求出在的最小值，即可求实数a的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， ，令解得， 又∵，所以切线方程为：即. 【小问2详解】 ∵在单调递增，∴时，恒成立， 又，∴在上恒成立， ∴恒成立，即在上恒成立， 又当时，，当且仅当时等号成立， ∴，∴a取值范围是. 16. 已知的一个极值点为2. （1）求m的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间上的最值 【答案】（1） （2）函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增. （3）最小值为，最大值为13. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）由（1）可得函数解析式，根据导数的意义求得函数的单调区间； （3）根据（2）中对函数单调性的研究，可以判断在区间上的单调性，从而得出最大最小值 【小问1详解】 因为，所以， ∵的一个极值点为2， ∴，解得， 经验证时，有极值点2. 【小问2详解】 由（1），， 令，得或， 令，得；令，得或， 故函数区间上单调递减，在区间，上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，在上为增函数，在上为减函数， ∴是函数的极大值点，又，，， ∴函数在区间上的最小值为，最大值为13. 17. 给定函数. （1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值； （2）画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）； （3）求出方程的解的个数. 【答案】（1）函数减区间为，增区间为，有极小值，无极大值； （2）具体见解析； （3）具体见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，进而求出单调区间和极值； （2）结合（1），并代入几个特殊点，再结合函数的变化趋势作出图象； （3）结合（2），采用数形结合的方法求得答案. 【小问1详解】 ，时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值. 【小问2详解】 作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0. 【小问3详解】 结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解. 18. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数（称为的二阶导数），若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数. （1）若既有极大值又有极小值，求m的取值范围； （2）当时，①求的对称中心； ②计算的值. 【答案】（1）或. （2）①；②2024 【解析】 【分析】（1）根据极值点概念，借助导数计算即可； （2）①当时，，两次求导，根据拐点概念和性质得到对称中心为.②根据对称中心，得到，再赋值计算即可. 【小问1详解】 ，∴. ∵既有极大值又有极小值，∴有两个不相等的实数根， ∴，∴或. 【小问2详解】 ①当时，， ∴，. 令得， 又，∴的对称中心为. ②∵的对称中心为，∴， ∴ . 19. 已知函数（）. （1）若关于x的方程有两个不相等的实根，求a的取值范围； （2）若， ①证明：； ②设，求的最小值； 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）求解的切线，结合函数图象，即可求解， （2）构造函数，求导，得函数的单调性，即可求解最值求证①，②利用同构得，进而结合①的结论，即可求解. 【小问1详解】 由得，即. 由题意函数与直线有两个交点. 设曲线与直线切于点，则， 解得，，∴与直线相切， ∴当时，的图象与直线有两个交点，方程有两个不相等的实根， ∴a取值范围是. 【小问2详解】 ①设，则， 由，得，所以当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， ∴，即，∴． ②， 由①即，∴ ∴，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 嘉峪关市第一中学2024--2025学年第二学期阶段性考试（一） 高二数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 3. 已知函数的导函数为，且满足，则 A. B. C. D. 4. 设直线是曲线在点处的切线，则直线与x轴，y轴围成的三角形面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 5. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，…，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设P为曲线上点，若在点P处的切线的倾斜角的取值范围是，则点P的横坐标的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 是的极大值点 C. 有三个零点 D. 在上最大值是 10. 已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 11. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（ ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 函数在处的切线斜率为__________. 13. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为__________ 14. 已知，分别为直线和曲线上的点，则的最小值为_______ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； （2）若在的单调递增，求实数a的取值范围. 16. 已知的一个极值点为2. （1）求m的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间上的最值 17. 给定函数. （1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值； （2）画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）； （3）求出方程的解的个数. 18. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数（称为的二阶导数），若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数. （1）若既有极大值又有极小值，求m的取值范围； （2）当时，①求的对称中心； ②计算值. 19. 已知函数（）. （1）若关于x的方程有两个不相等的实根，求a的取值范围； （2）若， ①证明：； ②设，求的最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$