重难点09：排列组合十六种方法全归纳 讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（重难点篇） 专题09 排列组合16种方法全归纳 知识点一：排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 知识点二：排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C 知识点三：求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为 涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 一、特殊元素或特殊位置----优先策略 【方法指导】 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。 【例1】某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ） A．288种 B．72种 C．42种 D．36种 【答案】D 【解析】甲有种安排，甲排好后，乙有种，然后剩下的人有种，共种 【例2】2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ） A．36 B．42 C． 48  D．60 【答案】C 【解析】不妨将5个位置从左到右编号为1，2，3，4，5．于是甲只能位于2，3，4号位． i） 当甲位于2号位时，3位女生必须分别位于1，3，4位或者1，4，5位．于是相应的排法总数为； ii） 当甲位于3号位时，3位女生必须分别位于1，2，4位或者1，2，5位或者1，4，5或者2，4，5位．于是相应的排法总数为． iii） 当甲位于4号位时，情形与i）相同．排法总数为． 综上，知本题所有的排法数为12+24+12=48． 【例3】.从6名短跑运动员中选出4人参加4x100m接力赛,甲不能跑第一棒和第四棒,问共有多少种参赛方案？ 解析：解法一(元素分析法):从人(元素)的角度考虑,优先考虑甲,分以下两类： 第1类,甲不参赛,有A种参赛方案 第2类,甲参赛,可优先将甲安排在第二棒或第三棒,有2种排法,然后安排其他三棒,有A种排法，此时有2A种参赛方案 由分类加法计数原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A3+2A=240(种) 解法二(位置分析法):优先考虑第一棒和第四棒,则这两棒可以从除甲外的5人中选2人,有A种排法;其余两棒从剩余4人中选,有A4种排法 由分步乘法计数原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A2A2=240(种) 解法三(间接法):不考虑甲的约束条件,有A4种安排方法,甲跑第一棒或第四棒有2A3种安排方法，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A42A3=240(种) 【例4】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． [解]　(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A·A＝480种． 法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A种站法，然后其余4人有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A·A＝480种． 法三：若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A－2A＝480种． (2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步乘法计数原理，共有A·A＝48种站法． (3)法一：甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有A－2A＋A＝504种站法． 法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有A种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A·A·A种，故共有A＋A·A·A＝504种站法． 【例5】4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有(　　) A．12种 B．14种 C．16种 D．24种 B　[用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A＝24种排法，减去甲跑第一棒有A＝6种排法，乙跑第四棒有A＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A＝2种排法，共有A－2A＋A＝14种不同的出场顺序．] 二、相邻元素----捆绑策略 【方法指导】 要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起排列，同时注意合并元素内部也必须排列。 【例6】已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（    ） A．288 B．144 C．72 D．36 【答案】C【解析】方法1：2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为.方法2：2位父亲的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，所以不同的排队方式种数为. 【例7】甲、乙等5人去北京天安门游玩，在天安门广场排成一排拍照留念，则甲和乙相邻且都不站在两端的排法有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 【答案】B 【解析】将甲、乙捆绑在一起看成一个元素，有种排法， 其中甲、乙相邻且在两端的有种， 故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有（种）． 故选:B． 【例8】某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（    ）种不同的排法 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有种， 物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑， 与语文、英语、生物三门课程进行排序，有种排法. 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的排法. 故选：D. 【例9】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（    ） A．72种 B．60种 C．48种 D．36种 【答案】C 【解析】甲、乙相邻共有种. 将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有种. 则共有种. 【例10】3位教师和4名学生站一排，3位教师必须站在一起，共有（    ）种站法． A．144 B．360 C．480 D．720 【答案】D 【解析】因为3位教师和4名学生站一排，3位教师必须站在一起， 所以共有种站法， 故选：D 【例11】某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（    ）． A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】D 【解析】第一步：全排列2个语言类的节目，共有种情况， 第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有种情况， 第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列， 共有种情况，所以. 故选：D 【例12】4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先从4名男歌手，选一名放在两名女歌手之间，并把他们捆绑在一起看做一个元素和另外的3名男歌手进行全排列，然后由分步计数原理求解. 【详解】根据题意，分2步进行分析： 先从4名男歌手，选一名放在两名女歌手之间， 再把他们捆绑在一起看做一个元素和另外的3名男歌手进行全排列， 故有种不同的出场方案； 故选：D. 三、不相邻元素----插空策略 【方法指导】 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素元素插入中间或两头。 【例13】2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（    ） A．24 B．48 C．144 D．244 【答案】C 【解析】根据题意先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起，与“雨水”、 “谷雨”排列，有4个空，然后“清明”与“惊蛰”去插空， 所以不同的放置方式有种. 故选：C 【例14】某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？ A．72 B．36 C．24 D．12 【答案】A【解析】先排三个唱歌节目这有：种情况，然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况， 所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况. 【例15】公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ） A．24个 B．36个 C．72个 D．60个 【答案】B【解析】分两步：第一步：先对除1以外的3位数字进行全排列，有种方法； 第二步：将两个1选两个空插进去有，由分步计数原理可得：小明可以设置的不同密码有种， 【例16】高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（    ） A．72 B．144 C．48 D．36 【答案】A 【解析】先将选择性必修有一､二､三这三本书排成一排，有种方法， 再将必修一､必修二这两本书插入两个空隙中，有种方法， 所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是：. 故选：A. 【例17】五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，再将商、角插入4个空中，共有种． 故选：C． 【例18】马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（    ）种 A．15 B．20 C．10 D．9 【答案】C 【解析】根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻， 则需要用插空法分析： 先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，有5个符合条件的空位， 在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有种情况， 即有10种关灯方法. 故选：C 【例19】某等候区有7个座位（连成一排），甲、乙、丙三人随机就坐，因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有（    ） A．4种 B．10种 C．20种 D．60种 【答案】D 【解析】甲、乙、丙每两人之间至少有一个空位，即甲、乙、丙互不相邻，相当于有四个空位放置成一排，形成5个空档，甲、乙、丙三人各带一个座位插入， 所以有（种）不同的坐法， 故选：D． 【例20】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解. 【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法， 所以2个0不相邻的概率为. 故选：C. 【例21】汽车牌照由4个数字（可以重复）和2个字母（也不一定要不相同）构成，这6个字符可以任何顺序呈现，但两个字母必须相邻，则可以形成的不同的牌照有（ ）种. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理以及插空法即可求解. 【详解】首先排4个数字共有种， 再将2个字母看成一个整体插在个空内，共有种， 所以形成的不同的牌照有. 故选：B 【例22】3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男、女各不相邻． [解]　(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法． 由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法． (2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法． (3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法， 故共有A·A＝1 440种排法． (4)排好男生后让女生插空， 共有A·A＝144种排法． 【例23】小平、老金、大魏、小刘、小张和小徐共6人要排成一排拍照． （1）若小张和小徐必须相邻．则共有多少种排队种数？ （2）若大魏和小刘不能相邻，则共有多少种排队种数？ （3）若小张和小徐必须相邻，大魏和小刘不能相邻，小平和老金不能相邻，则共有多少种排队种数？ 【答案】（1）240；（2）480；（3）96． 【分析】（1）根据捆绑法，将小张和小徐全排后看成一个人，再与其它四人全排，即可得出结果； （2）先将其他四人全排，再由插空法将大魏和小刘排入，即可得出结果； （3）先将小张和小徐全排后看成一人，再分两种情况，先后用插空法求解，即可得出结果. 【详解】（1）若小张和小徐必须相邻．则共有种； （2）先将除大魏和小刘外的四人全排，则有种情况，可产生个空，再将大魏和小刘插空，则共有种； （3）因为小张和小徐必须相邻，则这两人有种情况； 若先排大魏和小刘，再排小平和老金，则有种情况； 若先排小平和老金，再排大魏和小刘，则有种情况； 因此共有种排队种数. 【点睛】本题主要考查排列的应用题，考查计数原理的应用，属于常考题型. 四、定序问题----倍缩空位插入策略 【方法指导】 定序问题可以用倍缩法，还可以转化为插空法 【例24】将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．则有多少种不同的排列方法？ [解]　5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法． 法一：(整体法)5个元素无约束条件的全排列有A种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2＝40(种)． 法二：(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类： 第一类，若字母D，E相邻，则有A·A种排法； 第二类，若字母D，E不相邻，则有A种排法． 所以有A·A＋A＝20(种)不同的排列方法． 同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法． 因此，满足条件的排列有20＋20＝40(种)． 【例25】用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件． 210　[若1,3,5,7的顺序不定，有A＝24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的.故有A＝210(个)七位数符合条件． 【例26】小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 【答案】2520 【解析】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，， 则因为每一串只能从上往下吃， 所以在前被吃，在前而在前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的， 同理被吃的相对位置也是已定的， 所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种. 【例27】在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 【答案】C 【解析】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定， 所以不同的排序方法有种方法.故选：C 【例28】五人并排站成一排，如果必须站在的右边，（可以不相邻）那么不同的排法有（   　） A．120种 B．90种 C．60种 D．24种 【答案】C 【解析】所有人排成一排共有：种排法 站在右边与站在右边的情况一样多 所求排法共有：种排法 本题正确选项： 【例29】DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（       ） A．20 B．40 C．60 D．120 【答案】C 【解析】依题意可知，不同的插入方式的种数为. 故选：C 【例30】某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（       ） A．120种 B．80种 C．20种 D．48种 【答案】C 【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为． 故选：C． 五、重排问题----求幂策略 【方法指导】 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种。 【例31】某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有（ ） A．64种 B．46种 C．24种 D．360种 【答案】B 【解析】由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46种，故选：B． 【例32】现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(　　) A．56 B．65 C．30 D．11 【解析】选A.第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次类推，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法． 【例33】位同学被推荐担任进博会个指定展馆服务志愿者，每人负责个展馆，每个展馆只需位同学，则共有____________种不同的安排方法. 【答案】 【分析】利用排列计算出正确答案. 【详解】位同学被推荐担任进博会个指定展馆服务志愿者，每人负责个展馆，每个展馆只需位同学，则共有种不同的安排方法. 故答案为： 【例34】市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有________种（用数字作答）． 【答案】480 【分析】先把四位乘客当做4个元素作全排列，共5个空位，再将一个空座位和余下的5个空座位作为2个元素插进5个空位之中，由排列方法计算可得答案. 【详解】把四位乘客当做4个元素作全排列有种排法，将一个空座位和余下的5个空座位作为2个元素插空有种排法， . 故答案为： 【例35】现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） A．1024种 B．1023种 C．1535种 D．767种 【答案】D 【分析】先看一张人民币的取法，再看2张100元人民币的取法，利用分步计数原理计算即可. 【详解】除100元人民币以外的8张人民币中，每张均有取和不取2种情况， 2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况， 再减去10张人民币全不取的1种情况， 所以共有种． 故选：D. 【点睛】易错点睛：误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有种． 错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况． 六、环排问题----线排策略 【方法指导】 一般地，n个不同元素作圆形排列，共有（n-1)!种排法或 【例36】甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】D 【分析】将甲、乙两人看成一个人，根据n个不同元素围成的环状共有 种排法求解. 【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个不同元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法， 由于n个不同元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有 种排法. 甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为种. 故选：D 【例37】 8人排成前后两排，每排4人，其中有2个女生要排在前排，另有2个因个子高要排在后排，问共有 __________种不同的排法？（用数字作答） 【答案】3456 【例38】21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为 A．19 B．38 C．51 D．57 【答案】D 【解析】根据题意 21人报数21人次，其中有7人次报数为3，则此7人出列，剩下13人；13人报数15人次，其中有5人报数为3，则此5人出列，剩下8人；8人报数9人次，其中有3人报数为3，则此3人出列，剩下5人；5人报数6人次，其中有2人报数为3，则此2人出列，剩下3人；3人报数3人次，其中有1人次报数为3，则此1人出列，剩下2人；2人报数3人次，其中1人次报数为3，则此人出列,剩下1人．在这个过程中一共报数： 21+15+9+6+3+3=57人次．应选答案D． 【例39】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（     ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 【答案】B 【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， 考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换， 根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况， 其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种， 故选B. 【例40】现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（       ）． A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 【答案】B 【解析】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种． 故选：B． 【例41】5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 【答案】86400 【解析】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起， 先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)， 把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法， 最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法， 所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种). 故答案为：86400 【例42】5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 【答案】86400 【解析】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起， 先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)， 把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法， 最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法， 所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种). 故答案为：86400 【例43】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（     ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 【答案】B 【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， 考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换， 根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况， 其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种， 故选B. 七、多排问题----直排策略 【方法指导】 元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究。 【例44】有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是___________（结果用最简分数表示）. 【答案】 【分析】试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有种结果，满足后排每人都比前排任意一位同学高，则要从6个人中3个个子高的站后排，3个个子矮的站前排，根据概率公式得到结果． 【详解】试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有种结果，满足后排每人都比前排任意一位同学高，则要从6个人中3个个子高的站后排，3个个子矮的站前排，共有种结果 根据古典概型概率公式得到 故答案为：. 【例45】8人排成前后两排，每排4人，其中有2个女生要排在前排，另有2个因个子高要排在后排，问共有 种不同的排法？（用数字作答） 答案3456 【例46】 10名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲、乙两个同学不可相邻也不可面对面，有多少种坐法？答案2580480 八、排列组合混合问题----选后排策略 【方法指导】 解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想。 【例47】有5个男生和3个女生，从中选出5个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数。（1）有女生但人数少于男生。（2）某女生一定担任语文科代表。（3）某男生必须在内，但不担任数学科代表。（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表。 (1) 5400 (2) 840 (3) 3360 (4) 360 【例48】对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，每次取出一件测试，直到4件次品全测出为止，则第4件次品在第5次测试时被发现的不同情形有多少种？576 【例49】在7名运动员中选4名组成接力队参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种。400 【例50】按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ （1）平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；答案90 （2）甲得1本，乙得2本，丙得3本；答案60 （3）甲、乙、丙三人一人得1本， 一人得2本，一人得3本；答案360 （4）甲、乙、丙三人中，一人得4本。另外每人各得1本。答案90 【例51】5个不同的小球，分到3个不同的小盒中，每盒至少一个，有几种不同的分法？ 答案150 九、元素相同问题----隔板策略 【方法指导】 将n个相同的元素分成m份（n,m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 【例52】假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　) A．30 B．21 C．10 D．15 考点　排列组合综合问题 题点　分组分配问题 答案　D 解析　用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C＝15(种)分配方法． 【例53】将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（       ） A．16 B．18 C．27 D．28 【解析】“每校至少一个名额的分法”的方法数是至少有两个学校的名额数相同”的分配方法数可以从反面入手去求，即先求出“出现相同名额”的分配方法数，第一种情形是两个学校名额数相同：有三种情形，共有9种分法；第二种情形是三个学校名额数均相同，有1种分法，所以至少有两个学校的名额数相同”的分配为种.所以，满足条件的分配方法共有种. 故选：B 【例54】展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（       ） A．12项 B．24项 C．39项 D．78项 【解析】展开之后必有形如的式子出现，其中，且. 构造14个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，利用隔板法，共有分法种； 每组去掉一个小球的数目分别为的展开式中各字母的次数； 小球分组模型与各项的次数是一一对应的，故的展开式中，合并同类项之后的项数为项. 故选：D 【例55】7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（       ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 【解析】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法. 故选：D. 【例56】将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（       ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书， 再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15， 故选: D 【例57】方程的正整数解共有（    ）组 A．165 B．120 C．38 D．35 【答案】A【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是、、、，显然满足，故是方程的一组解，反之，方程的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式， 【例58】方程的非负整数解有（       ） A．组 B．136组 C．190组 D．68组 【解析】根据题意，对于方程， 将“18”看成18个“1”， 18个“1”共有19个空， 从19个空中选两个空进行隔板，或从19个空中选1个空插2个隔板， 即可以将18个“1”分为三组，每组对应“1”的数目依次为的数值， 则有. 方程的非负整数解有190组. 故选：C 【例59】将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 解　(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C＝10(种)． (2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C种插法，故共有C·C＝40(种)． (3)恰有两个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如||00||0000|，有C种插法． ②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C种插法． 故共有C·(C＋C)＝30(种)． 【例60】学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 【答案】B【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，故有， 十、正难则反策略 【方法指导】 有些排列组合问题，正面直接比较复杂，而它的反而往往比较简单，可以先求出它的反面，再从整体中淘汰。 【例61】某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　) A．120种　　　 B．84种　　　 C．52种 D．48种 C　[间接法：C－C＝52种．] 【例62】将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（       ）． A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 【答案】D 【解析】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法. 故选：D 【例63】某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（       ） A．21种 B．231种 C．238种 D．252种 【答案】B 【解析】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种， 则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种. 故选：B 【例64】四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 【答案】A【详解】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种； 第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种． 以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有种． 【例65】某校组织一次认识大自然的活动，有10名同学参加，其中有6名男生､4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（    ） A．192种 B．120种 C．96种 D．24种 【答案】C【详解】从10名同学中随机抽取3名同学有种方法，抽取的人全是男生的有种，全是女生的有种，所以抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（种）. 【例66】现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（    ） A．484 B．472 C．252 D．232 【答案】B【详解】根据题意，不考虑限制，从16张卡片中任取3张，共有种取法，如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，如果取出的3张有2张绿色卡片，则有种情况，故所求的取法共有种. 【例67】中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（   ） A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种 【答案】A 【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为， 其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为， 于是得， 所以“六艺”讲座不同的次序共有408种. 故选：A 【例68】红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗诵类节目，1个戏曲类节目．演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】所有演出方案有种， 歌舞类相邻有种， 小品类相邻有种， 歌舞与小品均相邻有种， 所以总数有种. 故选：C. 【例69】设有编号为，，，，的五个球和编号为，，，，的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 【难度】★ 【答案】119 【解析】 【例70】在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个． 【难度】★ 【答案】72 【解析】用间接法，总的4位数有个，被5整除即个位为0的4位数有个， 因此不能被5整除的数有个． 十一、平均分组问题----除法策略 【方法指导】 平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以（n为均分的组数）避免重复计数。 【例71】江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（ ） A．60 B．90 C．150 D．240 【答案】C 【解析】根据题意，分2步进行分析： ①将五名工作人员分成3组， 若分为3、1、1的三组，有种分法， 若分为2、2、1的三组，种分法， 则有种分组分法； ②将分好的三组全排列，对应三个景点，有种情况， 则有种分配方法； 故选：． 【例72】安排A，B，C，D，E，F共6名大学生到甲，乙，丙三地支教，每名学生只去一地，每地安排两名学生，其中A不去甲地，则不同的安排方法共有________． 【答案】60 【分析】首先不考虑A的限制，将6名学生2人一组安排到甲，乙，丙三地支教，求出可能的安排情况数，再去掉A去甲地的情况数即为所求. 【详解】1、若6名学生可任意安排，则共有种， 2、A去甲地的情况有种， ∴A不去甲地的安排方法共有种. 故答案为： 【例73】2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有______种． 【答案】540 【分析】把6名工作人员分别分为，1，，，2，，，2，三种情况讨论，然后分别计算即可求解． 【详解】把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：种， 把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：种， 把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：种， 综上，不同的安排方式共有种， 故答案为：540． 【例74】疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A．60种 B．90种 C．150种 D．240种 【答案】C 【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况； 分为1，2，2时安排有;分为1，1，3时安排有 所以一共有 【例75】据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有种分法； 其中伯爵恰有两人的分法有种分法， 伯爵恰有两人的概率 【例76】某班级周三的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语，共6节课． （Ⅰ）如果数学与体育不能相邻，则不同的排法有多少种？ （Ⅱ）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【答案】（Ⅰ）480种；（Ⅱ）504种. 【分析】（Ⅰ）根据不相邻问题插空法处理即可求出； （Ⅱ）根据定序问题缩倍法即可求出． 【详解】（Ⅰ）如果数学与体育不能相邻， 则不同的排法有（种）． （Ⅱ）若将这了节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变， 则不同的排法有（种）. 【例76】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本. 【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有.（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有. （4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种). （5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法. （6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种). （7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有 (种)选法. 十二、涂色问题--合理分类与分步策略 【方法指导】 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 【例77】用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】对所选颜色的种数进行分类讨论，先涂、、三点，再确定、、三点颜色的选择方法种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】分以下几种情况讨论： ①若种颜色全用上，先涂、、三点，有种， 然后在、、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择， 此时共有种； ②若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、、三点，有种， 然后在、、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点， 若点与点同色，则点只有一种颜色可选， 若点与点同色，则点有两种颜色可选， 此时共有种； ③若用种颜色染色，则有种选择方法，先涂、、三点，有种， 点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择， 此时共有. 由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法. 故选：D. 法，所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有种. 【例78】给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．96 B．144 C．240 D．360 【答案】A【解析】要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类， 第一类是仅用三种颜色染色，即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法； 第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．由分类加法原理得总的染色种数为种． 【例79】在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C【解析】考虑、、三个区域用同一种颜色，共有方法数为种； 考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种； 考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种． 所以共有方法数为种． 故选：C． 【例80】如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（    ） A．480 B．720 C．1080 D．1200 【答案】D【解析】先给O涂色，有种方法，接着给A涂色，有种方法，接着给B涂色，有种方法， ①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法， 最后E有2种涂色方法； ②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色， 若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法； 若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法. 综上，涂色方法总数为 故选：D 十三、应用问题----构造模型策略 【方法指导】 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决。 【例81】贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①次传球之后,共有___________种可能的传球方法;②次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有___________种. 【答案】     【解析】每次传球有两种方法，所以次传球之后,共有种可能的传球方法; 设次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法为种. 则2，即 因为 【例82】一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________． 【答案】 【解析】解法一：第一次爬行可以到的任何一点，第二次爬行分到与不到，对于第二次不到的第三次爬行再分到与不到．爬行方法总数为（种）． 解法二：设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为，则，，， ， ，．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值） 故答案为：. 【例83】把圆分成个不相等的扇形，并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色，但不允许相邻的扇形有相同的颜色，问共有多少种染色法？ 【解析】设将圆分成个不相等的扇形时，满足题设的染法有种． 依次记个扇形为、、、，显然， 当时，先对染色，有种方法；染色后再对染色，有种方法，故． 当时，我们依次对、、、染色． 对染色，有种方法，对染色后再对染色有种方法， 同样的对、、、分别有种方法，由乘法原理共有种染色方法． 但这样做，与有可能同色．即在种染色方法中包含了与同色的染色方法． 对于与同色的情形，拆去与的边界使与合并， 便得到将圆分为个扇形时同色不相邻的染色方法，这样的情况有种．    故，且， 设，可得，则，即， 故，且， 所以，数列是从第二项开始成以为公比的等比数列， 因此，，因此，. 【例84】某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数． 解：设4名乘客中分别有，，，个人在第1个、第2个、第3个、第4个安检口通过，则， 即问题转化为求方程的非负整数解的组数，共有种情况， 每一种进站情况的4个位置由4个人去站有种方法， 由分步乘法计数原理得不同的进站方案有种， 所以一个4人小组进站的不同方案种数是840种． 十四、分解与合成策略 【方法指导】 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案，每个比较复杂的问题都要用到这解题策略。 【例85】有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？ A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】试题分析：如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口， ②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口， ③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口， ⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口， ⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， 共有8种， 故选B． 【例86】如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有 A．10 B．13 C．15 D．25 【答案】C 【解析】因为只能向东或向北两个方向 向北走的路有5条，向东走的路有3条 走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果 根据分步计数原理知共有种结果，选C 【例87】如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以 的方向行走至B，不同的行走路线有 A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】A 【解析】共有3个顶点与点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达点，所以，蚂蚁从沿着长方体的棱以规定的方向行走至，不同的行走路线有：（条），故选A. 【例88】如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（     ）条 A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【解析】试题分析：蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B. 考点：分步计数乘法原理. 【例89】如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为 A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【解析】要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来，这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算方法：A至B、C、D的路数记在B、C、D的圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在圈内，最后F、E、G各路数之和，即得到至H的总路数，如下图所示，易得到17条路线，故选D．    【例90】如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（       ） A．甲从M到达N处的走法种数为120 B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9 C．甲，两人能在处相遇的走法种数为36 D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164 【答案】BD 【解析】对于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以从到达处的走法种数为，故A错误. 对于B，甲从到达，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有种走法，从到达，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有种走法，所以甲从必须经过到达处的走法种数为，故B正确. 对于，甲经过的走法种数为，乙经过的走法种数为，所以甲，乙两人能在处相遇的走法种数为，故C错误. 对于D，甲，乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3格，乙经过处，必须向左走3格，两人在处相遇的走法有1种；若甲，乙两人在或处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3格，乙经过处，必须向下走3格，则两人在处相遇的走法有1种.所以甲，乙两人能相遇的走法种数为，故D正确. 故选：BD. 十五、多面手问题 【方法指导】 解含有约束条件的排列组合问题，即多面手问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终． 【例91】我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种；第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种，所以共有种不同的选法， 【例92】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种．综上分析，共可开出种． 【例93】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【答案】C【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，则有种不同的选法． 【例94】某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 【答案】D【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有 种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有(种)不同的选派方法． 【例95】某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【答案】C【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法，②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，则有种不同的选法； 【例96】在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 【答案】D【解析】按即会钳工又会车工的2人分类：2人都不选的情况有种， 只选1人且当钳工的情况有种，只选1人且当车工的情况有种， 选2人其中1人钳工1人车工的情况有种，选2人都当钳工的情况有种， 选2人都当车工的情况有种，由分类加法原理得选法有种. 十六、数字排序问题----查字典策略 【方法指导】 数字排序问题可用查字典法，查字典法应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。 【例97】从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个 A．98 B．56 C．84 D．49 【答案】A 【分析】分类讨论当公差为，，……，时，对应的等差数列个数，再根据三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，即可得到答案. 【详解】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况. 当公差为时，数列可以是：，共1种情况. 总的情况是. 又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减， 所以这样的等差数列共有个. 故选：A 【点睛】本题主要考查分类计数原理，同时考查了等差数列的定义，属于简单题. 【例98】一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有________个． 【答案】285. 【分析】按照十位上的数字分成9类，再分类计数后相加即可得结果. 【详解】按照十位上的数字分成9类： 第一类：十位上的数字为0时，百位有9种，个位也有9种，此时满足条件的三位数有种； 第二类：十位上的数字为1时，百位有8种，个位也有8种，此时满足条件的三位数有种； 第三类：十位上的数字为2时，百位有7种，个位也有7种，此时满足条件的三位数有种； 第四类：十位上的数字为3时，百位有6种，个位也有6种，此时满足条件的三位数有种； 第五类：十位上的数字为4时，百位有5种，个位也有5种，此时满足条件的三位数有种； 第六类：十位上的数字为5时，百位有4种，个位也有4种，此时满足条件的三位数有种； 第七类：十位上的数字为6时，百位有3种，个位也有3种，此时满足条件的三位数有种； 第八类：十位上的数字为7时，百位有2种，个位也有2种，此时满足条件的三位数有种； 第九类：十位上的数字为8时，百位有1种，个位也有1种，此时满足条件的三位数有种； 所以符合条件的三位数共有. 故答案为：285. 【点睛】本题考查了分类计数原理，关键是合理分类，并且要注意百位和个位上的数字可以相同，属于基础题. 【例99】（1）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？ （2）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个三位数？ （3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （4）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ （5）用1、1、1、2、3、4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？ 【解析】（1）先排百位数，有5种选择，再排十位，有5种选择，最后排个位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，所以，可以组成100个无重复数字的三位数； （2）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，所以，可以组成个三位数； （3）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，所以，可以组成个数字允许重复的三位数； （4）先排个位数，有3种选择，再排百位，有4种选择，最后排十位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，所以，可以组成个数字允许重复的三位数； （5）根据题意，只需从六个位置中选取三个位置排序2,3,4，剩下的三个位置自然都为1，故有种，所以，可以组成个六位数. 【例100】）由1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个无重复数字的三位偶数与三位奇数？ 【解析】当个位上的数是偶数时，该三位数就是偶数，可分步完成． 第一步，先排个位，个位上的数只能是2，4，6，8中的1个，有4种取法； 第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法； 第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法． 所以可以组成无重复数字的三位偶数的个数为个．当个位上的数是奇数时，该三位数就是奇数，可分步完成．第一步，先排个位，个位上的数只能是1，3，5，7，9中的1个，有5种取法； 第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．所以可以组成无重复数字的三位奇数的个数为个． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（重难点篇） 专题09 排列组合16种方法全归纳 知识点一：排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 知识点二：排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C 知识点三：求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为 涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 一、特殊元素或特殊位置----优先策略 【方法指导】 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。 【例1】某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ） A．288种 B．72种 C．42种 D．36种 【例2】2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ） A．36 B．42 C． 48  D．60 【例3】.从6名短跑运动员中选出4人参加4x100m接力赛,甲不能跑第一棒和第四棒,问共有多少种参赛方案？ 【例4】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 【例5】4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有(　　) A．12种 B．14种 C．16种 D．24种 二、相邻元素----捆绑策略 【方法指导】 要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起排列，同时注意合并元素内部也必须排列。 【例6】已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（    ） A．288 B．144 C．72 D．36 【例7】甲、乙等5人去北京天安门游玩，在天安门广场排成一排拍照留念，则甲和乙相邻且都不站在两端的排法有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 【例8】某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（    ）种不同的排法 A． B． C． D． 【例9】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（    ） A．72种 B．60种 C．48种 D．36种 【例10】3位教师和4名学生站一排，3位教师必须站在一起，共有（    ）种站法． A．144 B．360 C．480 D．720 【例11】某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（    ）． A．72 B．96 C．120 D．144 【例12】4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（       ） A． B． C． D． 三、不相邻元素----插空策略 【方法指导】 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素元素插入中间或两头。 【例13】2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（    ） A．24 B．48 C．144 D．244 【例14】某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？ A．72 B．36 C．24 D．12 【例15】公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ） A．24个 B．36个 C．72个 D．60个 【例16】高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（    ） A．72 B．144 C．48 D．36 【例17】五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【例18】马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（    ）种 A．15 B．20 C．10 D．9 【例19】某等候区有7个座位（连成一排），甲、乙、丙三人随机就坐，因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有（    ） A．4种 B．10种 C．20种 D．60种 【例20】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【例21】汽车牌照由4个数字（可以重复）和2个字母（也不一定要不相同）构成，这6个字符可以任何顺序呈现，但两个字母必须相邻，则可以形成的不同的牌照有（ ）种. A． B． C． D． 【例22】3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男、女各不相邻． 【例23】小平、老金、大魏、小刘、小张和小徐共6人要排成一排拍照． （1）若小张和小徐必须相邻．则共有多少种排队种数？ （2）若大魏和小刘不能相邻，则共有多少种排队种数？ （3）若小张和小徐必须相邻，大魏和小刘不能相邻，小平和老金不能相邻，则共有多少种排队种数？ 四、定序问题----倍缩空位插入策略 【方法指导】 定序问题可以用倍缩法，还可以转化为插空法 【例24】将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．则有多少种不同的排列方法？ 【例25】用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件． 【例26】小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 【例27】在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 【例28】五人并排站成一排，如果必须站在的右边，（可以不相邻）那么不同的排法有（   　） A．120种 B．90种 C．60种 D．24种 【例29】DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（       ） A．20 B．40 C．60 D．120 【例30】某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（       ） A．120种 B．80种 C．20种 D．48种 五、重排问题----求幂策略 【方法指导】 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种。 【例31】某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有（ ） A．64种 B．46种 C．24种 D．360种 【例32】现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(　　) A．56 B．65 C．30 D．11 【例33】位同学被推荐担任进博会个指定展馆服务志愿者，每人负责个展馆，每个展馆只需位同学，则共有____________种不同的安排方法. 【例34】市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有________种（用数字作答）． 【例35】现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） A．1024种 B．1023种 C．1535种 D．767种 六、环排问题----线排策略 【方法指导】 一般地，n个不同元素作圆形排列，共有（n-1)!种排法或 【例36】甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【例37】 8人排成前后两排，每排4人，其中有2个女生要排在前排，另有2个因个子高要排在后排，问共有 __________种不同的排法？（用数字作答） 【例38】21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为 A．19 B．38 C．51 D．57 【例39】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（     ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 【例40】现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（       ）． A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 【例41】5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 【例42】5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 【例43】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（     ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 七、多排问题----直排策略 【方法指导】 元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究。 【例44】有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是___________（结果用最简分数表示）. 【例45】8人排成前后两排，每排4人，其中有2个女生要排在前排，另有2个因个子高要排在后排，问共有 种不同的排法？（用数字作答） 【例46】 10名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲、乙两个同学不可相邻也不可面对面，有多少种坐法？ 八、排列组合混合问题----选后排策略 【方法指导】 解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想。 【例47】有5个男生和3个女生，从中选出5个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数。（1）有女生但人数少于男生。（2）某女生一定担任语文科代表。（3）某男生必须在内，但不担任数学科代表。（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表。 (1) 5400 (2) 840 (3) 3360 (4) 360 【例48】对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，每次取出一件测试，直到4件次品全测出为止，则第4件次品在第5次测试时被发现的不同情形有多少种？ 【例49】在7名运动员中选4名组成接力队参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种。 【例50】按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ （1） 平均分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2） （2）甲得1本，乙得2本，丙得3本； （3） 甲、乙、丙三人一人得1本， 一人得2本，一人得3本； （4）甲、乙、丙三人中，一人得4本。另外每人各得1本。 【例51】5个不同的小球，分到3个不同的小盒中，每盒至少一个，有几种不同的分法？ 九、元素相同问题----隔板策略 【方法指导】 将n个相同的元素分成m份（n,m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 【例52】假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　) A．30 B．21 C．10 D．15 【例53】将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（       ） A．16 B．18 C．27 D．28 【例54】展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（       ） A．12项 B．24项 C．39项 D．78项 【例55】7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（       ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 【例56】将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（       ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 【例57】方程的正整数解共有（    ）组 A．165 B．120 C．38 D．35 【例58】方程的非负整数解有（       ） A．组 B．136组 C．190组 D．68组 【例59】将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 【例60】学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 十、正难则反策略 【方法指导】 有些排列组合问题，正面直接比较复杂，而它的反而往往比较简单，可以先求出它的反面，再从整体中淘汰。 【例61】某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　) A．120种　　　 B．84种　　　 C．52种 D．48种 【例62】将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（       ）． A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 【例63】某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（       ） A．21种 B．231种 C．238种 D．252种 【例64】四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 【例65】某校组织一次认识大自然的活动，有10名同学参加，其中有6名男生､4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（    ） A．192种 B．120种 C．96种 D．24种 【例66】现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（    ） A．484 B．472 C．252 D．232 【例67】中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（   ） A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种 【例68】红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗诵类节目，1个戏曲类节目．演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（       ） A． B． C． D． 【例69】设有编号为，，，，的五个球和编号为，，，，的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 【例70】在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个． 十一、平均分组问题----除法策略 【方法指导】 平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以（n为均分的组数）避免重复计数。 【例71】江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（ ） A．60 B．90 C．150 D．240 【例72】安排A，B，C，D，E，F共6名大学生到甲，乙，丙三地支教，每名学生只去一地，每地安排两名学生，其中A不去甲地，则不同的安排方法共有________． 【例73】2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有______种． 【例74】疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A．60种 B．90种 C．150种 D．240种 【例75】据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A． B． C． D． 【例76】某班级周三的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语，共6节课． （Ⅰ）如果数学与体育不能相邻，则不同的排法有多少种？ （Ⅱ）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【例76】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本. 十二、涂色问题--合理分类与分步策略 【方法指导】 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 【例77】用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【例78】给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．96 B．144 C．240 D．360 【例79】在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【例80】如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（    ） A．480 B．720 C．1080 D．1200 十三、应用问题----构造模型策略 【方法指导】 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决。 【例81】贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①次传球之后,共有___________种可能的传球方法;②次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有___________种. 【例82】一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________． 【例83】把圆分成个不相等的扇形，并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色，但不允许相邻的扇形有相同的颜色，问共有多少种染色法？ 【例84】某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数． 十四、分解与合成策略 【方法指导】 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案，每个比较复杂的问题都要用到这解题策略。 【例85】有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？ A．6 B．8 C．10 D．12 【例86】如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有 A．10 B．13 C．15 D．25 【例87】如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以 的方向行走至B，不同的行走路线有 A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【例88】如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（     ）条 A．40 B．60 C．80 D．120 【例89】如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为 A．14 B．15 C．16 D．17 【例90】如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（       ） A．甲从M到达N处的走法种数为120 B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9 C．甲，两人能在处相遇的走法种数为36 D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164 十五、多面手问题 【方法指导】 解含有约束条件的排列组合问题，即多面手问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终． 【例91】我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【例92】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【例93】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【例94】某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 【例95】某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【例96】在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 十六、数字排序问题----查字典策略 【方法指导】 数字排序问题可用查字典法，查字典法应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。 【例97】从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个 A．98 B．56 C．84 D．49 【例98】一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有________个． 【例99】（1）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？ （2）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个三位数？ （3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （4）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ （5）用1、1、1、2、3、4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？ 【例100】）由1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个无重复数字的三位偶数与三位奇数？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$