第4章 三角形 本章综合训练 课时同步训练 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 本章综合训练 【直击中考】 【考点1】与三角形有关的线段 【典例】（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（    ）． A．三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形 【变式1】（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【变式2】（2021·江苏连云港·中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则 ． 【变式3】（2020·辽宁·中考真题）如图，四边形是长方形，延长到点，使，连接，点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；…；按照此规律继续进行下去，若长方形的面积等于2，则的面积为 ．（用含正整数的式子表示） 【考点2】与三角形有关的角 【典例】（2024·湖南·中考真题）等腰三角形一个底角的度数是，则其顶角的度数为 ． 【变式1】（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【变式3】（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【考点3】全等三角形 【典例】（2023·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ． 【变式1】（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 【变式2】（2020·四川内江·中考真题）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3】（2023·广西·中考真题）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将长方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，． 请完成： (1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； (2)证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为长方形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，． 请完成：(3)证明是的一条三等分线． 【单元综合训练】 一、单选题 1．在中，画出边上的高，下面4幅图中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，若，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，ABCD，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，要使，可以添加的一个条件是（　　） A． B． C． D． 5．如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B间的距离，作线段与相交于点O，使，，只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 7．如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，若与分别经过格点A、B、C，D、E、F，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 9．如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 10．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，，将直角三角板的直角顶点放在直线上，．若，则 ． 12．等腰三角形一边长，另一边长，则该等腰三角形的周长是 ． 13．在中，，，点是上一个动点，当取最小值时， ． 14．在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 15．如图，，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 16．如图，在中，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，如果，，那么的长为 ． 17．如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则 （用，表示） 三、解答题 18．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点．A,B,C,P四点都在格点上 (1)在下图中过点P做线段，且； (2)在下图中过点P做线段，且； (3)连接，求的面积． 19．如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 20．如图所示，于点，于点，是上一点，，．求证：． 21．如图：在中，、分别是、两边上的高． (1)求证：； (2)当时，与的位置关系如何，请说明理由． 22．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 23．已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 本章综合训练 【直击中考】 【考点1】与三角形有关的线段 【典例】（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（    ）． A．三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案． 【详解】解：三角形具有稳定性，长方形、正方形、平行四边形不具有稳定性， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的稳定性、四边形的不稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 【变式1】（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 【变式2】（2021·江苏连云港·中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则 ． 【答案】 【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可． 【详解】解：连接ED 是的中线， ， 设， 与是等高三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 【变式3】（2020·辽宁·中考真题）如图，四边形是长方形，延长到点，使，连接，点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；…；按照此规律继续进行下去，若长方形的面积等于2，则的面积为 ．（用含正整数的式子表示） 【答案】 【分析】先计算出、、的面积，然后再根据其面积的表达式找出其一般规律进而求解． 【详解】解：∵， ∴面积是长方形ABCD面积的一半，∴梯形BCDE的面积为， ∵点是的中点，∴ ∴， ， ∴， ∵点是的中点，由中线平分所在三角形的面积可知， ∴， 且， ∴ ∴， 同理可以计算出： ， 且， ∴， ∴， 故、、的面积分别为：， 观察规律，其分母分别为2,4,8，符合，分子规律为， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形面积公式，长方形的性质等，本题的关键是能求出前面三个三角形的面积表达式，进而找出规律求解． 【考点2】与三角形有关的角 【典例】（2024·湖南·中考真题）等腰三角形一个底角的度数是，则其顶角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，根据题意，等腰三角形一个底角的度数是，则另一个底角的度数是，根据三角形的内角和，即可求出顶角． 【详解】解：∵等腰三角形一个底角的度数是， ∴另一个底角的度数是， ∴顶角为：． 故答案为：． 【变式1】（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【变式2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 【变式3】（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，， 由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时， ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 【考点3】全等三角形 【典例】（2023·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由全等三角形的性质得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 【变式1】（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由，，可得，证明，进而结论得证． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【变式2】（2020·四川内江·中考真题）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键： （1）根据两直线平行内错角相等推出，由此根据证明，即可证得； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据等边对等角及三角形的内角和求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 【变式3】（2023·广西·中考真题）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将长方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，． 请完成： (1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； (2)证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为长方形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，． 请完成： (3)证明是的一条三等分线． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证； （3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：由题意可知； （2）证明：由折叠的性质可得：，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴； （3）证明：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，， ∵折痕，， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及长方形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，是解题的关键． 【单元综合训练】 一、单选题 1．在中，画出边上的高，下面4幅图中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，边上的高是过点B向作垂线，垂足为E，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，只有C选项中的图形是画出边上的高， 故选：C． 2．如图，若，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 3．如图，ABCD，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，内错角相等”，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到答案． 【详解】 为直角三角形 故选：A． 4．如图，已知，要使，可以添加的一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等． 根据全等三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．若添加，无法判定，故不符合题意； B．若添加，则，即， 在和中， ， ∴，故符合题意；     C．若添加，无法判定，故不符合题意；     D．若添加，无法判定，故不符合题意； 故选：B． 5．如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B间的距离，作线段与相交于点O，使，，只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用证明即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B间的距离， 故选：B． 6．如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：作于点，如图， ，垂足为，，，， ，即， ， 是线段上的任意一点，连接， 当点与点重叠时取得最小值，最小值为12， 的长不可能是11， 故选：A． 7．如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了网格与全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是关键． 根据题意可得，，，则，，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 8．如图，若与分别经过格点A、B、C，D、E、F，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了网格的特点和全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接，取格点，连接，则，那么，由平行线的性质得到，而，即可求解． 【详解】解：连接，取格点，连接， 由网格可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据可对①进行判断；根据“”证明，可对②③④进行判断． 【详解】解：∵，为三角形的角平分线， ∴，， ∴，故①正确； ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴，，故③④正确，符合题意； ∵点G不一定是的中点， ∴不能得出， ∴不能得出，故②错误，不合题意； 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，邻补角的性质，角平分线的定义等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 10．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故选B 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 二、填空题 11．如图，，将直角三角板的直角顶点放在直线上，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 利用平行线的性质求出的度数，再利用直角三角形的两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：如图所示， ， ， ， ， 故答案为：． 12．等腰三角形一边长，另一边长，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，掌握三角形三边数量关系，等腰三角形的定义是关键． 根据等腰三角形的定义，分类讨论即可． 【详解】解：当腰长为，底边长为， ∵，即，符合题意， ∴这个等腰三角形的周长为； 当腰长为，底边长为， ∵，不符合题意； 综上所述，该等腰三角形的周长是 故答案为： ． 13．在中，，，点是上一个动点，当取最小值时， ． 【答案】 【分析】此题考查了垂线段最短，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据垂线段最短得到当时，取最小值，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】如图所示， ∵点是上一个动点 ∴当时，取最小值 ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 14．在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，先证明得到；根据，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵在中，、是高， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点A作交的延长线于点H，证明，得到，再证明，得到，则． 【详解】解：过点A作交的延长线于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 16．如图，在中，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，如果，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由题意可得，由平行线的性质可得，，证明，得出，即可得解． 【详解】解：∵是边的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则 （用，表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，两点之间线段最短，在上截取，连接，，证明，则，当三点共线时，的值最小，然后利用角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图，若在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若在延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 三、解答题 18．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点．A,B,C,P四点都在格点上 (1)在下图中过点P做线段，且； (2)在下图中过点P做线段，且； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了网格作图，运用网格求三角形的面积，垂直的定义、平行的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征作线段，且，即可作答． （2）结合网格特征得，证明是全等三角形，得，通过角的等量代换得，作线段，且，即可作答． （3）运用割补法列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：线段，如图所示： （2）解：线段如图所示： （3）解： ∴的面积为． 19．如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等． （1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：∵ ∴． 20．如图所示，于点，于点，是上一点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意判定，可得，进而求解； 【详解】证明：于点，于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 21．如图：在中，、分别是、两边上的高． (1)求证：； (2)当时，与的位置关系如何，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的高线，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，即可作答． （2）先由得出，根据三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，以及角的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：∵、分别是、两边上的高． ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是两边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 22．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 23．已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段、、之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：或或，理由如下： ， 如图③，在上截取，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； ， 如图④，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ； 由（1）、（2）可知，； 如图，点在延长线上，点在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系； 综上，线段、、之间的数量关系为：或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$