精品解析：山东省潍坊市2025届高三下学期4月高考模拟考试（二模）数学试题

潍坊市高考模拟考试 数 学 2025.4 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集的个数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】首先解不等式化简集合，再根据含有个元素的集合有个子集计算可得. 【详解】由，解得， 所以， 所以的子集有个. 故选：B 2. 某校高二年级组织了一次数学素养测试，随机抽取位学生的成绩，制成如图所示的茎叶图，该组数据的第百分位数是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合百分位数的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题设有，而， 这八个数据由小到大排列依次为、、、、、、、， 则样本数据的第百分位数为，解得，合乎题意. 综上所述，. 故选：C. 3. 已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的性质得到另一个根，再结合韦达定理求出参数值，最后求解的值即可. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 由韦达定理得，解得， ，则，故D正确. 故选：D 4. 已知向量在向量上的投影向量为，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据计算投影向量的公式及，求得，再利用数量积的运算律即可得答案. 【详解】，∴, , 故选：A. 5. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式逐项计算可得的值. 【详解】因为数列满足，且， 所以，，，. 故选：D. 6. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边与圆交于点．若角终边沿逆时针方向旋转角，交圆于点，则角可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用任意角三角函数的定义结合两角差的正弦公式得到，再利用正弦函数的性质得到的可能值即可. 【详解】因为角的终边与圆交于点， 所以由任意角三角函数定义得，， 设旋转后的角为，且旋转后的角交圆于点， 则由任意三角函数的定义得，， 得到， ， 故，当时，，故D正确. 故选：D 7. 现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出将位志愿者到三个社区做志愿服务工作的分法种数，然后就甲、乙所安排的小区的志愿者人数进行分类讨论，利用计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作， 每个社区的人数分别为、、或、、， 所以不同的分法种数为种； 现在考虑甲、乙安排在同一个社区，若甲、乙所安排的小区有人，则还需从另外人中抽人， 此时分法种数为种； 若甲、乙所安排的小区只有他们两人，此时只需将剩余人分为两组，则分法种数为种. 综上所述，甲、乙安排在同一个社区的概率为. 故选：C. 8. 在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，，则，， 设该椭圆长半轴长为，由椭圆的定义可知： ，解得 所以，，， 在中，显然有，所以， 设，由余弦定理可知：， 即解得 因此椭圆的焦距为， 所以椭圆的离心率为：. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中，、分别为线段、的中点，则（ ） A. 与异面 B. 平面 C. D. 平面 【答案】AC 【解析】 【分析】利用异面直线的定义可判断A选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BCD选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、、 、、， 对于A选项，、既不平行，也不相交，故与异面，A对； 对于B选项，，易知平面的一个法向量为， 则，故与平面不平行，B错； 对于C选项，，所以，，故，C对； 对于D选项，，所以，，所以，、不垂直， 故与平面不垂直，D错. 故选：AC. 10. 已知函数，函数的图象由的图象向左平移个单位得到，则（ ） A. 与在上有相同的单调性 B. 的图象关于直线对称 C. 设，则的一个对称中心为 D. 当时，与的图象有6个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平移规则得到函数即可判断A正确，由余弦函数对称轴方程可得B错误，再由正切函数对称中心方程可得C正确，画出函数图像即可求得交点个数，可得D正确. 【详解】易知的图象向左平移个单位可以得到， 对于A，当时，， 由正弦函数和余弦函数图像性质可知，与在上均是单调递减的，即它们有相同的单调性，可得A正确； 对于B，由可知，令，解得， 因此可得的图象关于直线对称，即B错误； 对于C，易知， 令，解得， 即则的对称中心为， 当时，可知的一个对称中心为，即C正确； 对于D，当时，，又； 画出函数的图象如下图所示： 结合图像可知，与的图象有6个交点，即D正确. 故选：ACD 11. 曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（ ） A. 曲线上不存在曲率大于的点 B. 曲线在点处的曲率最大 C. 曲线在点处的曲率为 D. 曲线在点与处曲率相等，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用曲率的定义可判断ABC选项；由题意得出，令，结合基本不等式可得出关于的不等式，解之可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，则，， 所以，， 所以，曲线上不存在曲率大于的点，A对； 对于B选项，令，则，， 所以，， 故当时，取最小值，此时取最大值，且， 所以，曲线在点处的曲率最大，B对； 对于C选项，由可得， 令，则， 则，所以，，， 所以，曲线在点处的曲率为，C错； 对于D选项，设，则，， 则在点处的曲率， 因为曲线在点与处曲率相等， 即，即， 即， 整理可得， 因为且、均为正数，所以，， 由基本不等式可得， 即，令，则， 即，由于，解得，即，D对. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线的准线与直线之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程：____________． 【答案】或（填一个答案即可） 【解析】 【分析】根据题意，判断抛物线的准线方程为或，分别求出焦准距，写出抛物线方程即可. 【详解】依题意，抛物线的准线与直线平行，且距离为2， 故抛物线的准线方程为或， 当抛物线的准线方程为时，抛物线的焦点在轴的负半轴上，且，，故抛物线方程为：； 当抛物线的准线方程为时，抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，，故抛物线方程为：. 综上可知，满足条件的抛物线的标准方程可以是或. 故答案为：或（填一个答案即可） 13. ，，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为（当且仅当时取等号）， 又，，所以，则或， 解得或，即实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，其下底面与半球的底面重合，上底面圆周在半球的球面上，则圆台的侧面积为____________；半球被该圆台的上底面所在的平面截得两部分，其体积分别为，则____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空利用已知条件可求得圆台的高，进而可求出圆台的母线长，再求侧面积即可；第二空先求出球冠的体积，再求出半球的体积，进而可求出，最后可求出的值. 【详解】 作出圆台的轴截面如图，设圆台的上底面半径为，下底面半径为，球的半径为， 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，，， 又下底面与半球的底面重合，， 圆台的高，圆台的母线长为， 圆台的侧面积为； 半球的体积为， 球心到圆台的上底面所在的平面的距离为， 球冠的高度为， 球冠的体积为， ， . 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若外接圆的半径为，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）由正弦定理求出，再由余弦定理及求出、，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为 由正弦定理得． 所以， 因为，所以． 所以． 因为，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为外接圆半径为， 由正弦定理得，由（1）知，即，所以， 由余弦定理得，所以， 因为，代入上式得． 因为，所以，则，所以． 16. 已知函数． （1）若在处取得极值0，求的值； （2）若有两个零点． （i）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii），若，则在上单调递增，不合题意， 若，令，得， 且单调递减， 单调递增， 所以在处取极小值， 因为函数有两个零点，则， 所以， 即． 【解析】 【分析】（1）求导，由题意得，求得的值并利用单调性进行验证； （2）（i）根据导数的几何意义得，，求得的值并进行验证； （ii）利用导数求得极小值，再根据有两个零点，即可得证. 【小问1详解】 ， 由题意即解得． 当时，， 单调递减，单调递增， 所以在处取极值． 【小问2详解】 （i）时， ，所以， 又， 所以，解得或． 若只有一个零点，不符合题意，舍去，所以． （ii）略 17. 如图，四棱锥的底面为矩形，． （1）设平面与平面的交线为，证明：平面； （2）若点满足，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由为矩形，得，而平面， 平面，则平面， 又平面平面，平面， 则，又平面，平面， 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）取的中点，过作垂线于，以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设中点分别为，连接， 由题意得， 得，又，则， 在中，过作垂线，垂足为， 过作垂线，垂足为，则． 由，得， 又平面，则平面， 而平面，则，过作平行线交于， 以为原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， ，设， 由，得， 得，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，得到， 故与平面所成角的正弦值为． 18. 有个依次进行的试验、、、，每个试验的结果为成功或失败．试验：成功的概率为，其中为前次试验中的成功次数，特别地，当时，，的成功概率为（即必定成功），记前次试验中恰有次失败的概率为． （1）当时，求恰好有次成功的概率； （2）令，若，证明：； （3）当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 当时，恰有次失败，假设失败发生在第次，其余成功． 则前次均成功的概率为． 第次失败的概为， 后续次成功的概率为， 所以失败发生在第次的概率为， 则. （3） ，理由如下： 所有试验均成功的概率为， 即证，即．① 因为当时，即， 所以． 即， 所以①式成立，即． 【解析】 【分析】（1）分情况讨论：①失败，成功；②成功，失败.分别计算出两种情况下的概率，相加即可得解； （2）当时，恰有次失败，假设失败发生在第次，其余成功，求出失败发生在第次的概率为，即可得出，即可证得结论成立； （3）判断出，求出的表达式，然后证明这个不等式成立，即证，结合不等式的基本性质证明即可. 【小问1详解】 当时，恰有次成功即恰有次失败， 由于必成功，因此失收只能发生在或上， 当失败，成功时，概率为， 当成功，失败时，概率为， 所以恰有次成功的概率． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为． （i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式； （ii）记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （i）因为，所以、， 直线的方程为，即， 代入，得， 根据韦达定理得． 所以，， 由题设有， 因为， 所以是公比为的等比数列． 因为， 所以是公比为的等比数列， 所以，， 所以，. （ii）． 【解析】 【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式可求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）（i）写出直线方程，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理可得出，，再利用等比数列的定义可证得结论成立；（ii）求出、的表达式，可得出的表达式，结合数列的单调性可求得的最大值. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为，， 则点到渐近线的距离为，所以，所以的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）先证明结论：若，为两个不共线的非零向量， 则 . 本题中，因为．， 所以． 因为，， ， 又因为， ， 所以，， 所以， 设，则， 所以，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潍坊市高考模拟考试 数 学 2025.4 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集的个数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 某校高二年级组织了一次数学素养测试，随机抽取位学生的成绩，制成如图所示的茎叶图，该组数据的第百分位数是，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 4. 已知向量在向量上的投影向量为，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 5. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边与圆交于点．若角终边沿逆时针方向旋转角，交圆于点，则角可能为（ ） A. B. C. D. 7. 现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中，、分别为线段、的中点，则（ ） A. 与异面 B. 平面 C. D. 平面 10. 已知函数，函数的图象由的图象向左平移个单位得到，则（ ） A. 与在上有相同的单调性 B. 的图象关于直线对称 C. 设，则的一个对称中心为 D. 当时，与的图象有6个交点 11. 曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（ ） A. 曲线上不存在曲率大于的点 B. 曲线在点处的曲率最大 C. 曲线在点处的曲率为 D. 曲线在点与处曲率相等，则 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线的准线与直线之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程：____________． 13. ，，则实数的取值范围是____________． 14. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，其下底面与半球的底面重合，上底面圆周在半球的球面上，则圆台的侧面积为____________；半球被该圆台的上底面所在的平面截得两部分，其体积分别为，则____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若外接圆的半径为，且，求的面积． 16. 已知函数． （1）若在处取得极值0，求的值； （2）若有两个零点． （i）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值； （ii）证明：． 17. 如图，四棱锥的底面为矩形，． （1）设平面与平面的交线为，证明：平面； （2）若点满足，求与平面所成角的正弦值． 18. 有个依次进行的试验、、、，每个试验的结果为成功或失败．试验：成功的概率为，其中为前次试验中的成功次数，特别地，当时，，的成功概率为（即必定成功），记前次试验中恰有次失败的概率为． （1）当时，求恰好有次成功的概率； （2）令，若，证明：； （3）当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 19. 双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为． （i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式； （ii）记的面积为，的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $