6.2 平行四边形的判定 学案2024-2025学年北师大版数学八年级下册

6.2 平行四边形的判定 学案 【学习目标】理解“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，并学会简单运用． ( 图 1 )【学习重难点】灵活运用平行四边形的判定和性质进行推理和计算. 【导学过程】 一.知识回顾 1.如图1，在□ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=20cm，BD=12cm， 则AD的长为( )A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm[来源:Z&xx&k.Com] 2.“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________________________. ( 1. 猜想 )二.探究新知 ( 如图 2 ，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，四边形ABCD看起来是平行四边形. 我 猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形. ) ( 图 2 ) 2.证明.已知：如图3，四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB=OD. ( 图 3 )求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：∵在△AOD和△COB中 ∴______≌______（______） ∴∠ADO=______，∴AD//_____.同理AB//_____； ∴四边形ABCD是平行四边形（____________）. 3.结论：平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何语言：在四边形ABCD中，∵______，______（已知） ∴四边形ABCD是平行四边形（____________________________________） 三.典例与练习 ( 图4 )例1.已知：如图4，E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF． 求证:四边形BFDE是平行四边形. ( 图 5.1 ____________ . 理由： ____________________________________ . 图5.2 ____________ . 理由： ____________________________________ . ) ( 图5.1 图5.2 )练习1.判断下列四边形是否为平行四边形？并说出你的依据． 例2.已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别是M、N． ( 图6 O )求证：四边形BMDN是平行四边形 ( 图7 )练习2.如图7，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F是对角线AC上的点.下列条件中，不能判定四边形BEDF是平行四边形的是（ ） A．DE//BF B．AE=CF C．∠BEO=∠DFO D．BE=DF 四.课堂小结 1.平行四边形的判定方法： (1)定义：__________________的四边形是平行四边形. (2)__________________的四边形是平行四边形. (3)__________________的四边形是平行四边形. (4)____________的四边形是平行四边形. 2.数学的历史也可以说是证明或反驳猜想的历史. 五.分层过关 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( ) A.AB∥CD，AD∥BC B.OA＝OC，OB＝OD C.AD＝BC，AB∥CD D.AB＝CD，AD＝BC 2.已知平行四边形ABCD的周长为32cm，AB=4cm，则BC的长为（ ）． A．4cm B．12cm C．16cm D．24cm 3.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，则下列结论不成立的是( ) A．AB＝AC B．AB∥CD C．∠BAD＝∠BCD D．AD＝BC 4.如图8，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，下列结论不一定成立的是（ ）A.AD=BC B．AB∥CD C．∠DAB=∠BCD D．∠DAB=∠ABC ( 图10 ) ( 图9 ) ( 图11 ) ( 图8 ) 5.如图9，在四边形ABCD中，AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,OA=OC，请你添加一个条件______，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）． 6.如图10，AD为△ABC的中线，AB＝9，AC＝12，延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE，CE，则四边形ABEC的周长是____． 7.如图11，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的是____________． ( 图12 )8.如图12，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F，且OE＝OF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 9.如图13.已知△ABC，∠C＝90°，AD＝EC，AC＝BE，BD交AE于点O，则∠BOE＝______． ( 图13 ) 答案 【学习目标】理解“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，并学会简单运用． ( 图 1 )【学习重难点】灵活运用平行四边形的判定和性质进行推理和计算. 【导学过程】 一.知识回顾 1.如图1，在□ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=20cm，BD=12cm， 则AD的长为( D)A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm[来源:Z&xx&k.Com] 2.“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( 1. 猜想 )二.探究新知 ( 如图 2 ，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，四边形ABCD看起来是平行四边形. 我 猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形. ) ( 图 2 ) 2.证明.已知：如图3，四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB=OD. ( 图 3 )求证：四边形ABCD是平行四边形。 ( OA=OC )证明：∵在△AOD和△COB中 ( 对顶角相等 ) ( ∠ A OD = ∠ C O B ) ( OB=OD )∴△AOD≌△COB（SAS） ∴∠ADO=∠CBO，∴AD//BC.同理AB//CD； ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义）. 3.结论：平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何语言：在四边形ABCD中，∵OA＝OC，OB=OD（已知） ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 三.典例与练习 ( 图4 )例1.已知：如图4，E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF． 求证:四边形BFDE是平行四边形. 证明:连接BD，交AC与点O. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD． 又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF．即OE=OF． ∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ( 图 5.1 是平行四边形 . 理由： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 . 图5.2 是平行四边形. 理由： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 . ) ( 图5.1 图5.2 )练习1.判断下列四边形是否为平行四边形？并说出你的依据． 例2.已知：如图6，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BM⊥AC，DN⊥AC，垂足分别是M、N． ( 图6 O )求证：四边形BMDN是平行四边形 证明：∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC，AO=CO,OD=OB ∴∠DAN=∠BCM，∴△ADN≌△CBM， ∴AN=CM，AO-AN=CO-CM,即：ON=OM, ∵OD=OB,∴四边形BMDN是平行四边形． (对角线互相平分的四边形是平行四边形). ( 图7 )练习2.如图7，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F是对角线AC上的点.下列条件中，不能判定四边形BEDF是平行四边形的是（D） A．DE//BF B．AE=CF C．∠BEO=∠DFO D．BE=DF 四.课堂小结 1.平行四边形的判定方法： (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2.数学的历史也可以说是证明或反驳猜想的历史. 五.分层过关 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(C) A.AB∥CD，AD∥BC B.OA＝OC，OB＝OD C.AD＝BC，AB∥CD D.AB＝CD，AD＝BC 2.已知平行四边形ABCD的周长为32cm，AB=4cm，则BC的长为（ B ）． A．4cm B．12cm C．16cm D．24cm 3.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，则下列结论不成立的是(A) ( 图9 )A．AB＝AC B．AB∥CD C．∠BAD＝∠BCD D．AD＝BC 4.如图8，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD， 下列结论不一定成立的是（D）A.AD=BC B．AB∥CD C．∠DAB=∠BCD D．∠DAB=∠ABC ( 图10 ) ( 图11 ) ( 图8 ) 5.如图9，在四边形ABCD中，AB=CD,对角线AC,BD相交于点O,OA=OC，请你添加一个条件OB=OD，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）． 6.如图10，AD为△ABC的中线，AB＝9，AC＝12，延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE，CE，则四边形ABEC的周长是42． 7.如图11，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE=S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的是①②④⑤⑥． ( 图12 )8.如图12，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F，且OE＝OF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 解∵AB∥CD，∴∠OAE＝∠OCF， 在△AEO和△CFO中， ，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OA＝OC．同理：△BEO≌△DFO（AAS），∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 9.如图13.已知△ABC，∠C＝90°，AD＝EC，AC＝BE，BD交AE于点O，则∠BOE＝45°． 解：如图，过点B作BF⊥BC，且使得BF＝EC，连接AF，FE，则∠EBF＝∠C＝90°， ( 图13 ) 在△AEC和△EFB中， ，∴△AEC≌△EFB（SAS），∴AE＝EF，∠EAC＝∠FEB， ∵∠EAC+∠AEC＝90°，∴∠FEB+∠AEC＝90°，∴∠AEF＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形， ∴∠EAF＝45°， ∵BF＝EC，AD＝EC，∴BF＝AD， ∵∠FBE+∠C＝90°+90°＝180°，∴BF∥AC，∴四边形ADBF为平行四边形，∴BD∥AF， ∴∠BOE＝∠EAF＝45°，故答案为：45°． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$