第4章 三角形 问题解决策略：特殊化 课时同步训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 ☆问题解决策略：特殊化 【数学素养】 特殊化是一种重要的数学思维策略，指在面对一般性或复杂问题时，通过研究其特殊情况（如特殊值、特殊图形、特定条件等）来寻找规律或突破口，进而推广到一般问题的解决方法。新版教材增设“问题解决策略”专题，旨在将日常教学中的数学思想显性化，改变传统渗透式教学，直接引导学生掌握策略。同时，也能够与新版课程标准中的核心素养要求相衔接，通过真实情境（如旋转正方形重叠面积问题）培养学生的数学分析能力。 一、特殊化的核心内涵 （一）从一般到特殊的转化，即将复杂问题简化为易于处理的特殊情形，例如： 在三角形全等判定中，先研究直角、等边等特殊三角形的性质，再推广到一般三角形； 对于代数问题，则通过代入特殊值（如）观察规律。 （二）辩证的认知规律 华罗庚提出“善于退，退到最原始而不失重要性的地方”，强调通过特殊化揭示问题本质。 二、特殊化的应用场景 （一）几何问题 示例：证明“三角形三条中线交于一点”时，可先验证等边三角形这一特殊情况。 策略：通过特殊图形（如等腰、直角三角形）发现一般性质。 （二）代数与函数 示例：研究复杂找规律问题时，可以分析某一个值为0时的简化形式。 策略：特殊值代入法快速验证选项或猜想。 （三）选择题与探索性题目 通过极端情况（如极限值、边界条件）排除错误选项或确定结论。 【例1】代数中的特殊化策略 【典例】数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息（为正整数）． 任意两个连续奇数的平方差 8的倍数 表示结果 … … 一般结论 按上表规律，完成下列问题： （i）__________________． （ii）______． (2)请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立． 【答案】(1)（i）72；8；9；（ii） (2)见解析 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，平方差公式，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）（i）仿照题意求解即可；（ii）观察可知两个连续奇数的平方差等于8乘以这两个奇数和的四分之一，据此规律求解即可； （2）利用平方差公式求出去括号后的结果即可证明结论． 【详解】（1）解：（i）由题意得，； （ii）， ， ， ， ……， 以此类推可知，； （2）证明： ． 【变式1】“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分． (2)请你用上面的方法归纳一般结论，列出第n个等式（n为正整数），并借助运算证明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的混合运算和乘法公式．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键． （1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第2024个等式： （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则含n的等式是． 理由：∵右边， 左边， ∴左边右边， ∴成立． 【变式2】请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务． 在第十四章《整式的乘法与因式分解》探究数字规律活动课上，老师出示如下问题：观察下列计算两个数积的方法，你发现了什么规律？ …… 任务一：按规律计算 ． 任务二：用两个字母a、b表示出发现的规律，并给出证明． 任务三：上面这种从具体数字计算，到用字母表示出一般性规律，体现了一种很重要的数学思想是______．（填正确选项代码） A．方程思想    B．数形结合思想    C．从特殊到一般 【答案】任务一：5609 任务二：，证明见解析 任务三：C 【分析】本题考查多项式乘法多项式法则，数式规律探究，通过观察出数式计算规律和熟练掌握多项式乘法多项式法则是解题的关键． （1）仿材料的计算方法求解即可； （2）设两个两位数的十位数字为a，第一个的个位数字为b，则第二个数的个位数为，则，再利用多项式乘以多项式法则分别计算等式的左边与右边即可得出结论． （3）从具体数字计算，到用字母表示出一般性规律，体现了从特殊到一般的数学思想． 【详解】解：任务一： 任务二：设两个两位数的十位数字为a，第一个的个位数字为b，则第二个数的个位数为，则 证明： 任务三：用字母表示出一般性规律，体现了一种很重要的数学思想是从特殊到一般． 故选：C． 【变式3】阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般如下所示： ［观察］①； ②； ③； … (1)［归纳］由此可得______． (2)［应用］请运用上面的结论计算：______． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字规律，整式的混合运算，有理数的乘方的运算，理解材料提示，找出规律，掌握整式的运算法则是关键． （1）根据材料提示的计算方法求解即可； （2）结合材料，添加即可求解； （3）设①，则②，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：已知①； ②； ③； ； ∴， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：设，① 则，② ①＋②，得， ． 【例2】平行线中的特殊化策略 【典例】（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点P作，由平行线定理可得，根据平行线的性质可得，，即，即可求解； （2）如图，与相交于点N，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理和平角的定义，利用等量代换可得，即可得证； （3）如图，与相交于点O，由对顶角相等和三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得由（2）可得，，进行等量代换即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，与相交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图，与相交于点O， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等、平行线性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【变式1】【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 【变式2】如图，将一个含的直角三角板放置在直尺上，使直尺与三角板的边BC重合，再将一个含的直角三角板放置在直尺上，使得三角板的最长边在所在直线l上．其中，，． (1)如图1，当点E与点B重合时，与直尺上沿交于点H，求的度数； (2)如图2，与直尺上沿交于点G，连接，在三角板沿直线l运动的过程中，是否存在某个位置，使得与三角板的一条边平行．若存在，请求出此时的度数；若不存在，请说明理由； (3)如图3，小明将直角三角板换成一般三角形卡片．其中．在三角形卡片沿直线l运动的过程中，当与满足怎样的数量关系时，与三角板的一条边平行． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查与三角板有关的计算，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键． （1）利用角的和差关系结合平行线的性质进行求解即可； （2）分两种情况：和时，分别画出图形，求出结果即可； （3）先求出，根据平行线的性质得出，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当时，如图，过点作， 则：， ∴，， ∵， ∴； ②当时，如图：过点作， 则：， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴； 综上分析可知：或； （3）解：如图：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【变式3】（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． 如图一，已知，请说明． 证明：分别过点作． 因为___________①___________，所以． 由___________②___________，可知． 由题知，所以___________③___________． 则，即___________④___________． 由___________⑤___________，可得． 请根据自己的理解，将上述证明过程补充完整． （2）【迁移应用】如图二，已知的交点为．判断．之间的关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为：第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三、若，求的大小． 【答案】（1）①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤内错角相等，两直线平行；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理． （1）根据平行线的判定与性质结合已给推论过程求解即可； （2）过作，得到，推出，，结合，即可求解； （3）根据（2）的结论可推出，即可求解． 【详解】解：（1）分别过点C，D作，． 因为，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以． 则，即． 由内错角相等，两直线平行，可得． 故答案为：①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤内错角相等，两直线平行； （2），理由如下： 如图，过作， ， ， ，， ， ； （3）和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； 以此类推，． 当时，等于． 【例3】三角形中的特殊化策略 【典例】学习情境·实践探究 【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． 【计算与观察】 (1)若，则___________；若，则___________； 【猜想与证明】 (2)猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由； 【拓展与运用】 (3)若，求的度数． 【答案】(1)， (2)与互补，见解析 (3) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了余角和补角、角的和差定义等知识点，灵活运用所学知识解决问题成为解题的关键． （1）根据角的和差定义计算即可； （2）利用角的和差定义计算即可； （3）利用（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ． ，， ， ． 故答案为：，． （2）解：与互补．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴与互补． （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴，解得． 【变式1】综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数； ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数； (2)【迁移探究】 操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)不变，理由见解析 (3)对于图3；对于图4 【分析】（1）①由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；②由①的求解过程，同理即可得到答案； （2）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （3）对于图3，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；对于图4，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、三角形内角和定理及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示： 在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， 用三角尺作边上的高，垂足为点， ； ②如图所示: 是的一个外角， ， ， ； （2）解：不变， 理由如下： 由（1）可知，， 是的一个外角， ， ， ； （3）解：如图所示： 在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ； 如图所示： 在中，，， ， 是的平分线， ， ， ， ； 综上所述，对于图3；对于图4． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． 【变式2】问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则_______度，______度，______度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式． 【答案】(1)，90，35 (2) (3)判断（2）中的结论不成立，或或． 【难度】0.4 【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可，掌握三角形内角和定理是解题的关键； （2）猜想：，利用三角形内角和定理即可解决问题．掌握三角形内角和定理是解题的关键； （3）分、、，分别画出图形并理由三角形内角和定理即可解答．掌握分类讨论思想成为解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 又， ， 故答案为125，90，． （2）解：猜想：理由如下： 在中，， ，， ， ， 又在中，， ， ， ． （3）解：（2）中的结论不成立．理由如下： ①如图中，结论： 理由：设交于 ， ， ②如图中，结论：证明方法类似① ③如图中，结论： 理由：，， ， 【变式3】已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB　 　EC．（填＞、＜或＝） （2）发现证明：如图②，将图①中△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC． 【深入研究】（3）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为 　 　；线段CE，BD之间的数量关系为 　 　． （4）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为 　 　；线段AM，BD，CD之间的数量关系为 　 　． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），；（4）， 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到； （2）由旋转得到的结论判断出，得到； （3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质求出结论； （4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），， ， 即 故答案为：， （2）成立． 理由：由旋转性质可知， 在和中， ， ； （3）如图③，设，交于， 和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ； 故答案是：，； （4）是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 都是等腰直角三角形，为中边上的高， ， ； 故答案为：，； 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解题的关键是掌握三角形全等的判定． 【例4】探究类问题的特殊化策略 【典例】仔细观察，探索规律： 则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．将所求式子前配上就符合范例中的结构特征，再根据规律计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式1】李明在教材第83页的教学活动探索发现，如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第个正方形多（　　）个小正方形？ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小正方形个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 拼第1个正方形需要的小正方形个数为：； 拼第2个正方形需要的小正方形个数为：； 拼第3个正方形需要的小正方形个数为：； …， 所以拼第n个正方形需要的小正方形个数为个， 则， 即拼第n个正方形比第个正方形多个正方形． 故选：D． 【变式2】体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【答案】(1)见解析 (2)若P在的延长线上，；若P在的延长线上，则有． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键． （1）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，然后根据三角形的面积解题即可； （2）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，根据解答即可． 【详解】（1）连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ①， 而， ①式化为：， 可得． 因为三角形在边上的高为定值，即为定值，所以等于定值． （2）若P在的延长线上，连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ， 而，所以， 可得． 同理，若P在的延长线上，则有． 【变式3】如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，，分别是射线和射线上的点，且 【初步探索】 （1）如图，点，分别在线段和线段上，试探究线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到线段，，之间的数量关系． 请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图，点，分别在线段，的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段，，之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在中，若，，，请直接写出的周长． 【答案】（1）见解析 （2）不成立，，理由见解析 （3）或 【分析】本题考查了翻折的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）如图，延长至点，使得，连接，证明得，，证明即可得； （2）如图，在上截取，连接，证明得，，证明即可得； （3）分两种情况：如图，当点在线段上时；如图，当点在线段的延长线上时，求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长至点，使得，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）（1）中的结论不成立，，理由： 如图，在上截取，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 的周长； 如图，当点在线段的延长线上时， 的周长， 综上所述，的周长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 ☆问题解决策略：特殊化 【数学素养】 特殊化是一种重要的数学思维策略，指在面对一般性或复杂问题时，通过研究其特殊情况（如特殊值、特殊图形、特定条件等）来寻找规律或突破口，进而推广到一般问题的解决方法。新版教材增设“问题解决策略”专题，旨在将日常教学中的数学思想显性化，改变传统渗透式教学，直接引导学生掌握策略。同时，也能够与新版课程标准中的核心素养要求相衔接，通过真实情境（如旋转正方形重叠面积问题）培养学生的数学分析能力。 一、特殊化的核心内涵 （一）从一般到特殊的转化，即将复杂问题简化为易于处理的特殊情形，例如： 在三角形全等判定中，先研究直角、等边等特殊三角形的性质，再推广到一般三角形； 对于代数问题，则通过代入特殊值（如）观察规律。 （二）辩证的认知规律 华罗庚提出“善于退，退到最原始而不失重要性的地方”，强调通过特殊化揭示问题本质。 二、特殊化的应用场景 （一）几何问题 示例：证明“三角形三条中线交于一点”时，可先验证等边三角形这一特殊情况。 策略：通过特殊图形（如等腰、直角三角形）发现一般性质。 （二）代数与函数 示例：研究复杂找规律问题时，可以分析某一个值为0时的简化形式。 策略：特殊值代入法快速验证选项或猜想。 （三）选择题与探索性题目 通过极端情况（如极限值、边界条件）排除错误选项或确定结论。 【例1】代数中的特殊化策略 【典例】数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息（为正整数）． 任意两个连续奇数的平方差 8的倍数 表示结果 … … 一般结论 按上表规律，完成下列问题： （i）__________________． （ii）______． (2)请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立． 【变式1】“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分． (2)请你用上面的方法归纳一般结论，列出第n个等式（n为正整数），并借助运算证明这个结论是正确的． 【变式2】请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务． 在第十四章《整式的乘法与因式分解》探究数字规律活动课上，老师出示如下问题：观察下列计算两个数积的方法，你发现了什么规律？ …… 任务一：按规律计算 ． 任务二：用两个字母a、b表示出发现的规律，并给出证明． 任务三：上面这种从具体数字计算，到用字母表示出一般性规律，体现了一种很重要的数学思想是______．（填正确选项代码） A．方程思想    B．数形结合思想    C．从特殊到一般 【变式3】阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般如下所示： ［观察］①； ②； ③； … (1)［归纳］由此可得______． (2)［应用］请运用上面的结论计算：______． (3)计算：． 【例2】平行线中的特殊化策略 【典例】（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）． 【变式1】【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【变式2】如图，将一个含的直角三角板放置在直尺上，使直尺与三角板的边BC重合，再将一个含的直角三角板放置在直尺上，使得三角板的最长边在所在直线l上．其中，，． (1)如图1，当点E与点B重合时，与直尺上沿交于点H，求的度数； (2)如图2，与直尺上沿交于点G，连接，在三角板沿直线l运动的过程中，是否存在某个位置，使得与三角板的一条边平行．若存在，请求出此时的度数；若不存在，请说明理由； (3)如图3，小明将直角三角板换成一般三角形卡片．其中．在三角形卡片沿直线l运动的过程中，当与满足怎样的数量关系时，与三角板的一条边平行． 【变式3】（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． 如图一，已知，请说明． 证明：分别过点作． 因为___________①___________，所以． 由___________②___________，可知． 由题知，所以___________③___________． 则，即___________④___________． 由___________⑤___________，可得． 请根据自己的理解，将上述证明过程补充完整． （2）【迁移应用】如图二，已知的交点为．判断．之间的关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为：第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三、若，求的大小． 【例3】三角形中的特殊化策略 【典例】学习情境·实践探究 【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． 【计算与观察】 (1)若，则___________；若，则___________； 【猜想与证明】 (2)猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由； 【拓展与运用】 (3)若，求的度数． 【变式1】综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数； ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数； (2)【迁移探究】 操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系． 【变式2】问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则_______度，______度，______度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式． 【变式3】已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC． 【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB　 　EC．（填＞、＜或＝） （2）发现证明：如图②，将图①中△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC． 【深入研究】（3）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为 　 　；线段CE，BD之间的数量关系为 　 　． （4）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为 　 　；线段AM，BD，CD之间的数量关系为 　 　． 【例4】探究类问题的特殊化策略 【典例】仔细观察，探索规律： 则（   ） A． B． C． D． 【变式1】李明在教材第83页的教学活动探索发现，如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第个正方形多（　　）个小正方形？ A． B． C． D． 【变式2】【体验与实践】 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【变式3】如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，，分别是射线和射线上的点，且 【初步探索】 （1）如图，点，分别在线段和线段上，试探究线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到线段，，之间的数量关系． 请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图，点，分别在线段，的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段，，之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在中，若，，，请直接写出的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$