精品解析：江苏省南通市四星高中2024-2025学年高二下学期联考调研数学试卷

2024-2025学年度高二年级第二学期期中四星联考调研 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某超市有3种足量的水果，现某一买家想要买5个水果，且每种水果至少1个，则不同的买法种数为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】按照分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】若3种水果按分配，有3种买法； 若3种水果按分配，有3种买法， 故共有6种买法． 故选：B． 2. 在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据回归模型性质判断即可. 【详解】若样本数据所对应点都在直线上， 则两组数据和的线性相关系数为. 故选：A. 3. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得，再根据空间向量的平行公式求解即可. 【详解】由可得，故，故，，故. 故选：A 4. 若随机变量X服从两点分布，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数学期望和方差的公式即可判断AB，由数学期望和方差的性质即可判断CD. 【详解】由有，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C错误；，故D正确. 故选：C. 5. 在高二社会实践活动中，实践基地要求每班每天只能有一位协助员随工作人员一起进城采购．某班主任从甲、乙、丙三位同学中安排周一到周四这四天的协助员，每位同学至少担任一天的协助员，则不同的安排方案共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 54种 D. 60种 【答案】A 【解析】 【分析】先将四天分为三组，再将三组分配给甲、乙、丙三位同学即可. 【详解】依题意，先将四天分为三组，有种， 再将三组分配给甲、乙、丙三位同学，有种， 所以不同的安排方案共有种. 故选：A. 6. 若，则（ ） A. B. 10 C. D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】利用的二项展开式，求. 【详解】因为 展开式的第三项为：. 所以. 故选：D 7. 已知一圆锥的底面半径是1，高为，SA为该圆锥的一条母线，B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，则直线SA与BC夹角的余弦值的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意建系，设出点B，C的坐标，利用空间向量的夹角公式和三角恒等变换将其化成关于余弦的绝对值函数，利用余弦函数的值域即可求得. 【详解】 如图，设圆锥的底面圆圆心为点，分别以直线所在直线为轴， 过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系. 依题意，因点B，C是圆锥底面圆周上的两个动点， 可设，其中， 则， 设直线SA与BC夹角为， 则 ， 因，故当时，取得最大值1，此时取得最大值. 故选：D. 8. 春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出第一步掷骰子弟弟能吃到花生的概率为，再通过分类讨论求出第一次掷出非6，后续阶段弟弟能吃到花生的概率，二者相加即为任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率. 【详解】第一步：第一次掷骰子的概率 （1）掷出6点：概率为，弟弟直接吃1颗花生； （2）非6点：概率为，记下点数，进入后续阶段. 第二步：后续阶段的概率分析 设小明掷骰子时弟弟吃到花生的概率为，弟弟掷骰子时弟弟吃到花生的概率为， 若小明掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为， 故有①； 若弟弟掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到小明掷骰子，此时概率为， 故有②； 联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟吃到花生的概率为， 故任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（ ） A. B. C. D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知及正态分布的性质依次判断各项的正误. 【详解】由正态分布的对称性得，而，故A正确，B错误； 由Y的正态密度曲线的峰值高于X，峰值越高对应方差越小，即，故，故C正确； 如图，由于Y的方差更小，所以其正态密度曲线递减速度更快，当n取较大的正数时，故D错误， 故选：AC 10. 现有3个女生4个男生共7名同学排成一纵队做游戏，以下正确的是（ ） A. 若游戏纵队变为环形首尾相接，不同的排法有720种 B. 男女相间的不同排法有144种 C. 男生排在一起、女生也排在一起的概率为 D. 男生甲排在正中间的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，按环形排列的特点，先固定一人，再排其他人；对于B，利用插空法可解；对于C，利用捆绑法再结合古典概型的概率公式可解；对于D，求出甲排在正中间的排法，由古典概型的概率公式可解. 【详解】对于A，游戏纵队变为环形首尾相接，相当于固定一人，剩下6人全排列， 共有种排法，A正确； 对于B，男女相间时，可先排3个女生，再将4个男生插入到女生排好形成的4个空中（含两端）， 共有种排法，B正确； 对于C，7名同学排成一纵队共有种排法， 男生排在一起、女生也排在一起的排法有种， 故男生排在一起、女生也排在一起的概率为，C错误； 对于D，男生甲排在正中间，即男生甲先排在中间，其余6人全排列，排法有， 故男生甲排在正中间的概率为，D正确， 故选：ABD 11. 已知正方体棱长为，点满足，为中点，则下列论述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则直线平面 C. 若，则点到平面的距离为 D. 若，则平面与平面所成角的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、、， 对于A选项，当时，， 则，， 所以，，故，A正确； 对于B选项，当时，则， 所以，， 则，则， 所以，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以，，即， 因为平面，所以直线平面，B正确； 对于C选项，，其中， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， 则点到平面的距离为，C错误； 对于D选项，若，其中， ，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，所以，， 当时， 当时，则， ， 综上，，与矛盾，D错误. 故选：AB. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】因为． 由题意得，所以． 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为______________(用数字作答). 【答案】 【解析】 【分析】可知的展开式中的系数即为的展开式中的系数，结合二项展开式分析求解即可. 【详解】由题意可知：的展开式中的系数即为的展开式中的系数， 因为的展开式通项为， 则含的项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 有张卡片，正面分别写有数字，，，，，，且背面均写有数字．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第个位置上的卡片恰好写有数字．然后掷一颗均匀的骰子，若点数为，则将第个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件分析试验前后卡片朝上的数字之和的变化情况，设事件次试验后，卡片朝上的数字之和为偶数为，事件三次试验中抛掷骰子所得点数恰有一次为为，表示第次试验中抛掷骰子所得点数为偶数，设表示第次试验中抛掷骰子所得点数为或，设表示第次试验中抛掷骰子所得点数为，，利用事件表示事件，，利用概率公式求概率，结合条件概率公式求结论. 【详解】由已知，试验前卡片朝上的数字之和为，数字之和为奇数， 若抛掷骰子所得点数为奇数，则试验后卡片朝上的数字之和仍然为奇数， 若抛掷骰子所得点数为偶数，则试验后卡片朝上的数字之和变为偶数， 所以事件进行次实验后卡片朝上的数字之和为偶数，等于事件三次试验中抛掷骰子所得点数有一次为偶数，余下两次为奇数，或三次试验中抛掷骰子所得点数都为偶数， 设事件次试验后，卡片朝上的数字之和为偶数为， 设事件三次试验中抛掷骰子所得点数恰有一次为为， 记表示第次试验中抛掷骰子所得点数为偶数，，则， 设表示第次试验中抛掷骰子所得点数为或，，则， 设表示第次试验中抛掷骰子所得点数为，，则， 所以 ， 事件表示三次试验中有一次骰子的点数为，另两次的点数为奇数或三次试验中有一次骰子的点数为，另两次的点数为偶数或， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于确定试验前后卡片上的数字和的变化与抛掷的骰子的点数的关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对豆角亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克），之间的关系”进行研究，得出了与具有线性相关关系的结论.现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取5亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表： 某种液体肥料每亩使用量（千克） 2 3 4 5 6 豆角亩产量的增加量（百千克） 4 5 5 7 9 （1）求豆角亩产量的增加量对该液体肥料每亩使用量的线性回归方程，预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？ （2）若豆角亩产量的增加量不低于6百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田随机选出3亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 【答案】（1）；（百千克）； （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）由参考公式可得线性回归方程，然后可预测豆角亩产量的增加量； （2）由题可得“优质试验田”有两亩，则取值可能为0，1，2，据此可能分布列并可求出期望. 【小问1详解】 由题可得. ， . 则，. 则回归方程为：. 当液体肥料每亩使用量为12千克时， 豆角亩产量的增加量为（百千克）； 小问2详解】 由题可知“优质试验田”有两亩，则取值可能为0，1，2， 则，，. 据此可得分布列如下： 0 1 2 则期望为：. 16. 设函数． （1）若且，求； （2）当时，求展开式中系数最大的项； （3）当时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足，求证：． 【答案】（1）或 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出列出方程解得，通过对赋值1求出展开式的各项系数和； （2）利用二项展开式的通项确定各项系数，再计算系数大于零的项的系数，从而可判断系数最大项； （3）利用已知等式求出的关系，代入不等式的左边利用二项式的展开式得到左边，将的关系代入右边得证． 【小问1详解】 由题可得， 所以，则，故， 令可得各项系数之和或； 【小问2详解】 当时，， 其展开式的通项为， 设展开式系数为，为偶数时系数为正，为奇数时系数为负， 又， 所以展开式中系数最大的项为； 【小问3详解】 由可得， 即，所以， 所以， 而， 所以原不等式成立． 17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 在四棱锥中，取中点，连接， 由为中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 又，所以到平面的距离. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 18. 有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为. （1）求的值； （2）求的值，并证明：当时，； （3）求（用含的式子表达）. 【答案】（1）； （2），证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由古典概率结合题意可得答案； （2）由题意及全概率公式可得答案； （3）设，由（2）可知，然后通过构造等比数列可得答案. 【小问1详解】 在第一个罐子中共有糖果颗，其中红色糖果有3颗，根据古典概型概率公式， 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 当时，由全概率公式，得 所以即； 【小问3详解】 记，由（2）知递推关系式，变形为， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 则即. 19. 经典比特只能处于“0”态或“1”态，而量子计算机的量子比特可同时处于“0”或“1”的叠加态，某台量子计算机以序号的粒子自旋状态为量子比特，每个粒子的自旋状态等可能的处于“0”态（下旋状态）或“1”态（上旋状态），现记序号为奇数的粒子中，处于“0”态的个数为，序号为偶数的粒子中，处于“1”态的个数为． （1）当时，求随机变量的分布列和期望； （2）在这个粒子中，求事件“”的概率； （3）在这个粒子中，令随机变量，证明：． （参考公式：） 【答案】（1）分布列见解析，1 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出随机变量的可能取值及对应的概率可得随机变量的分布列，再由期望公式可得答案； （2）利用古典概率计算可得答案； （3）令，则可取，故可取，求出，可得，再求出、，再由组合数公式可得答案. 【小问1详解】 随机变量的可能取值为0，1，2， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的期望为； 【小问2详解】 （或）； 【小问3详解】 令，则可取，故可取， 当取时， ， 故， 从而， 整理，得， ，又因， 所以， 又 ， 根据，可得． 可得． 由（2）知，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二年级第二学期期中四星联考调研 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某超市有3种足量的水果，现某一买家想要买5个水果，且每种水果至少1个，则不同的买法种数为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 15 2. 在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A B. 1 C. D. 4. 若随机变量X服从两点分布，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 在高二社会实践活动中，实践基地要求每班每天只能有一位协助员随工作人员一起进城采购．某班主任从甲、乙、丙三位同学中安排周一到周四这四天的协助员，每位同学至少担任一天的协助员，则不同的安排方案共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 54种 D. 60种 6. 若，则（ ） A. B. 10 C. D. 45 7. 已知一圆锥的底面半径是1，高为，SA为该圆锥的一条母线，B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，则直线SA与BC夹角的余弦值的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（ ） A. B. C. D. ， 10. 现有3个女生4个男生共7名同学排成一纵队做游戏，以下正确的是（ ） A. 若游戏纵队变为环形首尾相接，不同的排法有720种 B. 男女相间的不同排法有144种 C. 男生排在一起、女生也排在一起的概率为 D. 男生甲排在正中间概率为 11. 已知正方体棱长为，点满足，为中点，则下列论述正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则直线平面 C. 若，则点到平面的距离为 D. 若，则平面与平面所成角的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 13. 的展开式中的系数为______________(用数字作答). 14. 有张卡片，正面分别写有数字，，，，，，且背面均写有数字．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第个位置上的卡片恰好写有数字．然后掷一颗均匀的骰子，若点数为，则将第个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对豆角亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克），之间的关系”进行研究，得出了与具有线性相关关系的结论.现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取5亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表： 某种液体肥料每亩使用量（千克） 2 3 4 5 6 豆角亩产量的增加量（百千克） 4 5 5 7 9 （1）求豆角亩产量增加量对该液体肥料每亩使用量的线性回归方程，预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？ （2）若豆角亩产量的增加量不低于6百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田随机选出3亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 16. 设函数． （1）若且，求； （2）当时，求展开式中系数最大的项； （3）当时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足，求证：． 17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 有个编号分别是不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为. （1）求的值； （2）求的值，并证明：当时，； （3）求（用含的式子表达）. 19. 经典比特只能处于“0”态或“1”态，而量子计算机的量子比特可同时处于“0”或“1”的叠加态，某台量子计算机以序号的粒子自旋状态为量子比特，每个粒子的自旋状态等可能的处于“0”态（下旋状态）或“1”态（上旋状态），现记序号为奇数的粒子中，处于“0”态的个数为，序号为偶数的粒子中，处于“1”态的个数为． （1）当时，求随机变量的分布列和期望； （2）在这个粒子中，求事件“”的概率； （3）在这个粒子中，令随机变量，证明：． （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$