福建省泉州市第七中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

泉州七中2024-2025学年度下学期高二年期中考数学试卷答案 考试时间：120分钟满分：150分命卷人：林志斌复核人：庄自爱 一，选择题BCBACBCA 7.【答案】C【解】根据二项式定理展开式T,=C6x(~=0,12,?;16), 故当x=1时，a+马+4+4++46=2“ 即a+4+a+4t+a6=C6++C6+…C8=2“ 所以2(C+…C)+c=2“.整理得2(C+…C)小+22c-2“。 故(C+…c)+C小2”，又a=C.所以a+4+a++4+a=2”+号敞选：c 8.【解】设公切线与函数f)=血x切于点4(x,山，名>0) 由f)=血x,得f闭)=，所以公切线的斜率为二，所以公切线方程为y=二x+n名-). 设公切线与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)切于点B(x,写+2x+a(名<0)， 所以公切线方程y=2(名+)x-写+a,所以 L=2x+2 ,消去x,得 h名-1=a-x a=5-n(2x+2)-1,由，>0，得-1<x<0, 令F(=x2-lh(2x+2)-10-1<x<0),则F)=2x- <0 x+1 所以F(x)在(-1,0)上递减，所以F(x)>F(0=-n2-1,所以由题意得a>-n2-1, 即实数a的取值范围是(-h2-1,+四)，故选：A 二、多选题9.AD10.ACD11.ABD 10.ACD【解】对于A,依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送 0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为 0-1-a)0-)=0-a)1-,A正确： 对于B.三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则依次收到1,0,1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为0-)B0-)=0-),B不正确 对于C,三次传输发送1，则译码为1的事件是依次收到(1,1,0)、(1,0,1)(0,1,1) 和(1,1,1)的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为 C0-+0-'=1-'0+20.C正确： 对于D,由选项C知.三次传输，发送0，则译码为0的概率P=0-a)0+2), 单次传输发送0，则译码为0的概率P=1-a,而0<a<0.5, 因此P-P=0-a0+2a)-0-a)=al-a0-2a)>0,即P>P,D正确. 故选：ABD 11ABD【解】A选项，f()=6x2-6ar=6x(x-a),由于a>1,故xe(∞，0八U(a,+o)时f()>0, 故(x)在(o,0).(a,∞)上单调递增.xe(0,a)时，f"(x)<0,fx)单调递减，则fx)在x■0处取 到极大值，在x=a处取到极小值，由fo)=1>0,f(@)=l-ad<0,则fo)f(@)<0,根据零点存 在定理f(x)在(0，a上有一个零点，又f(-)=-1-3a<0,f(2)=4a3+1>0,则 f-)f<0,f(@f2a)<0,则f（x)在(-1，o),(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，f)有三个罗 点，A选项正确 B选项，'x)=6xr(x-a),a<0时，r∈(a,0).'(x)<0,∫x)单调递减，xe(0,+o)时f(x)>0, f(x)单调递增，此时x)在x=0处取到极小值，B选项正确； C选项，假设存在这样的a,b,使得x=b为f()的对称轴，即存在这样的a,b使得 f(x)=f(2b-x),即2x2-3ax2+1=2(2b-x-3(2b-x)2+1,根据二项式定理，等式右边(2b-x展 开式含有x2的项为2C(2b)°(-x=-2x,于是等式左右两边x的系数都不相等，原等式不可能恒 成立，于是不存在这样的，b,使得x=b为f(x)的对称轴，C选项错误 D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简 f0)=3-3a,若存在这样的a,使得1,3-3a)为fx)的对称中心 则f(x)+f2-x)=6-6a,事实上，f(x)+f(2-x)=02-6a)x2+12a-24)x+18-12a, [12-6a=0 于是6-6a=02-6a)x2+12a-24)x+18-12a即12a-24=0,解得a=2,即存在a=2使得 18-12a=6-6a 1,f0)是f(x)的对称中心.D选项正确 三，填空题 12518号4-+1 14.【解】解：设三组中的数的个数分别为3x,3y,3z(xy,zeN) 则3x+3y+3z+2=3m+2,所以x+y+2=m 利用隔板法可得：C,=m-1m-2.m-号m+1 2 2 2 四、解答题 15.解：0=2红--0-+2x+e e f()有一个极值点是-1，.(-2+2(-1)+a=0,“a=3, 即闭=号又倒=42a-. e e 列表如下： x （-60,-0 -1 (-1,3) (3,+∞) '(x) 0 + 0 f(x) 单调递减 f(-1)=-2e 单调递增 f-9 单调递减 当x=-1时，f(x)有极小值，极小值为f(-l)=-2e 当x=3时，)有极大值，极大值为f)= 6 (2)由0)知，()在【-2，-1)上单调递减，【-1,3】上单调递增，(3,4上单调递减， 又-习=>9f0=号20 “f(x)在[-2,4]上的最大值为f(-2)=e2. ∴f(x)在[-2,4]上的最小值为f八-)=-2e.…5 16.【解】(1)解：设等比数列{a,}的公比为9，由4-4=-126，可得9*1， a0-92=63 因为8=63,4-4=-126，可得 1-g 1 可得-92 a1-g)=-126 1 s-1 90-9-2整理得g2-9-2=0,解得g=2或g=-1, 当9=-1时，S。=0,不合题意，舍去 当g=2,可得a=1,所以数列{a,}的通项公式为a,=2, 由a=4.a,b,=a,4,且数列{也}是公差为1的等差数列， 可得b,=4h,即6+3=46，解得6=1， 所以故数列{亿}的通项公式为h=1+(n-)=n,8 ②)解：由①知：8=，点，可得冬六 因为数列色的前n项和为元。 d. 可得+号+*+，则女-号+… 两式相减， 可 22+2++ 是=2-a+2 2啊2 所以x4-a+2得 47 17.【解】(1)设男生有x人，则S=5 28 即x(x-1)9-x)=90,解之得，x=6故男生有6人，女生有3人，5 (2)方法一：按坐座位的方法， 第一步：让3名男生先从9个位置中选3个位置坐，共有龙=504种： 第二步：余下的座位让6个男生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；故，一共 有504×1-1=503种重新站队方法. 方法二：除序法 第一步：9名学生站队共有（种站队方法；第二步：6名男生有。种站队顺序： 二共有冬=504种站队方法，所以重新站队方法有503 (3)第一步：将6名男生分成3组，共有C℃S=15种： 第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有术×(=144种 第三步：3组男生中每组男生站队方法共有()=8种 故一共有：15×144×8=17280种站队方法.5 18.【解】：(1)因为甲至少答对1道题，记“甲、乙两家公司共答对2道题”的事件为A, 设甲乙各答对1道题的事件A、甲答对2题乙没答对题的事件A,它们互斥， 则有4-9xCa-铲=希 3 0活 所以甲、乙两家公司共答对2道题目概率是名5 (2）设甲公司答对题数为X,则X的取值分别为1,2,3， -小-答---爱-rx==答- C5 则X的分布列为： 1 2 期望E(X0=1×兮+2×3×-2，方差 3 5 DX0=0-29×+2-2×3+6-2x号 5 5 (3)设乙公司答对题数为Y,则Y的取值分别为0,12,3， PN=0==司 Pv=-G×号x-号 0--号 则y分布列为： 2 0 1 2 3 期望E(Y)=0×27+1 。+2×+3×27=2,】 9 2 8 方差 2 27 D0-0-2×+0-29×号+2-2×g6-2x月 273 显然E(X)=E(Y),D(X)<D(Y). 所以甲公司竞标成功的可能性更大。…7 19解：0图为fr倒=，fra,raa中 所以f"(0)=1,"(0)=-1,0)=2, 又f0)=0,所以f(x)=n1+x)的泰勒公式为： In(l+x)=x- 2 2+3 所以x=0.1时.n11=01-0,01+001≈0.085； 2+ 445 3 -1+x= ②证明：记g)=(1+小-2+亏>0，因为g闭中x *0, 所以g(x)在(0，+)上单调递增，又g(0)=0, 所以x>0时有g网-h0+-x+亏>g0=0,所以n1+到>r- 回证明：由四待卫上，即啡+切-h>1 k2次，keN*, 所以a2-h+仙8-h2到++aa+-血时>2-动， 即a+0>22- 台2 令=b0+对-，0，则因=中1s-产<0， 1+x 所以h(x)在(0，+o)上单调递减，所以h(x)<h(O)=0,故血1+x)<x, 所以0+中-+-hk<会，则西2-h0+0a3-h列+n+n+0-b)<22 即a+0法，缘上aer时含器(n铝 47泉州七中2024-2025学年度下学期高二年期中考数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分命卷人：林志斌复核人：庄自爱 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.) 1,将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有() A.5种 B.4种 C.9种 D.20种 2.已知f(x)=x2+3xf(①)，则f0=（) A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.若随机变量X~B 9, 随机变量Y=2X-3, E四+1=(） D()+2 A.0 B.1 C.2 D.3 4.甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的 坐法有() A.6种 B.3种 C.20种 D.12种 5.已知函数f=2-,则)的大致图象为() x-1 6.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P()=手P()-子P氏4心B)=行，则P(B1冈- () 7.若(1+x)“=a+a4g+ax2+…+ax”+asx“,则a+a+a++a,+a的值为（) A25-C6 2-c c.2+5c 2 D.25+C6 8.若曲线y=hx与曲线y=x2+2x+a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是() A.(-n2-l,+om)B.[-lh2-l,+o)C.(-n2+l,+oo) D.[-n2+l,+oo) 二，多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0 分.) 9.已知日2） 的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则() A.n=7 B.只有第4项的二项式系数最大 C.各项系数之和为1 D.x的系数为560 10.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为a(0<a<), 收到0的概率为1-a:发送1时，收到0的概率为0<B<),收到1的概率为1-P.考虑两 种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个 信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译 码：三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码 为1). A.采用单次传输方案，.若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为Q-a0-) B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为30-) C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为30-)+1-) D.当0<a<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案 0 译码为0的概率 11.设函数f(x)=2x-3ar2+1,则( A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极小值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(，f()为曲线y=(x)的对称中心 三，填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.(2+x20-y展开式中常数项为12，则n= 13.已知小明每天步行上学的概率为0.6，骑自行车上学的概率为0.4，且步行上学有0.05的 概率迟到，骑自行车上学有0.02的概率迟到.若小明今天上学迟到了，则他今天骑自行车上学 的概率为 第2页供4页 14.从一列数4,4,4，…，a(m23m∈Z☑中抽取a,a,0<1<j<3m+2)两项，剩余的项分成 (a,4,4(a4a…,-(0a…,4)三组，每组中数的个数均大于零且是3的倍 数，则a,a,有 种不同的取法。（答案用m表示） 四.解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明过程或演算步 骤) 15.(本小题13分)已知函数f闲=二巴的一个极值点是1. )求函数()的极值： (2)求函数f(x)在区间[-2,4)上的最值. 16.(本小题15分)记5，为等比数列{a,}的前n项和，已知S。=63,42-a=-126,数列{色，} 鼎公差为1的等差数列，且a,b,=a4. (1)求数列{a,}和{他，}的通项公式 (2)求数列 的前n项和T, 17,(本小题15分)某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好 有一个女生的概率是号 (1)该小组中男女学生各多少人？ (2)9个学生站成一列队，现要求男生保持相对顺序不变（即男生前后顺序保持不变）重新 站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答） (3)9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字 作答) 第3页/共4页 18.(本小题17分)某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标方式从多家建筑公司选取一家 建筑公司，经过层层筛选，甲乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设 计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中， 甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为子，甲、乙两家公 司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率： (2)设甲公司答对题数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差 (3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 19.(本小题17分)泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成 无限项的多项式，当f(x,)在x=0处的(n∈N)阶导数都存在时，它的公式表达式如下： f)=j0)+f0x+fOr+Ox++Ox+…注：fO)表示函数在原点处的 2 31 n! 一阶导数，"(0)表示在原点处的二阶导数，以此类推f”(O)(23)表示在原点处的n阶导数 )求f(x)=n1+x)的泰勒公式（写到含2的项为止即可），并估算ml1的值（精确到小数点后三 位方 四当x>0时，比较0+刘与x-三的大小，并证明： ()设n∈N,证明： 器c+毅 第4页供4页