精品解析：天津市第二十中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

天津市第二十中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷 考试时间：100分钟 满分：100分 一、单选题（本大题共9小题，每题3分，共27分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知事件相互独立，，若，则（ ） A. 0.12 B. 0.18 C. 0.42 D. 0.28 【答案】A 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】，， ，， 又事件相互独立，. 故选：A 2. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为营造全民阅读的良好氛围，五大道社区工作人员计划安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地进行宣传，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（ ） A. 18种 B. 9种 C. 12种 D. 16种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法原理，结合组合数计算，即可． 【详解】根据题意，分2类讨论． 第一类，去甲活动场地，则在一起，都去甲活动场地， 将剩下4人分为2组，安排在乙、丙两个活动场地即可， 有（种）安排方法； 第二类，不去甲活动场地，则必去丙活动场地， 在剩下4人中选出2人安排在乙活动场地， 再将剩下2人分别安排到甲、丙活动场地， 有（种）安排方法． 根据分类加法计数原理，共有（种）安排方法． 故选：A 3. 在的展开式中，下列说法错误的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 各项系数之和为 C. 二项式系数最大的项为 D. 常数项为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据二项式系数之和为运算求解；对于B：令即可得各项系数之和；对于C：根据二项式系数的性质结合二项展开式的通项公式分析求解；对于D：根据，令运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为，所以二项式系数之和为，故A正确； 对于选项B：令，可得各项系数之和为，故B正确； 因为的展开式为， 对于选项C：因为，可知二项式系数最大的项为第4项，故C错误； 对于选项D：令，解得， 所以常数项为，故D正确； 故选：C. 4. 已知曲线C：，若过曲线C外一点引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由点斜式得到切线方程，再由点A在切线上得到关于切点横坐标的方程，求得两切点，再由两切点处的导数互为相反数求得a的值． 【详解】设切点坐标为， 由题意知，， 切线的斜率为，① 所以切线方程为，② 将点代入②式得：， 解之得：或， 分别将和代入①式，得：和， 由题意知它们互为相反数，得：. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 5. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据超几何分布的概率公式，可得答案，法二：根据正难则反的解题思想，可得答案. 【详解】法一：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2， 则． 法二：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2， 则． 故选：A. 6 若随机变量服从二项分布，且，则（ ） A. 39 B. 65 C. 50 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解. 【详解】随机变量服从二项分布，且， ， ， ， . 故选：D 7. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 ) A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞) 【答案】B 【解析】 【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1， 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1， 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个变号零点， 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切， 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点． 则实数a的取值范围是（0，）． 故选B． 8. 下列说法中正确的是（ ） ①10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为； ②已知随机变量服从正态分布且，则； ③设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，则； ④若是随机变量，则． A ②③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】根据超几何分布概率计算求解判断①，根据正态分布计算概率判断②，应用两点分布计算方差判断③，应用期望及方差性质判断④. 【详解】①10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为，①错误； ②已知随机变量服从正态分布且， 则，②正确； ③设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，可取， ，所以， 所以，则③正确； ④若是随机变量，则，④错误． 故选：A. 9. 已知函数，，，使（为常数）成立，则常数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】存在性问题转化为在上能成立，利用导数求的最大值即可得解. 【详解】在上为增函数， 由知，， 令，则， 当时，， 即在上单调递增， 所以，即， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 不妨设，则，， 可化为， 即， 令， 则， ， 使能成立， 在上能成立， 即在上能成立， ，， 令，， 则，令， 则，当时，， 故在上单调递增，所以， 故，在上单调递增， ， . 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据题意转化为存在，使能成立是其一，其二需要构造函数后分离参数转化为在上能成立，再次构造函数，多次利用导数求其最大值. 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 10. 已知函数在处可导，且则的值___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数定义计算求解. 【详解】因为函数在处可导， 且， 则． 故答案为：. 11. 二项式展开式中的常数项为240，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】，由得， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力. 12. 用，，，，，组成一个没有重复数字的六位数，该六位数是的倍数且奇数与偶数相间，则满足条件的这样的六位数有______个． 【答案】 【解析】 【分析】可分为两类即个位是或个位是，分别求得六位数的个数，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】若该六位数的个位是，百位和万位为偶数有种，其余奇数位有种， 则满足条件的六位数有个； 若个位是，因六位数要求奇数与偶数相间，则首位为偶数， 从，中选一个在首位有种，其余偶数位有种，奇数位有种， 满足条件的六位数有个． 故共有个． 故答案：. 13. 已知在上不单调，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】对求导，得到，从而得到函数 的单调性，又因为在上不单调，从而得到关于的不等式. 【详解】由于 ，可得 ， 可得函数 的极值点为：，. 由在上不单调， 可得或， 解得 . 故答案为： 14. 某射击小组共有10名射手，其中一级射手2人，二级射手3人，三级射手5人，现选出2人参赛，已知至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率为__________.若一､二､三级射手获胜概率分别是，则任选一名射手能够获胜的概率为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据条件概率及全概率公式求解. 【详解】至少有一人是一级射手的概率为，一人是一级射手且另一人是三级射手的概率为，至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率为. 一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是 ， 则任选一名射手能够获胜的概率为. 故答案为: ； 0.64 . 15. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先不等式通过变形，再构造函数，转化为利用导数判断函数的单调区间，即可求参数的取值范围. 【详解】设，不等式，变形为， 设函数，则函数在区间单调递减， 由，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共49分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.） 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）观察等式，令即可求出的值；（2）根据题意利用二项展开式的通项公式，求出的值，再相加即可. 【详解】解：（1）因为， 所以令得. （2）由二项式定理，得 因为 所以． 所以． 17. 设函数，若函数在处取得极小值8． （1）求的值； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值； 【答案】（1），． （2），最小值为8；，最大值为24． 【解析】 【分析】（1）根据极值点及极值可求的值； （2）根据导数可得单调性，即可求出. 【小问1详解】 ， 由题意函数在处取得极小值8得， 解得，． 此时， 当或时，，当时，， 故为的极小值点，故，满足条件． 【小问2详解】 由（1）分析列表得： x 0 2 3 0 - 0 + 24 单调递减 8 单调递增 15 所以当时取得最小值为8，时取得最大值为24． 18. 一盒中装有10张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，3张卡片上的数字是3，10张卡片除数字不同外其他均相同，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率； （2）记所取3张卡片上的数字的中位数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合排列组合即可求解， （2）分别求解的概率，即可得分布列，进而根据公式求解期望. 【小问1详解】 所取3张卡片上的数字完全相同,则需要所取3张均为1，或者均为2，或者均为3，故概率为, 【小问2详解】 若，则所取的3张卡片中至少有2张是数字1，故概率为, 若，则所取的3张卡片中至少有2张是数字2，或者3张卡片分别为1，2，3，故概率为, 若，则所取的3张卡片中至少有2张是数字3，故概率为, 故的分布列为 1 2 3 故 19. 设函数 （1）求的单调区间 （2）若，k为整数，且当时，求k的最大值 【答案】（1）答案见解析 （2）2 【解析】 【分析】(1)求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母，故应按照的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间. (2)由题设条件结合(1),将不等式成立转化为，由此将转化为求在给定区间的最值问题. 【小问1详解】 函数的定义域是，，当时，，所以函数在上单调递增， 当时，时， ，当， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由于，所以，故当， ，等价于 令，① 则， 由(1)可知，当时，函数在上单调递增， 而，所以在存在唯一零点， 故在存在唯一零点，设此零点为，则有， 当时，，当时，， 所以在上的最小时为，又由，可得， 所以 ，由于①等价于，故整数最大值为2. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 20. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求k的取值范围； （3）求证：当时，不等式成立. 【答案】（1）（2）（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可得到切线方程； （2）由，即，构造函数，求导函数研究单调性，进而得最大值，即得的取值范围； （3）由（2）可知：当时，恒成立，令，整理得：，将两边不等式全相加即可得到结论. 【详解】（1）函数的定义域为， ，， ∵，∴函数在点处的切线方程为， 即. （2）由，，则，即， 设，， ，，单调递增， ，，单调递减， ∵不等式恒成立，且， ∴，∴即可，故. （3）由（2）可知：当时，恒成立， 令，由于，. 故，，整理得：， 变形得：，即：时，，……， 两边同时相加得：， 所以不等式在上恒成立. 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，构造函数，考查导数的应用，转化思想，考查不等式的证明，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第二十中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷 考试时间：100分钟 满分：100分 一、单选题（本大题共9小题，每题3分，共27分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知事件相互独立，，若，则（ ） A. 0.12 B. 0.18 C. 0.42 D. 0.28 2. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为营造全民阅读的良好氛围，五大道社区工作人员计划安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地进行宣传，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（ ） A. 18种 B. 9种 C. 12种 D. 16种 3. 在的展开式中，下列说法错误的是（ ） A. 二项式系数之和64 B. 各项系数之和为 C. 二项式系数最大的项为 D. 常数项为 4. 已知曲线C：，若过曲线C外一点引曲线C两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则（ ） A. B. C. D. 6. 若随机变量服从二项分布，且，则（ ） A 39 B. 65 C. 50 D. 63 7. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 ) A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞) 8. 下列说法中正确是（ ） ①10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为； ②已知随机变量服从正态分布且，则； ③设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机试验中发生的次数，则； ④若是随机变量，则． A. ②③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①② 9. 已知函数，，，使（为常数）成立，则常数取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 10. 已知函数在处可导，且则的值___________． 11. 二项式展开式中的常数项为240，则实数的值为________. 12. 用，，，，，组成一个没有重复数字的六位数，该六位数是的倍数且奇数与偶数相间，则满足条件的这样的六位数有______个． 13. 已知在上不单调，则实数的取值范围是__________. 14. 某射击小组共有10名射手，其中一级射手2人，二级射手3人，三级射手5人，现选出2人参赛，已知至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率为__________.若一､二､三级射手获胜概率分别是，则任选一名射手能够获胜的概率为__________. 15. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共5小题，共49分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.） 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 17. 设函数，若函数在处取得极小值8． （1）求的值； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值； 18. 一盒中装有10张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，3张卡片上的数字是3，10张卡片除数字不同外其他均相同，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率； （2）记所取3张卡片上的数字的中位数为，求的分布列及数学期望. 19. 设函数 （1）求的单调区间 （2）若，k为整数，且当时，求k的最大值 20. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求k的取值范围； （3）求证：当时，不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$