2.1 不等关系 导学案 2024—2025学年北师大版数学八年级下册

2.1 不等关系 导学案 【学习目标】掌握不等式的意义，会根据给定条件列出不等式. 【学习重难点】准确应用不等号，建立量与量之间的不等关系. 【导学过程】 一.情境引入 看一看：如图1是跷跷板，你想过它的工作原理吗？翘翘板就是靠不断改变两端的重量对比来工作的． 如图2在古代中国，人们就懂得了翘翘板的工作原理，设计出了一些简单机械，应用到了生活实践当中． ( 图 2 脚踩 “ 打糕机 ” 手动 “ 提水机 ” ) ( 图 1 ) 由此可见，“不相等”处处可见.从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式． 二.探究新知 1.用两根长度均为lm的绳子，分别围成一个正方形和圆. （1）如果要使正方形的面积不大于25m2，那么绳长L应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积不小于100m2,那么绳长L应满足怎样的关系式？ （3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？ （4）你能得到什么猜想？_________________________________________________. 2.铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高 三边之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为acm，bcm，ccm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.____________. 3.通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方为测量部位.某树栽种时的树围为6cm，以后10年内每年增加约3cm，设经过x年后这棵树的树围超过30cm，请你列出x满足的关系式.______________. 观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？ ， ， a+b+c≤160 ，6＋3x＞30. _____________________. 定义：一般地，用符号“＜”（或“≤” ），“＞”（或“≥” ）连接的式子叫做不等式. 三.典例与练习 例1.下面给出了5个式子：①3＞0；②4x+3y＞0；③x=3；④x-1；⑤x+2≤3，其中不等式有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 练习1.用适当的符号表示下列关系： （1）x的一半小于－1；_________. （2）y与4的和大于0.5；______________ （3）x与17的和比它的5倍小；___________,(4)y的3倍与8的和比x的5倍大；_________. （5）直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长；_________. 例2.用不等式表示 （1）a是正数；______ （2）a是负数；______ （3）a非负数；______ （4）b是非正数；______ （5）x的4倍大于7；______ （6）y的一半小于3.______ 练习2.（生活中常见交通标志）在生活中不等关系的应用随处可见. 最低时速限制 限制高度 限制宽度 限制质量 时速____50 高度____3.5m 宽度____3m 质量____10t 例3.八（1）班班长拿了56元钱去给班内20名优秀学生买奖品，奖品有两种：钢笔和笔记本.已知钢笔每支5元，笔记本每本3元，如果买x支钢笔，则可列出关于x的不等式是____________________. 练习3.某厂今年的产值为100万元，预计明后两年平均每年增长率为x%，如果按此速度发展，后年该厂产值将超过a万元，请用不等式表示a与x的关系式是________________. 四.课堂小结 常用不等号 读作 表示不等关系的常用数学术语或词语 “＞” 大于 正数、____，____... “＜” 小于 负数、____，____... “≥” 大于等于（不小于） 非负数、____、____、____... “≤” 小于等于（不大于） 非正数、____、____、____、____... “≠” 不等于 五.分层过关 1.下列语句不能用不等式表示的是( ) A. m＋1是负数 B. a2是正数 C. m＋n等于x D. m－1是非负数 2.下列数量关系用不等式表示，不正确的是( ) A.m比－2大，表示为m＞－2 B. a2与2的差是非负数，表示为a2－2＞0 C. x的一半比它与6的差小，表示为＜x－6 D.a与b的差不大于a与b的和，表示为a－b≤a＋b 3.某地某天最高气温是33 ℃，最低气温是22 ℃，则当天该地气温t(℃)的变化范围可用不等式表示为( ) A. t≥22 B. t≤22 C. 22＜t＜33 D. 22≤t≤33 4.若m是非负数，则用不等式表示正确的是（ ） A. m＜0 B. m＞0 C. m≤0 D. m≥0 5.无论x取什么数，下列不等式总成立的是（ ） A. x+5＞0 B. x+5＜0 C. x2＜0 D. x2≥0 6.下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x－3；④s＝vt；⑤3x－4＜2y；⑥3x－5＝2x＋2；⑦a2＋2≥0；⑧a2＋b2≠c2.其中是不等式的是___________．(只填序号) 7.一辆45座的大客车上现在共有a人，到下一站后，下了3人，上了5人，此时车上仍未坐满，则用不等关系可表示为_________． 8.用不等号“＞、＜、≥、≤”填空：a2+1____0． 9.在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴． （1）写出a所满足的不等式； （2）数﹣3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗. 10.已知x>0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝6…… (1)填空：[]＝__，[8.05]＝___；若[x]＝5，则x的取值范围是_____． (2)我市的出租车收费标准如下：3km以内(包括3km)收费10元，超过3km的，每超过1km，加收2.4元(不足1km按1km计算)．设所行驶的路程为x(km)，用含[x]的式子表示出当x>3时的乘车费用． (3)在(2)的条件下，某乘客乘出租车后付费26.8元，求该乘客所乘路程的取值范围． 答案 【学习目标】掌握不等式的意义，会根据给定条件列出不等式. 【学习重难点】准确应用不等号，建立量与量之间的不等关系. 【导学过程】 一.情境引入 看一看：如图1是跷跷板，你想过它的工作原理吗？翘翘板就是靠不断改变两端的重量对比来工作的． 如图2在古代中国，人们就懂得了翘翘板的工作原理，设计出了一些简单机械，应用到了生活实践当中． ( 图 2 脚踩 “ 打糕机 ” 手动 “ 提水机 ” ) ( 图 1 ) 由此可见，“不相等”处处可见.从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式． 二.探究新知 1.用两根长度均为lm的绳子，分别围成一个正方形和圆. ( (1) ,(2) (3) ) （1）如果要使正方形的面积不大于25m2，那么绳长L应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积不小于100m2,那么绳长L应满足怎样的关系式？ （3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？ （4）你能得到什么猜想？无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即＞ 2.铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高 三边之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为acm，bcm，ccm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.a+b+c≤160 3.通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方为测量部位.某树栽种时的树围为6cm，以后10年内每年增加约3cm，设经过x年后这棵树的树围超过30cm，请你列出x满足的关系式.6＋3x＞30 观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？ a+b+c≤160 ，6＋3x＞30. 由不等号连接而成 定义：一般地，用符号“＜”（或“≤” ），“＞”（或“≥” ）连接的式子叫做不等式. 三.典例与练习 例1.下面给出了5个式子：①3＞0；②4x+3y＞0；③x=3；④x-1；⑤x+2≤3，其中不等式有（ B ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 练习1.用适当的符号表示下列关系： （1）x的一半小于－1；0.5x<-1. （2）y与4的和大于0.5；(y+4)>0.5 （3）x与17的和比它的5倍小；(x+17)<5x,(4)y的3倍与8的和比x的5倍大；(3y+8)>5x （5）直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长；c>a,c>b 例2.用不等式表示 （1）a是正数；a>0 （2）a是负数；a<0 （3）a非负数；a≥0 （4）b是非正数；b≤0 （5）x的4倍大于7；4x>7 （6）y的一半小于3.0.5y<3. 练习2.（生活中常见交通标志）在生活中不等关系的应用随处可见. 最低时速限制 限制高度 限制宽度 限制质量 时速≥50 高度≤3.5m 宽度≤3m 质量≤10t 例3.八（1）班班长拿了56元钱去给班内20名优秀学生买奖品，奖品有两种：钢笔和笔记本.已知钢笔每支5元，笔记本每本3元，如果买x支钢笔，则可列出关于x的不等式是5x+3（20-x）≤56 练习3.某厂今年的产值为100万元，预计明后两年平均每年增长率为x%，如果按此速度发展，后年该厂产值将超过a万元，请用不等式表示a与x的关系式是100(1+x％)2＞a 四.课堂小结 常用不等号 读作 表示不等关系的常用数学术语或词语 “＞” 大于 正数、超速，高于... “＜” 小于 负数、不足，低于... “≥” 大于等于（不小于） 非负数、至少、不少于、最低... “≤” 小于等于（不大于） 非正数、至多、不超过、限速、最高... “≠” 不等于 五.分层过关 1.下列语句不能用不等式表示的是( C ) A. m＋1是负数 B. a2是正数 C. m＋n等于x D. m－1是非负数 2.下列数量关系用不等式表示，不正确的是( B ) A.m比－2大，表示为m＞－2 B. a2与2的差是非负数，表示为a2－2＞0 C. x的一半比它与6的差小，表示为＜x－6 D.a与b的差不大于a与b的和，表示为a－b≤a＋b 3.某地某天最高气温是33 ℃，最低气温是22 ℃，则当天该地气温t(℃)的变化范围可用不等式表示为(D) A. t≥22 B. t≤22 C. 22＜t＜33 D. 22≤t≤33 4.若m是非负数，则用不等式表示正确的是（　D） A. m＜0 B. m＞0 C. m≤0 D. m≥0 5.无论x取什么数，下列不等式总成立的是（D ） A. x+5＞0 B. x+5＜0 C. x2＜0 D. x2≥0 6.下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x－3；④s＝vt；⑤3x－4＜2y；⑥3x－5＝2x＋2；⑦a2＋2≥0；⑧a2＋b2≠c2.其中是不等式的是_①②⑤⑦⑧__．(只填序号) 7.一辆45座的大客车上现在共有a人，到下一站后，下了3人，上了5人，此时车上仍未坐满，则用不等关系可表示为_a＋2＜45__． 8.用不等号“＞、＜、≥、≤”填空：a2+1＞0． 9.在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴． （1）写出a所满足的不等式； （2）数﹣3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗. 解：(1)根据题意得：|a−1|<3， 得出−2<a<4， (2)由(1)得：到点B距离小于3的数在−2和4之间， ∴在−3，0，4三个数中，只有0所对应点到B点的距离小于3. 10.已知x>0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝6…… (1)填空：[]＝1，[8.05]＝_9_；若[x]＝5，则x的取值范围是_4<x≤5_． (2)我市的出租车收费标准如下：3km以内(包括3km)收费10元，超过3km的，每超过1km，加收2.4元(不足1km按1km计算)．设所行驶的路程为x(km)，用含[x]的式子表示出当x>3时的乘车费用． (3)在(2)的条件下，某乘客乘出租车后付费26.8元，求该乘客所乘路程的取值范围． 解：（2）10＋2.4（[x]－3）元，即2.4[x]＋2.8元． （3）由题意得：2.4[x]＋2.8=26.8，解得：[x]=10，∴9<x≤10， 即乘客所乘路程的取值范围是11km<x≤12km． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$