精品解析：天津市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

天津一中2024-2025-2高一年级期中数学考试试卷 一.单选题 1. 若，其中为虚数单位，则等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出模. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 2. “”是“为第一象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式、充分和必要条件的知识来确定正确答案. 【详解】若，即同号，则可能是第一、三象限角； 若是第一象限角，则； 所以“”是“为第一象限角”的必要而不充分条件. 故选：B 3. 已知圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】由轴截面可得底面半径及母线长，再由表面积公式即可求解； 【详解】因为轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形， 所以圆锥的底面半径，母线， 所以圆锥的表面积. 故选：D. 4. 如图，在正六边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用表示，即可得答案. 【详解】由题设及正六边形的结构特征知，，且，， 又，所以. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 6. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 7. 圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积. 【详解】如图， 则该几何体的轴截面如下： 所以，， ∵与圆相切，点为切点， ∴， 过点作与点， ∴，∴，则， 即球的半径，∴这个球的表面积， 故选：D. 8. 已知向量满足，则在上投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得，结合投影向量的坐标公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以，可得， 所以在上的投影向量的坐标为， 故选：C. 9. 在中，内角所对的边分别为，已知，若为边上一点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式、正弦定理求出，再作于，利用直角三角形边角关系求解. 【详解】由，得，, 中，由正弦定理得， 过作于，则. 故选：B 10. 在四面体中，平面，四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，借助线面垂直的判定性质确定球心的位置，求出球半径，再利用球的体积公式求解. 【详解】在四面体中，由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，于是，又，取中点，连接， 因此，即点为四面体外接球球心，重合， ，球的半径， 所以球的体积为. 故选：A 二.填空题 11. 是虚数单位，复数_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简即可求解. 【详解】, 故答案为： 12. 已知向量，.若.则________. 【答案】或3 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示，列式求出. 【详解】向量，，由，得， 所以或 故答案为：或3 13. 设函数，当时，则函数的零点为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，进而求出零点. 【详解】依题意，， 当时，，由，得， 解得，即，所以函数的零点为. 故答案为： 14. 在梯形中，，，，，，动点满足：当时，与相交于点.记，则________（用表示）；当点到点的距离为1时，则的最小值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的线性运算即可表示，再利用数量积的定义求出最小值. 【详解】在梯形中，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 由，得， 由，得，，则， 因此； ，因此， 当且仅当反向共线时取等号，所以的最小值为. 故答案为：； 15. 在三棱柱中，，记四棱锥的体积为.三棱柱的体积为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】借助三角形面积公式求得，再利用锥体、柱体的体积公式求解. 【详解】在三棱柱中，，则， 由，得点到平面的距离是该三棱柱高的一半， 因此. 故答案为： 16. 设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式，结合正弦定理角化边得，再利用三角形重心性质及向量数量积的运算律计算得即可得解. 【详解】在中，， 则，由正弦定理得， 由G为的重心，，得， 即，则， 即，因此，所以. 故答案为： 三.解答题 17. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. 【小问2详解】 法一：因为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 【小问3详解】 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 18. 如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点． （1）求的值； （2）若为线段上一点，且，求实数的值； （3）若为线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以、为基底表示出，代入原式根据数量积的定义及运算法则进行计算即可. （2）利用平面向量基本定理列方程组进行求解. （3）由平面向量数量积的运算，结合二次函数的最值的求法求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以         . 【小问2详解】 设，则， 所以，解得. 【小问3详解】 记， ， 设， 则，， ，， 所以当，即时，取得最小值为. 19. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形.，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥与四棱锥的体积比； （3）求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）由（1）的结论，结合等体积法及锥体体积公式求解. （3）作出异面直线所成的角，再求解三角形即可得解. 【小问1详解】 在四棱锥中，连接，连接， 由梯形，，得， 由点是棱上靠近端的三等分点， 得，则， 而平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 在梯形中，， 则， 由（1）知，平面，而点是棱上点， 则点到平面的距离相等， 由，得点到平面的距离是点到平面的距离， 则， 所以三棱锥与四棱锥的体积比. 【小问3详解】 在上取点，使，连接，则，即， 因此是异面直线与所成的角或其补角，， 由平面，平面，得， ，， 在中，， 由余弦定理得， 在等腰中，， 所以异面直线与夹角的余弦值是. 20. 在面积为的中，内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若角的平分线与的交点为，求的最小值； （3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得. （2）利用三角形面积公式，结合基本不等式求出最小值. （3）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理、三角形面积公式， 得，而，则， 由余弦定理得，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由角的平分线与交于，， 得，则， 即，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【小问3详解】 依题意，，则， 由正弦定理，得，则，， 因此 ，由锐角，得， 则，即，于是，， 所以面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津一中2024-2025-2高一年级期中数学考试试卷 一.单选题 1. 若，其中为虚数单位，则等于（ ） A. 2 B. C. D. 2. “”是“为第一象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆锥轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正六边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（ ） A B. C. D. 8. 已知向量满足，则在上投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，内角所对的边分别为，已知，若为边上一点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在四面体中，平面，四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二.填空题 11. 是虚数单位，复数_____. 12 已知向量，.若.则________. 13. 设函数，当时，则函数的零点为________. 14. 在梯形中，，，，，，动点满足：当时，与相交于点.记，则________（用表示）；当点到点的距离为1时，则的最小值为________. 15. 在三棱柱中，，记四棱锥的体积为.三棱柱的体积为，则________. 16. 设G为的重心，满足．若．则实数的值为________． 三.解答题 17. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点． （1）求的值； （2）若为线段上一点，且，求实数的值； （3）若为线段上的动点，求的最小值． 19. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形.，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥与四棱锥的体积比； （3）求异面直线与夹角的余弦值. 20. 在面积为的中，内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若角的平分线与的交点为，求的最小值； （3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$