1.3线段的垂直平分线 学案 2024-2025学年 北师大版八年级下册数学

1.3线段的垂直平分线 学案 【学习目标】理解三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等. 【学习重难点】已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形． 【导学过程】 一.知识回顾 1.线段垂直平分线性质定理：_____________________________________________. 2.线段垂直平分线判定定理：______________________________________________________. ( 图1 )3.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=___， ∠AEC=_____，AC=_____. 二.探究新知 探究一:（1）剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线. 用笔描出折痕.观察这三条垂直平分线，你发现了什么？ ___________________________________. （2）用尺规作出下列（图2）三角形三边的垂直平分线，你发现什么结论？ ( 图2 ) 结论：__________________________________________________. 探究二:三角形三边垂直平分线的性质的证明 求证：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． ( 图3 )已知：如图3，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点O，连接AO，BO，CO． 求证：边AC的垂直平分线经过点O，且OA=OB=OC. 证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴OA=OB(_____________________________________________)． 同理OB=OC．∴OA=OB=OC． ∴O点在AC的垂直平分线上(_______________________________________________________)． ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O． 探究三:用尺规作图 1.已知直线L和点P,过点P用作直线L的垂线 结论：过直线外(上）一点作直线的垂线，有__________条. 2.已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？ 所作出的三角形都全等吗？ ( A B C D N 图4 M )结论：这样的等腰三角形有_____个，这些三角形_____全等． 3.已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形． 已知：线段a、h[ 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h[ 作法：1．作BC=a；2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； 3． 以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点； 4．连接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如图4)． 结论：这样的等腰三角形有_____个. 三.典例与练习 例1.如图5，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ） A.三条边的垂直平分线的交点 B.三个角的角平分线的交点 ( 图5 )C.三角形三条高的交点 D.三角形三条中线的交点 ( 图7 ) ( 图6 ) 练习1.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,则这个三角形是(　 ) A.锐角三角形　　　　B.钝角三角形　　　　C.直角三角形　　　　D.不能确定 例2.如图6，在△ABC中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若△ADC的周长为7cm，AC=2cm，则BC的长为（ ）cm．A. 4 B. 5 C. 3 D. 以上答案都不对 练习2.如图7，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（　 ）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 四.课堂小结 1.线段的垂直平分线在计算、证明、作图中都有着重要作用.在前面学习中，有一些用三角形全等的知识来解决问题，现在可用线段垂直平分线的定理及其逆定理来解会更方便些。 2.若三角形三边中垂线相交一点P，则P点到三顶点的距离相等. 当三角形是①锐角三角形②直角三形③钝角三角形时,点P分别在三角形_____、_____、_____. 五.分层过关 1.在平面内，到三点A，B，C距离相等的点( ) A．有且只有一个 B．有两个 C．有三个或三个以上 D．有一个或没有 2．已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 ( 图8 )3．如图8，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约 水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC 恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认 为最好的铺设方案是方案_____． 4.如图9，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°. (1)用直尺和圆规，作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；(保留作图痕迹，不写作法) ( 图9 )(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA. 5.如图10，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____． ( 图10 ) 答案 【学习目标】理解三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等. 【学习重难点】已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形． 【导学过程】 一.知识回顾 1.线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 2.线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ( 图1 )3.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=5， ∠AEC=30°，AC=2.5. 二.探究新知 探究一:（1）剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线. 用笔描出折痕.观察这三条垂直平分线，你发现了什么？ 三角形三边的垂直平分线交于一点 ( P E F N M Q )（2）用尺规作出下列三角形三边的垂直平分线，你发现什么结论？ ( 图2 ) 结论：由图形可以看出“三角形三边的垂直平分线交于一点” 探究二:三角形三边垂直平分线的性质的证明 求证：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． ( 图3 )已知：如图3，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点O，连接AO，BO，CO． 求证：边AC的垂直平分线经过点O，且OA=OB=OC. 证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)． 同理OB=OC．∴OA=OB=OC． ∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)． ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O． 探究三:用尺规作图 1.已知直线L和点P,过点P用作直线L的垂线 结论：过直线外(上）一点作直线的垂线，有且只有一条. 2.已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？ 所作出的三角形都全等吗？ ( A B C D N 图4 M )结论：这样的等腰三角形有无数多个，这些三角形不都全等． 3.已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形． 已知：线段a、h[ 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h[ 作法：1．作BC=a；2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； 4． 以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点； 4．连接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如图4)． 结论：这样的等腰三角形有一个. 三.典例与练习 例1.如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　A　） A.三条边的垂直平分线的交点 B.三个角的角平分线的交点 ( 图5 )C.三角形三条高的交点 D.三角形三条中线的交点 ( 图7 ) ( 图6 ) 练习1.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,则这个三角形是(　C　) A.锐角三角形　　　　B.钝角三角形　　　　C.直角三角形　　　　D.不能确定 例2.如图6，在△ABC中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若△ADC的周长为7cm，AC=2cm，则BC的长为（ B ）cm．A. 4 B. 5 C. 3 D. 以上答案都不对 练习2.如图7，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（　B　）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 四.课堂小结 1.线段的垂直平分线在计算、证明、作图中都有着重要作用.在前面学习中，有一些用三角形全等的知识来解决问题，现在可用线段垂直平分线的定理及其逆定理来解会更方便些。 2.若三角形三边中垂线相交一点P，则P点到三顶点的距离相等. 当三角形是①锐角三角形②直角三形③钝角三角形时,点P分别在三角形内部、斜边中点、外部. 五.分层过关 1.在平面内，到三点A，B，C距离相等的点( D ) A．有且只有一个 B．有两个 C．有三个或三个以上 D．有一个或没有 2．已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（ B） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 ( 图8 )3．如图8，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约 水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC 恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认 为最好的铺设方案是方案③． 4.如图9，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°. (1)用直尺和圆规，作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；(保留作图痕迹，不写作法) (2)连接BD，求证：BD平分∠CBA. 解：(1)如图所示，DE即是要求作的AB边上的垂直平分线． （2）证明：∵DE是AB边上的垂直平分线，∠A＝30°， ∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°. ∵∠C＝90°， ( 图9 )∴∠ABC＝90 °－∠A＝90°－30°＝60°. ∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30 °＝30°.∴∠ABD＝∠CBD，即BD平分∠CBA. 5.如图10，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为9． ( 图10 ) www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$