精品解析：海南省省直辖县级行政单位临高县新盈中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

临高县新盈中学2024-2025学年度高二下学期期中考试数学试题 考试时间：120分 满分150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合B，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2. 已知，，若，则m的值为（ ）． A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解 【详解】因为，所以，即，解得． 故选：C 3. 复数与分别表示向量、，则表示向量的复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先求出向量的复数对应的复数，然后判断向量的复数在复平面内对应的点的位置. 【详解】因为复数与分别表示向量、， 所以复数与在复平面内对应的点分别为、, 所以，所以对应的复数为， 所以表示向量的复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 4. 如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数与单调性关系确定． 【详解】由导函数图象，知或时，，∴的减区间是，． 故选：C． 【点睛】本题考查导函数与单调性的关系，一般由确定增区间，由确定减区间． 5. 在中，，则的值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可求出，再由正弦定理代入可求出的值. 【详解】因为在中，， ，又因为， 所以，再由正弦定理可得， 解得. 故选：B. 6. 给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后2个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有 A. 8本 B. 9本 C. 12本 D. 18本 【答案】D 【解析】 【分析】先安排首字符，再安排后面的两个字符，再利用分步计数乘法原理求解. 【详解】先安排首字符有种，再安排后面的两个字符有种， 所以由分步计数原理得，不同的编号共有种， 故选：D 7. 在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】设等差数列的前项和为，则. 故选：C. 8. 从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是（　　） A. 恰有一个红球与恰有两个红球 B. 至少一个红球与至少一个白球 C. 至少一个红球与都是白球 D. 至少一个红球与都是红球 【答案】A 【解析】 【分析】利用互斥事件与对立事件的定义直接求解． 【详解】解：从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球， 在A中，恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生，但能同时不发生， ∴恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立事件，故A正确； 在B中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故B错误； 在C中，至少一个红球与都是白球不能同时发生，不能同时不发生， 故至少一个红球与都是白球不能同时发生是对立事件，故C错误； 在D中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故D错误． 故选A． 【点睛】本题考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件与对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分值，有选错的得0分.） 9. 已知双曲线过点，则下列结论正确的是（ ） A. C的焦距为4 B. C的离心率为 C. C的渐近线方程为 D. 直线与C有两个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意先求出的值，得到双曲线的标准方程，确定的值，求出椭圆C的焦距，离心率，渐近线方程即可判断选项A B C；将直线与双曲线的方程联立消，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可判断选项D. 【详解】由双曲线过点， 可得， 则双曲线的标准方程为：； 所以， 因为椭圆C的焦距为，所以选项A正确； 因为椭圆C的离心率为，所以选项B不正确； 因为椭圆C的渐近线方程为，所以选项C正确； 将直线与双曲线联立消可得： ， ， 所以直线与双曲线 C没有公共点，所以选项D不正确； 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和几何性质，直线与双曲线的位置关系，考查了数学抽象，数学运算等核心素养.属于较易题. 10. 已知椭圆的焦距是，则的值可能是（ ） A. B. 13 C. D. 19 【答案】BD 【解析】 【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解. 【详解】由题知或， 解得或. 故选：BD 11. （多选题）下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用基本初等函数的导数公式进行判断即可. 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为__________． 【答案】80 【解析】 【分析】正确理解题意，通过组合及组合数公式. 【详解】要使这4个运动员都不是老搭档，可先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽取1人，故有种. 故答案为: 80. 13. 等比数列中，，则的前4项和等于______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列项间关系列式求出公比，进而求出前4项和. 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 解得，因此， 所以的前4项和等于5. 故答案为：5 14. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的正切展开式计算即可. 【详解】，所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增 当时，在，上单调递增，上单调递减 当时，在，（上单调递增，上单调递减 【解析】 【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解. 【小问1详解】 ，则 即解得，经验证满足题意， 【小问2详解】 令解得或 1°当时，在上单调递增 2°当时，在，上单调递增，上单调递减 3°当时，在，（上单调递增，上单调递减 16. 我国古代数学名著《算法统宗》中提到：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．说的是：有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止；分配时一定要长幼分明，使孝顺和睦的美德外传，你能根据这些信息算出每人分得了多少棉花吗？ 【答案】从第1到第8个孩子，每人分得的棉花为65，82，99，116，133，150，167，184（斤）. 【解析】 【分析】设第一个孩子分到的棉花为，结合题意可知从第一个孩子开始，每个人分到的棉花是以为首项，以17为公差的等差数列，且，再根据等差数列的求和公式求出，最后根据等差数列的通项公式分别求出各项，从而得结果. 【详解】解：设第一个孩子分到的棉花为， 由题可知，从第一个孩子开始，每个人分到的棉花是： 以为首项，以17为公差的等差数列， 而8人共分完996斤棉花，即， 所以，解得：， 则，， ，， ，， ， 所以从第1到第8个孩子，每人分得的棉花为： 65，82，99，116，133，150，167，184（斤）. 17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）表示出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线性质求解. 【小问1详解】 由抛物线的性质，，故抛物线. 【小问2详解】 由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设， 联立， , 故. 18. 数列满足，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明如下： 由，可得， 数列是以为首项，2为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义即可得证； （2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，． 19. 如图，直三棱柱中，，，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：∵为直三棱柱，∴ 又平面，平面， ∴平面 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用等体积法求解点到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，， 则，的面积为 ∵为直三棱柱，∴平面， ∴，从而 取的中点，连接，则， ∴的面积为， 设点到平面的距离为， 由于 ∴，解得 故点到平面的距离为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临高县新盈中学2024-2025学年度高二下学期期中考试数学试题 考试时间：120分 满分150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则m的值为（ ）． A. B. C. 3 D. 4 3. 复数与分别表示向量、，则表示向量的复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则的值是 A. B. C. D. 6. 给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后2个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有 A. 8本 B. 9本 C. 12本 D. 18本 7. 在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（ ） A. B. C. D. 8. 从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是（　　） A. 恰有一个红球与恰有两个红球 B. 至少一个红球与至少一个白球 C. 至少一个红球与都是白球 D. 至少一个红球与都是红球 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分值，有选错的得0分.） 9. 已知双曲线过点，则下列结论正确的是（ ） A. C的焦距为4 B. C的离心率为 C. C的渐近线方程为 D. 直线与C有两个公共点 10. 已知椭圆的焦距是，则的值可能是（ ） A. B. 13 C. D. 19 11. （多选题）下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为__________． 13. 等比数列中，，则的前4项和等于______． 14. 已知，则_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值； （2）讨论的单调性． 16. 我国古代数学名著《算法统宗》中提到：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．说的是：有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止；分配时一定要长幼分明，使孝顺和睦的美德外传，你能根据这些信息算出每人分得了多少棉花吗？ 17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求. 18. 数列满足，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 19. 如图，直三棱柱中，，，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $