专题13 随机变量的分布列及其数字特征-2024-2025学年高二数学专项强化与检测（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

专题13 随机变量分布列及其数字特征 高二数学专项强化与检测 专题13 随机变量分布列及其数字特征 一、知识填空： 1．随机变量 一般地，如果随机试验的样本空间为，而且对于中的每一个样本点，变量X都有 的实数值与之对应，就称X为一个随机变量．随机变量一般用用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母，，，…表示．随机变量 组成的集合，称为这个随机变量的取值范围． 2．离散型随机变量的分布列 一般地，当离散型随机变量的取值范围是时，如果对任意，概率都是已知的，则称的概率分布是已知的.离散型随机变量的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为的 或 . ... ... ... ... 3．离散型随机变量的分布列必须满足： ①；② . 4．一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式： X 1 0 P p 1-p 则称随机变量X服从参数为 的 （或0-1分布）． 5．随机变量之间的关系 如果X是一个随机变量，a，b都是实数且，则也是一个 ，且 ． 6．若离散型随机变量X的分布列为 X … … P … … （1）均值：称 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 ． （2）为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值的平均 程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 7．均值与方差的性质 （1） ；（2） （a，b为常数）；（3） （为常数）． 8．两点分布期望与方差：若，则 ， （其中p为成功概率）． 自检自纠： 1．唯一确定， 所有可能的取值 2．概率分布，分布列 3．1 4．P，两点分布 5．随机变量， 6．（1） 平均水平 （2）偏离 7．（1） （2） （3）0 8． 二、专题训练： 题组一：分布列的性质与计算 1．某一射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21 则（    ）． A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21 【答案】B 【详解】由题意可得，解得，.故选：B. 2．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【详解】因为，所以.故选：A. 3．下列表中能称为随机变量X的分布列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由，故A错误；对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确；对于D，由，故D错误.答案：C 4．下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得，故选：C. 5．已知随机变量X的分布列为，，则的值为 ． 【答案】/0.4 【详解】∵，，∴，∴，.故答案为：． 6．设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】根据题意，随机变量的分布列为，，则有，解可得.故选：A. 7．离散型随机变量的分布列为为常数，则 . 【答案】 【详解】，因为， 所以，解得.故答案为： 8．（多选）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确； 对于D中，由，，则，所以D正确． 故选：ABD. 9．已知离散型随机变量所有可能取值为，0，1其中，，，则的最大值为 . 【答案】 【详解】依题意，，解得，而，于是，即，当且仅当时取等号，所以的最大值为.故答案为： 10．（多选）已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 【答案】BC 【详解】对于A，由题意得，若，则，A错误； 对于B，若，则，，B正确； 对于C，若，则，又，所以，C正确； 对于D，由，得，， 因为，，D错误. 故选：BC. 题组二：分布列的均值与方差 1．若离散型随机变量X服从分布，且，则 ． 【答案】 【详解】∵随机变量X服从分布，且，∴， ∴，所以.故答案为： 2．若随机变量的所有可能取值为，且，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】依题意，则，所以，则.故选：A 3．已知随机变量的分布是，则其方差 ． 【答案】 【详解】的期望为，故，故答案为： 4．已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么 . 【答案】0 【详解】因为随机变量X服从两点分布，，所以，所以，因为，所以.故答案为：0. 5．已知的分布列如下表所示，设，则（   ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用概率和为，可得，则根据题意得， 因为，所以，故选：D. 6．设随机变量的概率分布列如表所示，且，则 . 1 2 3 4 【答案】 【详解】由题意得，解得；因此可得.故答案为： 7．随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ） X 0 1 P a b A．3 B． C．5 D．9 【答案】C 【详解】，由随机变量X的分布列得：，解得，，.故选：C． 8．随机变量的概率分布列为，其中是常数，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．35 【答案】A 【详解】因为，所以，解得，所以， 所以，故．故选：A． 9．设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即.解得. 已知随机变量的期望为，可得.化简可得：，进一步变形为. 将进行变形，给式子乘以得到.展开式子： 根据基本不等式，有.所以，当且仅当，即时等号成立.故选：C. 10．已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 其中满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，解得，可得，则，而，则当时，.故选：B. 题组三：分布列的实际应用 1．盒中装有5个大小、质地相同的小球，其中3个白球和2个黑球．两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时两位同学摸球的总次数为，则 ． 【答案】 【详解】当时，游戏结束时两位同学摸球的情况为：白黑黑，黑白黑，白白白， 则.故答案为：. 2．某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 【答案】 【详解】由题意知的所有可能取值为. 当时，甲的胜负情况为“胜胜”或“负负”，故. 当时，甲的胜负情况为“胜负胜胜”“胜负负负”“负胜胜胜”或“负胜负负”， 故. 则.故答案为：. 3．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3.现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】按球编号将球分三组，8球中有4球编号小于3，2球编号等于3，2球编号大于3. 现从袋中任取3球共有种方法，X＝3表示： 3球中最大编号为3，分两类情况： 第一类1个3号球，另两球编号小于3，由古典概型概率公式得； 第二类2个3号球，另一球编号小于3，由古典概型概率公式得， 由互斥事件和事件概率加法公式得.故选：D. 4．已知集合，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为 【答案】 【详解】由题意或，或，事件即为“或”，从集合中任取3个不同的元素，从集合中任取3个不同的元素的方法数为，事件“”含有的样本点的个数为，事件“”含有的样本点的个数为，所以．故答案为： 5．在规定时间内，甲、乙、丙能正确解答某道题的概率分别为0.5，0.6，0.4，且这三人是否能按时正确解答该题相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时正确解答该题的人数为X，则（   ） A．1.8 B．1.7 C．1.6 D．1.5 【答案】D 【详解】记事件A，B，C分别为甲、乙、丙能按时正确解答该题，由题意得，，，则，，．由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，，， ， ，所以.故选：D． 6．盒子中装有1个黑球和2个白球，小水每次从盒子中随机摸出1个球，并换入1个黑球，则第二次摸球时摸出黑球的概率是 ，设三次摸换球后盒子中所剩黑球的个数为，则 . 【答案】 【详解】解：若第一次摸出白球，则第二次摸出黑球的概率为，若第一次摸出黑球，则第二次摸出黑球的概率为，所以第二次摸出黑球的概率为，由题意可得可能取1，2，3，则 ，，，所以，故答案为：， 7．现有张卡片，分别写上数字，，，，，，．从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知的可能取值为， ，，，，，，，所以的分布列为 ．故选：D． 8．一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ． 【答案】 【详解】由题知，一次射门命中次数为0次或1次，,因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3， ,故答案为 9．一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量表示第i次抽到红球的个数，则随机变量X期望 ； ． 【答案】 【详解】由题意，，，.所以，由全概率公式得.故答案为：； 10．袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 【答案】 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 .则. 表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 . 根据条件概率公式 ，可得 . 随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 根据期望公式 可得 . 故答案为：；. 题组四：解答题 1．北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表： 成绩 人数 5 5 15 25 10 (1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率； (2)用分层抽样的方法，在考核成绩为的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在的学生数为X，求X的分布列． 【详解】（1）设“该名学生考核成绩优秀”为事件，由已知60名同学的成绩中，优秀的有35名同学， 所以，可以估计这名学生考核优秀的概率为； （2）由已知，用分层抽样方法，在考核成绩为的学生中任取8人， 则考核成绩在的学生应抽取人，在的学生应抽取5人， 由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4，所以 ，， ，， 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 2．一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； (2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列． 【详解】（1）7个球里取3个共有种，3个小球上的数字之和等于10的含有4，5，1；3，5，2；3，4，3，其中4，5，1只有一种，而3，5，2有种，即从两个3，两个2里各取一个，3，4，3也只有一种，所以总共有种，所以取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为. （2）由题意可知，X可能的值有5，4，3，2，，， ，.所以X的分布列为： 2 3 4 5 3．某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． (1)求甲在一年内考试失败的概率； (2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 【详解】（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为． 甲两次笔试均未通过的概率为， 甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为， 甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为 所以甲在一年内考试失败的概率为． （2）由题意得的可能取值为， 所以的分布列为 2 3 4 故． 4．某（应用软件）举行推广活动，新用户注册前7天内，每天登录可获得1元红包，前7天连续登录的新用户，还可进入抽奖活动页面领取红包，每位用户随机点击4个红包中的1个领取（领取前不知道红包金额），领取后看1分钟广告，可再次从剩余3个红包中领取1个，4个红包的金额分别为元、元、元、元. (1)若前7天连续登录且抽奖活动页面看1分钟广告的新用户获得的所有红包金额之和（单位：元）的期望值为70元，求的值； (2)该推广活动进行一个月后，对新用户登录方案进行了调整，调整为：新用户注册前7天内，连续登录第天，当天可获得元红包，中间中断再登录重新计算连续天数，若新注册用户甲前4天已经连续登录该，后3天每天登录的概率均为，求该用户前7天内通过登录获得红包金额之和（单位：元）的分布列. 【详解】（1）该试验为不放回抓取红包两次，从事件数考虑作答，由题意，总事件数， 由题意，所以，，，，所以，解得. （2）易知该用户前4天的红包金额之和为（元），由题意， 则，，，，，，， 所以的分布列为 10 11 13 15 16 21 28 5．第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”． (1)求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【详解】（1）由频率分布直方图知， 设第70百分位数为x，前两组所占频率为， 前三组所占频率为，则x位于第三组数据中， 所以， 平均数； （2）由（1）知分数在，内的两组学生分别有人，所以各自抽取的人数分别为人，显然“特优选手”有4人， 故X可取，，，所以其分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 6．袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励． (1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率； (2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望； (3)该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由． 【详解】（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果为事件A，则P（A）＝＝，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果的概率为 ； （2）依题意随机变量X的所有可能取值为0、5、10，则P（X＝0）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝10）＝＝，所以X的分布列为： X 0 5 10 P          所以E（X）＝10×+5×+0×＝； （3）记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y＝X﹣2，所以E（Y）＝E（X﹣2）＝E（X）﹣2＝﹣2＝＞0，所以愿意再次参加该项抽奖活动． 7．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知，的可能取值为，所以， ,， ，. 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 8．为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师､化学老师､数学老师各2名． (1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； (2)设表示选出的3人中数学老师的人数，求的均值与方差． 【详解】（1）推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数， 这6名老师中，数学老师2名，英语老师2名，化学老师2名， 设事件表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数”， 表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，表示“恰好选出2名数学老师”， 互斥，且，，， 选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为； （2）由于从6名老师中任选3名的结果为 从6名老师中任选3名，其中恰有名数学老师的结果为，那么6名中任选3人， 恰有名数学老师的概率为， 所以， ，． 9．某商场为了回馆顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放5个大小相同的小球，其中红球2个，白球3个．规定：每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出一个小球，如果摸出的是红球即为中奖，球不放回；如果摸出的是白球即为不中奖，球放回袋子中，每名顾客可进行三次抽奖．求： (1)在第2次取出的是白球的条件下，第1次取出的是红球的概率； (2)取了3次后，取出的红球个数的分布列及数学期望． 【详解】（1）设事件为第1次取出的是红球，事件为第2次取出的是白球；则， ，所以． （2）记取了3次后，取出的红球的个数为，则， ，， 的分布列为 0 1 2 的数学期望. 10．猜歌名游戏根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，节目组准备了两组歌曲的主旋律制成的铃声，随机从两组歌曲中各播放两首歌曲的主旋律制成的铃声，该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.已知该嘉宾猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，且猜对每首歌曲的歌名相互独立. (1)求该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率； (2)若嘉宾猜对一首组歌曲的歌名得1分，猜对一首组歌曲的歌名得2分，猜错均得0分，记该嘉宾累计得分为，求的分布列与期望. 【详解】（1）该嘉宾一首歌曲的歌名都没有猜对的概率； 该嘉宾只猜对一首歌曲的歌名的概率. 故该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率. （2）由题意可得的所有可能取值分别是0，1，2，3，4，5，6. 没有猜对组中每首歌曲的歌名的概率为，没有猜对组中每首歌曲的歌名的概率是， ，，，，，. 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 故. 11．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）. 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 (1)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望； (2)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值. 【详解】（1）依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率， 随机变量的可能值为0，1，2，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 的数学期望. （2）购进350千克时利润的期望值：， 购进400千克时利润的期望值： ， 由解得，，因，，因此， 所以的最小值是17. 12．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； (2)设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； (3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【详解】（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，则有， 所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是. （2）设甲公司答对题数为，则的取值分别为， ， 则的分布列为： 1 2 3 期望，方差. （3）设乙公司答对题数为，则的取值分别为， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 期望， 方差， 显然，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．下列表中能称为随机变量X的分布列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由，故A错误；对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确；对于D，由，故D错误.答案：C 2．若某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示1次试验的成功次数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可设失败率为，则成功率为，则的分布列为 0 1 ，解得，.故选：D. 3．已知随机变量X的分布为，设，则的值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】由均值公式得，由随机变量均值性质得，故D正确. 故选：D 4．是离散型随机变量，，那么和分别是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由期望和方差的运算性质知E(X1)= E(2X－5)=2 E(X)-5=7，D(X1)= D(2X－5)= D(X)＝2.故选D 5．设随机变量的概率分布列如表所示，则（    ） 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以或，所以或．故选:D． 6．已知随机变量X的分布列为，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：．故选:A 7．设样本数据，的均值和方差分别为1和4，若，，…，10，且，，...，的均值为5，则方差为（    ） A．5 B．8 C．11 D．16 【答案】D 【详解】因为样本数据的均值和方差分别为和，且， 所以的均值为：，即，所以方差为．故选：D． 8．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于抛物线的对称轴在y轴左侧，所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，所以共有种不同的情况．因为，所以的取值范围是，其中的可能情况为且，所以，的可能情况为且，所以，的可能情况为且，所以，所以．故选：A． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知是离散型随机变量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】在A中，，故A正确； 在B中，由数学期望的性质得，故B正确； 在C中，由方差的性质得，故C正确； 在D中，，故D错误. 故选：ABC. 10．已知随机变量X的分布列如下表：若，则（    ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】依题意，AB选项正确.，C选项正确. ，D选项错误.故选：ABC 11．设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（    ） 0 1 2 P A． B．的值最大 C．随着p的增大而增大 D．当时， 【答案】AD 【详解】，所以A正确； 令，则，，所以B错误； 由题意得，因为，所以随着p的增大而减小，所以C错误； 当时，，，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．现有7张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，5，6，从这7张卡片中随机抽取3张，记所取卡片上数字的最大值为X，则= ． 【答案】 【详解】从这7张卡片中随机抽取3张的试验有个基本事件，其中的事件所含基本事件数为，所以.故答案为： 13．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分的分布列如下表所示，其中成等差数列，且 0 2 3 则这名运动员得3分的概率是 ． 【答案】 【详解】由题知，，又成等差数列，有，由分布列的性质知，，且，，，联立，解得，，.由表可知，这名运动员得3分的概率是.故答案为：. 14．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中a，b，，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设得分为，则 0 1 3 c b a 由均值为，且，则，当且仅当时等号成立．故答案为：. 6 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$专题13 随机变量分布列及其数字特征 高二数学专项强化与检测 专题13 随机变量分布列及其数字特征 一、知识填空： 1．随机变量 一般地，如果随机试验的样本空间为，而且对于中的每一个样本点，变量X都有 的实数值与之对应，就称X为一个随机变量．随机变量一般用用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母，，，…表示．随机变量 组成的集合，称为这个随机变量的取值范围． 2．离散型随机变量的分布列 一般地，当离散型随机变量的取值范围是时，如果对任意，概率都是已知的，则称的概率分布是已知的.离散型随机变量的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为的 或 . ... ... ... ... 3．离散型随机变量的分布列必须满足： ①；② . 4．一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式： X 1 0 P p 1-p 则称随机变量X服从参数为 的 （或0-1分布）． 5．随机变量之间的关系 如果X是一个随机变量，a，b都是实数且，则也是一个 ，且 ． 6．若离散型随机变量X的分布列为 X … … P … … （1）均值：称 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 ． （2）为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值的平均 程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 7．均值与方差的性质 （1） ；（2） （a，b为常数）；（3） （为常数）． 8．两点分布期望与方差：若，则 ， （其中p为成功概率）． 自检自纠： 1．唯一确定， 所有可能的取值 2．概率分布，分布列 3．1 4．P，两点分布 5．随机变量， 6．（1） 平均水平 （2）偏离 7．（1） （2） （3）0 8． 二、专题训练： 题组一：分布列的性质与计算 1．某一射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21 则（    ）． A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21 2．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 3．下列表中能称为随机变量X的分布列的是（    ） A． B． C． D． 4．下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 5．已知随机变量X的分布列为，，则的值为 ． 6．设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 7．离散型随机变量的分布列为为常数，则 . 8．（多选）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 9．已知离散型随机变量所有可能取值为，0，1其中，，，则的最大值为 . 10．（多选）已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 题组二：分布列的均值与方差 1．若离散型随机变量X服从分布，且，则 ． 2．若随机变量的所有可能取值为，且，则（   ） A． B． C．1 D． 3．已知随机变量的分布是，则其方差 ． 4．已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么 . 5．已知的分布列如下表所示，设，则（   ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 6．设随机变量的概率分布列如表所示，且，则 . 1 2 3 4 7．随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ） X 0 1 P a b A．3 B． C．5 D．9 8．随机变量的概率分布列为，其中是常数，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．35 9．设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（    ） 0 A．1 B． C．2 D．4 10．已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 其中满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题组三：分布列的实际应用 1．盒中装有5个大小、质地相同的小球，其中3个白球和2个黑球．两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时两位同学摸球的总次数为，则 ． 2．某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 3．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3.现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)等于（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为 5．在规定时间内，甲、乙、丙能正确解答某道题的概率分别为0.5，0.6，0.4，且这三人是否能按时正确解答该题相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时正确解答该题的人数为X，则（   ） A．1.8 B．1.7 C．1.6 D．1.5 6．盒子中装有1个黑球和2个白球，小水每次从盒子中随机摸出1个球，并换入1个黑球，则第二次摸球时摸出黑球的概率是 ，设三次摸换球后盒子中所剩黑球的个数为，则 . 7．现有张卡片，分别写上数字，，，，，，．从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 8．一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ． 9．一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量表示第i次抽到红球的个数，则随机变量X期望 ； ． 10．袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 题组四：解答题 1．北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表： 成绩 人数 5 5 15 25 10 (1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率； (2)用分层抽样的方法，在考核成绩为的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在的学生数为X，求X的分布列． 2．一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； (2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列． 3．某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． (1)求甲在一年内考试失败的概率； (2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 4．某（应用软件）举行推广活动，新用户注册前7天内，每天登录可获得1元红包，前7天连续登录的新用户，还可进入抽奖活动页面领取红包，每位用户随机点击4个红包中的1个领取（领取前不知道红包金额），领取后看1分钟广告，可再次从剩余3个红包中领取1个，4个红包的金额分别为元、元、元、元. (1)若前7天连续登录且抽奖活动页面看1分钟广告的新用户获得的所有红包金额之和（单位：元）的期望值为70元，求的值； (2)该推广活动进行一个月后，对新用户登录方案进行了调整，调整为：新用户注册前7天内，连续登录第天，当天可获得元红包，中间中断再登录重新计算连续天数，若新注册用户甲前4天已经连续登录该，后3天每天登录的概率均为，求该用户前7天内通过登录获得红包金额之和（单位：元）的分布列. 5．第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”． (1)求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 6．袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励． (1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率； (2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望； (3)该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由． 7．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 8．为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师､化学老师､数学老师各2名． (1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； (2)设表示选出的3人中数学老师的人数，求的均值与方差． 9．某商场为了回馆顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放5个大小相同的小球，其中红球2个，白球3个．规定：每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出一个小球，如果摸出的是红球即为中奖，球不放回；如果摸出的是白球即为不中奖，球放回袋子中，每名顾客可进行三次抽奖．求： (1)在第2次取出的是白球的条件下，第1次取出的是红球的概率； (2)取了3次后，取出的红球个数的分布列及数学期望． 10．猜歌名游戏根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，节目组准备了两组歌曲的主旋律制成的铃声，随机从两组歌曲中各播放两首歌曲的主旋律制成的铃声，该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.已知该嘉宾猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，且猜对每首歌曲的歌名相互独立. (1)求该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率； (2)若嘉宾猜对一首组歌曲的歌名得1分，猜对一首组歌曲的歌名得2分，猜错均得0分，记该嘉宾累计得分为，求的分布列与期望. 11．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）. 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 (1)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望； (2)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值. 12．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； (2)设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； (3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．下列表中能称为随机变量X的分布列的是（    ） A． B． C． D． 2．若某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示1次试验的成功次数，则（    ） A．0 B． C． D． 3．已知随机变量X的分布为，设，则的值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 4．是离散型随机变量，，那么和分别是(　　) A． B． C． D． 5．设随机变量的概率分布列如表所示，则（    ） 2 3 4 A． B． C． D． 6．已知随机变量X的分布列为，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．设样本数据，的均值和方差分别为1和4，若，，…，10，且，，...，的均值为5，则方差为（    ） A．5 B．8 C．11 D．16 8．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知是离散型随机变量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知随机变量X的分布列如下表：若，则（    ） 0 1 A． B． C． D． 11．设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（    ） 0 1 2 P A． B．的值最大 C．随着p的增大而增大 D．当时， 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．现有7张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，5，6，从这7张卡片中随机抽取3张，记所取卡片上数字的最大值为X，则= ． 13．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分的分布列如下表所示，其中成等差数列，且 0 2 3 则这名运动员得3分的概率是 ． 14．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中a，b，，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为 ． 6 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$