2026年中考复习数学专项练习——一次函数与反比例函数交点问题

2026年中考复习数学专项练习——一次函数与反比例函数交点问题 1．（2026·江西赣州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式，并直接写出，两点的坐标； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 2．（2026·甘肃陇南·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)把一次函数的图象向上平移3个单位长度，与反比例函数的图象交于点，连接，求的面积． 3．（2026·河南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，且一次函数与x轴，y轴分别交于点，D． (1)求一次函数的解析式和点A，B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得则点P的坐标为_____． 4．（2026·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于点和点，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求和的值； (2)将该一次函数的图象向下平移个单位长度，得到的新函数图象与轴交于点，求的面积． 5．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 6．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，的顶点分别为，直线与交于点D，点D在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)把向右平移a（）个单位，再向上平移b（）个单位，得到点，且同时落在反比例函数（）的图象上． ①求a，b的值； ②求所在直线的解析式． 7．（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（k为常数，）在第一象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移m个单位长度后与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与y轴交于点C，连接，求的面积． 8．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． (1)求出反比例函数的解析式及点B的坐标； (2)观察图象，请直接写出满足的取值范围； 9．（2026·江西吉安·一模）如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线经过点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 10．（25-26四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴交于点，已知点的横坐标为8，的纵坐标为． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接、，求的面积． 11．（25-26重庆·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点与点关于轴对称，求的面积． 12．（2026·河南信阳·一模）如图，直线与反比例函数图象交于点和点B． (1)求反比例函数表达式． (2)连接，则_____（填写“<”或“=”或“>”）． (3)将直线m向上平移得到直线n，直线n与反比例函数图象交于点C和点D，连接，若，请直接写出平移后直线n的表达式． 13．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，点（点在点的左侧）．连接，过点作轴，垂足为，与交于点． (1)若已知点的坐标为． ①求的值； ②点的坐标为_____，_____； (2)当时，请直接写出线段的长． 14．（2024九年级上·全国·期末）如图，等腰直角的直角顶点B的坐标为，平行于轴，点C在反比例函数的图象上，若交轴于点D，． (1)求反比例函数的解析式； (2)将沿轴正方向平移，使边与反比例函数的图象正好只有一个交点时，设平移距离为，请直接写出的值． 15．（2026甘肃白银市）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)，，， (2) 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式，再根据一次函数解析式先求出点C、D坐标即可； （2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得，， ， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为， 将点和点的坐标代入得， ，解得， 一次函数的解析式为； ，； （2）解：的坐标为， ， ， 点的坐标为， ， 解得， 点在第三象限， ， 将代入得，， 点坐标为． 2．(1) (2) 【分析】（1）将点代入一次函数求出，再将其代入反比例函数求解，即可解题； （2）根据平移性质先求出平移后的一次函数表达式，令平移后的一次函数与轴的交点坐标为，连接，联立反比例函数解析式求出交点坐标，再结合同底等高，利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点， ， 解得． 点， ， 解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数， 令，则． 令平移后的一次函数与轴的交点坐标为，连接． 联立方程组 解得或（舍去）． ． 由平移得， 同底等高． ， ． 3．(1)，点的坐标为，点的坐标为 (2)或 (3) 【分析】（1）将点C代入一次函数表达式即可确定函数解析式，然后联立两个函数求解即可； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 联立两个函数：， 解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）根据函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为或； （3）将代入得，， ∴点的坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， ∴点坐标为． 4．(1)， (2) 【分析】（1）先利用一次函数的解析式求出点，进而求出，再利用反比例函数的解析式求出点，最后求出的值； （2）作于点，由平移规律可得新函数，从而求得点，容易判断轴，则，，直接计算的面积即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，作于点， 向下平移个单位长度所得新函数， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵， ∴轴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．(1) (2)或 (3)点坐标为或或 【分析】（1）先求出值，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由图象可知，不等式的解集为或； （3）解：设， ∵， ∴， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得； 综上：点坐标为或或． 6．(1) (2)①，；② 【分析】（1）利用待定系数法进行求解； （2）①根据平移的性质求出点的坐标，得出，然后根据反比例函数列出方程求解； ②利用待定系数法求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得， ∴， 令， 解得， ∴D点坐标为， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①∵将向右平移a个单位，再向上平移b个单位， ∴的坐标为，的坐标为， ∵同时落在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 将代入， 解得，或(舍去)， ∴； ②设所在直线的解析式为， 由①知，的坐标为，的坐标为， 将的坐标代入， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为． 7．(1) (2) 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，将的坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例函数的解析式； （2）根据直线的平移规律设直线的解析式为，再利用待定系数法求解，求出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得， 解得， ∴点， 把点代入中， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入中，得， ∴， 由题意知，直线向上平移m个单位长度后的函数表达式为， 将点代入中，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入中，得， 即， ∴． 8．(1)， (2)或 【分析】（1）把代入，可得A点坐标，把点A代入反比例函数解析式，可得反比例函数的表达式，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标； （2）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：把代入 解得， ， 把代入 解得， 反比例函数的表达式为， 点与点关于原点对称， ； （2）解：， 的取值范围是或． 9．(1)， (2)9 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，坐标系中点的坐标的特点，三角形的面积公式； （1）将点代入直线解析式可求出，把代入直线解析式可求出，再代入即可求出； （2）过点作轴于点，交于点，利用反比例函数解析式先求出点坐标，再由三点坐标可求出的底和高，最后利用三角形的面积公式即可求出面积． 【详解】（1）解：将点代入直线，得， ， 一次函数的表达式为， 把代入，得， ， 把代入，得， ， 反比例函数的表达式为． 综上所述：一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：如图，过点作轴于点，交于点， 点在反比例函数的图象上， ， ， 轴，， ， ，即， . 10．(1) (2)12 【分析】（1）由一次函数解析式求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数解析式； （2）根据一次函数的解析式求得C点的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为8，点B的纵坐标为， ∴设， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：如图， ∵反比例函数解析式为，点的横坐标为8， ∴点的纵坐标为2， ∴； ∵一次函数的图象与y轴交于点C， ∴， ∴， ∴的面积． 11．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)8 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出点，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 将代入得， ， 解得， ∴， 将和代入得， ，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴． 12．(1) (2)= (3) 【分析】（1）把直接代入中，求出的值即可； （2）联立方程组，求解得，，得出点、的坐标，求出，的值，再进行比较即可； （3）设平移后的解析式为，与联立得，设，，得到，，求得，，代入得，求出，，进行验证可得结论． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数图象交于点， ∴， ∴， ∴反比例解析式为； （2）解：联立方程组， 解得，， ∴，， ∴， ， ∴； （3）解：设平移后的直线的解析式为， 联立， 整理得， 设，，则，， 由得，， 又代入得， 令，则， 解得或 ∴，，其中不合题意，舍去， ∴或， ∴，，（反之也成立） 将代入，则，解得． 所以，平移后直线n的表达式为． 13．(1)①；②； (2) 【分析】（1）把点代入，求得，再利用待定系数法求解即可； ②联立一次函数与反比例函数解析式求得的坐标，进而求得的解析式，再求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点A作，垂足为点H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①把点代入， 得． ． 把点代入， 得； ∴ ②联立 解得：或 ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴， 解得： ∴ ∵，轴 ∴的纵坐标为 将代入 ∴ 解得； ∴， ∴ （2）解：如图，过点A作，垂足为点H， 设，则点B坐标为． 轴，， ， ， ， ， ， ， ． 点，点在反比例函数上， ． 解方程，得（不符合题意，舍去），． 线段的长为． 14．(1)反比例函数的解析式为 (2) 【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和等腰直角三角形中边的关系，结合坐标与图形性质求出点的坐标，代入反比例函数解析式求出值，即可得到反比例函数解析式； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，得出直线平移后的解析式，与反比例函数解析式联立，根据边与反比例函数的图象正好只有一个交点时，，即可求出的值． 【详解】（1）解：如图，设交轴于点，过点作轴于点． 是等腰直角三角形，点为直角顶点， ， 轴， ， 又， ， ， ∵， ∴， 点B的坐标为， ， ， ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵等腰直角的直角顶点B的坐标为，平行于轴，点的坐标为， ∴点A和点C关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， ∵、， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 直线沿x轴正方向平移个单位后，直线方程为：， 与反比例函数解析式得， 整理得：， 当直线和反比例函数只有一个交点时，， 解得：​．（沿轴正方向平移，故负值舍去） 15．(1) (2) 【分析】（1）求出点A的坐标得到，的长，解直角三角形求出的长，则可求出点M的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点N的坐标，连接，根据，得到，则当P、M、N三点共线时，有最小值，最小值为，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵轴， ∴点M的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， 把点M的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的表达式； （2）解：在中，当时，， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴当P、M、N三点共线时，有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $