精品解析：北京市第十八中学2024-2025学年七年级下学期期中数学试题

北京十八中2024-2025学年第一学期期中练习 初一年级数学试题 I卷（选择题） 一、选择题（本题每小题3分，共24分） 1. 下列各组图形中，能将其中一个图形通过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据平移的性质可知，图形的形状和大小不发生改变， A、图形的形状发生了变化，故该选项不符合题意； B、图形的形状和大小均没发生改变，故该选项符合题意； C、图形的形状发生了变化，故该选项不符合题意； D、图形的形状发生了变化，故该选项不符合题意． 2. 16的算术平方根是（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求算术平方根．根据算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是非负的平方根，即可解答． 【详解】16的算术平方根是4． 故选：B． 3. 在−2，0，2，−这组数中，最小的数是（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，比较即可． 【详解】解：∵， ∴-2＜-＜0＜2， ∴最小的数是-2． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较法则的应用，实数的大小比较法则是：负数都小于0，负数都小于正数，两个负数，其绝对值大的反而小． 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了第三象限点坐标的特征．熟练掌握第三象限点坐标为是解题的关键． 根据第三象限点坐标为，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，位于第三象限， 故选：C． 5. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可. 【详解】A、∵AB//CD， ∴∠1+∠2=180°．故本选项不符合题意； B、如图，∵AB//CD， ∴∠1=∠3． ∵∠2=∠3， ∴∠1=∠2．故本选项正确． C、∵AB//CD， ∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项不符合题意； D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键. 6. 下列命题： ①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等 ④所有实数都可以用数轴上的点表示 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，解答的关键是熟知相关的几何知识．根据平行线的判定与性质、垂线性质，实数与数轴逐个判断即可作出选择． 【详解】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题； ③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题错误，是假命题； ④所有实数都可以用数轴上的点表示，正确，是真命题； 综上分析，是真命题的有3个， 故选：C． 7. 如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 8. 将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（ ） 12 7 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即； 故选：C． II卷（非选择题） 二、填空题（本题每小题2分，共16分） 9. 在实数，，，中，是无理数的是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：在实数，，，中，属于无理数的是， 故答案为：． 10. 如图，小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的点处出发，选择到对面的______（填，或）点处折返一次回到点时，跑过的路程最短，理由是______． 【答案】 ①. B ②. 垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的线段中，垂线段最短，解题的关键是理解垂线段最短． 根据题意，由垂线段最短即可求解． 【详解】解：小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的点处出发，选择到对面的B点处折返一次回到点时，跑过的路程最短，理由是垂线段最短， 故答案为：B；垂线段最短． 11. 点P（m﹣1，m+3）在平面直角坐标系的x轴上，则P点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用在x轴上的点坐标特征解答即可． 【详解】解：由题意，得：m+3＝0，解得m＝﹣3， ∴m﹣1＝﹣4， ∴点P的坐标为（﹣4，0）． 故答案为（﹣4，0）． 【点睛】本题考查了x轴上点的坐标特征，掌握在x轴上的点纵坐标为0的特征是解答本题的关键． 12. 已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解掌握二元一次方程的解是解题的关键．把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解： 是关于x，y的二元一次方程的一个解， ， 解得． 故答案为：3. 13. 我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，为使成立，请写出一组角的数量关系作为条件：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的三个判定方法是解答本题的关键；根据平行线的判定，结合图形可考虑同位角相等或同旁内角互补来解答． 【详解】解：当时，有； 也可以是或； 故答案为：（答案不唯一）． 14. 将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．根据题意知，，，得到，再根据平行线的性质得到，即可求解． 【详解】解：根据题意知，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，求此时扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意可得，得到，由，可得，再根据三角形的外角性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16. 为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（2）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况．根据题中所给信息，________，小奕同学第三轮的得分为________分． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小恩 a a 27 小地 a b c 11 小奕 c b 10 【答案】 ①. 5 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查方程的解逻辑推理能力，根据三位同学的最后得分情况列出关于的等量关系式，然后结合且均为正整数确定的值，从而确定小奕同学第三轮的得分，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键， 【详解】由题意可得：， ∴， ∵均为正整数， 若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为， ∴a必大于4， 又∵， ∴最小取3， ∴， ∴，，， ∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二； 小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三； 又∵表格中第二轮比赛，小地第一，小奕第三， ∴第二轮比赛中小恩第二， ∴第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二， ∴小奕的第三轮比赛得2分， 故答案为：5，2． 三、计算题（每题4分，共16分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及化简绝对值，求一个数的立方根，掌握运算法则，正确化简计算是解题的关键． 分别化简计算绝对值，立方根，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及求一个数的立方根和算术平方根，以及化简绝对值，掌握运算法则，正确化简是解题的关键． 分别化简计算算术平方根、绝对值，立方根，再进行加减计算． 【详解】解： ． 19. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 先将第①个方程，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 由得，, 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为：． 20. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 先将原方程组进行适当变形，再由加减消元法求解即可． 【详解】解：原方程组化为 由得，， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为：． 四、解答题 21. 补全下列证明过程． 如图，在四边形中，，垂足为点A，点E在边上，且，垂足为点F，．求证：． 证明：∵，、 ． ______．（理由： ） ______．（理由： ） ∵， _____．（理由： ） ______．（理由： ） ．（理由： ） 【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平任，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平任，同旁内角互补 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键． 先根据同位角相等，两直线平行得出，再根据平行线的性质得出，从而可得出，然后根据内错角相等，两直线平行得出，最后由两直线平行同旁内角互补得出结论． 【详解】证明：∵，， ． ．（理由：同位角相等，两直线平行） ．（理由：两直线平任，同位角相等） ∵， ．（理由：等量代换） ．（理由：内错角相等，两直线平行） ．（理由：两直线平行，同旁内角互补） 22. 在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，． （1）画出三角形，并求它的面积； （2）将三角形平移到三角形，其中点A，B，C的对应点分别是，，，已知点的坐标是， ①点的坐标是_________，点的坐标是 ； ②写出一种将三角形平移到三角形的方法： ． 【答案】（1）见解析；11 （2）①；；②先向右平移4个单位，再向下平移2个单位（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移．解题的关键是熟练掌握平移规律． （1）根据点A、B、C的坐标进行描点，然后连线即可得出三角形，利用割补法求出三角形的面积即可； （2）①根据点A的坐标和平移后点的坐标是得出平移方式，然后求出点和点的坐标即可； ②根据点A平移得出点，得出将三角形平移到三角形的方法即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的三角形； ； 【小问2详解】 解：①∵点平移后点的坐标是， ∴点A向右平移4个单位，向下平移2个单位到， ∴点B、C分别向右平移4个单位，向下平移2个单位到，， ∴点的坐标是，点的坐标是； ②∵点A向右平移4个单位，向下平移2个单位到， ∴将三角形先向右平移4个单位，再向下平移2个单位到三角形． 23. 列二元一次方程组解决问题：某商店决定购进甲、乙两种文创产品．若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元．求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？ 【答案】甲种文创产品每件的费用为30元，乙种文创产品每件的费用为25元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，建立二元一次方程组是解题的关键． 设甲种文创产品每件的费用为元，乙种文创产品每件的费用为元，由“若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元”建立方程组求解即可． 【详解】解：设甲种文创产品每件的费用为元，乙种文创产品每件的费用为元， 由题意可得， 得：， 将代入②中可得：， ∴， 答：甲种文创产品每件的费用为30元，乙种文创产品每件的费用为25元． 24. 如图，三角形中，，过点C作的平行线l，在线段上任取一点D（不与点A，B重合），过点D作的垂线交于点E，交直线l于点F． （1）依题意补全图形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质和垂直的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）依据题意补全图形即可； （2）由，，得到，进而得到，又根据得到，由此得证． 【小问1详解】 解：补全图形如下图． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 25. 小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． （1）①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； （2）整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； （3）实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1）①4；②2 （2）1，511 （3）存在，x的值为4或9 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根，立方根，无理数的估算． （1）①根据题意，列式进行计算即可；②根据题意，列式进行计算即可； （2）根据立方根的定义列式求解即可； （3）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：①根据题意得：， 故答案为：4； ②， ， 不超过的最大整数为2， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ，且m是整数， m的最小值是1；最大值是； 故答案为：1，511； 【小问3详解】 解：存在，x的值为4或9， ，， 当时，即， ， 当时，， ， ∴当时，， 当时，， ， 所以当时，， 当时，的最小值为，的最小值为3， ， 不存在x值使得， x的值为4或9时，成立． 26. 阅读下列材料： 如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： （1）如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】（1） 解：数量关系：． 证明：过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵ （如图）， ∴ （等量代换）． 即； （2）（或） 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理，外角和定理等． （1）根据题意过点P作，利用平行线性质即可得到本题答案； （2）根据题意过点作，利用角平分线定义得，，再利用内角和定理和外角和定理即可得到本题答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：补全图形： ∵和的角平分线所在直线交于点M， ∴将图按如下命名： ∴，， 又∵， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 数量关系：（或）． 27. 在平面直角坐标系中，已知点，若点Q的坐标为，则称Q是点P的非常变换点．例如：点的非常变换点为． （1）已知点的非常变换点为Q，当时，点Q的坐标为_________，当时，点Q的坐标为___________； （2）在正方形中，点，已知点． ①若点M的非常变换点为C，求a的值； ②若线段上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形的边上或内部，直接写出a的最小值及此时x的值． 【答案】（1）； （2）① ②；1 【解析】 【分析】本题主要考查了非常变换点的定义，二元一次方程组的应用，一元一次不等组的应用，理解非常变换点的定义是解题的关键． （1）根据非常变换点的定义求解即可． （2）①由题意得，的非常变换点为．根据非常变换点的定义列出关于x和a的二元一次方程组求解即可． ②根据线段在正方形内部及边上，列出关于x以及a的一元一次不等式组，解不等组求出x和a的取值范围，根据，则a的最小值为得出M和N的坐标，根据非常变换点的定义求出M和N各自对应的非常变换点和，最后验证和是否在正方形的边上或内部即可． 【小问1详解】 解：当时，点， ∴，， ∴， 当时，， ∴，， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 ①由题意得，的非常变换点为． 则， 整理得：， 解得：， ∴． ②若线段在正方形内部及边上， 则，解得：， ，解得： ∴a的最小值为， 若a取最小值，则x取最大值， ∴，则a的最小值为， 此时，其非常变换点，，其非常变换点， 则线段上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形的边上或内部成立． 故a的最小值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十八中2024-2025学年第一学期期中练习 初一年级数学试题 I卷（选择题） 一、选择题（本题每小题3分，共24分） 1. 下列各组图形中，能将其中一个图形通过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 16的算术平方根是（ ） A. B. 4 C. D. 8 3. 在−2，0，2，−这组数中，最小的数是（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题： ①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等 ④所有实数都可以用数轴上的点表示 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 0 8. 将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（ ） 12 7 A. B. C. D. II卷（非选择题） 二、填空题（本题每小题2分，共16分） 9. 在实数，，，中，是无理数的是_____． 10. 如图，小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的点处出发，选择到对面的______（填，或）点处折返一次回到点时，跑过的路程最短，理由是______． 11. 点P（m﹣1，m+3）在平面直角坐标系的x轴上，则P点坐标是_____． 12. 已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值是______． 13. 我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，为使成立，请写出一组角的数量关系作为条件：__________． 14. 将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，，则的度数为______． 15. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，求此时扶手与靠背的夹角的度数． 16. 为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（2）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况．根据题中所给信息，________，小奕同学第三轮的得分为________分． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小恩 a a 27 小地 a b c 11 小奕 c b 10 三、计算题（每题4分，共16分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 解方程组： 20. 解方程组： 四、解答题 21. 补全下列证明过程． 如图，在四边形中，，垂足为点A，点E在边上，且，垂足为点F，．求证：． 证明：∵，、 ． ______．（理由： ） ______．（理由： ） ∵， _____．（理由： ） ______．（理由： ） ．（理由： ） 22. 在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，． （1）画出三角形，并求它的面积； （2）将三角形平移到三角形，其中点A，B，C的对应点分别是，，，已知点的坐标是， ①点的坐标是_________，点的坐标是 ； ②写出一种将三角形平移到三角形的方法： ． 23. 列二元一次方程组解决问题：某商店决定购进甲、乙两种文创产品．若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元．求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？ 24. 如图，三角形中，，过点C作的平行线l，在线段上任取一点D（不与点A，B重合），过点D作的垂线交于点E，交直线l于点F． （1）依题意补全图形； （2）求证：． 25. 小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． （1）①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； （2）整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； （3）实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 26. 阅读下列材料： 如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： （1）如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 27. 在平面直角坐标系中，已知点，若点Q的坐标为，则称Q是点P的非常变换点．例如：点的非常变换点为． （1）已知点的非常变换点为Q，当时，点Q的坐标为_________，当时，点Q的坐标为___________； （2）在正方形中，点，已知点． ①若点M的非常变换点为C，求a的值； ②若线段上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形的边上或内部，直接写出a的最小值及此时x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $