精品解析：北京市燕山地区2024-2025学年下学期七年级期中练习 数学试卷

北京市燕山地区2024-2025学年第二学期 七年级期中练习数学试卷 学校________班级________姓名________学号________ 考 生 须 知 1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(共18分，每题2分)第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 实数的算术平方根是（ ） A. B. 8 C. D. 2. 若点在x轴上，则n的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 若是关于和的二元一次方程的解，则的值等于（ ） A. 3 B. 1 C. D. 4. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件中，不能判断AB∥CD的是 （　 ） A. ∠3＝∠2 B. ∠1＝∠4 C. ∠B＝∠5 D. ∠D＋∠BAD＝180° 6. 已知a，b是实数，下列命题中，是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 《算法统宗》是我国古代数学著作，书中记载了这样一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，有下面三个结论：①x轴上的点，其纵坐标均为0；②当时，点在第四象限；③若，，则点在第一象限．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题(共16分，每题2分) 9. 在实数，，，中，无理数是_______． 10. 下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是______（填序号） AI 11. 写出一个大于且小于的整数______． 12. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 13. 二元一次方程组的解是_____________． 14. 若一个数的平方根为和，则a的值为______，这个数为______． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，点N在轴上方，且轴，如果，那么点N的坐标是______． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是_________（填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为_________元． 三、解答题（共68分，第17−18题，每题10分，每小题5分；第19−20题，每题6分；第21题5分；第22题6分；第23题5分；第24题6分；第25−26题，每题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程组： （1） （2） 19. 如图，点A在的一边上．按要求画图并填空： （1）按要求画图： ①过点A画直线，与边相交于点B； ②过点A画的垂线段，垂足为点C； ③过点C画直线，交直线于点D； （2）直线与的位置关系是______；若，则______， ______． 20. 如图，直线和直线相交于点，平分． （1）写出的对顶角和邻补角； （2）若，求的度数． 21. 如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为，解答以下问题： （1）请在图中建立适当的直角坐标系，并写出图书馆（B）位置的坐标； （2）若体育馆位置坐标为，请在坐标系中标出体育馆的位置． 22. 如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． （1）画出三角形； （2）若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，写出点的坐标：（______，______）； （3）若点在轴上且三角形的面积为4，直接写出点的坐标． 23. 已知，如图，，相交于，，，．求证： 请补充完成下列证明： 证明：，，（已知） 且，（ ） _________，（等量代换） ∴，（ ） 又，（已知） ∴________，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ．（ ） 24. 某中学为了贯彻落实北京市委办公厅《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的行动方案》，切实加强和改进新时代学校体育工作，决定购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用430元；购买3个篮球和5个足球共需费用690元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元？ （2）学校计划采购一批篮球和足球（两种球都要买），恰好花费1600元，请问有哪几种购买方案？ 25. 如图1，，在、内有一条折线． （1）求证：； （2）在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系． 26. 对于平面直角坐标系中的两点，，()，给出如下定义：如果，那么称点Q是点P的m阶“生长点”．例如，点，，由，得，所以点Q是点P的2阶“生长点”．如图，已知点，，． （1）点B是点A的_______阶“生长点”； （2）已知点是点A的2阶“生长点”，若三角形的面积为4，求点C的坐标； （3）若点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，当时，总有，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市燕山地区2024-2025学年第二学期 七年级期中练习数学试卷 学校________班级________姓名________学号________ 考 生 须 知 1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(共18分，每题2分)第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 实数的算术平方根是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据算术平方根的定义即可求出结果．一个非负数的算术平方根只有一个，且为非负数，负数没有算术平方根． 【详解】解：， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是算术平方根必须是非负数，注意平方根和算术平方根的区别． 2. 若点在x轴上，则n的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系坐标轴上点的坐标特征． x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出n的值即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得． 故选：A． 3. 若是关于和的二元一次方程的解，则的值等于（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入即可得到答案. 【详解】解：∵是关于和的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故选A 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，熟记二元一次方程的解的含义是解本题的关键. 4. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等． 5. 如图，下列条件中，不能判断AB∥CD的是 （　 ） A. ∠3＝∠2 B. ∠1＝∠4 C. ∠B＝∠5 D. ∠D＋∠BAD＝180° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、∠3和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，内错角相等，可以判断AB∥CD，不符合题意； B、∠1和∠4是直线AD、BC被直线AC所截形成的内错角，内错角相等，可以判断AD∥BC，不能判断AB∥CD，符合题意； C、∠B和∠5是直线AB、CD被直线BE所截形成的同位角，同位角相等，可以判断AB∥CD，不符合题意； D、∠D和∠BAD是直线AB、CD被直线AD所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断AB∥CD，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；另外要能确定“三线八角”中的截线从而准确找出另外两线平行． 6. 已知a，b是实数，下列命题中，是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了不等式的性质，立方根，算术平方根的性质，判断命题的真假．根据不等式的性质，立方根，算术平方根的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、若，则，是真命题，故本选项不符合题意； B、当时，则，原命题是假命题，故本选项符合题意； C、若，则，是真命题，故本选项不符合题意； D、若，则，是真命题，故本选项不符合题意； 故选：B 7. 《算法统宗》是我国古代数学著作，书中记载了这样一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，建立等量关系是解题关键．根据题意列方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得，， 故选： C． 8. 在平面直角坐标系中，有下面三个结论：①x轴上的点，其纵坐标均为0；②当时，点在第四象限；③若，，则点在第一象限．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，据此逐一判断即可，熟知平面直角坐标系中点的特征是解题的关键． 【详解】解：①x轴上的点，其纵坐标均为0，故正确； ②当时，点在第四象限或第一象限，故错误； ③若，，则点在第一象限，故正确； 故正确的是①③， 故选：C． 二、填空题(共16分，每题2分) 9. 在实数，，，中，无理数是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：在实数，，，中，无理数有，， 故答案为：，． 10. 下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是______（填序号） AI 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短、两点之间线段最短以及直线的性质，根据垂线的性质：垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线，分别分析三个现象即可得到结论． 【详解】解：①跳远成绩的测量，是测量落地点到起跳线的垂直距离，利用了“垂线段最短”的性质，符合题意． ②道路改道，是将弯曲的道路改为直路，缩短了路程，利用了“两点之间线段最短”的性质，不符合题意． ③木条固定，是用两个钉子将木条固定在墙上，利用了“两点确定一条直线”的性质，不符合题意． 11. 写出一个大于且小于的整数______． 【答案】0（或-1，1） 【解析】 【分析】根据无理数的估算，找出在与之间的整数，任选一个即可． 【详解】解：因为-2-1，12， 所以大于且小于的整数有-1，0，1． 故答案为：0（或-1，1）． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题． 12. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等 【解析】 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 13. 二元一次方程组的解是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ①＋②得：3x＝6， 解得：x＝2， 把x＝2代入①得：y＝3， 所以方程组的解为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，根据方程组中未知数系数的特点选择恰当的方法消元是解决此题的关键． 14. 若一个数的平方根为和，则a的值为______，这个数为______． 【答案】 ①. 5 ②. 225 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义．根据一个正数的平方根互为相反数，可得出的值，再代入即可得出这个数．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 【详解】解：∵一个数的平方根是和， ∴， 解得， 把代入， ， 故这个数为225， 故答案为：5，225． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，点N在轴上方，且轴，如果，那么点N的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据轴及点的坐标，可得出点的横坐标，再根据及点在轴上方，可确定点的纵坐标，进而可解决问题． 【详解】解：因为轴，且， 所以点的横坐标为． 因为， 所以，． 又因为点在轴上方， 所以点的坐标为． 故答案为：． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是_________（填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为_________元． 【答案】 ①. ② ②. 1040 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， ∴经济损失最少的是②， 故答案为：②； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1040． 三、解答题（共68分，第17−18题，每题10分，每小题5分；第19−20题，每题6分；第21题5分；第22题6分；第23题5分；第24题6分；第25−26题，每题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用算术平方根、立方根化简后计算加减法即可； （2）利用算术平方根、绝对值化简后计算加减法即可 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 原式， 18. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入法与加减消元法解方程组是解本题的关键； （1）把①代入②先消去，求解，再进一步解方程组即可； （2）利用加减消元法先消去，求解，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解： 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴此方程组的解为 【小问2详解】 解： ①×2，得， ③ ①+③，得，， 解得， ， 把代入②，得，， ∴此方程组的解为； 19. 如图，点A在的一边上．按要求画图并填空： （1）按要求画图： ①过点A画直线，与边相交于点B； ②过点A画的垂线段，垂足为点C； ③过点C画直线，交直线于点D； （2）直线与的位置关系是______；若，则______， ______． 【答案】（1）见解析 （2）互相垂直，． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握基本概念，属于中考常考题型． （1）①根据垂线的定义画出图形即可；②根据垂线段的定义画出图形即可；③根据平行线的定义画出图形即可； （2）利用垂直的定义及平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①如图，直线即为所求； ②如图，线段即为所求； ③如图，直线即为所求； 【小问2详解】 解：， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：互相垂直，． 20. 如图，直线和直线相交于点，平分． （1）写出的对顶角和邻补角； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的对顶角是，邻补角是和 （2）的度数是 【解析】 【分析】本题考查的是角的和差运算，对顶角的含义，邻补角的含义，角平分线的定义； （1）根据对顶角与邻补角的含义可得答案； （2）先求解，结合角平分线可得，再利用邻补角的含义可得答案． 【小问1详解】 解：图中的对顶角是，邻补角是和； 【小问2详解】 ， ∴， 又平分 ， ． 21. 如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为，解答以下问题： （1）请在图中建立适当的直角坐标系，并写出图书馆（B）位置的坐标； （2）若体育馆位置坐标为，请在坐标系中标出体育馆的位置． 【答案】（1）作图见详解， （2）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查坐标表示地理位置，掌握平面直角坐标系的特点，坐标的特点是解题的关键． （1）根据点A的坐标建立平面直角坐标系即可求解； （2）在平面直角坐标系中找出点的坐标即可求解． 【小问1详解】 解：已知，建立平面直角坐标系如图所示， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，体育馆的位置如图所示， 22. 如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． （1）画出三角形； （2）若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，写出点的坐标：（______，______）； （3）若点在轴上且三角形的面积为4，直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），； （3）点D的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画出图形，即可求解； （2）根据平移的性质即可求解； （3）设点D的坐标为，根据三角形面积为4列方程求解即可． 【小问1详解】 如图1，三角形即为所求， 【小问2详解】 ∵将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形， ∴点的坐标为； 故答案为：，； 【小问3详解】 设点D的坐标为， 由题意可得：， 解得：， ∴点D的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 23. 已知，如图，，相交于，，，．求证： 请补充完成下列证明： 证明：，，（已知） 且，（ ） _________，（等量代换） ∴，（ ） 又，（已知） ∴________，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ．（ ） 【答案】对顶角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定定理及性质定理求解即可． 【详解】证明：，（已知）， 且（对顶角相等）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， 又（已知）， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：对顶角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等． 24. 某中学为了贯彻落实北京市委办公厅《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的行动方案》，切实加强和改进新时代学校体育工作，决定购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用430元；购买3个篮球和5个足球共需费用690元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元？ （2）学校计划采购一批篮球和足球（两种球都要买），恰好花费1600元，请问有哪几种购买方案？ 【答案】（1）篮球单价为80元，足球单价为90元； （2）共有2种购买方案：方案1，购买11个篮球和8个足球；方案2，购买2个篮球和16个足球． 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元．购买2个篮球和3个足球共需费用430元；购买3个篮球和5个足球共需费用690元．据此列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购买m个篮球，n个足球，学校计划采购一批篮球和足球（两种球都要买），恰好花费1600元，据此列二元一次方程，求出方程的整数解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为元，足球的单价为元． 依题意，有 解得 答：篮球单价为80元，足球单价为90元． · 【小问2详解】 设购买m个篮球，n个足球， 依题意，有 ， 整理，得 ＝， ∵m，n均为正整数， ∴或 ∴共有2种购买方案：方案1，购买11个篮球和8个足球；方案2，购买2个篮球和16个足球． 25. 如图1，，在、内有一条折线． （1）求证：； （2）在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系． 【答案】（1） 证明：如图1，过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2） 解：如图2，平分，平分，交点为， 由（1）可得：，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴ ， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键． （1）首先过点P作，然后根据，，可得，，据此判断出即可； （2）首先由（1）可得，；然后根据的平分线与的平分线相交于点Q，推得，即可判断出． （3）首先由（1）可得，；然后根据，，进一步即可判断出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，由（2）可得：，， ∵，， ∴ ， ∴； 26. 对于平面直角坐标系中的两点，，()，给出如下定义：如果，那么称点Q是点P的m阶“生长点”．例如，点，，由，得，所以点Q是点P的2阶“生长点”．如图，已知点，，． （1）点B是点A的_______阶“生长点”； （2）已知点是点A的2阶“生长点”，若三角形的面积为4，求点C的坐标； （3）若点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，当时，总有，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积． （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可求出，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）根据新定义可求出，，然后根据当时，总有求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点是点A的2阶“生长点”， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积为4， ∴， 解得， ∴C的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”， ∴，， ∴，， 当时，则， ∴， 当时，不等式左侧恒大与右侧，成立； 当时，， ， ∵当时，总有， ∴， ∴， 综上所述，当时，不等式恒成立， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $