精品解析：2025年浙江省杭州市临安区中考一模数学试卷

2024学年第二学期学业水平检测 九年级 数学 考生须知： ●本试卷满分120分，考试时间100分钟． ●答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号，并在试卷首页指定位置写上姓名和座位号． ●必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． ●如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 2025年1月17日上午，国家统计局发布数据，2024年全年出生人口约为9540000人，9540000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将9540000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选C． 3. 如图为食堂“光盘行动”宣传标语展板，则下列选项中属于左视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．看不到的用虚线表示． 【详解】解：从左面看，是一个等腰三角形． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，乘法公式逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，乘法公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 5. 某学生的数学总评成绩由作业（），期中考试（）和期末考试（）组成．该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（ ） A. 80分 B. 81分 C. 82分 D. 83分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的公式． 利用加权平均数的公式进行求解即可． 【详解】解：总评成绩为（分） 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点，，均在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案． 【详解】解：正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为， ∴， ∴相似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 故选：C． 7. 《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，下列方程组列式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，进行列出方程组，即可作答． 【详解】解：∵100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人， ∴， 故选：D． 8. 如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，连接交于，连接，证明是等边三角形，得到；再求出的度数可证明，由菱形的性质得到， 则，；证明，推出点R为的中点，即点R与点N重合，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于，连接， ∵四边形和四边形都菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点R为的中点，即点R与点N重合， ∴， 故选：D． 9. 已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，当时，总有，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．根据反比例函数与一次函数的交点问题解答即可． 【详解】解：一次函数与轴交于点， ， 时，， ，即， ， 当时，， ， ， ， 四个选项，只有选项B符合条件． 故选：B． 10. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质，设，得，所以，根据勾股定理得，然后证明，对应边成比例求出，得，延长交于点G，证明，对应边成比例，再证明是等腰直角三角形，进而可以解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，点E是边的中点， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是证明． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 故答案为：． 13. 为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“”和“豆包”三个主题．若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键在于理解概率等于所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“机器人”，“”和“豆包”三个主题分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种， ∴七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的概率为． 故答案为：． 14. 如图，在中，点为弧的中点，为的直径，交于点，连结．若，则______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角和弧的关系，平行线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理． 接,利用平行线的性质和圆周角定理得出的度数，利用垂径定理和直径定理得出的度数，继而得出的度数，最后可得答案． 【详解】解：如图，连接, ， ， 的度数为， ∵点为弧的中点，为的直径， ∴的度数为， 度数为， 的度数为的度数减去的度数为， 的度数为的度数减去的度数为， ， 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象与轴有两个不同交点，，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，抛物线与x轴的交点、二次函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先依题意得，求出，再结合一元二次方程的根与系数，得，故，因为，解得，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个不同交点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是边长为6的等边三角形，点为延长线上一点，，过作所在直线的垂线，垂足为，连结，为中点，则线段的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，斜边上的中线，含30度角的直角三角形，作，三线合一，得到，证明，得到，进而求出的长，进而求出的长，勾股定理，求出的长，再利用斜边上的中线进行求解即可． 【详解】解：是边长为6的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）化简： （2）解不等式组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，解不等式组，二次根式的性质化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质化简，再运算减法，即可作答． （2）分别算出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答． 【详解】解：（1）； （2）解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解为 18. （1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号） （2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到米，可参考数据：，，，，，） 【答案】（1）米；（2）米 【解析】 【分析】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的应用. （1）利用直角三角形中角的正弦值即可求出结果； （2）利用等腰三角形的三线合一构造出直角三角形，再根据直角三角形中角的正切值即可求出结果． 【详解】（1）由题可知墙角为， ∴另一端距离地面的高度米； （2）由题可知双梯可抽象为等腰三角形， ∴由等腰三角形三线合一可知，双梯顶端距离地面的高度米． 19. 为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： ①操作规范性： 得分 操作规范性和书写准确性的得分统计表 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 甲 4 1.8 乙 4 2 ②书写准确性： 书写准确性的得分统计表 实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 1 1 2 2 2 3 1 3 2 1 乙 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1 根据以上信息，回答下列问题： （1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小． （2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义、方差的概念和意义、平均数的计算公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据中位数平均数的概念分别求出，再利用方差的概念即可解答； （2）根据表中的上统计量，对两名同学的得分进行评价，理由合理即可． 【小问1详解】 解：由图①来看，很明显甲的波动幅度要大于乙的波动幅度，； 【小问2详解】 解：由题干可知甲中位数：， ∴； 乙的平均数； 情况①从操作规范性来分析，甲和乙的平均得分相等，但是乙的方差小于甲的方差， 所以乙在物理实验操作中发挥较稳定； 或：情况②从书写准确性来分析，乙的平均得分比甲的平均得分高， 所以乙在物理实验中书写更准确； 或：情况③从两个方面综合分析，乙的操作更稳定，并且书写的准确性更高， 所以乙综合成绩更好．（言之有理即可） 20. 如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于． （1）求证：． （2）请写出与之间的数量关系并证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）过点作交于．先证明四边形为矩形，再根据证明即可； （2）证明四边形为矩形得，证明得，，证明得，进而可得出结论． 【小问1详解】 证明：过点作交于． ∵正方形中， ∴，． ∵， ∴， 又 ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，，， ∴． ∴． 【小问2详解】 ， 证明：∵正方形中， ∴， 又 ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． 21. 如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图像和轴分别交于点和点，连结． （1）求的面积． （2）若点在反比例函数图像上，当，求点的坐标． 【答案】（1）3 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解直角三角形的相关运算，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由反比例函数的解析式求出，，得出，运用三角形面积公式计算，即可作答． （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，再得出，运用角的等量代换得，即，，整理得，解得，，经检验：，都是原方程的解，即可作答． 小问1详解】 解：∵反比例函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 连接， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线与该反比例函数图像和轴分别交于点和点，连结． ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 故令时，则， ∴， 如图，，过点作的延长线， 设， 则： ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 解得，． 经检验：，都是原方程的解， 则或． 22. 我们常常把一张纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张纸张（矩形），如图2，设折叠后边与边重叠的点为． （1）请用尺规作图的方式在图2中画出点． （2）根据以上折纸活动的提示，描述折出纸（矩形）对角线的两个步骤． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形、折叠、垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握折叠、垂直平分线的性质； （1）根据折叠的性质，作的垂直平分线，垂直平分线与的交点即为点； （2）根据矩形和折叠的性质，分两步操作，即可得到答案． 【小问1详解】 连结，作的垂直平分线，与的交点即为点．如下图： ； 【小问2详解】 ①将该纸张进行第一次折叠，使对角的顶点A与重叠，得到折痕，折痕与纸张两边的交点记为和； ②再将纸张进行第二次折叠，使，两点重合，得到折痕，则该折痕为矩形的对角线． 23. 药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到地面的距离相等，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，上沿抛物线的顶点比点高． （1）求出上沿抛物线的函数表达式． （2）点是支撑架与下沿抛物线的交点，过点作于点，交上沿抛物线于点，，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的性质，一元二次方程解决几何问题，根据函数解析式和函数值求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握顶点式函数解析式． （1）利用二次函数顶点解析式即可求解； （2）根据条件求出下沿抛物线解析式，利用，列出一元二次方程解得求出点的横坐标，最后根据函数解析式求出点的纵坐标即可． 【小问1详解】 解：∵上沿抛物线的顶点为， 设上沿抛物线的顶点式为 ∵上沿抛物线过点，代入顶点式得 解得 上沿抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵上沿抛物线的顶点比点高， ∴点纵坐标为，点的坐标为， 设下沿抛物线的顶点式为， ∵下沿抛物线过点，代入顶点式得： ， 解得， 下沿抛物线的表达式为， ∵， ∴ 当时， 解得，或，代入下沿抛物线表达式得 故点的坐标为或． 24. 如图1，是的直径，点在线段上，，，． （1）求证：； （2）连结交于，连结，求证：平分； （3）如图2，为上一点，连结交于，过作交于，，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，推出，据此即可证明； （2）由得到，求得，利用圆周角定理求得，据此即可证明平分； （3）连结，证明，得到，，再证明，求得，由，利用相似三角形性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； 【小问3详解】 解：连结， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由， ∴，即， ∴， 则． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期学业水平检测 九年级 数学 考生须知： ●本试卷满分120分，考试时间100分钟． ●答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号，并在试卷首页指定位置写上姓名和座位号． ●必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． ●如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 2025年1月17日上午，国家统计局发布数据，2024年全年出生人口约9540000人，9540000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图为食堂“光盘行动”宣传标语展板，则下列选项中属于左视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学生数学总评成绩由作业（），期中考试（）和期末考试（）组成．该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（ ） A. 80分 B. 81分 C. 82分 D. 83分 6. 如图，在平面直角坐标系中，正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点，，均在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，下列方程组列式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，则的长为（ ） A B. C. D. 9. 已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，当时，总有，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：a3－a=______． 12. 若，则______． 13. 为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“”和“豆包”三个主题．若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是______． 14. 如图，在中，点为弧的中点，为的直径，交于点，连结．若，则______． 15. 已知二次函数的图象与轴有两个不同交点，，且，则的取值范围是_________． 16. 如图，是边长为6的等边三角形，点为延长线上一点，，过作所在直线的垂线，垂足为，连结，为中点，则线段的长是________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）化简： （2）解不等式组：． 18. （1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号） （2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到米，可参考数据：，，，，，） 19. 为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： ①操作规范性： 得分 操作规范性和书写准确性的得分统计表 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 甲 4 1.8 乙 4 2 ②书写准确性： 书写准确性的得分统计表 实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 1 1 2 2 2 3 1 3 2 1 乙 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1 根据以上信息，回答下列问题： （1）比较甲乙两人“操作规范性”方差大小． （2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由． 20. 如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于． （1）求证：． （2）请写出与之间的数量关系并证明． 21. 如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图像和轴分别交于点和点，连结． （1）求的面积． （2）若点在反比例函数图像上，当，求点的坐标． 22. 我们常常把一张纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张纸张（矩形），如图2，设折叠后边与边重叠的点为． （1）请用尺规作图的方式在图2中画出点． （2）根据以上折纸活动的提示，描述折出纸（矩形）对角线的两个步骤． 23. 药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到地面的距离相等，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，上沿抛物线的顶点比点高． （1）求出上沿抛物线的函数表达式． （2）点是支撑架与下沿抛物线的交点，过点作于点，交上沿抛物线于点，，求点的坐标． 24. 如图1，是的直径，点在线段上，，，． （1）求证：； （2）连结交于，连结，求证：平分； （3）如图2，为上一点，连结交于，过作交于，，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $