精品解析：江苏省江阴市六校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

2024-2025学年度春学期期中联考试卷 高一数学 命题人：徐波 复核人：高强 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （2015新课标全国Ⅰ文科）已知点，向量，则向量 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：,选A. 考点：向量运算 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图还原原图形，然后可求出的面积. 【详解】由的直观图可知原图中，， 所以的面积为. 故选：C 3. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及数量积的运算律即可得解. 【详解】由已知有，. 故. 故选：C. 4. “YouBike微笑自行车”是一项惠民、利民、亲民的社会公共服务项目，当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一平面 B. 两条相交直线确定一平面 C. 不共线三点确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据欧氏几何公理2及其推论，结合实际问题的场景，选出正确选项. 【详解】自行车两个车轮与地面的切点，以及撑脚与地面的交点，组成不共线的三点，不共线的三点确定一平面. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查欧氏几何公理2及其推论，考查实际生活中的数学应用，属于基础题. 5. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，再根据向量运算法则即可表示. 【详解】因为是BC的中点，，所以， 所以. 故选：D. 6. 在中，，，，则此三角形（ ） A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 解的个数不确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求出的值，再根据所求值及a与b的大小关系即可判断作答. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得，而为锐角，且， 则或， 所以有两解． 故选：C 7. 设分别是的内角的对边，已知是边的中点，的面积为1，且，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件可求，把向量化简可得答案. 【详解】因为，所以， 即，由余弦定理可得，所以； 因为的面积为1，所以，即. 因为是边的中点，所以， . 故选：A 8. 设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则该直三棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设出棱长，表示出球半径，利用球的表面积求出棱长，然后利用柱体的体积公式可求体积. 【详解】设.因为，所以. 由正弦定理得是外接圆的半径），. 又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为.所以球的表面积为，解得. 因此该直三棱柱的体积是 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内的对应点位于直线上 D. 为方程的一个根 【答案】BCD 【解析】 【分析】先化简复数z，再逐项判断. 【详解】对于A，，故，其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直线上，故C正确； 对于D，易得，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C. 与平行 D. 直线与共面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1，然后再由数量积的运算逐一分析四个选项得答案． 【详解】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为1， 对于，，故A正确； 对于B，，则以，为邻边的对角线长是的倍， 可得，故B正确； 对于C，，，与的夹角为， 与的夹角为，故，故C错误； 对于D，在向量上的投影向量为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】先根据向量的减法法则表示出，然后根据向量的共线定理进行计算. 【详解】依题意得，， 由三点共线可知，存在，使得，即， 由于，是两个不共线的向量，则， 解得. 故答案为：1. 13. 某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为_________米． 【答案】 【解析】 【分析】在中利用正弦定理可得，再由可计算出米. 【详解】根据题意可知，在中，，可得； 利用正弦定理可得，即； 又在点A处测得塔顶的仰角为，即， 所以， 即塔高为米. 故答案为： 14. 如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点，则______________；则_________________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在中，由余弦定理可得的值；由与的夹角即为，利用数量积求夹角的方法计算即可. 【详解】，， 在中，由余弦定理得：， . ， ， ， ，， 与的夹角即为， . 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位. （1）求； （2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据复数代数形式的乘法法则化简与，根据复数为实数和纯虚数的条件，即可求出，利用复数模长公式，即可求得到复数的模长； （2）由（1）知，求出复数的共轭复数，再根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 设，，因为为实数，所以，即 所以， 又因为为纯虚数， 所以即，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 又因为在复平面上所对应的点在第一象限， 所以 ，解得： 所以，实数的取值范围为. 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求得，从而可得，于是； （2）由，可得，再由夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 由，可得，即， 解得，所以，故. 【小问2详解】 因为向量，，所以，所以. 则，， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 17. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，等腰直角三角形的面积为. （1）求圆锥的表面积； （2）若点是的一个三等分点，求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的面积为求得圆锥底面半径，再求得圆锥母线长，从而可求解表面积； （2）在底面圆中为直角三角形，不妨设点B靠近点C，可得从而求得，，进而可求得，再利用等体积法即可求解. 【小问1详解】 等腰直角三角形中，又因为其面积为， 所以，即圆锥底面半径， 圆锥母线长为：， 所以圆锥SO的表面积为：． 【小问2详解】 在底面圆中为直角三角形，不妨设点B靠近点C， 可得． 由此可得的面积， 所以． 18. 如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,. （1）求的大小; （2）若,求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为是的角平分线,所以,在中利用余弦定理求出的长,再次利用余弦定理即可求出的大小. （2）在中,由正弦定理求出的长,再根据四边形内角和为可得到,从而求出的值,再利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为是的角平分线,所以, 在中,根据余弦定理得, 所以, 则, 因为, 所以. 【小问2详解】 因为,所以, 在中,由正弦定理得, 在四边形中,, 所以, 则. 19. 如图，圆的半径为，其中、为圆上两点. （1）若，当为何值时，与垂直？ （2）若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值. （3）若的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，利用平面向量数量积的定义可求出的值，由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可； （2）由重心的性质推导得出，由、、三点共线，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （3）设，推导出，利用平面向量数量积的运算性质可得出，再结合二次函数的基本性质可求出的最小值为可求得的值，即为所求. 【小问1详解】 因为，， 所以由余弦定理得， 即，即，解得， 由平面向量数量积的定义可得， 若与垂直，则， 所以，所以，解得， 即当时，与垂直. 【小问2详解】 因为为的重心，所以， 又因为，，所以， 由于、、三点共线，所以存在实数使得， 所以，化简为， 因为、不共线，所以，，所以，所以. 显然，，则， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【小问3详解】 设，取线段的中点，连接，则， 则， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度春学期期中联考试卷 高一数学 命题人：徐波 复核人：高强 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （2015新课标全国Ⅰ文科）已知点，向量，则向量 A. B. C. D. 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 3. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. “YouBike微笑自行车”是一项惠民、利民、亲民的社会公共服务项目，当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ） A. 三点确定一平面 B. 两条相交直线确定一平面 C. 不共线三点确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面 5. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则此三角形（ ） A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 解的个数不确定 7. 设分别是的内角的对边，已知是边的中点，的面积为1，且，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 8. 设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则该直三棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内的对应点位于直线上 D. 为方程的一个根 10. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C. 与平行 D. 直线与共面 11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 在向量上的投影向量为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则______. 13. 某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为_________米． 14. 如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点，则______________；则_________________. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位. （1）求； （2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 17. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，等腰直角三角形的面积为. （1）求圆锥的表面积； （2）若点是的一个三等分点，求三棱锥的体积. 18. 如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,. （1）求的大小; （2）若,求的面积. 19. 如图，圆的半径为，其中、为圆上两点. （1）若，当为何值时，与垂直？ （2）若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值. （3）若的最小值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $