第9章《中心对称图形---平行四边形》练习卷2024-2025学年苏科版数学八年级下册

苏科版八年级下册 第9章《中心对称图形---平行四边形》练习卷 一．选择题（共10小题） 1．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为（　　） A．18m B．24m C．36m D．54m 2．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ＝CD出现的次数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC 4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 5．如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2 7．如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（　　） A．1 B． C． D．3 8．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为 　 　 ． 12．如图，▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ 　 　 ． 13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 　 　 ，使四边形ABCD是平行四边形． 14．如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD．请你添加一个条件　 　 ，使AB＝CD．（填一种情况即可） 15．在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝　 　 °． 三．解答题（共5小题） 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长． 17．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：BE＝DF． 18．如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证： （1）△CEF≌△AED； （2）四边形DBCF是平行四边形． 19．如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）过点B作BG⊥AE于点G，若CB＝AF，请直接写出四边形BGED的形状． 20．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：BE＝DF． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C A D A B D B 一．选择题（共10小题） 1．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为（　　） A．18m B．24m C．36m D．54m 【分析】依据题意，由D，E分别是边AC，BC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得AB的值即可 【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴根据三角形的中位线定理，得：AB＝2DE＝36m． 故选：C． 2．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ＝CD出现的次数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s，设P，Q运动时间为t s，分三种情况画出图形：①当0≤t≤4时，过Q作QH⊥AD于H，过C作CG⊥AD于G，由四边形CQPD是等腰梯形，可得t+3+3t+3＝12，t＝1.5；当四边形CQPD是平行四边形时，t+3t＝12，得t＝3；②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，可得3（t﹣4）＝t，t＝6；而四边形CQPD是等腰梯形，则PD＞6cm，这种情况在4＜t≤8时不存在；③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，3（t﹣8）＝12﹣t，得t＝9，即可得到答案． 【解答】解：由已知可得，P从A到D需12s，Q从C到B（或从B到C）需4s， 设P，Q运动时间为t s， ①当0≤t≤4时，过Q作QH⊥AD于H，过C作CG⊥AD于G，如图： 由题可知，AP＝t cm，CQ＝3t cm＝GH， ∵PD∥CQ，PQ＝CD， ∴四边形CQPD是等腰梯形， ∴∠QPH＝∠D＝∠B＝60°， ∵PQ＝CD＝AB＝6cm， ∴PHPQ＝3cm，DGCD＝3cm， ∵AP+PH+GH+DG＝AD＝BC＝12， ∴t+3+3t+3＝12， 解得t＝1.5； 当四边形CQPD是平行四边形时，如图： 此时PD＝CQ＝3t cm， ∴t+3t＝12， 解得t＝3， ∴t为1.5s或3s时，PQ＝CD； ②当4＜t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： 此时BQ＝3（t﹣4）cm，AP＝t cm， ∵AD＝BC，PD＝CQ， ∴BQ＝AP， ∴3（t﹣4）＝t， 解得t＝6； 由①知，若四边形CQPD是CD，PQ为腰的等腰梯形，则PD＞6cm，这种情况在4＜t≤8时不存在； ∴t为6s时，PQ＝CD； ③当8＜t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： 此时CQ＝3（t﹣8），PD＝12﹣t， ∴3（t﹣8）＝12﹣t， 解得t＝9， ∴t为9s时，PQ＝CD； 综上所述，t为1.5s或3s或6s或9s时，PQ＝CD； 故选：B． 3．如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC 【分析】根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可． 【解答】解：A、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，故不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意； 故选：D． 4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出OC、OD的长，再证明四边形OCED是平行四边形即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC，OD， ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∴四边形OCED的周长＝2（OC+OD）＝2×（）＝8， 故选：C． 5．如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出AC＝6，再由菱形的面积求出AE即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8， ∴BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC3， ∴AC＝2OC＝6， ∵菱形ABCD的面积＝AE•BCBD×AC＝OB•AC， ∴AE， 故选：A． 6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2 【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OA2+OB2＝AD2， ∴OA2+OD2＝AD2， ∴∠AOD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意， D、∵AD2+OA2＝OD2， ∴∠OAD＝90°， ∴OA⊥AD， ∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 7．如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（　　） A．1 B． C． D．3 【分析】先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥OD，利用平行四边形的面积求解DM的长，再利用三角形的中位线定理可求解PG的长，进而可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD， ∴OD＝OC， ∵DF∥AC，OD∥CF， ∴四边形OCFD为菱形， ∵点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点， ∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值． 过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥MD， ∵矩形ABCD的面积为12，AC＝6， ∴2AC•DM＝12， 即26•DM＝12， 解得DM＝2， ∵G为CD的中点， ∴GP为△DMC的中位线， ∴GPDM＝1， 故PG的最小值为1． 故选：A． 8．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】设A（a，b），AB＝m，AD＝n，可得D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n），再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案． 【解答】解：设A（a，b），AB＝m，AD＝n， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m， ∴D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n）， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 9．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 【分析】根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项A进行判断；根据平行四边形性质得AB∥CD，则∠B+∠C＝180°，再根据∠B＝∠C得∠B＝∠C＝90°，然后根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项B进行判断；根据对角线相等的平行四边形是矩形可对选项C进行判断；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形， ∴选项A可以判定▱ABCD为矩形， 故选项A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， 当∠B＝∠C时，则∠B＝∠C＝90°，此时▱ABCD为矩形， 故选项B可以判定▱ABCD为矩形， 故选项B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， 当 AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形， ∴选项C可以判定▱ABCD为矩形， 故选项C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， 当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形， ∴选项D不能判定▱ABCD为矩形， 故选项D符合题意． 故选：D． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接CP，作CQ⊥AB于点Q，由∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，求得AB13，由S△ABC13CQ12×5，求得CQ，再证明四边形PECD是矩形，则CP＝DE，由CP≥CQ，得DE，则DE的最小值为，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接CP，作CQ⊥AB于点Q， ∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB13， ∴S△ABC13CQ12×5， ∴CQ， ∵PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E， ∴∠PDC＝∠PEC＝∠DCE＝90°， ∴四边形PECD是矩形， ∴CP＝DE， ∴CP≥CQ， ∵DE， ∴DE的最小值为， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为 　9　 ． 【分析】根据三角形的中位线定理得出，即可解答． 【解答】解：∵AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点， ∴， ∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝4+2+3＝9， 故答案为：9． 12．如图，▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ 　5　 ． 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC＝2，则∠EAB＝∠CBA，而∠EBA＝∠CBA，所以∠EAB＝∠EBA，则AE＝BE＝3，求得DE＝AD+AE＝5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2， ∴∠EAB＝∠CBA， ∵BA平分∠EBC， ∴∠EBA＝∠CBA， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴AE＝BE＝3， ∴DE＝AD+AE＝2+3＝5， 故答案为：5． 13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 　OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD　 ，使四边形ABCD是平行四边形． 【分析】①当OB＝OD时，则OA＝OC，OB＝OD，进而得四边形ABCD是平行四边形；②当AD∥BC时，则∠OAC＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，进而可依据“AAS”判定△OAD和△OCB全等，则OD＝OB，由此可得四边形ABCD是平行四边形；③AB∥CD时，∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，进而可依据“AAS”判定△OAB和△OCD全等，则OB＝OD，由此可得四边形ABCD是平行四边形，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形； ②当AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵AD∥BC， ∴∠OAC＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC， 在△OAD和△OCB中， ， ∴△OAD≌△OCB（AAS）， ∴OD＝OB， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形； ③AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵AD∥BC， ∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC， 在△OAB和△OCD中， ， ∴△OAB≌△OCD（AAS）， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 综上所述：补充条件是OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD． 故答案为：OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD． 14．如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD．请你添加一个条件　AD＝BC（答案不唯一）　 ，使AB＝CD．（填一种情况即可） 【分析】根据平行四边形的判定和性质添加条件证明AB＝CD． 【解答】解：添加的条件：AD＝BC（答案不唯一）． 理由是：∵∠ACB＝∠CAD， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD． 故答案为：AD＝BC（答案不唯一）． 15．在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝　57　 °． 【分析】由菱形的性质得到AB＝BC，推出∠BAC＝∠BCA，而∠ABC＝66°，由三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠ABC＝66°， ∴∠BAC（180°﹣66°）＝57°． 故答案为：57． 三．解答题（共5小题） 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长． 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出AB＝13， 【解答】解∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴， ∵BC＝10， ∴BD＝5， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2， ∵AD＝12， ∴， ∵E为AB的中点，D点为BC的中点， ∴． 17．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：BE＝DF． 【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD即∠BAE＝∠DCF，根据SAS可得△ABE≌△CDF，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF． 18．如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证： （1）△CEF≌△AED； （2）四边形DBCF是平行四边形． 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到AE＝CE，DE∥BC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵点D、E分别为AB、AC的中点， ∴AE＝CE， 在△CEF与△AED中， ， ∴△CEF≌△AED（SAS）； （2）由（1）证得△CEF≌△AED， ∴∠A＝∠FCE， ∵点D、E是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，即DF∥BC， ∴四边形DBCF是平行四边形． 19．如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）过点B作BG⊥AE于点G，若CB＝AF，请直接写出四边形BGED的形状． 【分析】（1）利用全等三角形可证AB＝FD，根据一组对边平行且相等可得四边形ABDF是平行四边形； （2）先证明四边形BGED是平行四边形，根据邻边相等得到四边形BGED是菱形，再利用直角可得四边形BGED是正方形． 【解答】（1）证明：∵AB平分∠CAE， ∴∠CAB＝∠BAE， ∵AB∥DF． ∴∠BAE＝∠DFE， ∴∠CAB＝∠EFD， 在△CAB和△EFD中， ， ∴△CAB≌△EFD（ASA）， ∴AB＝FD， 又AB∥FD， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）解：四边形BGED是正方形，理由如下： 由（1）可知，BC＝DE，四边形ABDF是平行四边形， ∴BD＝AF， ∵AB平分∠CAE，BC⊥AC，BG⊥AE， ∴BC＝BG， ∵BC＝AF， ∴BD＝DE＝BG，且∠BGE＝∠GED＝90° ∵BG∥DE，BG＝DE， ∴四边形BGED是平行四边形， ∵BD＝DE， ∴四边形BGED是菱形， ∵∠BGE＝∠GED ＝90°， ∴四边形BGED是正方形． 20．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：BE＝DF． 【分析】由菱形的性质推出AB＝AD，∠B＝∠D．由AAS推出△ABE≌△ADF，即可证明BE＝DF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D． 在△ABE和△ADF 中， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF 学科网（北京）股份有限公司 $$