精品解析：山东省枣庄市薛城区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

学业综合素养监测 八年级数学试题 亲爱的同学∶ 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题预祝你取得好成绩！ 请注意： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来，每小题3分，共30分． 1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条高的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三条中线的交点 4. 如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 6. 若，则a取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（ ） A. B. C. D. 9. 定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，延长AC分别交BD，DE于点F，G，连接BG．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）． A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 不等式的最小整数解为_________． 12. 如图，将沿所在直线向右平移得到，点C为延长线上一点，交于点E，平分，则_________． 13. 如图，是的平分线，于E，，，则的长是_________． 14. 如图，已知与关于点成中心对称，且，，，则的长为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为_________． 16. 定义：在平面直角坐标系中，将点变换为，我们把这种变换称为“变换”．已知点，，经过“变换”的对应点分别是D，E，F．若，则________． 三、解答题（本题共8道大题，满分72分） 17. 计算 （1）解不等式并把解集在数轴上表示出来：； （2）解不等式组：，并求该不等式组的非负整数解． 18. 如图，中，垂直平分，交 于点F，交于点E，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，求的长． 19. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数m、n满足，证明：． 证明：因为且m，n均为正， 所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）尝试证明：若，则． 20. 如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F． （1）若，求的度数． （2）若，在平移过程中，当时，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）已知是由旋转得到的，则旋转中心的坐标是______________，旋转角是___________度； （2）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （3）在轴下方添加一个点，使，，，四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点的坐标为________________（直接写出）． 22. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴河南博物院参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待 m 人（即额定数量），超过 额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元； 乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． （1）求甲旅行社一次最多能接待的人数； （2）若该中学第二批组织了42人参加，则总费用 元 ； （3）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x 的合理范围． 23. 如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点． （1）求m，b值； （2）若，直接写出x的取值范围； （3）求的面积． 24. 【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线l，在l上截取，连接，则即为旋转后的图形． （1）请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数； 【方法应用】 （2）如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学业综合素养监测 八年级数学试题 亲爱的同学∶ 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题预祝你取得好成绩！ 请注意： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来，每小题3分，共30分． 1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】解：．∵，∴，故该选项不符合题意； ． ∵，∴，故该选项不符合题意； ． ∵，∴，故该选项符合题意； ．∵，∴ ，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 3. 如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条高的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三条中线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．要使点P到点A，B，C的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得出答案． 【详解】解：利用线段垂直平分线性质得：点P是的三边垂直平分线的交点． 故选：C． 4. 如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用平移的性质得到，即可得到的长． 【详解】解：∵沿方向平移至处． ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题，掌握等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意； B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意； C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意； D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 若，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质以及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是根据绝对值的性质得出关于的不等式，进而求解的取值范围，并正确在数轴上表示出来． 根据绝对值的性质，当时，．由此得到关于的不等式，解出的取值范围后，再判断在数轴上的正确表示． 【详解】根据绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 已知，即， 所以， 解得：， 在数轴上表示时，应在数轴上1这个点处用实心圆点（表示包含1这个值），然后向右画一条线， 所以选项B的表示是正确的． 故选：B． 7. 如图，将绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握旋转的不变性是解题的关键． 由旋转得，，则，根据平行线得到，即可得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了列不等式．打折销售，利润率不能低于，据此列不等式即可． 【详解】解：为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，则 故选：B 9. 定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次不等式，注意分情况讨论是解题的关键．分当，即时，当，即时，两种情况，根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选C． 10. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，延长AC分别交BD，DE于点F，G，连接BG．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）． A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形，等边三角形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，进行解答，根据旋转的性质，可得，，根据三角形的内角和，可得，判断①；根据旋转的性质，三角形的内角和，平角的性质，可得，判断②；连接，根据等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，可得，判断③；连接，根据旋转的性质，可得，，根据等边三角形的判定和性质，可得是等边三角形，，根据三角形三边的关系，可得，进行判断④，即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴②正确； ∴， ∵， ∴， ∴； ∴①正确； 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴③正确； 连接， 由旋转可得：，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④错误； 正确的为：①②③； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 不等式的最小整数解为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后找出最小整数解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴最小整数解为3． 故答案为：3． 12. 如图，将沿所在直线向右平移得到，点C为延长线上一点，交于点E，平分，则_________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平移的性质，平行线的性质及角平分线的定义．根据平移的性质，得，，由平分，得，再根据角平分线的定义“角平分线分得的两个角相等”，即可得出答案． 【详解】解：是沿射线平移所得， ，， 平分， ， ∵ ∴ 故答案为：． 13. 如图，是的平分线，于E，，，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，再根据，即可解答． 【详解】解：过点D作于点F， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，已知与关于点成中心对称，且，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中心对称，勾股定理等知识，利用中心对称的性质得，，，，利用直角三角形30度角的性质求出，，进而可得，再由勾股定理可得结论． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，，，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 根据得，结合直线与直线交于点，可得的值，再利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：由，得， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线与直线交于点， 又∵， ∴根据图像得：， 故答案为：． 16. 定义：在平面直角坐标系中，将点变换为，我们把这种变换称为“变换”．已知点，，经过“变换”的对应点分别是D，E，F．若，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，解题的关键是理解“变换”；根据“变换”的定义，分别求出E，F，可知轴，再根据三角形面积公式求解即可； 【详解】，经过“变换”的对应点分别是E，F， ， 轴， ， ， ， 解得或， 故答案为：或； 三、解答题（本题共8道大题，满分72分） 17. 计算 （1）解不等式并把解集在数轴上表示出来：； （2）解不等式组：，并求该不等式组的非负整数解． 【答案】（1），在数轴上表示见解析 （2），非负整数解为0，1 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求出解集，并把解集表示在数轴上； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，系数化为1得：； 在数轴上表示其解集为： 【小问2详解】 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解为0，1． 18. 如图，中，垂直平分，交 于点F，交于点E，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质求出，再根据三角形外角性质、三角形内角和定理求解即可； （2）先求得，再求出， 由，可得， 再推出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 19. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数m、n满足，证明：． 证明：因为且m，n均为正， 所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）尝试证明：若，则． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质； （1）由不等式的性质得到，，再利用不等式的传递性求解即可； （2）由得到，再两边同时除以3即可得到． 小问1详解】 证明：因为且m，n均为正， 所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以．（不等式的传递性） 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，（不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变）， ∴， ∴，（不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变）， 20. 如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F． （1）若，求的度数． （2）若，在平移过程中，当时，求的长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查平移的基本性质，平行四边形的性质和判定等相关知识点，掌握平移的性质是解决问题的关键． （1）根据平移的性质得到，，得到四边形是平行四边形，进而求解即可； （2）根据平移的性质得到，设，则，，分点E在点C左侧和点E在点C右侧两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵沿射线方向平移，得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问2详解】 ∵沿射线方向平移，得到， ∴， 设，则． ∵． ∴． ∵，当点E在点C左侧时， ∴， 解得，即的长为6． 当点E在点C右侧时，同理可得，， 解得， 综上所述，或12． 21. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）已知是由旋转得到的，则旋转中心的坐标是______________，旋转角是___________度； （2）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （3）在轴下方添加一个点，使，，，四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点的坐标为________________（直接写出）． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-利用旋转设计图案，利用中心对称设计图案，平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，中心对称变换，旋转变换的性质． （1）根据旋转的性质找出旋转中心及旋转角的度数即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点并顺次连接即可； （3）根据中心对称变换的性质作出点P，写出坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，分别连接，并作出的垂直平分线，其交点即为旋转中心， 旋转中心的坐标是，旋转角是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，即为所作； 【小问3详解】 解：如图，使，，，四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形， 点的坐标为， 故答案为：． 22. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴河南博物院参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待 m 人（即额定数量），超过 额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元； 乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． （1）求甲旅行社一次最多能接待的人数； （2）若该中学第二批组织了42人参加，则总费用为 元 ； （3）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x 的合理范围． 【答案】（1）30人 （2） （3） 【解析】 【分析】（）当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解； （2）根据（1）得到答案列式计算即可； （3）分两种情况：和，列出不等式解答即可求解； 本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，则名学生的总费用为元， ∵， ∴， 依题意得，， 解得， 答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人； 小问2详解】 根据题意可得，（元） 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，； 解得； 当时，， 解得； ∴每批组织人数的合理范围为． 23. 如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点． （1）求m，b的值； （2）若，直接写出x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用．待定系数法求出函数的解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． （1）将代入，求出的值，再将点代入，进行求解即可； （2）利用图象法解不等式即可； （3）先求出点A和点B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 由题意得，点在的图象上， ， ； ， ，在直线上， ， ； 【小问2详解】 ， 由图象可知，若，则x的取值范围是； 【小问3详解】 ，当时，， ， ，当时，， ， ． 24. 【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线l，在l上截取，连接，则即为旋转后的图形． （1）请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数； 【方法应用】 （2）如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值． 【答案】（1）①见解析；②；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质： （1）①由等边三角形的性质得到，，由平行线的性质得到，据此即可证明；②由全等三角形的性质得到，据此根据角之间的关系求解即可； （2）延长到点，使，可证明，进一步证明是等边三角形，要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小，即当为等边的高线时才会最短，从而可得出结论； 【详解】解：（1）①三角形是等边三角形， ，， ， ， ， ， ②由①得：， ， ； （2）如图，延长到点，使． 是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ∴， ， ∵ ， 是等边三角形． 要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小， 即当为等边的高线时才会最短， 由题意可知等边的高线最短为， ∴ 的面积最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$