6.2.2 向量的减法运算 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.2《向量的减法运算》导学案

一、学习目标

1. 类比数的减法运算，抽象出向量减法的概念、法则，理解相反向量定义，提升数学抽象素养。
2. 依据向量加法知识，推导向量减法运算规则与几何意义，培养逻辑推理素养。
3. 熟练掌握向量减法运算方法，准确运用法则运算，提高数学运算素养。
4. 借助直观情境理解向量减法几何意义，增强直观想象素养，能通过图形分析向量关系。
5. 将实际问题转化为向量减法模型求解，提升数学建模素养。

二、学习重难点

1. 重点：相反向量概念，向量减法的定义、几何意义与运算。
2. 难点：理解向量减法的定义和几何意义，在复杂向量关系中运用向量减法解决问题。

三、学习过程

（一）复习回顾、检查预习

1. 回顾向量加法的三角形法则：将两个向量首尾相连，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点；平行四边形法则：以两个向量为邻边作平行四边形，和向量是从公共起点出发的对角线向量；交换律：；结合律： 。
2. 思考预习中对向量减法相关知识的理解，比如是否理解向量减法与加法之间可能存在的联系，准备课堂交流。

（二）情景导入

1. 分析飞机从北京飞往香港再返回北京的位移情境，设从北京到香港的位移向量为，从香港返回北京的位移向量为 。思考整个过程飞机的位移总和，以及这两个向量之间的关系，如何用数学语言来描述这种关系。
2. 探究和的关系，它们大小相等，方向相反。类比相反数概念，在向量中，像这样长度相等、方向相反的向量，我们定义为相反向量。由此进入新课学习。

（三）合作探究

1. 相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作 。例如，若是向右的一个单位向量，那么就是向左的一个单位向量。性质如下：

(1)   ，就像负负得正一样，一个向量的相反向量的相反向量就是它本身。

(2)   零向量的相反向量仍是零向量，因为零向量方向任意，其相反向量也只能是零向量。

(3)   ，一个向量与它的相反向量相加，结果为零向量。

(4)   如果、是互为相反的向量，那么 。

(5)   练习：判断下列说法是否正确。

①　若向量与向量方向相反，则它们是相反向量。（ ）

②　向量的相反向量是。（ ）

2. 向量减法的定义：向量减法的定义为，这意味着减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。把叫做与的差，它也是一个向量。比如，若有向量和向量，求时，就可以转化为求加上 。
3. 向量减法的几何意义：以和为例，将两向量平移，使它们有相同的起点 。连接两向量的终点和，向量就是 ，箭头的方向是指向“被减数”的终点，即“共起点，连终点，指向被减向量”。这表明表示从减向量的终点指向被减向量的终点的向量，也可以理解为表示与的和等于的向量。
4. 向量共线时的向量减法：若向量、共线，思考如何作出 。对于任意向量、 ，有 。当、同向时， ；当、反向时， 。

（四）学以致用

1. 基础练习：独立完成向量减法运算填空题和选择题。

(1)   填空：___；___。