4.2 全等三角形 课时同步训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.2 全等三角形 【知识点1】【教材重现】能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形（教材P95） 【例1】全等三角形的概念 【典例】如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【变式1】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【变式2】如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图1中，画，使得； (2)在图1中，过点C画直线m，使得直线m平分的面积； (3)在图2中，画的高； (4)在图2中，在高上作点F，使得． 【变式3】如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形． A．15 B．16 C．18 D．21 【知识点2】【教材重现】把两个全等的三角形重合到一起，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边；互相重合的角叫作对应角。（教材P95） 【数学素养】如下图所示，和全等，记作（三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上） 其中，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，与，与，与是对应边；与，与，与是对应角. 【知识点3】【教材重现】全等三角形的对应边相等、对应角相等。（教材P95） 【数学素养】∵ ∴ 【知识点4】【知识扩展】全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等. 【★数学技巧】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法 （1）图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角. （2）位置关系法：公共角（对顶角）为对应角，公共边为对应边；对应角的对应边为对应边，对应边的对角为对应角. （3）字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 【★易错点】三角形的对应关系不定，未分类讨论致错 【例2】全等三角形的性质 【典例】如图，，则CF的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【变式1】如图，，若，则等于（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【变式2】如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ）． A．1或 B．2或 C．2或 D．1或 【变式3】如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度北师大版数学七年级下册课时同步训练 第四章 三角形 4.2 全等三角形 【知识点1】【教材重现】能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形（教材P95） 【例1】全等三角形的概念 【典例】如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案． 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点， ∴边的对应边是， 故选：B． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2】如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图1中，画，使得； (2)在图1中，过点C画直线m，使得直线m平分的面积； (3)在图2中，画的高； (4)在图2中，在高上作点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】此题考查了复杂作图，网格的特点，三角形中线的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用网格的特点． （1）根据网格的特点和全等三角形的判定画出图形即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积画图即可； （3）取格点G，连接，交的延长线于点E，连接即为所求； （4）取格点H，I，K，连接，，，和交于点L，连接交于点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，直线m即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； 由网格得，， ∴，即是的高； （4）解：如图所示，点F即为所求； 由网格得，是等腰直角三角形， 由网格得，点L是的中点 ∴ ∴ ∴． 【变式3】如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形． A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 【知识点2】【教材重现】把两个全等的三角形重合到一起，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边；互相重合的角叫作对应角。（教材P95） 【数学素养】如下图所示，和全等，记作（三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上） 其中，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，与，与，与是对应边；与，与，与是对应角. 【知识点3】【教材重现】全等三角形的对应边相等、对应角相等。（教材P95） 【数学素养】∵ ∴ 【知识点4】【知识扩展】全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等. 【★数学技巧】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法 （1）图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角. （2）位置关系法：公共角（对顶角）为对应角，公共边为对应边；对应角的对应边为对应边，对应边的对角为对应角. （3）字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 【★易错点】三角形的对应关系不定，未分类讨论致错 【例2】全等三角形的性质 【典例】如图，，则CF的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应线段相等，据此可得，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，，若，则等于（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合，得，再结合线段的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C 【变式2】如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ）． A．1或 B．2或 C．2或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的性质． 根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可 【详解】解：①若，则，， ∴，， 解得：，； ②若，则，， ∴，， 解得：， ∴AB的长度为或． 故选：D． 【变式3】如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到，再根据图形面积之间的关系可得，设点P到线段和线段的距离分别为，连接，根据三角形面积计算公式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大25， ∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点到线段和线段的距离之和为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$