精品解析：山东省潍坊市2024-2025学年高一下学期期中质量监测数学试题

2024－2025学年下学期期中质量监测 高一数学 2025.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在内，使成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆心角为的扇形面积是，则这个圆心角所对的弦长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 函数的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4或 D. 2或 7. 在四边形中，，设.若，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图，若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 当时，的最大值为 C. ，在上有零点 D. 对于定义域内任意的，，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与向量方向相反的单位向量为_____． 13. 已知，若，则________. 14. 函数在上的零点从小到大依次为，则的值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若向量，求实数的值； （2）若向量满足，求的值. 16. 已知，为第三象限角，求： （1）； （2）； （3）. 17. 如图，平行四边形中，为上一点，，设，，为平行四边形内一点，且. （1）证明：，，三点共线； （2）延长交于，用，表示出并求出. 18. 已知函数的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值. 19. 已知函数的最小正周期为，若将的图象向左平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）设，求的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时的值； （3）若函数在上有三个不相等的实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年下学期期中质量监测 高一数学 2025.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用诱导公式及特殊角的三角函数计算可得； 【详解】解： 故选：B 2. 在内，使成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数和在内的图象，根据图象直接观察得到答案. 【详解】作出函数和在内的图象， ， 函数的图象在函数的图象上方的区间就是的解集， 即为. 故选：C. 3. 已知圆心角为的扇形面积是，则这个圆心角所对的弦长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式可得扇形的半径，进而求解即可. 【详解】由题意扇形的圆心角为，设扇形的半径为， 则扇形面积为，即，解得， 则这个圆心角所对的弦长为. 故选：C. 4. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，， 则. 故选：B 5. 函数的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的对称性结合整体思想求出函数的对称中心，然后逐一验证即可. 【详解】令，则， 所以函数的图象的对称中心为，， 令，则，故不是函数图象的对称中心； 令，则，故不是函数图象的对称中心； 令，则，故是函数图象的对称中心； 令，则，故不是函数图象的对称中心. 故选：C. 6. 已知函数，，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可得，利用周期公式求解. 【详解】由题可得，则， ，解得. 故选：D 7. 在四边形中，，设.若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作出草图，过作，又，可得四边形是平行四边形． ，根据．可得 ，又，可得，据此即可得出结果． 【详解】如图所示，过作，又． ∴四边形是平行四边形． ， 又， ， 又，则. 故选：B． 8. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】作出两函数在上的图象，结合图象即可得答案. 【详解】对于函数， 当时，， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 时，， 函数的周期， 结合周期，利用五点法作出图象，    由图知，共有4个交点. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，则， 即， 因为，所以，则， 所以， 则，故D正确； 由，解得，，故AC错误； 则，故B正确. 故选：BD. 10. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图，若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，易得，，，进而结合平面向量的线性运算、模、共线的坐标表示求解判断各选项即可. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 易得，，， 对于A，，故A正确； 对于B，， 则，故B正确； 对于C，， 显然不存在实数使得，则不平行，故C错误； 对于D，， 则，即，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 当时，的最大值为 C. ，在上有零点 D. 对于定义域内任意的，，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据验证即可；对于B，分，两种情况分析判断即可；对于C，令，可得，结合正弦函数的性质判断即可；对于D，根据绝对值三角不等式可得，可得，进而判断即可. 【详解】对于A，由， 所以是的一个周期，故A正确； 对于B，当时，， 当时，；当时，， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，当时，，则， 令，则，即（舍去）或， 由于，，则方程无解， 则不存在，使得在上有零点，故C错误； 对于D，由，， 当且仅当时等号成立， 则，即， 故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与向量方向相反的单位向量为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由相反向量及单位向量的定义可得. 【详解】向量方向相反的单位向量. 故答案为：. 13. 已知，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先由诱导公式得到，再由同角的三角函数关系计算可得. 【详解】， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 14. 函数在上的零点从小到大依次为，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】转化为函数与在上的交点问题，结合其对称性，数形结合，即可求得结果. 【详解】令，则， 当时，， 由题意，函数在上的零点从小到大依次为， 则转化为函数与在上的交点问题， 且交点的横坐标从小到大依次为， 画出函数与在上的大致图象， 由图象可知，函数与有4个交点，即， 又，，， 则，，， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若向量，求实数的值； （2）若向量满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，列出关于的等量关系，求解即可； （2）根据题意，列出满足的方程组，求解即可. 【小问1详解】 由，， 得，， 因为， 所以，解得. 【小问2详解】 由，，， 则， 由，则， 解得，即，则. 16. 已知，为第三象限角，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （2）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （3）根据同角的三角函数基本关系式求出，，进而求解即可； 【小问1详解】 由，为第三象限角， 则； 【小问2详解】 由，为第三象限角， 则； 【小问3详解】 由，则， 因为，则，即， 则， 又为第三象限角，所以， 则. 17. 如图，平行四边形中，为上一点，，设，，为平行四边形内一点，且. （1）证明：，，三点共线； （2）延长交于，用，表示出并求出. 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而结合三点共线的推论即可求证； （2）设，结合平面向量的线性运算及三点共线的推论可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 由于，则，，三点共线. 【小问2详解】 设，则， 由于三点共线，则，解得， 则， 而， ， 所以，即. 18. 已知函数的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象分别求出、的值，进而结合正弦型函数的周期公式可得，再代点求解，即可得到函数的解析式； （2）利用正弦函数的单调性即可求解； （3）根据题意可得方程有两个不相等的实数根，且，进而得到，且，再结合诱导公式及平方关系求解即可. 【小问1详解】 由图象可知，，且， 则，即，此时， 又，则， 则，即， 又，则，即. 【小问2详解】 令， 解得， 则函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 当时，， 因为方程有两个不相等的实数根，且， 即方程有两个不相等的实数根，且， 所以， 则，且， 又， 则 . 19. 已知函数的最小正周期为，若将的图象向左平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）设，求的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时的值； （3）若函数在上有三个不相等的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用最小正周期为，求出，再根据图象变换结合为偶函数，求得的值，得解； （2）由（1）化简得，换元令，转化为二次函数求最值； （3）令，问题转化为即，在上有两个不等的实根，且且，根据根的分布列式求解. 【小问1详解】 由的最小正周期为，则，得， 则， 将的图象向左平移个单位，得， 再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 因为为偶函数，则且，所以， 则，. 【小问2详解】 由（1），， 令，则， 所以当，即时，取得最小值1，此时或，， 当，即时，取得最大值，此时，. 【小问3详解】 ，，令， 所以，， 若函数在上有三个不相等的实根， 即，在上有两个不等的实根，且，或， 若，则，解得，则方程的另一根，不合题意； 同理，，经检验均不合题意， 所以且， 则，即，解得. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $