22.3 特殊的平行四边形——（4）综合题（六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

22.3特殊的平行四边形——（4）综合 题型一 特殊平行四边形的性质辨析 1．矩形、菱形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】C 【详解】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角， 矩形的对角线互相平分、相等， ∴矩形、菱形都具有的性质是是对角线互相平分， 故选C． 2．菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对边平行 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【详解】解：A.菱形、正方形、矩形的对边相等，故选项A不符合题意； B. 菱形、正方形、矩形的对边平行，故选项B不符合题意； C. 菱形、正方形、矩形的对角线互相平分，的对角线互相 D. 菱形、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，故选项D符合题意； 故选：D． 3．下列命题错误的是（   ） A．正方形的对角线互相垂直 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．菱形的四条边相等 【答案】C 【详解】解：A、正方形的对角线互相垂直，正确，不符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，符合题意； D、菱形的四条边相等，正确，不符合题意； 故选：C． 4．下列说法正确的是（   ） A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等 C．正方形的对角线平分一组对角 D．平行四边形的对角线互相垂直 【答案】C 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，原说法错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等，原说法错误，不符合题意； C、正方形的对角线平分一组对角，原说法正确，符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，原说法错误，不符合题意； 故选C． 5．下列命题中正确的是（　　） A．正方形的面积等于对角线平方的一半 B．邻边相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．矩形的对角线相等且互相垂直 【答案】A 【详解】、正方形的面积等于对角线平方的一半，故该选项正确，符合题意； 、邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意； 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意； 、矩形的对角线相等且互相平分，故该选项不正确，不符合题意； 故选：． 6．下列说法不正确的是（   ） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】A 【详解】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项说法错误，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直平分，选项说法正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等，选项说法正确，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 题型二 中点四边形 1．顺次连接矩形各边中点，所得图形的对角线一定满足（   ） A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．互相平分且垂直 【答案】D 【详解】根据题意作出图形： ∵四边形是矩形，点E，F，G，H分别是四边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， 同理可得，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴菱形的对角线互相平分且垂直． 故选：D． 2．顺次连接菱形的四边中点所得的图形为 ． 【答案】矩形 【详解】解：依题意，顺次连结菱形各边中点所得的新四边形的两组对边分别平行于菱形的两条对角线，菱形的两条对角线是互相垂直的， 则新四边形的两组对边分别平行，邻边垂直， ∴顺次连接菱形的四边中点所得的图形为为矩形； 故答案为：矩形 3．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 4．如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是 形．如果，，那么四边形的周长等于 cm． 【答案】 平行四边形 56 【详解】解：连接，， ，，，分别是，，，边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ，，，分别是，，，边的中点， 同理，， ∴四边形的周长是：． 故答案为：平行四边形；56． 题型三 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影部分的面积 1．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】A 【详解】解：剩下的铁皮的面积＝长方形的面积﹣圆的面积， 故选：A． 2．下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 3．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 4．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 . 【答案】9 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 题型四 四边形中的线段最值问题 1．如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是． 故选：C． 2．如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ， ， 当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求， 四边形是正方形， ， 点在边上， ，， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得，， 的最小值是13 故选：B． 3．如图，在边长为4的菱形中，，点M是边的中点，点N是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 根据勾股定理，得：， ∵， ∴， 根据勾股定理，得：， ∵， 当点运动到线段上的点时，取得最小值， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．正方形中，点在上，，，点在上，的最小值 ．    【答案】 【详解】如图，连接交于点，连接与交于点P，连接，    ∵四边形是正方形， ∴，且， ∴，则，此时最短， ∵，， ∴根据勾股定理得， ∴， 即的最小值为：， 故答案为：． 5．如图，正方形的边长为2，E是的中点，点P是边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：连接， 正方形的对角线互相垂直平分， 无论P在什么位置，都有； 故均有成立； 连接与，所得的交点，即为的最小值时的位置， 如图所示：    此时， 正方形的边长为， ， E是的中点， ， 在中， ． 故答案为：． 6．如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长． 过点作的垂线，交的延长线于点， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 7．如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / 【详解】解：根据题意，， ∴当的值最小时，的值最小； 当的值最大时，的值最大； ∴①如图所示，当时，的值最小， ∵四边形是长方形，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：； ②如图所示，当点与点（或点）重合时，线段的值最大， ∵四边形是长方形， ∴，，且， ∴， ∴， ∴的最大值为：， 故答案为：． 8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为 ． 【答案】14+2 【详解】如图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B'，作点B'关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF=2，连接BE，B'F， ∴BE=B'F，B″F=B'F，此时四边形BEFC的周长为BE+EF+FC+BC=B″F+EF+FC+BC=B″C+EF+BC．当点C，F，B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．∵AB=4，BB'=2，∠ABC=60°，∴B'B″经过点A，∴AB'=2，∴B'B″=4． ∵BC=12，∴B'C=10，∴B″C=2，∴B″C+EF+BC=14+2，∴四边形BEFC周长的最小值为14+2． 9．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．    【答案】/ 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得，如图：    由旋转不变性可得：，， 且， 是等腰直角三角形， ， 最大，只需最大，而在中，， 当且仅当、、在一条直线上，即不能构成时，最大，且最大值为， 此时， 故答案为：． 10．如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值 ．    【答案】 【详解】解：如图，    作点E关于的对称点N， 因为正方形是轴对称图形，且为对称轴， 所以点N在上， 连接，交于点G，根据两点之间线段最短， 所以为的最小值， 过点F作于点M， 则，， 根据轴对称性质可知：， 所以， 在直角中，由勾股定理，得： ， 所以， 即的最小值为13， 在中，， 所以， 所以周长的最小值是． 题型五 （特殊）平行四边形的动点问题 1．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【答案】C 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 2．如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：中， 当和全等时，一定为直角三角形， 当点在上时，不能构成三角形； 当点在上时，如下图所示， 构成的不是直角三角形，此时和不全等； 当点在上时，如下图所示， ， 则有， 此时点运动的路程为， 运动的时间为； 当点在上时，如下图所示， ， ， 此时点运动的路程为， 运动的时间为， 综上所述，当和全等时，的值是或． 故选：D ． 3．如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是 ． 【答案】或 【详解】①当点在上时，由题意得 要使，则需 解得： ②当在上时，不构成 ③当在 上时，由题意得 要使，则需，即 解得： 综上，当或时， 故答案为或． 4．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 【答案】或 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 5．如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)12或 (4)2或或 【详解】（1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为6； （2）解：当点Q沿运动时，； 由题意得：； 当点Q沿运动时，， ∴， 即； （3）解：∵面积为， ∴梯形的面积为 分两种情况： 当点Q沿运动时，如图， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时，如图， 同理：， 解得：， 此时，两点重合，两点重合； 综上所述，当平分面积时，t的值为12或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时， 同理， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为2或或． 6．如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：    (1)当时， ， ．（用 t 表示） (2)当秒时， 的面积为多少？ (3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)或或 【详解】（1）∵四边形时菱形， ∴． 根据题意可知， 当时， 点M在上，点N在上， ∴，． 故答案为：，； （2）当时，， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 无解； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）． 所以或或． 7．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】(1) (2) (3)周长为，面积为 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 四边形是菱形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是菱形； （3）解：当时，， 菱形的周长为：， 菱形的面积为：． 题型六 四边形的其他综合问题 1．在四边形中，连接与，若，且，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．18 C．15 D．12 【答案】D 【详解】令与的交点为O， 则 ． 故选：D． 2．小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴四边形的面积为． 故选：B． 3．如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形的周长是：． 故答案为：． 4．为了说明各种三角形之间的关系，小明画了如下结构图： 请你采用类似的方式说明下述几个概念之间的关系：正方形、四边形、梯形、菱形、平行四边形、矩形． 【答案】见解析 【详解】如图所示： 5．如图，为的对角线，延长至点，使得，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，理由见解析 【详解】（1）解：∵在中， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴是菱形； （2）结论：四边形是正方形， 理由如下： 由（1）得，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴是矩形， 又∵是菱形 ∴四边形是正方形． 1．如图，矩形中，已知，F为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③当时，则；④的最小值为10．其中正确的结论个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 如图1，当点在上时，取的中点，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图2，当时，设与交于，与交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴；故③错误； 如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为10，故④正确； 故选：C． 2．如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：（1）由题意得，，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）根据题意，得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ；；， ∴， 综上，； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是轴对称图形， ①当四边形是矩形时，如图， 只需即可， 则此时只需即可， ∴， 解得； ②当四边形是菱形时，， ∴， 解得（舍去）； 综上，当四边形是轴对称图形时，的值是． 3．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． (1)当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 【答案】(1)秒 (2)秒时，；秒时， (3) 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动，点的运动时间为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：秒； （2）解：①如图，当点在的右边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在的左边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，秒时，；秒时，； （3）如图，由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为： ∴最小时，四边形的周长最小， ∴作点关于的对称点，连接交于， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴的最小值为：， ∴四边形的周长最小值为． 4．如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 (3)或或是等腰直角三角形 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形． 理由如下： 为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； ，为中点， ， 四边形是菱形； （3）解：当满足（答案不唯一）时，四边形是正方形， 理由：由（2）知，四边形是菱形， ，， ， 四边形是正方形． 5．小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． (2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________． (3)【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积． (4)【学以致用】（3）中的长为_______． 【答案】(1)菱形、正方形 (2) (3)证明见解析，面积为 (4) 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形，正方形， 一定是垂美四边形的是菱形，正方形， 故答案为：菱形，正方形； （2）如图1所示： ∵四边形的面积 的面积 的面积 ∴； 故答案为：； （3）证明：连接，，设与交于点，与交于点， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 四边形为垂美四边形； 四边形是正方形， ，， ， ， 点、、在一条直线上， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ∵， ， 四边形为垂美四边形， 四边形的面积是． （4）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴，即：， 解得：，则 ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 6．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形． (1)如图1，在8×5的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个，点A、B、C均在格点上，请在网格图中找出2个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是和谐四边形，并画出相应的四边形． (2)如图2，在四边形中，，，，平分．试说明：是四边形的和谐线； (3)已知，在四边形中，，，是四边形的和谐线，直接写出的长_____． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形， ∴作图如下： （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是四边形的和谐线； （3）解：如图3，4 ∵是四边形的和谐线， ∴是等腰三角形， ∵， 如图3，当时， ∴，， ∴是正三角形， ∴， ∵， ∴， 过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，当时，， 当时， ∵是四边形的和谐线， ∴， ∴综上所述，满足条件的的长为或， 故答案为：或． 7．给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．    (1)在你学过的四边形中，写出一种勾股四边形的名称________． (2)如图，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接，，，已知． ①直接写出的度数是________． ②判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由． 【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可 (2)①；②四边形是勾股四边形，理由见解析 【详解】（1）解：正方形、矩形、直角梯形均可， 故答案为：正方形、矩形、直角梯形均可； （2）解：①由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； ②∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即四边形是勾股四边形． 8．新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为_________． (2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)135 (2)成立，见解析 【详解】（1）解：根据新定义，得， ∵，， ∴， 故答案为：135． （2）连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3特殊的平行四边形——（4）综合 题型一 特殊平行四边形的性质辨析 1．矩形、菱形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对边平行 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 3．下列命题错误的是（   ） A．正方形的对角线互相垂直 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．菱形的四条边相等 4．下列说法正确的是（   ） A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等 C．正方形的对角线平分一组对角 D．平行四边形的对角线互相垂直 5．下列命题中正确的是（　　） A．正方形的面积等于对角线平方的一半 B．邻边相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．矩形的对角线相等且互相垂直 6．下列说法不正确的是（   ） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 题型二 中点四边形 1．顺次连接矩形各边中点，所得图形的对角线一定满足（   ） A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．互相平分且垂直 2．顺次连接菱形的四边中点所得的图形为 ． 3．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 4．如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是 形．如果，，那么四边形的周长等于 cm． 题型三 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影部分的面积 1．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 2．下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 4．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 . 题型四 四边形中的线段最值问题 1．如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 2．如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 3．如图，在边长为4的菱形中，，点M是边的中点，点N是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为 ． 4．正方形中，点在上，，，点在上，的最小值 ．    5．如图，正方形的边长为2，E是的中点，点P是边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ．    6．如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 7．如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为 ，最大值为 ． 8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为 ． 9．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．    10．如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值 ．    题型五 （特殊）平行四边形的动点问题 1．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 2．如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点出发，沿着路径以的速度运动，运动到点停止，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是 ． 4．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 5．如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 6．如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：    (1)当时， ， ．（用 t 表示） (2)当秒时， 的面积为多少？ (3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由． 7．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 题型六 四边形的其他综合问题 1．在四边形中，连接与，若，且，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．18 C．15 D．12 2．小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是 ． 4．为了说明各种三角形之间的关系，小明画了如下结构图： 请你采用类似的方式说明下述几个概念之间的关系：正方形、四边形、梯形、菱形、平行四边形、矩形． 5．如图，为的对角线，延长至点，使得，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 1．如图，矩形中，已知，F为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③当时，则；④的最小值为10．其中正确的结论个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值． 3．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． (1)当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 4．如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 5．小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． (2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________． (3)【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积． (4)【学以致用】（3）中的长为_______． 6．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形． (1)如图1，在8×5的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个，点A、B、C均在格点上，请在网格图中找出2个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是和谐四边形，并画出相应的四边形． (2)如图2，在四边形中，，，，平分．试说明：是四边形的和谐线； (3)已知，在四边形中，，，是四边形的和谐线，直接写出的长_____． 7．给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．    (1)在你学过的四边形中，写出一种勾股四边形的名称________． (2)如图，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接，，，已知． ①直接写出的度数是________． ②判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由． 8．新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为_________． (2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． 1 / 8 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