22.3 特殊的平行四边形——（2）菱形（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

22.3特殊的平行四边形——（2）菱形 题型一 利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在菱形中，，点为对角线上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：． 4．如图，在菱形中，于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， 于点，于点， ， ， 故选：B． 5．如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，， ∴，， 如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 7．如图，在菱形中，对角线相交与点O，若，则 ． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形， , , , ． 故答案为：． 8．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ． ， ， ． 题型二 利用菱形的性质求线段长 1．菱形的两条对角线分别是和，则菱形的边长是（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设菱形的两条对角线交点点O，如图， ∵菱形中，，， ∴，，， 在中， ， 故选：B． 2．已知菱形的周长为，，则（   ） A．14 B． C． D．12 【答案】A 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵菱形的周长为， ∴， ∴， 故选：A． 3．菱形的边长为4，有一个内角为，则较长的对角线的长为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】解：根据题意作图如下： 菱形的边长为4， ，，，， ， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 4．如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对角线，交于点，则为直角三角形 则．， ， 菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算， 即， ∴， 故选：B． 5．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为 ． 【答案】2 【详解】解：将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，， ， 四边形是菱形， 连接， ， 是等边三角形， ， ，两点间的距离为2， 故答案为：2． 6．如图，在菱形中，，边长，点是边的中点，点是边上一动点，点是对角线上一动点，连接，求最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于对称点，连接，则， ∴， 当时，取最小值， 过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴， 即最小值为， 故答案为：． 7．如图，已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的另一条对角线长为 ． 【答案】6 【详解】解：如图，设对角线交于点，对角线， ∵菱形的周长为， ∴，，，， ∴， ∴这个菱形的另一条对角线， 故答案为：6． 8．将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：菱形的对角线分别为和， 菱形的面积， 正方形的边长是 故答案为： 题型三 利用菱形的性质求面积 1．如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【详解】解：∵菱形的两条对角线相交于点O，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，四边形是菱形，．则菱形的面积（   ） A． B．16 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，已知菱形的周长为40，对角线交于点O，且，则该菱形的面积等于（    ） A．24 B．56 C．96 D．48 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形，周长为40，对角线、交于点， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形的面积， 故选：C． 4．菱形的对角线长分别为和，则菱形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，菱形面积为：； 故答案为：． 5．已知菱形的周长为，一条对角线长为，该菱形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：因为周长是，所以边长是． 如图所示：，． 根据菱形的性质，，， 在中， 根据勾股定理，， ． 菱形的面积为． 故答案为：． 6．若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的面积为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，菱形的周长为， ∴， 过作于，而， ∴， ∴， 则在中，由勾股定理得， ∴ ∴， 故答案为：． 7．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴菱形的面积． 故答案为：． 8．如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是BC上一点．若的面积为2，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【详解】解：连接， 是的中点， ， 连接， 同理可得， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 题型四 利用菱形的性质证明 1．如图，是菱形的一条对角线．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：解法一： 四边形是菱形， ， ， ． 解法二： 四边形是菱形， ， 又， ， ． 解法三： 连接，交于点O， 四边形是菱形， ， 又， ， ． 解法四： 连接，交于点O， 四边形是菱形， ， ． 2．如图，在菱形中，E是延长线上的一点，F是延长线上的一点，连接，，若，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴． 3．如图，在菱形中，作于F，，求证： 【答案】见解析 【详解】证明：菱形， ，， ，， ， 在与中， ， ， 4．如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：．    【答案】见解析 【详解】证明：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， 即． 5．如图，在菱形中，连接，点、分别是、上的点，连接，，，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴． 题型五 添加一个条件使四边形是菱形 1 ．在下列条件中，能够判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平行四边形是菱形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 故选：C． 2已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等． A、当时，菱形是正方形，选项不符合题意； B、当时，菱形是正方形，选项不符合题意； C、当时，，菱形是正方形，选项不符合题意； D、当时，菱形不能确定是正方形，选项符合题意； 故选：D． 3．如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形，下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、添加可证明平行四边形是矩形，不能使它变成菱形，故此选项符合题意； B、添加能证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； C、添加可证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、添加，则，所以，所以，可证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴添加，能判定是菱形，故A不符合题意； 添加，能判定是菱形；故B不符合题意； 添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项C符合题意； 添加，能判定是菱形；选项D不符合题意． 故选：C． 5．如图，顺次连结四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连结，如图所示， ∵E、F、C、H分别为四边形各边中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 当或时， 只能判断四边形为平行四边形，故A、B选项错误； 当时，能判断四边形为矩形，故C选项错误； 当时，能判断四边形为菱形，故D选项正确． 故选：D. 6．如图，在中（），为锐角，将沿对角线方向平移，得到，连接和，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形是菱形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴，， 由平移可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若，则， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 7．如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加条件，则可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 题型六 证明四边形是菱形 1．下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、平行四边形中，本来就有，故本选项错误； B、平行四边形中，，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； C、平行四边形中，，不能判定平行四边形是菱形，故本选项错误； D、平行四边形中，，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定，故本选项正确． 故选：D． 2．如图，两张等宽的纸条交叠放在一起，重合部分构成的四边形一定是一个（   ） A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】D 【详解】解：如图，由纸条的对边平行，可得： 四边形是平行四边形， 过作于 作于如图所示： 由纸条等宽可得： 四边形是菱形. 故选：D 3．在下列条件中，能判定四边形是菱形的条件有（   ） ①对角线互相垂直；②对角线互相平分；③对角线相等；④对角线互相垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：依题意，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 故④符合题意； 故选：A 4．在中，、相交于点O．当时，是 形． 【答案】菱 【详解】解：在中，、相交于点O．当时，是菱形， 故答案为：菱． 5．如图，与关于所在直线对称，连接交于点，过点作交于点，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【详解】证明：与关于所在直线对称， ，，． ， ， ， ， 四边形是菱形． 6．如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接、，证明：四边形是菱形． 【答案】见解析 【详解】四边形是矩形， ， ， 点是的中点， ， 又， ； ， 四边形是矩形， ，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 7．如图，在中，，点是的中点，，与交于点，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【详解】证明：， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 四边形是菱形． 8．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为30，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 矩形， ， 平行四边形是菱形． （2）解：矩形， ，，， 矩形的周长为30， ，即， 在中，， ， ， ， 由（1）得，四边形是菱形， ． 四边形的面积为25． 题型七 利用菱形的性质与判定求解 1．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 2．如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题得：， 四边形是菱形， ． 故选：． 3．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 4．如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形， ． 故选：． 5．如图，四边形的四边相等，且面积为，对角线，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，交于点， 四边形的四边相等， 四边形为菱形， ，，，， ， 解得：， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， 四边形的周长， 故选：． 6．如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形，且 ， 又，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为8． 故选：C． 7．如图，菱形的边长为4， ，则菱形的面积为（　　） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵菱形的边长为4，即， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 8．如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是 ． 【答案】16 【详解】解：∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴该四边形的面积是：． 故答案为：16． 1．如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据菱形的对角相等得． ∵， ∴． 根据折叠得． ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：顶点的坐标分别为， ∴，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴顶点的坐标为， 故选：B ． 3．如图，如图所示木制衣帽架由三个全等的菱形组成，根据需要之间的距离可以调节，若时，，则长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接，相交于点O，    ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形中，， ∴，，， ∴， 故选：D． 4．如图，两张长方形纸条叠放在一起，若点恰好在的平分线上，则两张纸条的宽与的关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：根据题意，，， ∴四边形是平行四边形， 如图所示，连接， ∵点恰好在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 故选：B ． 5．如图，线段，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，，作直线，连接，，，．若，则四边形的面积为 ． 【答案】24 【详解】解：如图， 由作图可知是线段的垂直平分线， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 故答案为：24． 6．如图，在菱形中，，，是一条对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接．若，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 2 【详解】解：连接交于点H， ∵菱形中，，， ∴，，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：2；． 7．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，则点A到的距离为 ． 【答案】 【详解】解：作，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：点A到的距离为； 故答案为：． 8．如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接ED并延长ED到点F，使．连接，，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 【答案】添加一个条件：（答案不唯一），证明见解析 【详解】解：添加一个条件：当时，四边形为菱形， 证明：若添加， ∵，D是中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 9．如图，是的角平分线，点在上，且． (1)求证：； (2)在上取一点，连接，添加一个条件，使四边形为菱形，直接写出这个条件． 【答案】(1)见解析 (2)在上取一点，使得, 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：在上取一点，使得,连接，则四边形为菱形，理由如下： ∵，, ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 10．如图，四边形是平行四边形，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点和点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若．求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由作图方法可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3特殊的平行四边形——（2）菱形 题型一 利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，点为对角线上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（   ）      A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，对角线相交与点O，若，则 ． 8．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 题型二 利用菱形的性质求线段长 1．菱形的两条对角线分别是和，则菱形的边长是（    ）． A．2 B． C． D． 2．已知菱形的周长为，，则（   ） A．14 B． C． D．12 3．菱形的边长为4，有一个内角为，则较长的对角线的长为（   ） A． B．4 C． D．2 4．如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为 ． 6．如图，在菱形中，，边长，点是边的中点，点是边上一动点，点是对角线上一动点，连接，求最小值为 ． 7．如图，已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的另一条对角线长为 ． 8．将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 ． 题型三 利用菱形的性质求面积 1．如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 2．如图，四边形是菱形，．则菱形的面积（   ） A． B．16 C． D． 3．如图，已知菱形的周长为40，对角线交于点O，且，则该菱形的面积等于（    ） A．24 B．56 C．96 D．48 4．菱形的对角线长分别为和，则菱形的面积为 ． 5．已知菱形的周长为，一条对角线长为，该菱形的面积为 ． 6．若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的面积为 ． 7．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 8．如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是BC上一点．若的面积为2，则图中阴影部分的面积为 ． 题型四 利用菱形的性质证明 1．如图，是菱形的一条对角线．求证：． 2．如图，在菱形中，E是延长线上的一点，F是延长线上的一点，连接，，若，求证：． 3．如图，在菱形中，作于F，，求证： 4．如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：．    5．如图，在菱形中，连接，点、分别是、上的点，连接，，，且．求证：． 题型五 添加一个条件使四边形是菱形 1 ．在下列条件中，能够判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 2已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形，下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（） A． B． C． D． 5．如图，顺次连结四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中（），为锐角，将沿对角线方向平移，得到，连接和，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形是菱形，只需添加的一个条件是 ． 7．如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可） 题型六 证明四边形是菱形 1．下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，两张等宽的纸条交叠放在一起，重合部分构成的四边形一定是一个（   ） A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 3．在下列条件中，能判定四边形是菱形的条件有（   ） ①对角线互相垂直；②对角线互相平分；③对角线相等；④对角线互相垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在中，、相交于点O．当时，是 形． 5．如图，与关于所在直线对称，连接交于点，过点作交于点，连接，求证：四边形为菱形． 6．如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接、，证明：四边形是菱形． 7．如图，在中，，点是的中点，，与交于点，求证：四边形是菱形． 8．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为30，，求四边形的面积． 题型七 利用菱形的性质与判定求解 1．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 4．如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形的四边相等，且面积为，对角线，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 7．如图，菱形的边长为4， ，则菱形的面积为（　　） A．6 B． C． D．12 8．如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是 ． 1．如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，如图所示木制衣帽架由三个全等的菱形组成，根据需要之间的距离可以调节，若时，，则长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，两张长方形纸条叠放在一起，若点恰好在的平分线上，则两张纸条的宽与的关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 5．如图，线段，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，，作直线，连接，，，．若，则四边形的面积为 ． 6．如图，在菱形中，，，是一条对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接．若，则的长为 ，的长为 ． 7．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，则点A到的距离为 ． 8．如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接ED并延长ED到点F，使．连接，，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 9．如图，是的角平分线，点在上，且． (1)求证：； (2)在上取一点，连接，添加一个条件，使四边形为菱形，直接写出这个条件． 10．如图，四边形是平行四边形，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点和点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若．求四边形的面积． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$