10.2 二倍角的三角函数教学设计-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

教学设计 教学课题 二倍角的三角函数 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过二倍角公式的推导，学生能够从两角和公式中观察并抽象出二倍角公式的内在联系，理解数学公式的普遍性与特殊性。 （2）会用数学的思维思考现实世界：学生能够运用二倍角公式进行求值、化简和证明，培养逻辑推理能力和数学思维的灵活性，理解公式的逆向运用及变形应用。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过例题和练习，学生能够准确运用数学语言表达二倍角公式的应用过程，理解公式在解决实际问题中的作用。 重难点 （1）理解二倍角公式的推导过程及其与和角公式的内在联系，掌握公式的变形形式。 （2）灵活运用二倍角公式进行求值、化简和证明，特别是公式的逆向运用和变式训练。 （3）在真实情境中综合运用二倍角公式解决实际问题，提升数学建模和逻辑推理能力。 教学方式与策略 发现法、练习法 教学活动设计 一、问题情境 教师提出问题：在学习三角函数的过程中，我们已经掌握了两角和的正弦、余弦、正切公式。那么，如果将这两个角设为相同的角，会得到什么结果呢？（生：学生开始思考并尝试在草稿纸上进行计算） 教师进一步引导： 我们来看一个具体的例子，假设已知 和 的值，如何求出 , , 呢？（生：有些学生已经有了思路，但多数学生还存在困惑） 教师补充说明： 通过观察这些公式，我们可以发现当两个角相等时，它们的和就是这个角的二倍。因此，我们可以在前面所学的基础上来研究这个问题。（板书课题：二倍角的三角函数） 二、复习巩固，建构数学 （1）教师带领学生回顾两角和的三角函数公式： （2）教师引导学生用 代入上面的公式，推导出二倍角的三角函数公式： 教师分步骤详细解释每个公式的推导过程，并强调注意点： ① 对 “二倍角” 的认识，如 是 的二倍。 ② 余弦二倍角公式有三种形式：, , ，要根据具体情况选择最合适的公式以便简化运算过程。 ③ 强调对二倍角公式要学会灵活应用（顺用、逆用、变用）。例如，在某些情况下，直接使用公式 可能更为简便。 三、数学运用 1. 例题讲解 例 1 求证： 教师逐步推导并板书每一步骤： 先利用两角和的正弦公式 进行推导。 将 替换为 ，得到 。 请学生验证是否正确，并提问学生是否有其他方法可以证明这个公式。（生：学生讨论后得出可以用单位圆的方法进行证明） 例 2 已知 ，且 为锐角，求 。 教师引导学生利用勾股定理先求出 的值，再代入二倍角公式进行计算。 教师提示学生在三角形中，若 ，则直角三角形的对边为 3，斜边为 5，邻边为 4。 请学生计算 ，然后代入公式 得到答案 。 学生自主完成计算，教师巡视指导。（生：学生通过计算得出 ，然后代入公式 ） 例 3 已知 ，求 和 。 教师引导学生利用二倍角的余弦公式 逆向求解。 学生分组讨论，教师巡视指导。（生：学生通过讨论得出 ，然后利用勾股定理求出 ） 2. 练习 （1）利用倍角公式求下列各式的值： ① ，其中 ② ，其中 ③ ④ （2）已知 ，且 为锐角，求 。 （3）已知 ，求 。 四、小结 1. 本节课主要学习了二倍角的几组公式： 2. 我们一起推导了二倍角的公式，明白了从一般到特殊的思想，并运用二倍角公式解题。 在解题的时候要注意分析三角函数名称、角的关系，选择最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程的目的。 3. 教师总结：通过这节课的学习，大家应该能够掌握二倍角公式的推导及其应用方法，在实际问题中能够灵活运用这些公式解决问题。希望大家能够在今后的学习中不断巩固和提高！ 课后作业 （1）利用二倍角公式，化简以下各式： ① / ② / （2）证明以下等式： ① / ② / 学科网（北京）股份有限公司 $$