10.3 几个三角恒等式(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

10.3　几个三角恒等式 课标要求 1.了解积化和差公式、和差化积公式及其推导过程（逻辑推理）. 2.了解半角公式及其推导过程（逻辑推理）. 3.能运用积化和差公式、和差化积公式及半角公式进行相关计算、化简和证明（数学运算）. 　　观察下列学过的两组公式： 　　（1）sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β， ① 　　sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β； ② 　　（2）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β， ③ 　　cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β. ④ 　　尝试一下，对①②③④做一些“运算”，例如①＋②，①－②等等，看看能得到些什么？ 【问题】　（1）如何用sin（α＋β），sin（α－β）表示sin αcos β及cos αsin β的值？ （2）如何用cos（α＋β），cos（α－β）表示cos αcos β及sin αsin β的值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　积化和差公式、和差化积公式 　积化和差 和差化积 【想一想】 1.积化和差公式与和差化积公式之间有什么联系？ 2.积化和差公式与和差化积公式在三角恒等变换中有什么作用？ 知识点二　半角公式 【想一想】 半角公式中的符号是如何确定的？ 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.cos α－cos β＝－2sinsin B.cos＝ C.tan＝ D.tan＝，只需满足α≠2kπ＋π（k∈Z） 2.若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝（　　） A.　　　　　 B. C.　 D.－ 3.sincos＝　　　　. 　 题型一｜积化和差公式的应用 【例1】　（链接教科书第76页例1）求下列各式的值： （1）sin 37.5°cos 7.5°； （2）sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 通性通法 　　在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为sin（α＋β）与sin（α－β）的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos（α＋β）与cos（α－β）的和或差. 【跟踪训练】 　求下列各式的值： （1）2cos 50°cos 70°－cos 20°； （2）sin 80°cos 40°－sin 40°； （3）sin 37.5°sin 22.5°－cos 15°. 题型二｜和差化积公式的应用 【例2】　（链接教科书第77页例2）把下列各式化为积的形式： （1）sin x＋sin 3x； （2）cos（15°＋α）－cos（15°－α）. 通性通法 　　套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来. 【跟踪训练】 1.求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝（　　） A.　　 B.　　 C.　　 D.1 2.计算：＝（　　） A.　 B.－　　C.　 D.－ 题型三｜应用半角公式求值 【例3】　（链接教科书第78页例3）已知sin α＝－，＜α＜2π，求sin，cos，tan的值. 通性通法 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 提醒：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，求值时要注意确定其符号. 【跟踪训练】 1.sin的值是（　　） A.　 B. C.　 D. 2.已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，求tan的值. 题型四｜三角函数式的化简与证明 【例4】　化简： （π＜α＜2π）. 通性通法 化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式； （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切； （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方、和积互化等. 【跟踪训练】 1.化简：（1）cos－tan（1＋cos α）； （2）. 2.求证：tan－tan＝. 1.利用积化和差公式化简sin αsin＝（　　） A.－[cos（α＋β）－cos（α－β）] B.[cos（α＋β）＋cos（α－β）] C.[sin（α＋β）－sin（α－β）] D.[sin（α＋β）＋sin（α－β）] 2.cos 75°－cos 15°＝（　　） A.　 B.－　　C.　 D.－ 3.若cos α＝－，α是第三象限角，则tan＝　　　　. 4.把下列各式化为积的形式： （1）sin 122°＋sin 36°； （2）cos 75°－cos 23°. 提示：完成课后作业　第十章　10.3 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3　几个三角恒等式 【基础落实】 知识点一 　[sin（α＋β）＋sin（α－β）]　[sin（α＋β）－sin（α－β）]　[cos（α＋β）＋cos（α－β）]　－[cos（α＋β）－cos（α－β）]　2sincos　2cossin　2coscos　－2sin·sin 想一想 1.提示：在积化和差公式中，令α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝，则积化和差公式相应变为和差化积公式. 2.提示：和积互化是三角恒等变换中的一种重要的变形手段，是化非特殊角为特殊角的有效方法，也是在三角函数式的化简、求值和证明中，相约或相消的常用方法. 知识点二 　1－2sin2α　2cos2α－1　± ±　　 ± 想一想 　提示：（1）当给出角α的具体范围时，先求的范围，然后根据的范围确定符号； （2）如果没有给出确定符号的条件，那么在根号前要保留正负号. 自我诊断 1.AD　对于A，cos α－cos β＝－2sin·sin，故A正确；对于B，cos＝±，故B错误；对于C、D，当α≠2kπ＋π时，tan＝＝，故C错误，D正确.故选A、D. 2.A　因为α∈，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝ ＝.故选A. 3.＋　解析：sincos＝sin·cos（π＋）＝sincos＝＝×（1＋）＝＋. 【典例研析】 【例1】　解：（1）原式＝[sin（37.5°＋7.5°）＋sin（37.5°－7.5°）] ＝（sin 45°＋sin 30°）＝×（＋）＝. （2）原式＝（sin 90°－sin 50°）－（cos 60°－cos 40°） ＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝. 跟踪训练 　解：（1）原式＝cos（50°＋70°）＋cos（50°－70°）－cos 20° ＝cos 120°＋cos 20°－cos 20°＝cos 120°＝－. （2）原式＝[sin（80°＋40°）＋sin（80°－40°）]－sin 40° ＝（sin 120°＋sin 40°）－sin 40°＝. （3）原式＝－[cos（37.5°＋22.5°）－cos（37.5°－22.5°）]－cos 15° ＝－（cos 60°－cos 15°）－cos 15°＝－cos 60°＝－. 【例2】　解：（1）原式＝2sin·cos＝2sin 2x·cos x. （2）原式＝－2sin·sin ＝－2sin 15°sin α. 跟踪训练 1.C　sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80°＝2××sin 80°＋－sin 80°＝.故选C. 2.B　原式＝＝－＝－＝－.故选B. 【例3】　解：∵＜α＜2π，sin α＝－， ∴cos α＝且＜＜π， ∴sin＝ ＝， cos＝－ ＝－， tan＝＝－. 跟踪训练 1.B　sin＝＝＝＝＝.故选B. 2.解：因为cos 2θ＝－，＜θ＜π，依半角公式得 sin θ＝＝＝， cos θ＝－＝－＝－， 所以tan＝＝＝. 【例4】　解：原式＝ ＝ ＝.又∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0， ∴原式＝＝cos α. 跟踪训练 1.解：（1）原式＝－sin α－·（1＋cos α）＝－2sin α. （2）原式＝＝ ＝＝tan 2α. 2.证明：左边＝－ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边. 所以原等式成立. 随堂检测 1.D　sin αsin＝sin αcos β＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）].故选D. 2.D　cos 75°－cos 15°＝－2sin·sin＝－2sin 45°sin 30°＝－.故选D. 3.－3　解析：∵cos α＝－，α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，∴tan＝＝－3. 4.解：（1）原式＝2sin·cos＝2sin 79°·cos 43°. （2）原式＝－2sinsin＝－2sin 49°·sin 26°. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $